勾股定理竞赛试卷(含解答)

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勾股定理(六套试卷)

勾股定理（一）一、填空题1.._____,13,5)2(._____,3,2190======︒=∠∆b c a c b a C ABC 则若则）若（，中，在,60)5(._____,20,5:3:)4(.______,11,61)3(︒=∠======A b c c a a b c 若则且若则若且AC =7, 则___________,==BC AB .2.如图，2,45,,,//=︒=∠⊥⊥AD BAD AC BA DB AD BC AD , 则AB = , ABC ∆的周长为 .3.如果等边三角形的周长为12.________,2cm cm 则它的面积为4.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ,已知正方形的边长为22cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2.5.已知直角三角形的三边长分别为2、4、x ，则x 的值为 .6.直角三角形一条直角边与斜边分别长为8厘米和10厘米，则斜边上的高等于厘米.7.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是12 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________.二、单选题1.分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直角三形的有：（）Ａ.４组Ｂ.３组Ｃ.２组Ｄ.１组 2.如图，在直角三角形中，∠C ＝︒90，AC =3，将其绕B 点顺时针旋转一周, 则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（）Ａ.3π Ｂ.３π Ｃ.９π Ｄ.６π3.在△ABC 中，AB =12cm ， BC =16cm ， AC =20cm ，则△ABC 的面积是( ) A.96cm 2 B.120cm 2 C.160cm 2 D. 200cm 24.如图，以直角三角形的三边为直径作半圆，画出两个月牙形（阴影部分）.则有（）A. ABC S S ∆>阴影B. ABC S S ∆<阴影C.ABC S S ∆=阴影D.不能确定三、解答题1.“中华人民共和国道路交通管理条理”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪”正前方30米处，过了2秒后，测得 “小汽车”与“车速检测仪”间的距离变为 50 米，这辆“小汽车”超速了吗？CABDB2.请用下列图形证明勾股定理.3.某校一块三角形的废地开辟为动物园，如图所示，测得AC =80米，BC=60米，AB =100米. （1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长；（2）若线段CD 是一条小渠，且点D 在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点距A 点多远，水渠的造价最低？最低造价是多少？4.设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……如图所示．（1）设正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，请求出2a ，3a ，4a 的值；（2）根据以上规律写出n a 的表达式．5.若△ABC 的三边长a , b , c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试判断△ABC 的形状.6.如图所示,在△ABC 中，AB =17，BC =30，BC 边上的中线AD =8，说明△ABC 是等腰三角形.7.如图是由5个同样大小的正方形组成的图形，将它分成3块，然后拼成一个大正方形.b bc c c c b b b b a aaaaaabc cbaBCA勾股定理（一）答案一、1.3714,16,60,12,13、； 2.42,422+； 3.34； 4.）（2-π； 5.52/32； 6.8.4 7.cm 193 二、BCAC三、1.解：m 40,m 30,m 50===BC AC AB )s /m (20240=÷20367003600100070<=÷⨯，故超速了. 2.解：由左图有：ab b a b a 2)(222++=+; 由右图有：421)(22⨯+=+ab c b a 比较两式有：222c b a =+3.解：（1）由︒=∠⇒=+90222C AB BC AC5021==AB EC 米（2）当AB CD ⊥时，CD 最小，此时CD =48米，AD =64米,最低造价为480元. 4.解：（1）22,2,2432===a a a （2）1)2(-=n n a5.解：0)10()8()6(222=-+-+-c b a︒=∠⇒=+⇒===⇒9010,8,6222C c b a c b aABC ∆为直角三角形6.解：1521,8,17====BC BC AD AB ︒=∠⇒︒=∠⇒+=⇒9090222ADC ADB BD AD ABAC AB CD AD AC =⇒=+=⇒17227.如图，已知Rt △ABC ，以斜边AB 为斜边作等腰直角△ABD ，连接CD . （1）求ACD ∠的度数；（2）若AC =3，BC =5，求△ADB 的面积.解：（1）135°；（2）8.5角平分线定理的逆定理；面积如图，AC =BC ，︒=∠90ACB ，D 在AB 上，CD =CE ，︒=∠90DCE ，F 为AD 的中点，求AEB ∠与AFC ∠的关系. 解：︒=∠+∠180AFC AEB.在△BCD 中，DC =DB ，AD =AB ，连接AC ，∠ACD =30°. 求证：∠BAD =2∠DAC ；已知：OP 为∠MON 的平分线，点A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，BC 平分∠ABN ，交射线OP 于点C ，连接AC .求证：︒=∠+∠90OCB M AC ；证明：OCB OAB ∠=∠2故只要证AC 平分∠MABB图1CC图1BCEBBE CC EBC图1NB勾股定理（二）一、填空题1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、 2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是________dm.2.如图，四边形ABCD ，BD AC ⊥于O , AB =5, AD =7,CD =8, 则BC = .3.如图，学校校园内有一块三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境. 预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资元（精确到1元,732.13≈）.4.如图，小亮用一个锐角为30°的直角三角尺测量树高. 当他离树10米时，他的视线刚好沿眼前的三角尺的斜边穿过树顶C 点，若三角尺的一边和地面平行且相距 1.5米，这棵树高大约是米(73.13,41.12≈≈).5.设一个直角三角形的两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ，那么以c ＋h 、a ＋b 、h 为边构成的三角形形状是 .二、单选题1. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A.13 B.8 C.25 D.642. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）3.在ΔABC 中∠C =90°，两直角边AC =7，BC =24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（）A.1B.3C.6D.非以上答案4.三角形的三条边分别为22b a +、22b a -、2ab ，则这个三角形是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定5.已知，如图长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（） A.3cm 2B.4cm 2C.6cm 2D.12cm 2BFEDCBADBAO120︒30m20m72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)三、解答题1.一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为7米. (1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？2.如图，A 、B 两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为AC =10千米，BD =30千米，且CD =30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、 B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万. 请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？3.已知:在Rt △ABC 中，、A C ∠︒=∠,90CB ∠∠、的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S , 周长为l .（1）填表：（2）如果m c b a =-+，观察上表猜想=lS（用含m 的代数式表示）. (3)证明（2）中的结论.4.如图，公路MN 上有一拖拉机由P 点向N 点行驶，在公路一侧A 点有一所中学，已知 PA =160m ，且︒=∠30NPA ．假设拖拉机在行驶时，100m 范围以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受影响，己知拖拉机的速度为18km ／h ，那么学校受影响的时间是多少秒？5.如图，CD 是△ABC 的边AB 上的高，且DB AD CD ⋅=2，求证：︒=∠90ACB .D CDBCAS/l 6428、15、175、12、133、4、5a+b-c三边a 、b 、c勾股定理（二）答案一、1.25； 2.102； 3.7794（45003）； 4. 7.27（5.13310+）； 5.直角三角形提示：2.2222AD BC CD AB +=+ 5.222222)()(2121,h b a h c ch ab c b a ++=+⇒==+ 二、BCBCC提示：3.设这个距离为x ，连PA 、PB 、PC ，有BC AC x CA x BC x AB S S S S ABC PCA PBC PAB ⋅=⋅+⋅+⋅⇒=++∆∆∆∆21212121 3)(=⇒⋅=++⇒x BC AC x CA BC AB 5.设4)9(3,222=⇒-=+=x x x x AE 则三、1.解：（1）22725-=24(米) （2）87)424(2522=---(米)2.解：如图，作A 关于CD 的对称点A ',连结B A '交CD 于M 即为所求50)1030(3022=++='=+B A BM AM (千米)150503=⨯(万)3.（1）如右表；（2）m 41；（3）证明：S ab c b a c b a c b a lm 42)())((22=--+=-+++=4m l S =⇒4.解：8021==PA AB m<100m ，受影响；如图，AE =AF =100m,则BE =BF =60m,EF =120m,当拖拉机在线段EF 上行驶时学校受噪音影响，时间为 243600181000120=⨯÷÷(秒)5.证明：222CD AD AC +=222CD BD BC +=222222CD BD AD BC AC ++=+⇒2222)(2AB BD AD BD AD BD AD =+=⋅++=︒=∠⇒90ACB30︒F EP NMB A勾股定理（三）一、填空题1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2， 3，正放置的四个正方形的面积依次为._______,,,,43214321=+++S S S S S S S S 则2. 如图，AM 是△ABC 的中线，︒=∠45AMC . 把△ACM 沿AM 对折，点C 落在点之间的和的位置，则C B BC C ''数量关系是 .3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm, 则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ___________cm 2.4. 在一棵树的10米高B 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树20米）的池塘边. 另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____米.5. 如图，将矩形ABCD 沿BD 折叠，使C 落在C '处，C B '交AB 于E , AB =4, AD =8,则=∆BED S .6. 如图，︒=∠=︒=∠15,12,90B AB C ,那么=∆ABC S .二、单选题1. 在ABC ∆中，AB =15, AC =13,高AD =12,则ABC ∆的周长是（） A.42 B.32 C.42或32 D.37或332. 已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）C BAEC 'DCBA3. 