解析几何中的范围问题

解析几何中的范围问题

一般解题思路是，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。

一、“题设条件中的不等式关系”

题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。

例1、（2004全国卷 I ）椭圆 的两个焦点是

，且

椭圆上存在点P 使得直线

垂直.求实数m 的取值范围；

分析：对于（1），要求m 的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为标准方程，应有 ，

便是特设条件

中隐蔽的不等关系. 解：（1）由题设知

设点P 坐标为 ，则有 得①

将①与 联立，解得

∵m>0，且 ∴m≥1 即所求m 的取值范围为 .

二、“圆锥曲线的有关范围”

椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。

例2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162

=的焦点P

为其一个焦点，以双曲线19

162

2=-y x 的焦点Q 为顶点。 (1)求椭圆的标准方程；

(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。

解：(1)抛物线x y 162

=焦点P 为(4，0)，双曲线19

162

2=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x （a>b>0），且a=5，c=4

916252

=-=∴b ，∴椭圆的标准方程为

19

252

2=+y x (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+y

x ，即353+-=x y )50(≤≤x

点M 是线段CD 上，∴35

3

00+-=x y )50(0≤≤x

),1(00y x AM +=，),1(00y x BM -=，12

020-+=⋅∴y x AM ，

将35300+-

=x y )50(0≤≤x 代入得BM ⋅1)35

3(202

0-+-+=x x BM AM ⋅⇒85

182534020+-=

x x 34191

)3445(253420+-=x 500≤≤x ，

BM AM ⋅∴的最大值为24，BM AM ⋅的最小值为34

191

。

BM AM ⋅∴的范围是]24,34

191

[。

三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”

在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。 例3、如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝2

1

．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．

（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 2

1

=

AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求

出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，则 A （-1，0），B （1，0）

设椭圆方程为：12222=+b y a x 令c

b y C x 2

0=⇒=

∴⎩⎨

⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=

=322

31

2

b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13

42

2=+y x 。 （2）1(02EC AB E =⇒，)2

1

，l ⊥AB 时不符，设l ：

y ＝kx ＋m （显然k ≠0）

由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧=+

+=m kmx x k y x m kx y

M 、N 存在⇒0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2

234m k ≥+⇒① 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ）

∴ 2

2104342k km

x x x +-=+=，20

0433k m m kx y +=+= 243143421433121

||||22

200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+-

-+⇒-=-⇒⊥⇒= 代入① ∴ 222

)2

43(34k k +-≥+ ∴ 4342≤+k ∴ 102

≤

∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]4

1

．

四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”

所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为： 1

2、

3、

4、

例4、求使抛物线()2

:10C y ax a =-≠上有不同两点关于直线:0l x y +=对称。求实数a 的取值范围。

解：设()11,A x y ， ()22,B x y 是C 上关于:0l x y +=对称的两点，

易知0a >，()00,M x y 是A ，B 的中点。 则有2111y ax =-，2221y ax =- 两式相减得

()()121212y y a x x x x -=-+ 又

12

12

1y y x x -=- 且 1202x x x +=