大学物理03-2力矩 转动惯量 定轴转动定律

1 如：J C mR 2 2
J
2
JC
J J C mR 1 3 2 2 mR mR mR 2 2 2
对于薄平板刚体，有垂直轴定理： Jz
z yi xi ri Δmi
m R
x
1 J x mR 2 4
Jx Jy
i
y
J z mi ri 2 mi xi2 yi2 mi xi2 mi yi2 J y J x
（2）Mz 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的 力矩为正。Mz 与α的符号相同(方向相同)。
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三、转动惯量
按转动惯量的定义有
J ri 2 mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写 成积分形式 dm —质元的质量 2
J r dm
r —质元到转轴的距离
（1）J 和质量分布有关，质量分布得离转轴越远， 则J 越大！如拖拉机飞轮。当然，同样大小的球形分 布，转动惯量∝质量，因此半径相等的实心铁球绕 直径轴的转动惯量要大于石球或木球。 （2）J 和转轴位置有关，同一个物体对不同转轴的 转动惯量不同。
说明：平行轴定理适用于任意形状刚体，无论一维、二维 还是三维。另外，轴线可以在刚体内，也可以在刚体外。
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例题 3-2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
dr
r
R
解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr 的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质 量dm= 2rdr。可得 4
0 mi i cosi mi xi mxC
m
2 i
i
O d C
P m i i'
i
x'
i
mi i2 mi d 2 mi i cos i 2d
在质心坐标 系中，质心 位于原点！
可见， JO JC md 2 ——平行轴定理
得到：
F r sin (m r
i 1 i i i i 1
N
N
2
i i
)
上式左端为刚体所受外力对转轴的合力矩，以 Mz 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关， 而只与刚体的质量分布有关，称为刚体转动惯量， 以J 表示。于是得到
d M z J J dt
其中转动惯量： J
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飞轮的质量为什么大 都分布于外轮缘？
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竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
质点平动的牛顿第二定律与刚体定轴转动定律的对比： 平动： 线动量 mv 转动： 角动量 J
dv 平动定律 F m dt d 转动定律 M z J dt
质量：平动中惯性大小的量度。 转动惯量：转动中惯性大小的量度。 与牛顿第二定律相似，力矩Mz与角加速度α是共 生共灭的，两者方向(符号)相同，力矩是刚体转动状 态(ω)发生变化的原因，当Mz=0时，α=0，ω保持不 变，刚体作匀角速度转动。
0
0
0
0
0
0
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三、刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
O'
ω
Fi —外力 f i —内力
注：这两个力其实都是与转轴 垂直的分力，都在转动平面内。 至于与转轴平行的力或分力在 O 这里不予考虑！
r ri
mi
i i
r fi
r Fi
应用牛顿第二定律，可得 Fi fi mi ai 采用自然坐标系，上式在切向投影的分量式为
d r sin 是转轴到F2作
用线的距离，称为力臂。 转动 平面
r F1
r
r F
r F2
（3 ） F 1 对转轴的力矩为零， 在定轴转动中不予考虑。
d

（4）在转轴方向确定后，力对转轴 的力矩方向可用+、-号表示，一般 以向上为正，即以逆时针转动方向 为正！
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二、刚体转动的角量描述
变形，对转动无贡献； 只有 r F2 才对转动产生 贡献！此力矩方向沿转轴 ！ 注：（1）在定轴转动问 题中，如不加说明，所指 的力矩是指力在转动平面 内的分力对转轴的力矩。
r F1 只能引起轴的
r F1
r F
r F2
转动 平面
r
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（2） M z rF2 sin F2 d
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩 F对O点的力矩： M r F M rF sin
Z
M
F
M
F
MZ
转 动 平 面

A
O r
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴的力矩 M Z
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力不在转动平面内
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
J r dm
2
R
0
由于圆柱体是由一个个薄圆盘堆积起来的，因此
π R 1 2π r dr mR 2 2 2
3
J圆柱
1 1 2 1 2 mi R mi R m圆柱 R 2 2 i 2 i 2
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平行轴定理：J JC md 2
i i i
x
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几种典型形状刚体的转动惯量
O' ω m O 圆环 J=mR2 细棒 R
l
1 J ml 2 12 ω
R2
L
R
R1
1 圆柱 J mR 2 2
1 2 圆筒 J m( R12 R2 ) 2
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ω
R
ω
空心 R
2 2 2 薄球壳 mR J mR 2 5 3 2 1 2 想一想：圆柱 J mR 实心球 J mR 2 的原因？ 5 2
实心圆球 J
实心球与空心球壳相比呢？
在计算转动惯量时，应注意充分运用平行轴定 理和薄片刚体的垂直轴定理！
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求一质量为m的均匀实心球对其一条直径轴的转动惯量 Z 解：一球绕Z 轴旋转，在
z
O
r R
dz
Y
离球心 z 高度处切一厚为 dz 的薄圆盘。其半径为
r R2 z 2
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2.角位移 描写刚体位置变化的物理量。 角坐标的增量： 称为刚体的角位移
3.角速度 描写刚体转动快慢和方向 的物理量。
R y
v2