直角三角形有一条直角边长是11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（） A.132 B.121 C.120 D.以上都不对4. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为︒75，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为︒45. 这间房子的宽AB 是（）A.米2b a +B.米2b a - C.b 米 D.a 米三、解答题1. 如图，请在坐标轴上标出（1）表示20的点；（2）表示7的点.2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，M 为AD 的中点，BE ⊥CM 于E, 求BE 的长.3. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力. 如图所示，据气象部门观测，在沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心20km,风力就会减弱1级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响. （1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？4. 如图，在ABC ∆中，E CB CA ACB ,,90=︒=∠、F 是AB 上两点且,45︒=∠ECF 求证：222BF AE EF +=.MEDCBANMCBA75︒45︒FECBA勾股定理（三）答案一、1.4； 2.C B BC '=2; 3.49; 4.15; 5.10; 6.18 提示：1.根据勾股定理，3,124232221=+=+S S S S 6. 如图给出两种做法：二、CDAD提示：3.设另两边为b 、c ，则⎩⎨⎧=+=-⇒=+-⇒=+121111))((112222b c b c b c b c c b 4.如图，MCN ∆为正三角形MDN MAC ∆≅∆⇒三、1.略2.解：558 3.解：（1）220÷2=110 110÷20=5.5 12-5.5=6.5>4 受影响；（2）154小时（3）6.5级4. 如图给出两种做法：12DCBA x 3x2x2x126A'D12C BA勾股定理（四）1．（西宁）如图，某建筑物直立于水平地面，9BC =米，30B ∠=°，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20阶（最后一阶不足20 1.732）．2. (北京)如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ', 折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则N A '= ; 若 M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数），则N A '= （用含有n 的式子表示）. 3．（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为．4．(哈尔滨)如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）.5．（哈尔滨）图（a ）、图（b ）、图（c ）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）、图（c ）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．6．（哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（）． A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7．（哈尔滨）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处．求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离（结果保留根号）．AC8. 如图，在△ABC 中，AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6，则BC 的长为 .9. 如图，在等腰Rt ,7,90=∆︒=∠∆PA ABC P C ABC 内一点，是中， PB =3, PC =1, 则APC ∠的度数为 .10. 设正△ABC 的边长为2，M 为AB 边的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记为s 和t , 则22t s -等于（）A.32B.33C.34D.以上都不对11. 如图，已知ΔABC 是等边三角形，边长为6，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥A C 于F ，FD ⊥AB 于D ，求AD 的长.12. (1)如图（1），在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ,∠ACD =∠ADC ,求证：AB +AC >22CD BC +(2)如图（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ,试判断2224)(CD AB BC AC ++与的大小.13. 如图，,90︒=∠=∠CAD C BD 交AC 于E , DE =2AB . 求证:ABC DBC ∠=∠3114.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证：222BC BA BD +=.PCBA(1)DCBA(2)DCBAE DCBADCBADBCA FEDCBA勾股定理（四）答案1.26；2.n n 12,23-；3.512/25； 4.34+； 5.6.A ；7.640；8.612提示：中线加倍；9.︒135提示：将△ACP 绕C 顺时针旋转90° 至△BCQ ，连PQ ，则由勾股定理的逆定理知，∠PQB =90°；10.C 提示：如图，7)23()25(,3222=+=+=t s ；11.2；12.（1）略；（2）2224)(CD AB BC AC +≥+；证明如下：如图，AE CE AC ≥+,即224CD AB BC AC +≥+两边平方即得.13.提示：取CD 的中点M ，连AM . 14.证明：向外作正△ABE ，连AC 、CE , 则有正△ACD , ∠EBC =90°，且有 △ABD ≌△AEC ,于是对Rt △EBC 应用勾股定理即得.补充题如图，在正方形ABCD 中，边长为a 4，F 为DC 的中点，E 为BC上一点，且BC CE 41=.问：AF 与EF 垂直吗？请说明理由.如图，有一张L 型纸片，由5个边长为1的小正方形组成. 通过它的内侧拐角点A 切一刀，将纸片恰好分成面积相等的两部分，那么刀痕MN 的长度是多少？答案：15如图，A B C ∆是等腰直角三角形，AB=AC , D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF , 若BE =12,CF =5,求△DEF 的面积.如图，在ABC ∆中，AB CD B A ⊥∠=∠,2于D ，M 为AB 的中点. 求证：DM =AC 21. FED CBAFEDCBAA勾股定理（例题）例1．（1）直角三角形两条直角边的长为5、12，则斜边上的高是 . （2）等边三角形的面积是23cm ，则它的周长是 . （3）等腰三角形的两条边是，则它的面积是和cm cm 24 . （4）直角三角形的两条边为，则第三条边为和86 .例2.（1）等腰三角形底边上的高为，则三角形的面积为，周长为cm cm 164 . （2）若一个直角三角形三边的长是三个连续的整数，则它的面积为 .例3.（1）已知三角形三边长分别为，、、cm cm cm 321则此三角形最短边上的高为（） A.cm 1 B.cm 2 C.cm 3 D.cm 2 （2）是，那么满足，，的三边若ABC c b a c b a c b a ABC ∆++=+++∆108650222（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定例4.（1）如图,四边形4390==︒=∠AB AD BAD ABCD ，，中，，，，1312==CD BC 求ABCD 四边形的面积.（2）在的面积，求，，中，ABC AB B BAC ABC ∆=︒=∠︒=∠∆64575. （3）如图,四边形，，，，中，126090==︒=∠︒=∠=∠CD AB A D B ABCD 求ABCD 四边形的面积.例5.（1）如图，，是角平分线，，中，5.190=︒=∠∆CD AD C ABC的长，求AC BD 5.2=.（2）矩形纸片ABCD 中，AD =4,AB =10,按如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ,则DE = ,EF = .(3) 如图，，于，，，中，D BC AD BC AC AB ABC ⊥===∆675=AD 则 . 三边5、6、7，求面积（(4)如图，的斜边，中线是ABC AB ∆Rt AD 的长为7，中线BE 的长为4，则AB 的长为多少？（5）如图，正方形ABCD 外有一点P ，5,2,17===PC PB PA 若,则PD 的长为（）A.52B.19C.23D.1711111111111111例6. （1）如图，正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为8，一只蚂蚁欲从点A 沿棱柱的表面到顶点C '处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？（2）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ABCDC /EFDCBAABCDA BCDA B CDABCED/PD CBA例7.（1）如图，在，于的中点为，中E AB DE AC D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 求证：222BC AE BE +=.（2）如图，上任意一点，求证：为底边中，等腰BC P ABC ∆ CP BP AP AB ⋅+=22.例8. 若一个三角形的三边长分别为3、10、13，请在给出的5×5的方格内画出这个三角形，并求出它的面积.例9. 如图，在，求证：的中点为，中DF DE AB D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 222BF AE EF +=.例10. （1）已知直角三角形两直角边长分别为l 、m ,斜边长为n ,且l 、m 、n 均为正整数，l 为质数. 证明：2（l +m +1）是完全平方数.（2）若直角三角形的三边长都为整数，且面积的数值等于周长的数值，那么这样的三角形有几个，分别求出它们的三边长.例11. 如图，已知,17,,111111=∠=∠AA B A BB PP AA B A 均垂直于、、 PB AP B A BB PP +===则,12,20,161111的值是（） A.12 B.13 C.14 D.15例12. 如图，CD 是Rt CAB ABC ∠∆斜边上的高，的平分线分别交CD 、BC 于E 、F , EG //AB 交BC 于G , 求证：CF =BG .例13. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，5=PC ，3=PA ，4=PB ，求A P B∠的度数．例14.,60,45,2,,︒=∠︒=∠=∆APC ABC PB PC BC ABC P 若且上一点边为如图的度数求ACB ∠.新如图，在△ABC 中，︒=∠=90,BCA BC AC ，P 为△ABC 内部一点，且2,135=︒=∠PB BPC ,求△PAB 的面积. 解：2.CADEABCPP 1B 1A 1PBAGFE DCBACABDEFPCBABBQ勾股定理（五）一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后，能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA勾股定理（五）答案一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺. 2.解：设点P 到直线AC 的距离为xkm ，则18636,312<+==+x x x ，故有触礁的危险.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF 设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SAEB勾股定理测试一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后，能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA答案：一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺.2.解：作,,PA P l B A A l A ，连于交连的对称点关于河这岸''则 B A PB AP '=+根据两点间线段最短知B A '即为最短路线，由题意，18,15=='BC C A)(178152222km BC C A B A =+=+'='答：最短距离为17千米.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC 64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SA EB。

