初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选

F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔 〕小或相等。

A 、74 B 、1 C 、82 D 、81B 卷9、〔第11届“希望杯〞邀请赛〕在正方形ABCD 中，3=AB ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且︒=∠30BAE ，︒=∠15DAF ，那么AEF ∆的面积为 .10、〔2005年第16届“希望杯〞初二年级竞赛题〕ABC ∆三条高的比是5:4:3，且三条边的长均为整数，那么ABC ∆的一条边长可能是〔 〕A 、10B 、12C 、14D 、16GFC DE 图 11ABDGEF A图 8CB11、〔第14届“希望杯“邀请赛〕如图7，将ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B '，C '，A '，且使AB B B ='，BC C C 2='，AC A A 3='，假设1=∆ABC S ，那么C B A S '''∆是〔 〕A 、15B 、16C 、17D 、1812、〔2005年第16届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图8，ABC ∆中，5:3:=AC BC ，四边形BDEC 和ACFG 分均为正方形，ABC ∆及正方形BDEC 的面积比是5:3，那么CEF ∆及整个图形的面积比等于 .C ′A ′B ′A图 7 CBC 卷13、〔第6届“希望杯“邀请赛题〕如图9，ABC ∆的面积为218cm ，点D 、E 、F 分别位于AB 、BC 、CA 上，且cm AD 4=，cm DB 5=，如果ABE ∆的面积和四边形DBEF 的面积相等，那么ABE ∆的面积是〔 〕A 、28cmB 、29cmC 、210cmD 、212cmFE D CA图 9B14、〔第7届“希望杯“邀请赛题〕如图10，直角AOB ∠内有一点P ，a OP =，︒=∠30POA ，过点P 作一直线MN 及OA 、OB 分别交于M 、N ，使MON ∆的面积最小。

〔1〕此时线段MN 的位置是〔 〕A 、OP MN ⊥B 、ON OM =C 、ON OM 2=D 、PN PM = 〔2〕此时MON ∆的面积是 .〔3〕假设AOB ∠为一锐角，P 是锐角内一定点〔如图11〕，过点P 的直线及OA 、OB 交于M 、N ，使MON ∆的面积最小。

应怎样画出MN 的位置，并证明你的结论。

PNMOA图 10BNP MOA图 11BF GE 图 2ACBD 面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .答案：36考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。

分析：连接AC ，在ABC Rt ∆中，AB 、BC 根据勾股定理可以求得5=AC ，在ACD ∆中，222AD CD AC =+，根据勾股定理的逆定理确定ACD ∆为直角三角形，四边形ABCD 的面积为ACD ∆和ABC Rt ∆面积之和。

解答：连接AC ，在ABC Rt ∆中，3=AB ，4=BC ，那么 522=+=BC AB AC又∵222AD CD AC =+ ∴ACD ∆为直角三角形∴ABC Rt ∆的面积为64321=⨯⨯，ACD Rt ∆的面积为3012521=⨯⨯∴四边形ABCD 的面积为ACD ∆和ABC Rt ∆面积之和，36630=+=S 故答案为 36．点评：此题考察了勾股定理在直角三角形中的运用，考察了直角三角形面积的计算，此题中判定ACD ∆为直角三角形是解题的关键。

2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .答案：7考点：三角形面积及底的正比关系。

分析：如下图的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题。

解答：因为所有线段长之和是BC 的n 倍 ∴图中所有三角形面积之和就是ABC S ∆的n 倍设1==GF DE ，那么2==CG BD ，3=EF ，9=BC ∴图中共有1554321=++++个三角形 那么它们在线段BC 上的底边之和为：图 1ACB D()()()()[]()()[]EF FG DF EG DE DG GC BG FC BF EC BE DC BD BC ++++++++++++++6333559=+⨯+⨯=由此可知BC 上所有线段之和63是BC =9的7倍 ∴图中所有三角形面积之和等于ABC S ∆的7倍． 1=∆ABC S ，故图中所有三角形的面积之和为7．故答案为：7点评：此题主要考察学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。

3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .答案：m 83解答：不妨设□ABCD 为长方形，如图，那么有m BC AD ==，1==CD AB∴m m m m m S S S S S DCF BEF ADE ABCD DEF 83484=---=---=∆∆∆∆四边形 4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .答案：281a考点：正方形的性质；三角形的面积；勾股定理。

分析：观察图形可以发现BCP CDP BCD BPD S S S S ∆∆∆∆--=，所以要求BPD ∆的面积分别计算BPD S ∆、BCD S ∆、CDP S ∆、BCP S ∆即可。

解答：过P 作CD PF ⊥，BC PG ⊥，那么AD PF //，CG PF =，CF PG = 观察图形可以发现BCP CDP BCD BPD S S S S ∆∆∆∆--= ∴22121a CD BC S BCD =⋅=∆ 28121a PF CD S CDP =⋅=∆ 24121a PG BC S BCP =⋅=∆ ∴2281418121a a S BPD =⎪⎭⎫⎝⎛--=∆点评：此题考察了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考察了三角形面积的计算，此题中正确计算BPD S ∆、BCD S ∆、CDP S ∆、BCP S ∆是解题的关键。

F E图 3ACBDECFA BDG FPE图 4AC BDO图 5ACBD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .答案：4考点：三角形的面积。

分析：先设出一个三角形的面积：AOB ∆的面积是x s =1，再用代数式表示出图中其它三角形的面积，利用中间桥OCOA得出方程，进一步求出结果。

解答：设AOB ∆的面积是x s =1，那么ADO ∆的面积是x s -=52，BOC ∆的面积是x s -=63，DOC ∆的面积是()x x s +=--=46104∵ABO ∆的边OA 上和BOC ∆的边上的高相等 ∴，同理 ∴ 即xxx x +-=-456，解得：2=x ∴426=-=∆OBC S点评：解此题的关键是灵活运用三角形的面积公式，等高时面积比等于边之比，从而转化成解方程，求出未知数的值。

6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔 〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167 答案：A考点：三角形的面积。

分析：连接AE ．根据三角形的面积公式求得BDE ∆和ABE ∆的面积比，ABE ∆和ABC ∆的面积比，进而求得BDE ∆和ABC ∆的面积比，同理求得ECF ∆、ADF ∆和ABC ∆的面积比，最后求解。

解答：如图，连接AE ∵AB AD 41=，BC BE 41= ∴ABE BDE S S ∆∆=43，ABC ABE S S ∆∆=41∴ABC BDE S S ∆∆=163同理可得：ABC CEF S S ∆∆=163，ABC ADF S S ∆∆=163所以ABC DEF S S ∆∆=167点评：此题考察了根据三角形的面积公式求三角形的面积比的方法。

F E CABDS 2 图 6ACBS 1 S 4S 3 7、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔 〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定 答案：B考点：扇形面积的计算。