P

P
v1
x
d 角速度 lim t 0 t dt
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右手大拇指指向。
其体积：
2 2 2
X
dV πr dz π( R z )dz
其质量：dm dV π( R2 z 2 )dz
1 2 1 其转动惯量： dJ r dm π( R 2 z 2 ) 2 dz 2 2
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X
1 2 1 dJ r dm π( R 2 z 2 )2 dz 2 2 r z dz J dJ R O Y R 1 π ( R 2 z 2 ) 2 dz R 2 8 2 5 πR mR 2 4 3 15 5 其中 m πR 3
1.角坐标 描写刚体转动位置的物理量。 在转动平面内，过O点作 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右，则OP与极轴 之间的夹角为。

P
O
x
角称为角坐标（或角位置）。
角坐标为标量，但有正负，符号与极坐标辐角一致。
0 : 从Ox到OP是逆时针旋转 0 : 从Ox到OP是顺时针旋转
i 1 i i i i 1 i i i i 1
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质（每 一对内力等值、反向、 共线，对同一转轴的力 矩代数和为零）得
i 1
M ij
rj
j
f ji
f ij
O
M ji
fi ri sin i 0
N
d
i ri
M ij M ji
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J 的计算方法
质量离散分布
J mi ri 2 m1r12 m2 r22
i 1
N
2 mN rN
质量连续分布
J mi ri 2 r 2dm
i
dm ：质量元
r dV
2 V
d V ：体积元
dm dl , ：质量线密度。 对质量线分布的刚体：
Z
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例题3-3 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两 端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1<m2，如图所 示。设滑轮的质量为m，半径为r，所受的摩擦阻力矩为 Mr。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳 的张力。 Mr 解：滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 Mr T1 的作用，两边的张力不再相 T2 T1 T2 等，设物体 1 这边绳的张力为 a T1、T1' (T1' = T1)， m a
0

刚体上任一质元的切向和法向加速度分量表示为
dv d v2 at r r , an r 2 dt dt r
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d dt
角加速度也是矢量，同角速 度一样，对定轴转动而言，只有 向上或向下两个方向，因此也是 用正负号来表示其方向。 说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动 刚体的整体运动，也可用来描述质 点的曲线运动。 位矢、位移、速度、加速度 等线量是用来描述质点的运动。
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
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用 ri 乘以上式左右两端得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri 2
设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述 类似方程，将这N个方程左右相加得
F r sin f r sin (m r
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解：(1)建立坐标系，分割出质量元
m （2） J x dm x dx 0 l 1 2 ml （公式） 3
2 l 2
x
O
xwk.baidu.com
h
dx
m x dx （3） J x dm l 2 h l 1 ml 2 mh 2 （※） 12
2 l 2 h 2
N i 1
刚体定轴 转动定律
2 2 r m 单位： kg· m i i
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获 得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转 动惯量成反比。
说明： α ，转动惯量是转动惯性 （1）Mz 一定，J 大小的量度；例如地球的转动惯量非常巨大，因此转 动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！
对质量面分布的刚体：dm dS , ：质量面密度。
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例题3-1 求质量为m、长为l 的均匀细棒对下面三种 转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
m m 单位长度质量（线密度）： ，因此 dm dx dx l l l 2 2 2 m J x dm x dx l 2 l x 1 o dx ml 2（公式） x 12
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角速度是矢量，但对于刚体定 轴转动来说，角速度的方向只有两 个：上或下，因此用正负号就可表 示角速度的方向，而不必写成带有 箭头的矢量形式。 刚体上任一质元的速度表示为
0
r

v
v r, v r
3.角加速度
d lim t 0 t dt
2
可见，在所有彼此平行的轴中，绕通过质心的轴的 转动惯量 J C 最小！离质心轴越远， J O 越大！
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平行轴定理的证明：
O 轴平行于C 轴（质心轴） 对C 轴 J C i2mi 对O 轴 由图知
JO
i2 i2 d 2 2id cos i 2 2 2 m ( d 2id cosi ) JO i mi i i
x
O
x
dx
以上说明，J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关！
（※）式中隐含着一个关于转动惯量的平行轴定理！
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平行轴定理
定理表述：刚体绕平行于质心轴的某轴的转动惯量J， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间 距离平方的乘积： J J md2
C
d
C
O
JO JC md