初二数学勾股定理试卷

初二数学勾股定理试卷一．选择题（共2小题）1．下列说法正确的是（）A．a0=1B．夹在两条平行线间的线段相等C．勾股定理是a2+b2=c2D．若有意义，则x≥1且x≠22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25二．填空题（共1小题）3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米．三．解答题（共5小题）4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE．6．阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长．7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）初二数学勾股定理试卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•佛山）下列说法正确的是（）A．a0=1B．夹在两条平行线间的线段相等C．勾股定理是a2+b2=c2D．若有意义，则x≥1且x≠2【分析】分别利用零指数幂的性质以及二次根式有意义的条件和勾股定理以及平行线的距离等知识，分别判断得出即可．【解答】解：A、a0=1（a≠0），故A选项错误；B、夹在两条平行线间的线段不一定相等，故B选项错误；C、当∠C=90°，则由勾股定理得a2+b2=c2，故C选项错误；D、若有意义，则x≥1且x≠2，此D选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式有意义的条件和勾股定理等知识，正确把握相关定义是解题关键．2．（2014春•祁阳县校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【解答】解：∵△ACD为直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD==2，∵△ABD为直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB==3，故选C．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．二．填空题（共1小题）3．（2013秋•华龙区校级期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是12米．【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，由勾股定理得，（x+1）2=x2+52，解得，x=12米．答：旗杆的高度是12米．故答案为12．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键三．解答题（共5小题）4．（2006•临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．【分析】当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD 不变由勾股定理得出等式b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，化简得出a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．化简得出a2+b2＜c2．【解答】解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x（3分）根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax（5分）∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．（6分）当△ABC是钝角三角形时，证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，则有BD2=a2﹣y2（7分）根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2=c2．即a2+b2+2by=c2．（9分）∵b＞0，y＞0，∴2by＞0，∴a2+b2＜c2．（10分）【点评】本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．（2014秋•福安市期末）身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【解答】解：在Rt△CBD中，∵BD2+CD2=BC2，∴252+CD2=652，∴CD=60（米），∵CE=CD+DE，∴CE=60+1.6=61.6（米）．∴风筝的高为61.6米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．6．（2013秋•巴州区校级期中）阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长．【分析】根据勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，再求出各边的长即可．【解答】解：∵在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，∴x2+（x﹣1）2=（x+1）2解得：x1=0（舍去），x2=4，x﹣1=3，x+1=5，∴三边长分别是3、4、5．【点评】本题考查了勾股定理与一元二次方程，正确列出方程是解决本题的关键，注意把不合题意的解舍去．7．（2013秋•丹江口市校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）【分析】（1）过点E作EF⊥CD，垂足为F，利用角平分线的性质以及其判定得出即可；（2）首先得出S△DEC的面积，进而得出Rt△ADE≌Rt△FDE，Rt△BCE≌Rt△FCE，S四边=2S△DEC，进而求出即可；形ABCD（3）由（2）得：AD=DF，FC=BC，则AD+BC=CD，利用S梯形ABCD=（AD+BC）×AB=300，进而得出CD的长．【解答】（1）证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F，∵DE平分∠ADC，∠A=90°，∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴EF=BE，∵∠B=90°，∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°∴∠ADC+∠BCD=180°∵∠EDC=∠ADC，∠ECD=∠BCD∴∠EDC+∠ECD=90°∴∠DEC=90°∴S△DEC=DE×CE=×15×20=150，∵在Rt△ADE和Rt△FDE中，∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），在Rt△BCE和Rt△FCE中，∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），∴S四边形ABCD=2S△DEC=300；（3）解：由（2）得：AD=DF，FC=BC，∴AD+BC=CD，∵S梯形ABCD=（AD+BC）×AB，由（2）知S梯形ABCD=300，∴（AD+BC）×AB=300，∴CD=25．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质与定理和梯形的面积求法，熟练利用角平分线的性质与判定是解题关键．8．（2013秋•镇赉县校级月考）如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）【分析】本题可设时间为x分钟，依题意得CF=x，则BE=2x，周长为40km，边长为10km，CE=10﹣2x，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x分钟后两车相距2km，此时甲运动到F点，乙运动到E点，可知：FC=x，EC=10﹣2x，在Rt△ECF中，x2+（10﹣2x）2=（2）2，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意，当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去，答：2分钟后，两车相距2千米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，根据路程=速度×时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．。

勾股定理习题(附答案)

C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）直角三角形（D ）等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（）. （A ）50a 元（B ）600a 元（C ）1200a 元（D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题）（第11题）（第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题）（第16题）（第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.C三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

2022年必考点解析沪科版八年级数学下册第18章勾股定理综合测评试卷(含答案详解)

八年级数学下册第18章勾股定理综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（）A．B C．D．102、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（）A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm3、以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．8，15，17 C．2，3，4 D．1，34、如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B．那么它爬行的最短路程为（）A．10米B．12米C．15米D．20米5、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．4，5，6 C．4，6，8 D．5，12，136、如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50 B．C．100 D．7、下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝3：4：4 B．a＝1，b，cC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2：b2：c2＝3：4：58、以下列各组线段为边作三角形，不能．．作出直角三角形的是（）A ．1，2B ．6，8，10C ．3，7，8D ．0.3，0.4，0.59、如图，在等腰1Rt OAA 中，190OAA ∠=︒，1OA =，以OA 1为直角边作等腰12Rt OA A ，以OA 2为直角边作等腰23Rt OA A ，则2n OA 的长度为（）A ．2nB ．C ．2nD ．210、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的点B '处，点A 的对应点为点A '，3B C '=，则AM 的长为（）A ．1.8B ．2C ．2.3D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．2、如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ，过点P 作PD ⊥OA 于点D ，若∠AOB ＝60°，OC ＝2，则PD ＝_____________．3、如图，在平面直角坐标系中，5AB AC ==，点B ，C 的坐标分别是()5,2，()5,8，则点A 的坐标是______．4、直角三角形中，根据勾股定理，已知两边可求第三边： Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，（1）若已知边a ，b ，则c ＝_____（2）若已知边a ，c ，则b ＝ _____（3）若已知边b ，c ，则a ＝_____．5、如图，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，动点M 满足1AM =，将线段CM 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CN ，连接AN ，则AN 的最小值为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC ，撑杆AB 、BC 组成，滑道OC 固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点A 与点O 重合，撑杆AB 、BC 恰与滑道OC 完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB 与撑杆BC 恰成直角，即90B ∠=︒，测量得12cm OA =，撑杆15cm AB =，求滑道OC 的长度．2、如图，在△ABC 和△DEB 中，AC ∥BE ，∠C ＝90°，AB ＝DE ，点D 为BC 的中点，12AC BC =．（1）求证：△ABC ≌△DEB ．（2）连结AE ，若BC ＝4，直接写出AE 的长．3、如图在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，点B 都在格点上，按下列要求画图．（1）在图①中，AB 为一边画ABC ，使点C 在格点上，且ABC 是轴对称图形；（2）在图②中，AB 为一腰画等腰三角形，使点C 在格点上；（3）在图③中，AB 为底边画等腰三角形，使点C 在格点上．4、一个三角形三边长分别为a ，b ，c ．（1）当a ＝3，b ＝4时，① c 的取值范围是________；② 若这个三角形是直角三角形，则c 的值是________；（2）当三边长满足3a b c b ++=时， ① 若两边长为3和4，则第三边的值是________；② 在作图区内，尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：已知两边长为a ，c （a ＜c ），求作长度为b 的线段（标注出相关线段的长度）．5、在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 给出如下定义：点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”．已知点()6,0A ，()0,6B ．（1）在点()6,0D -，()3,0E ，()0,3F 中，______是点A 和点O 的“等距点”；（2）在点()2,1G --，()2,2H ，()3,6I 中，______是线段OA 和OB 的“等距点”；（3）点(),0C m 为x 轴上一点，点P 既是点A 和点C 的“等距点”，又是线段OA 和OB 的“等距点”．①当8m =时，是否存在满足条件的点P ，如果存在请求出满足条件的点P 的坐标，如果不存在请说明理由；②若点P 在OAB 内，请直接写出满足条件的m 的取值范围．-参考答案-一、单选题1、C【分析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，①当三边是6、6、8时，底边上的高AD②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．2、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AABAB cm===，故所用细线最短需要10cm．故选：B ．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．3、B【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边分别为a ，b ，c ，满足222+=a b c ，则该三角形是以c 为斜边的直角三角形，由此依次计算验证即可．【详解】解：A 、22245416+=≠，则长为4，5，6的线段不能组成直角三角形，不合题意；B 、22281528917+==，则长为8，15，17的线段能组成直角三角形，符合题意；C 、22223134+=≠，则长为2，3，4的线段不能组成直角三角形，不合题意；D 、222133+=≠，则长为13的线段不能组成直角三角形，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键．4、C【分析】将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB ，利用勾股定理求出AB 的长，找出最短的即可．【详解】解：如图，（1）AB（2）AB15，由于15则蚂蚁爬行的最短路程为15米．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开--最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形式展开，再计算．5、D【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．6、B【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，∴BC＝12AB＝5，AC过D作DN⊥BF于N，连接DI，在△ACB和△BND中，90 ACB BNDCAB NBD AD BD ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△MND≌Rt△OCB，∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，∴EM＝DO，∴DN＝BC＝CI，∵DN ∥CI ，∴四边形DNCI 是平行四边形，∵∠NCI ＝90°，∴四边形DNCI 是矩形，∴∠DIC ＝90°，∴D 、I 、H 三点共线，∵∠F ＝∠DIO ＝90°，∠EMF ＝∠DMN ＝∠BOC ＝∠DOI ，∴△FME ≌△DOI （AAS ），∵图中S 2＝S Rt△DOI ，S △BOC ＝S △MND ，∴S 2+S 4＝S Rt△ABC ．S 3＝S △ABC ，在Rt△AGE 和Rt△ABC 中，AE AB AG AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt△AGE ≌Rt△ACB （HL ），同理，Rt△DNB ≌Rt△BHD ，∴S 1+S 2+S 3+S 4+S 5＝S 1+S 3+（S 2+S 4）+S 5＝Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积+Rt△ABC 的面积＝Rt△ABC 的面积×4＝故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．7、B【分析】根据勾股定理的逆定理，以及三角形的内角等于180︒逐项判断即可．【详解】A ，设3a x =，4b x ，4=c x ，此时()()()222344x x x +≠，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；B ，2221+=，故ABC 能构成直角三角形，故符合题意C ，::3:4:5A B C ∠∠∠=且180A B C ∠+∠+∠=︒，设3A x ∠=，4B x ∠=，5C x ∠=，则有12180x =︒，所以15x =︒，则75C ∠=︒，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；D ，设23a x =，24b x =，25c x =，则345x x x +≠，即222a b c +≠，故ABC 不能构成直角三角形，故不符合题意；故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，和三角形的内角和等知识，能熟记勾股定理的逆定理内容和三角形内角和等于180︒是解题关键．8、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A 、∵2221+2=5=，∴以1，2B 、∵62+82=36+64=100=102，∴以6，8，10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵32+72=9+49=58≠82，∴以3，7，8为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、∵0.32+0.42=0.09+0,16=0.25=0.52，∴以0.3，0.4，0.5为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的两边a 、b 的平方和等于第三边c 的平方，那么这个三角形是直角三角形．9、C【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．【详解】解：∵△OAA 1为等腰直角三角形，OA =1，∴AA 1=OA=1，OA 11；∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，∴A1A2=OA1OA2OA1=2=2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴A2A3=OA2=2，OA323；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴A3A4=OA3，OA4OA3=4=4，∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴A4A5=OA4=4，OA545．OA的长度为2n=2n，∴2n故选C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．10、B【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】解：连接BM，MB′，设AM=x，在Rt △ABM 中，AB 2+AM 2=BM 2，在Rt △MDB ′中，B ′M 2=MD 2+DB ′2，∵折叠，∴MB =MB ′，∴AB 2+AM 2= MD 2+DB ′2，即92+x 2=(9-x )2+(9-3)2，解得x =2，即AM =2，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．二、填空题1、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB =点间距离公式是解题的关键．2【分析】作PE OB ⊥，则PD PE =，由等腰三角形的性质可得，2OC PC ==，在Rt PCE △中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：作PE OB ⊥，如下图：∵OP 平分AOB ∠，PE OB ⊥，PD OA ⊥，∴PD PE =，1302AOP BOP AOB ∠=∠=∠=︒，∵PC OA ∥，∴30DOP OPC POC ∠=∠=︒=∠，∴2OC PC ==，60PCE POC OPC ∠=∠+∠=︒，在Rt PCE △中，2PC =，60PCE ∠=︒，∴30CPE ∠=︒ ∴112CE CP ==，由勾股定理得，PE【点睛】此题考查了角平分线的性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质以及含30直角三角形的性质等，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．3、()1,5A【分析】如图，过A 作AD BC ⊥于,D 证明BC x ⊥轴，则AD x ∥轴，826,BC 再利用等腰三角形的性质求解3,BD = 利用勾股定理求解4,AD = 从而可得答案.【详解】解：如图，过A 作AD BC ⊥于,D5,2,5,8,B CBC x ∴⊥轴，则AD x ∥轴，826,BC5,AB AC3,BD CD 224,ADAB BD541,325,A A D x y y1,5.A故答案为：()1,5A【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，掌握“坐标与线段长度的关系”是解本题的关键.4【分析】（1）（2）（3）根据勾股定理及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）若已知边a ，b ，则根据勾股定理得c（2）若已知边a ，c ，则根据勾股定理得b =（3）若已知边b ，c ，则根据勾股定理得a【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5、1##【分析】证明△AMC ≌△BNC ，可得1BN AM ==，再根据三角形三边关系得出当点N 落在线段AB 上时，AN 最小，求出最小值即可．【详解】解：∵线段CM 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CN ，∴MC NC =，90MCN ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴ACM BCN ∠=∠，AB =∴△AMC ≌△BNC ，∴1BN AM ==，∵1AN AB BN ≥-=∴AN 的最小值为1；故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出1BN AM ==，根据三角形三边关系取得最小值．三、解答题1、滑道OC 的长度为51cm ．【分析】设OC m =cm ，可得出(15)BC m =-cm ，(12)AC m =-cm ，在在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得m 的值，由此可得结论．【详解】解：设OC m =cm ，则由图①可知(15)BC OC AB m =-=- cm ，由图②可知(12)AC OC OA m =-=-cm ，∵90B ∠=︒，∴在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，222AB BC AC +=，∴22215(15)(12)m m +-=-，解得51m =，∴滑道OC 的长度为51cm ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆AB 、BC 的长度始终保持不变正确表示出BC 和AC 是解题关键．2、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行可得∠DBE ＝90°，再由HL 定理证明直角三角形全等即可；（2）构造Rt AHE ，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE 长．【详解】（1）∵AC ∥BE ，∴∠C ＋∠DBE ＝180°．∴∠DBE ＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．∴△ABC 和△DEB 都是直角三角形．∵点D 为BC 的中点，12AC BC =，∴AC ＝DB ． ∵AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEB （HL ）．（2）AE =过程如下：连接AE 、过A 点作AH ⊥BE ，∵∠C ＝90°，∠DBE ＝90°．∴AC BH ∥，AH BC ∥，∴AH =BC =4， 122BH AC BC ===，∴2EH EB EH =-=，在Rt AHE 中，AE =【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH =BC ，从而利用勾股定理求AE ．3、（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解．【分析】（1）先根据以AB 为边△ABC 是轴对称图形，得出△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，画以AB 为腰的等腰直角三角形即可；（2）先根据勾股定理求出AB 的长，利用平移画出点C 即可；（3）先求出以AB 为底等腰直角三角形腰长AC C 即可．【详解】解：（1）∵以AB 为边△ABC 是轴对称图形，∴△ABC 为等腰三角形，AB 长为3，画以AB为直角边，点B为直角顶点△ABC如图也可画以AB为直角边，点A为直角顶点△ABC如图；（2）根据勾股定理ABAB，以点A为顶角顶点根据勾股定理构建横1竖3，或横3竖1；点A向左1格再向下平移3格得C1，连结AC1，C1B，得等腰△ABC1，点A向右3格再向上平移1格得C2，连结AC2，BC2，得等腰△ABC2，点A向右3格再向下平移1格得C3，连结AC3，BC3，得等腰△ABC3，点B向右3格再向上平移1格得C4，连结AC4，BC4，得等腰△ABC4，点B向右3格再向下平移1格得C5，连结AC5，BC5，得等腰△ABC5，点B向右1格再向上平移3格得C6，连结AC6，BC6，得等腰△ABC6；（3）AB为底边画等腰三角形，等腰直角三角形腰长为m，根据勾股定理222AB AC BC=+，22+m m =，解得m =1竖2，或横2竖1得图形，点A 向右平移2格，再向下平移1格得点C 1，连结AC 1，BC 1，得等腰三角形ABC 1，点A 向左平移1格，再向下平移2格得点C 2，连结AC 2，BC 2，得等腰三角形ABC 2．【点睛】本题考查网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质，掌握网格作图，图形平移性质，勾股定理应用，等腰直角三角形性质，轴对称性质是解题关键．4、（1）①17c <<或5；（2）①2或72或5；②图见解析．【分析】（1）①根据三角形的三边关系定理即可得；②分斜边长为b 和斜边长为c 两种情况，分别利用勾股定理即可得；（2）①先根据已知等式得出2a c b +=，再分,a c 中有一个为3，4b =；,a c 中有一个为4，3b =；,a c 中有一个为3，另一个为4三种情况，分别代入2a c b +=求解即可得； ②先画出射线AM ，再在射线AM 上作线段AB a ，然后在射线BM 上作线段BC c =，最后作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点D 即可得．【详解】解：（1）①由三角形的三边关系定理得：4334c -<<+，即17c <<，故答案为：17c <<；②当斜边长为b 时，c ===当斜边长为c 时，2222345c a b ，综上，c 5，或5；（2）①由3a b c b ++=得：2a c b +=，因此，分以下三种情况：当,a c 中有一个为3，4b =时，不妨设3a =，则17c <<，将3,4a b ==代入2a c b +=得：324c +=⨯，解得5c =，符合题设，当,a c 中有一个为4，3b =时，不妨设4a =，则17c <<，将4,3a b ==代入2a c b +=得：423c +=⨯，解得2c =，符合题设，当,a c 中有一个为3，另一个为4时，不妨设3,4a c ==，则17b <<，将3,4a c ==代入2a c b +=得：342b +=，解得72b =，符合题设，综上，第三边的值是2或72或5，故答案为：2或72或5； ②由3a b c b ++=得：2a c b +=，如图，线段AD 即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系定理、作线段和线段垂直平分线（尺规作图）等知识点，较难的是题（2）①，正确分三种情况讨论是解题关键．5、（1）点E ；（2）点H ；（3）①存在，点P 的坐标为（7，7）；②60m -<<【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解；（2）根据“等距点”的定义，即可求解；（3）①根据点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，可设点P （x ，x ）且x ＞0，再由点P 是点A 和点C 的“等距点”，可得22AP CP = ，从而得到()()222286x x x x -+=-+ ，即可求解；②根据点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，点P 在∠AOB 的角平分线上，可设点P （a ，a ）且a ＞0，根据OA =OB ，可得OP 平分线段AB ，再由点P 在OAB 内，可得0<<3a ，根据点P 是点A 和点C 的“等距点”，可得22AP CP = ，从而得到()()22226a m a a a -+=-+，整理得到()()()2666m a m m -=+-，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：()6612AD =--= ，633AE =-= ，AF = ， 6OD = ，3OE = ，3OF = ， ∴AE OE = ，∴点()3,0E 是点A 和点O 的“等距点”；（2）根据题意得：线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，∴点()2,1G --到线段OA 的距离为1，到线段OB 的距离为2，点()2,2H 到线段OA 的距离为2，到线段OB 的距离为2，点()3,6I 到线段OA 的距离为6，到线段OB 的距离为3，∴点()2,2H 到线段OA 的距离和到线段OB 的距离相等，∴点()2,2H 是线段OA 和OB 的“等距点”；（3）①存在，点P 的坐标为（7，7），理由如下：∵点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，且线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，∴可设点P （x ，x ）且x ＞0，∵点P 是点A 和点C 的“等距点”，∴22AP CP = ，∵点C （8，0），()6,0A ，∴()()222286x x x x -+=-+ ，解得：7x = ，∴点P 的坐标为（7，7）；②如图，∵点P 是线段OA 和OB 的“等距点”，且线段OA 在x 轴上，线段OB 在y 轴上，∴点P 在∠AOB 的角平分线上，可设点P （a ，a ）且a ＞0，∵()6,0A ，()0,6B ．∴OA =OB =6，∴OP 平分线段AB ，∵点P 在OAB 内，∴当点P 位于AB 上时，此时点P 为AB 的中点，∴此时点P 的坐标为6060,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3,3 ， ∴0<<3a ，∵点P 是点A 和点C 的“等距点”，∴22AP CP = ，∵点(),0C m ，()6,0A ，∴()()22226a m a a a -+=-+，整理得：()()()2666m a m m -=+- ，当6m = 时，点C （6，0），此时点C 、A 重合，则a =6（不合题意，舍去），当6m ≠时，62m a += ， ∴6032m +<<，解得：60m -<< ，即若点P 在OAB 内，满足条件的m 的取值范围为60m -<<．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．。

数学数学勾股定理试题含答案

一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（）A ．47B ．62C ．79D ．984．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20145．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．36210．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题△中，∠ACB = ∠DCE=90°．21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE说明理由；△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDED三点在直线上时，请直接写出 AD的长．22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7。

(必考题)初中数学八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．如图，在22⨯的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A 为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D．则CD的长为（）A．12B．13C．23-D．32．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2 B．52C．4 D．63．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条4．在下列四组数中，属于勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．123 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为（）A ．103B ．256C ．203D ．1546．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，在BA 上截取BD ＝BC ，再在AC 上截取AE ＝AD ，则AE AC的值为（）A ．352 B ．51- C ．5﹣1 D ．51+ 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（）A ．222(6)10x x ++=B ．222(6)10x x -+=C ．222(6)10x x +-=D ．222610x +=8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺 9．一个直角三角形的两条边分别是9和40，则第三边的平方是（）A ．1681B ．1781C ．1519或1681D ．1519 10．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（）A ．52613B ．102613C ．13137D ．7131311．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 12．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ︒∠==，点M 为射线AE 上一点，连接CM ，点N 为三角形ABC 外右侧一点，连接CN ，连接NB 交射线AE 于点D ，已知,,15CN CM CN CM EAC ︒⊥=∠= ，6260,2ACM BD ︒+∠==，则线段DN 长为________．14．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．15．如图，在ABC 中，90C =∠，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若5AB =，3AC =，则ACD △的周长为__________．16．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________17．如图，两个正方形的面积分别是118S =，212S =，则第三个正方形的面积3S =_________．18．若直角三角形的两直角边长为a 、b 21025a a -+b ﹣12|＝0，则该直角三角形的斜边长为_____．19．现有两根木棒，长度分别为5dm 和12dm ，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需的第三根木棒的长度可以是________dm ．20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．三、解答题21．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的角平分线相交于点E ．（1）设∠A ＝α，用含α的代数式表示∠E 的度数；（2）若EC ∥AB ，AC ＝4，求线段CE 的长；（3）在（2）的条件下，过点C 作∠ACB 的角平分线交BE 于点F ，若CF ＝3，求边AB 的长．22．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9.求AB 的长.23．如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D 到地面的垂直距离DE=32米．求点B 到地面的垂直距离BC ．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．25．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．（1）求证：ADE BEC ≌△△．（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．26．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是AC 上一点，点E 、点F 是BC 上的点，且∠CDF =∠CEA ，CF =CA ．（1）如图1，若AE 平分∠BAC ，∠DFC =25°，求∠B 的度数；（2）如图2，若过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连结GC ，求证：AG +GF =2GC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】解：连接AD ，如图所示：∵AD =AB =2，∴DE =2221-=3，∴CD =23-，故选：C ．本题考查了勾股定理；由勾股定理求出DE是解决问题的关键．2．D解析：D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝，即可求解．【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴AB=，AC=，BC=，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴1（a+c）（c﹣a）＝9，2∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝∴AC=＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．3．B解析：B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【详解】∵=，=d=2，=5∴长度是无理数的线段有2条，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．4．B解析：B根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断．【详解】A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；D ．1、2、3，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．5．C解析：C【分析】利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．【详解】解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BD=12AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253x =∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，ED=22222520()533BE BD -=-=．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．6．B解析：B【分析】先由勾股定理求出BD=BC=1，得1，即可得出结论．【详解】解：∵∠C=90°，AC=2，BC=1，∴==∵BD=BC=1，∴1-，∴AE AC =，故选B ．【点睛】本题考查了黄金分割以及勾股定理，熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键． 7．A解析：A【分析】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答．【详解】设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据题意可列方程222(6)10x x ++=，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键． 8．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 9．C解析：C【分析】由题意可分当第三边为直角边时和当第三边为斜边时，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：当第三边是直角边时，第三边的平方是402﹣92＝1519；当第三边是斜边时，第三边的平方是402+92＝1681；故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用割补法可得△ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC=∵S△ABC＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72，∴12AC•BD＝72，∴＝7，∴BD故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．11．C解析：C【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，在Rt△ACQ中，CQ===∴1；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 的长为31+或31-．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．12．B解析：B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．二、填空题13．【分析】根据题意可求证延长CM 交AB 与点G 过G 作GK 垂直于BC 于点K 根据角相等判断边相等AG=AM 列出方程求出AG 的长从而求出AM 的长从而求出BN 的长DN=BN-BD 即可求解【详解】∵∴∵CN=CM【分析】根据题意可求证ACM BCN ≅，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，根据角相等判断边相等，AG=AM ，列出方程求出AG 的长，从而求出AM 的长，从而求出BN 的长，DN=BN-BD 即可求解．【详解】∵60ACM ︒∠=，90M B N A C C ︒=∠∠=，∴60ACM BCN ︒∠=∠=，∵AC BC =，CN=CM∴ACM BCN ≅，∴15CAM CBN ︒∠=∠=，延长CM 交AB 与点G ，过G 作GK 垂直于BC 于点K ，∵90,ACB AC BC ︒∠==，60ACM ︒∠=∴45ABC ︒∠=，45CAB ︒∠=，30GCB ∠=︒，∴60ABD ︒∠=，30BAD ︒∠=，75AGC ∠=︒，75AMG ∠=︒∴90ADB ︒∠=，AM=AG ，∵BD = ∴AB =∴12AC BC ===，设BK=a ，则GK=a ，CK =， ∴1a +=，∴a=1，∴1BK KG ==， ∴BG =∴AG =AM =∴6BN =， ∴622DN BN BD -=-=，故答案为：62-．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的性质及判定，正确做出辅助线，熟练掌握三角形全等的性质及判定是解答本题的关键．14．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24﹣12=12（cm ）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，此时，在杯子内的长度22512+=13（cm ），故h =24﹣13=11（cm ）．故h 的取值范围是11≤h ≤12cm ．故答案为：11cm ；12cm ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 15．7【分析】先根据勾股定理求出BC 的长再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD 即AD+CD=BC 再由AC=6即可求出答案【详解】解：∵△ABC 中∠C=90°AB=5AC=3∴BC==4∵DE 是线段AB 的解析：7【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=2222-=-=4，53AB AC∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线的性质求出AD+CD=BC是解题的关键．16．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17．6【分析】根据题意和图形可以得到AB2和AC2再根据△ABC是直角三角形和勾股定理可以得到BC2【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18S2=12∴AB2=18AC2=12∵△ABC是直角三角解析：6【分析】根据题意和图形，可以得到AB2和AC2，再根据△ABC是直角三角形和勾股定理，可以得到BC2．【详解】解：∵两个正方形的面积分别是S1=18，S2=12，∴AB2=18，AC2=12，∵△ABC是直角三角形，∴BC2=AB2-AC2=18-12=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．13【分析】根据非负数的性质得到ab的值然后结合勾股定理求得斜边的长度即可【详解】解：∵∴∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0∴a＝5b＝12∴该直角三角形的斜边长为：故答案是：13【点睛】本题考查了勾股解析：13【分析】根据非负数的性质得到a、b的值，然后结合勾股定理求得斜边的长度即可．【详解】解：∵|12|0b-=，∴|12|0b-=∴|a﹣5|+|b﹣12|＝0，∴a＝5，b＝12，∴13=．故答案是：13．【点睛】本题考查了勾股定理，非负数的性质﹣绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值（二次根式）都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．19．13或【分析】分情况讨论当的木棒为直角边时以及当的木棒为斜边时利用勾股定理解答即可【详解】解：当的木棒为直角边时第三根木棒的长度为；当的木棒为斜边时第三根木棒的长度为；故答案为：13或【点睛】本题考解析：13【分析】分情况讨论当12dm的木棒为直角边时以及当12dm的木棒为斜边时，利用勾股定理解答即可．【详解】解：当12dm13dm；当12dm=；故答案为：13【点睛】本题考查勾股定理的应用，分情况讨论是解题的关键．20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直解析：【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．三、解答题21．（1）12α；（2）4；（3）5625【分析】（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即可．（2）证明CA＝CB＝CE，可得结论．（3）如图，连接AF，过点C作CT⊥BE于T．解直角三角形求出EF，BE，BF，再利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则有22y x Ay x E=+∠⎧⎨=+∠⎩，可得∠E ＝12∠A ＝12α．（2）∵EC ∥AB ，∴∠ABE ＝∠E ，∵∠ABC ＝2∠ABE ，∠A ＝2∠E ，∴∠A ＝∠ABC ，∠E ＝∠CBE ，∴CA ＝CB ＝4，CE ＝CB ＝4.（3）如图，连接AF ，过点C 作CT ⊥BE 于T ，延长CF 交AB 于R ．∵CF 平分∠ACB ，CE 平分∠ACD ，∴∠FCE ＝12（∠ACB ＋∠ACD ）＝90°， ∵CF ＝3，CE ＝4，∴EF5，∵S △CEF ＝12•EC•CF ＝12•EF•CT ， ∴CT ＝125，在Rt △BCT 中，BT＝165， ∵CB ＝CE ，CT ⊥BE ，∴BT ＝TE ，∴BE ＝2BT ＝325， ∴BF ＝BE ﹣EF ＝325﹣5＝75， ∵CA ＝CB ，CF 平分∠ACB ，∴CR ⊥AB ，BR ＝AR ，设BR ＝x ，RF ＝y ，则有2222227()5(3)4x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得2825215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（不符合题意的解已经舍弃）． ∴AB ＝2BR ＝5625．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质，勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，题目有一定的难度．22．【分析】由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长，再利用勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．【详解】∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．23．33【分析】在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．【详解】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，2．∴AD2=AE2+DE2=（2）2+（2）2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=1AB=3，2∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴BC=27=33m，∴点B到地面的垂直距离BC=33m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，如何从实际问题中整理出直角三角形并正确运用勾股定理是解决此类题目的关键．24．25 4【分析】连接BE，先利用勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，然后设AE＝BE＝x，再由勾股定理可得方程（8−x）2＋62＝x2，求解后即可得出答案．【详解】解：连接BE，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴AC2＋BC2＝AB2．即82＋BC2＝102，解得：BC＝6．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE．设AE＝BE＝x，则EC＝8−x，∵Rt△BCE中，EC2＋BC2＝BE2，∴（8−x）2＋62＝x2，解得：x＝254，∴AE＝254．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质并结合勾股定理求解线段的长度是解题的关键，且要注意数形结合思想应用．25．（1）证明见详解；（2）26【分析】（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等；（2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．【详解】（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∴∠A =∠B =90°，∵∠1=∠2，∴DE =CE ．∵AD =BE ，在Rt △ADE 与Rt △BEC 中AD BE DE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．∴∠DEC =90°．在Rt △ADE 中又∵30,3AED AE ∠=︒=设AD =x ，则DE =2x,由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x +=解得x =∴在Rt △CDE 中由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2∴CD【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是解题关键．26．（1）∠B=40°；（2）见解析．【分析】（1）先利用SAS 证明△AEC ≌△FDC ，得出∠EAC=∠DFC=25°，从而得出∠BAC=50°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论（2）过点C 作GC 的垂线交GF 的延长线于点P ，根据同角的余角得出∠PCF =∠GCA ，再根据ASA 得出△AGC ≌△FPC ，从而得出△GCP 是等腰直角三角形，即可得出答案【详解】（1）在△AEC 和△FDC 中，∵∠CDF=∠CEA CE=CD ∠C=∠C，∴△AEC≌△FDC，∴∠EAC=∠DFC=25°∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC=50°∵∠C=90°，∴在Rt△ABC中，∠B=90°－∠BAC=40°．（2）如答图，过点C作GC的垂线交GF的延长线于点P∴∠GCP = 90°∴∠GCF＋∠PCF = 90°，∵∠ACB = 90°∴∠GCF＋∠GCA = 90°，∴∠PCF =∠GCA．∵∠ACB=90°，GF⊥AB∴∠B＋∠BAC=∠B＋∠BFG= 90°，∴∠BAC=∠BFG．又∵∠PFC=∠BFG∴∠GAC=∠PFC．由（1）知，△AEC≌△FDC，∴CA=CF，∴△AGC≌△FPC，∴GC=PC，AG=FP．又∵PC⊥GC，∴△GCP是等腰直角三角形，∴GF＋2GC，∴AG＋2GC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克试卷(含答案详解)

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）A．3，4，5 B C．1.5，2，3 D．9，12，152、现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为（）A ．3米B ．5米C ．7米D ．9米3、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若正方形EFGH 的边长为3，则S 1+S 2+S 3的值是（）A ．20B ．27C ．25D ．494、下列各组数中，是勾股数的是（）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，155、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A ．5，11，12B ．4，5，6C ．4，6，8D ．5，12，136、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．445B ．887C ．888D ．8897、以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）A．2，3，5 B．6，8，9 C．5，12，13 D．6，12，138、我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（）A．函数思想B．数形结合思想C．分类思想D．统计思想9、如图，点P表示的数是－1，点A表示的数是2，过点A作直线l垂直于PA，在直线l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，PB为半径画弧交数轴于点C，则点C所表示的数为（）．A B．1C1D110、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A B．2 C D．3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知在△ABC中，AB＝AC＝2，BC BC的长是_____．2、定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于_____．3、如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_____．4、如图，在Rt ABC中，∠A是直角，AB=3，AC=3，则BC的长为________．5、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EP12AP的最小值为 _____，则2BP+AP的最小值为 _____．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ．（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B 两点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点．（2）在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点．（3）在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD 不全等．3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．4、△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE= 90°，△DBE可以点B为旋转中心进行旋转．（1）如图1，当边BD恰好在△ABC的BC边上时，连接AD，若BE=1，AD= 2．求线段DC的长；（2）如图2，当边BD旋转至△ABC外时，连接CD、AD、CE，其中AD与CE相交于点F．求证：CE⊥ AD；（3）如图3，F为AC的中点，当边BD旋转至△ABC内时，连接AD、CE、FD，并在FD的延长线上取一点G，连结CG，使CG＝CE．求证：∠FDA=∠CGF．5、如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求∠B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详解】解：∵32+42＝52，∴A可以；∵222+=，∴B可以；∵1.52+22≠32，∴C不能；∵92+122＝152，∴D可以，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2、A【分析】根据题意结合图形可得：3AB CD==m，在两个直角三角OB=-=m，15312OE=m，1239OD=-=m，15形ABO和COD中，分别运用勾股定理求出AO，CO，即可得出移动的距离．【详解】解：如图所示：3AB CD==m，OB=-=m，15312OE=m，1239OD=-=m，15在Rt ABO中，AO==m，12在Rt COD中，CO m，9=-=m，AC AO CO3故选：A．【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，找出相应的线段运用勾股定理是解题关键．3、B【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG ＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．【详解】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，∴S1=（CG+DG）2=CG2+DG2+2CG•DG=CG2+CF2+2CG•DG=GF2+2CG•DG，S2=GF2，S3=（KF-NF）2，=KF2+NF2-2KF•NF=KF2+KG2-2DG•CG=FG2-2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为3，∴GF2=9，∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．4、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD、是勾股数，因为222912=15，故此选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．5、D【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【详解】解：A．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．6、D【分析】根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n 次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n ＋1）倍．【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n 次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的(1)n +倍，∴生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积1n S n =+，∴生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是8881889+=，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是,a b ，斜边是c ，那么222+=a b c ．7、C【分析】根据两小边的平方和是否等于最长边的平方进行判断是否是直角三角形．【详解】A 、选项：22223135+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、选项：222681009+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、选项：22251216913+==，能构成直角三角形，故本选项符合题意；D 、选项：22261218013+=≠，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．8、B【分析】利用各类数学思想的概念及相关应用，进行判断分析即可．【详解】解：两个图都验证了勾股定理即：222a b c的成立，故属于数形结合思想．+=故选：B．【点睛】本题主要是考查了数形结合思想在勾股定理的证明中的应用，明确数形结合思想的含义及其与勾股定理的证明的关系，是解决本题的关键，另外，数形结合思想还可用于函数与方程、不等式当中，后面学习一定要注意该思想的应用．9、D【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据PB=PC即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．【详解】解：PB∴PB=PC，∴11=-=，OC PC∴点C1，故选：D．【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．10、B【分析】首先由勾股定理得AB ，AC ，BC 的三边长，从而有AB 2+AC 2＝BC 2，得∠BAC ＝90°，再根据S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=AC BC 5=，∵AB 2+AC 2＝25，BC 2＝25，∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴∠BAC ＝90°，∴S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，5AD =⨯，∴AD ＝2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC ＝90°是解题的关键．二、填空题1、4cm 或2cmcm 或4cm【分析】首先应分两种情况进行讨论，∠C 是锐角和钝角两种情况．在直角△ABD 和直角△ACD 中，利用勾股定理求得BD ，CD 的长，当∠C 是锐角时，BC ＝BD +CD ；当∠C 是钝角时，BC ＝BD ﹣CD ，据此即可求解．【详解】解：在直角△ABD 中，3BD ==在直角△ACD中，1CD==当∠C是锐角时（如图1），D在线段BC上，BC＝BD+CD＝3+1＝4；当∠C是钝角时，D在线段BC的延长线上时（如图2），BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2cm．则BC的长是4cm或2cm．故答案是：4cm或2cm．【点睛】本题主要考察了勾股定理的应用，分类讨论三角型的形状是解题的关键．2、9【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题．【详解】解：如图，若∠A＝90°，∵Rt △ABC 是特征三角形，∠A 是特征角，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴AC ＝AB ＝2BC ＝∴12ABC S =⨯△9；如图，若∠A ≠90°，∵Rt △ABC 是特征三角形，∠A 是特征角，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ，由勾股定理得：222AC BC AB +=，即22264AC AC +=，∴AC ＝±，∴162ABC S =⨯△＝故答案为：9或【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．3、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．4、【分析】根据勾股定理可直接进行求解．【详解】解：在Rt ABC 中，∠A 是直角，AB =3，AC =3，∴BC =；故答案为【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5【分析】先证明ABD △是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化12AP ，进而勾股定理求解即可【详解】解：过点E 作EF AB ⊥于点F ，交AC 于点Q ，过点P 作PG AB ⊥于点G ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，12PG AP ∴= ∴EP 12+AP EP PG EG =+≥ 当,,E P G 三点共线时，点P 和点Q 重合，,G F 重合，如图，∴ EP 12+AP 的最小值为EF 的长， ∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°， 60B ∴∠=︒EF AB ⊥30FEB ∴∠=︒12FB BE ∴= CD ＝BC ，AC BC ⊥ AD AB ∴=又∵60B ∠=︒ABD ∴是等边三角形 4BD AD ∴==E 为线段CD 的中点，11124EC CD BD ∴=== 3EB ∴=在Rt EFB △中EF ==∴EP 12+AP 的最小值=如图，过点B 作BM AD ⊥于M ，过点P 作PN AB ⊥于N ，则12PN AP = 则12BP PN BP AP BN +=+≥当,,B P N 三点共线时，12BP AP +取得最小值，即2BP AP +取得最小值即此时,N M 重合，12BP AP +BM =ABD 是等边三角形，BM AD ⊥ 60ABD ∴∠=︒1302DBM ABD ∴∠=∠=︒ 在Rt BDM 中，4BD =，122DM BD ==BM ∴=即12BP AP +最小值为2BP AP ∴+的最小值为【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化12AP 是解题的关键．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+，整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【分析】（1）根据勾股定理AB ，以AB 为底等腰直角三角形，两直角边为x , 根据勾股定理求出x =找横1竖2个格，或横2竖1个格画线即可；（2）以AB 为腰的等腰△ABD ，AB =AD ,以点A 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD ； AB =BD ,以点B 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画线；如图△ABD ．（3）以AB 为腰的等腰△ABD ，AB =BE ,以点B 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；如图△ABE ．AB =AE ,以点A 为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE 与图②中所画的△ABD 不同即可．【详解】解：（1）∵根据勾股定理ABAB 为底等腰直角三角形，两直角边为x , 根据勾股定理222x x +=，解得x =横1竖2，或横2竖1个画线；如图△ABC ；ABD，AB=AD,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格画（2）以AB线；如图△ABD；AB=BD,以点B为起点找横1竖3个格画线，或横3竖1个格；如图△ABD；ABD，AB=BE,以点B为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；（3）以AB如图△ABE．AB=AE,以点A为起点找横1竖3个格，或横3竖1个格；所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等．【点睛】本题考查网格作图，掌握网格作图方法与勾股定理，利用勾股定理确定腰长构造直角三角形是解题关键．3、5【分析】由DE是线段AB的垂直平分线，得到AE=BE，设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，在△BCE中利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接BE∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴AE =BE ，设AE =BE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，∵∠C =90°，∴222BE BC CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴AE =5．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．4、（11（2）见解析（3）见解析【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质与勾股定理求出AB ，故可求出CD ；（2）设AD 、BC 交于O 点，证明△ABD ≌△CBE ，再利用三角形的内角和得到∠CFO =∠ABO =90°，故可求解；（3）延长GE至H，令HE=GE，证明△AHF≌△CGF，得到∠H=∠G，AH=CG，再由△ABD≌△CBE得到AD=CE，故可得到AD=CG=AH，则∠FDA=∠H=∠CGF，即可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形∴BD=BE=1∵∠ABC= 90°BC∴AB∴CD=BC-BD1；（2）设AD、BC交于O点∵△ABC和△DBE都是以点B为顶点的等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE= 90°，∴AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE= 90°∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD∴∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△CBE（SAS）∴∠OAB=∠OCF∵∠AOB=∠COF∴∠CFO=∠ABO=90°∴AD⊥CE；（3）如图，延长GE至H，令HE=GE ∵F点是AC中点∴AF=CE又∵∠HFA=∠GFC∴△AHF≌△CGF∴∠H=∠G，AH=CG由（2）同理可得△ABD≌△CBE∴AD=CE∵CE=CG∴AD=CG=AH∴∠FDA=∠H=∠CGF．即∠FDA=∠CGF．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理，根据图形的特点作辅助线求解．5、（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为13cm【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．【详解】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，13cmPQ===，∴P、Q两点之间的距离为13cm．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．。

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八年级数学《勾股定理》竞赛试卷（时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（每小题5分，共25分）1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（）A ．12;B ．16;C ．24;D ．302、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（）A ．31;B ．33;C ．21; D ．63第（1）题图第（2）题图第（3）题图3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（）A.2;B.22;C.23;D.34、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（）A ．200;B ．225;C ．256;D ．150+1025、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20二、填空题（每小题5分，共25分）第（5）题图6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记 C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么，1021M M M +++ =_________。

第（6）题图7、如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。

第（7）题图第（8）题图8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。

9、若x + y = 12，那么9422+++y x 的最小值=___________。

10、已知一个直角三角形的边长都是整数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为____________。

三、解答题（共70分）11、（本题10分）如图△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 三边分别作垂线PD ，PE ，PF ，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长度。

12、（本题15分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=3， ∠A=∠BCD=45°，求BC 的长及△BDC 的面积。

13、（本题15分）设a,b,c,d 都是正数。

求证：ad d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++14、（本题15分）如图，四边形ABCD 中， ∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=5-3，CD=6，求AD 。

15、（本题15分）如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为62+，求此正方形的边长。

答案一、选择题1．C2．A3．B4．C5．C解答：1．∵MA=MB=MC=5， ∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2) = 142-102=4×24 ∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 2．如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k ) 所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 3．如图，过O 作EF ⊥AD 于E ，交BC 于F ；过O 作GH ⊥DC 于G ，交AB 于H设CF=x ，FB = y, AH = s, HB = x,所以OG=x, DG = s所以OF 2=OB 2- BF 2=OC 2-CF 2 即42- x 2= 32- y 2所以x 2- y 2= 16 – 9 =7 （1）同理有OH 2=12- s 2= 32- t 2所以t 2- s 2= 32- 12= 8 （2）又因为OH 2+HB 2=OB 2 即y 2+ t 2= 9（1）-（2）得(x 2+s 2) – (y 2+ t 2) = – 122222 所以OD 2=x 2+ s 2= (y 2+ t 2) – 1 = 9 – 1 = 8所以OD=22 4．如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6 所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 2565．如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100，由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102 所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP 二、填空题1．40；2．12；3．223415+； 4．13；5．6，8，10或5，12，13解答：1．如图，作AD ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和Rt △AP i D 中，AB 2=AD 2+BD 2222D P AD AP i i +=所以22222)(D P AD BD AD AP AB i i +-+=-BP C P D P BD D P BD D P BD i i i i i ⋅=-+=-=))((22所以422==⋅=AB B P C P AP i i i 所以4=i M所以401021=+++M M M1．如图，作A 关于ON 的对称点A '，D 关于OM 的对称点D '，连结A 'B ，CD '，则A 'B=AB ，C 'D=CD ，从而AB+BC+CD=A 'B+BC+CD '≥A 'D '因为∠A 'ON=∠MON=∠MOD '=20°，所以∠A 'OD '=60°又因为OA '=OA=43，OD '=OD=83，所以OD '=2OA '即△OD 'A '为直角三角形，且∠OA 'D '=90°所以A 'D '=12)34()38(222'2'=-=-OA OD所以，折线ABCD 的长的最小值是123．如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，设AB = m, PM = x, PN = y ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+)3(9)()2(1)()1(4222222y x m y m x y x由（2）、（3）分别得，12222=+-+y my m x （3）92222=+-+x mx m y （4）将（1）代入（4）得;2303222m m y my m +=⇒=+- 将（1）代入（5）得;2505222m m x mx m -=⇒=-- 把x,y 的表达式分别代入（1）得0171024=+-m m因为m 2>0 所以m 2=5+22所以 AB=22521,225,225+=+=+=AD BC m 所以223415)(21+=⋅+=AB BC AD S ABCD4．如图，AB=12，AC=2，BD=3，且AB ⊥AC ，AB ⊥BD ，P 在AB 上且PA=x ，PB=y ，连PC ，PD ，在Rt △CAP 和Rt △DBP 中9,4222222+=+=+=+=y PB BD PD x PA AC PC 如图，P 点在0P 位置时，PC+PD 的值最小，为线段CD 的长度，而CD=1312)32(22=++所以9422+++y x 的最小值为13。

5．设三边长为a,b,c ，其中c 是斜边，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+)3(2)1(222ab c b a c b a （2）代入（1）得222)2(b a ab b a --=+ 即0)844(4=+--b a ab ab 因为ab ≠0 所以ab – 4a – 4b + 8 = 0所以484-+=b a (a,b 为正整数) 所以b – 4 = 1，2，4，8，所以b = 5，6，8，12；a = 12，8，6，5；c = 13，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13三、解答题1．如图,连结PA,PB ，PC ，设BD=x ，CE=y ，AF=z ，则DC=17-x ，EA=18 – y ，FB = 19 – z在Rt △PBD 和Rt △PFB 中，有2222)19(PF z PD x +-=+ 同理有： 22222222)18()17(PEy PF z PD x PE y +-=++-=+ 将以上三式相加，得222222)19()18()17(z y x z y x -+-+-=++即17x + 18y + 19z = 487又因为x + y + z = 27，所以x = z – 1,所以BD + BF = x + (19 – z ) = z – 1 + 19 – z = 182．如图，作CE ⊥AB 于E ，则CE=AE=2622=AC 所以BE=AB-AE=2 - 26426-= 又222BE CE BC +=所以BC=1662722-=-=+BE CE再过D 作DF ⊥BC ，交CB 延长线于F ，并设DF=CF=x ，则BF= x – BC = x + 1 - 6又Rt △DFB ∽Rt △CEB ，所以DF ：BF=CE ：BE ，即x ：(x + 1 - 6) = 264:26- 所以x = 2623+ 所以4692623)16(2121+=+⨯-⨯=⋅=∆DF BC S BCD 2．如图，构造一个边长为(a + b)、(c + d)的矩形ABCD ，在Rt △ABE 中，BE=22AB AE + 所以BE=cd d c a d c a 2)(22222+++=++在Rt △BCF 中， BF=ab d b a d b a CF BC 2)(2222222+++=++=+ 在R t △DEF 中，EF=2222c b DF DE +=+在△BEF 中，BE+EF>BF即ab d b a c b cd d c a 2222222222+++>+++++3．如图，过A 作AE ∥BC 交CD 于E ，则∠1=45°，∠2=60°，过B 作BF ⊥AE 于F ，作CG ⊥AE 于G ，则Rt △ABF 为等腰直角三角形，BCFG 为矩形，又因为AB=6，BC=5-3，所以BF=AF=22AB=3，所以CG=BF=3，所以CE=32CG=2，EG=31CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4过D 作DM ⊥AE 延长线于M∠MED=180°-∠AED=180°-∠BCD=180°-120°=60°所以EM=21DE=2，DM=23DE=23 在Rt △AMD 中，AD=192)32()26(2222=++=+DM AM5．如图，以A 为中心，将△ABE 旋转60°到△AMN ，连NB ，MB ，则AE+EB+EC=AN+MN+EC因为AE=AN ，∠NAE=60°所以AE=NE所以AE+EB+EC=MN+NE+EC当AE+EB+EC 取最小值时，折线MNEC 成为线段，且MC=62+，∠MBC=150°在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=x PB x 23,2= 所以222)23()2()62(x x x ++=+ 所以x = 2, BC=2。