2019考研数学二真题及答案解析参考
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析
一、选择题
1.当0x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则k
2.）（202xxcosxsinxy的拐点
A.2,2 B.2,0
C.2, D.23,23
3.下列反常积分收敛的是（）
A.dxxex0 B.dxxex02
C.dxxx021arctan D.dxxx021
4.c,b,a,xCCycebyyayx-xx则的通解为已知e)e(21
的值为（ ）
5.已知积分区域2yx|y,xD）（，dxdyyxID221，dxdyyxID222sin，dxdyyxID)cos1223，试比较321,,III的大小
A.123III B.321III
C.312III D.132III
6.已知)()(xgxf是二阶可导且在ax处连续，请问)()(xgxf相切于a且曲率相等是0)()()(lim2axxgxfax的什么条件？ A.充分非必要条件 B.充分必要条件
C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
7.设A是四阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，则*A的秩是
8.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若EAA22，且4A，则二次型AxxT的规范形为
A.232221yyy B.232221yyy
C.232221yyy D.232221yyy
二、填空题
9.2lim(2)xxxx
10.曲线sin1cosxttyt在32t对应点处切线在y轴上的截距为
11.设函数()fu可导，2()yzyfx，则2zzxyxy
12. 设函数lncos6yxx（0）的弧长为
13. 已知函数2sin()xttfxxdtt，则10()fxdx
14.已知矩阵1100211132210034A，ijA表示A中(,)ij元的代数余子式，则1112AA
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）
已知函数010)(2xxexxxfxx，求的极值并求)()(xfx'f
16.（本题满分10分）
求不定积分.dxxxxx)1()1(6322
17.（本题满分10分）
)(xyy是微分方程2221'xexxyy满足条件ey)1(的特解.
（1）求)(xy
（2）设平面区域)x(yy,xy,D021x）（，求D绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
18.（本题满分10分）
已知平面区域D满足4322yyx|y,x，求.dxdyyxyxD22
19.（本题满分10分）
xxfS,Nnxnsine)(是的图像与x轴所谓图形的面积，求nS，并求.Snnlim
20.（本题满分11分）
已知函数)(y,xu满足,yuxuyuxu033222222求b,a的值，使得在变换byaxy,xvy,xu)e()(下，上述等式可化为)(y,xv不含一阶偏导数的等式.
21.（本题满分11分）
已知函数),(yxf在1,0上具有二阶导数，且101)(,1)1(,0)0(dxxfff，证明： x（1）存在)1,0(，使得0)('f；
（2）存在)1,0(，使得2)(''f.
22.（本题满分11分）
已知向量组（Ⅰ）4111，4012，32123a，
（Ⅱ）3111a，a1202，33123a，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a的取值，并将用321,,线性表示.
23.（本题满分11分）
已知矩阵相似与yBxA0001001220022122
（1）求yx,，
（2）求可逆矩阵,P使得BAPP1
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学二）
15.解：
当0x时，22ln2ln22ln2=2ln2xxxxxxfxxeexxx.
当0x时，e1ee1exxxxfxxxx.
当=0x时，01f， 22ln000112ln0limlimlimxxxxxxxexxfxxx，
00110limlim1xxxxxefex.
故22ln2 0=1e0xxxxxfxxx.
令=0fx，得112,1xex.
（1）当10,,0,xefxfx单调递减，
当1,0,xefxfx，+单调递增，
故211=efee为极小值.
（2）当0,0,xfxfx-1，单调递增，
当10,,0,xefxfx单调递减，
故0=1f为极大值.
（3）当,1,0,xfxfx单调递减，
当0,0,xfxfx-1，单调递增，
故11=1fe为极小值.
16.
17.
18.
19.
20.解：,,axbyuxyvxye 2222222222axbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyuveavexxuvebveyyuvvveaeaeavexxxxuvvvebebebveyyyy，
带入得430340ab，解得3434ab.
21.
22.解：
（1）当210a，即1a时，123123,,3,,,3rr，此时两个向量组必然等价，且3123=+.
（2）当=1a时，123123111101,,,,,011022000000
此时两个向量组等价，3123=232+kkk.
（3）当=1a时，123123111101,,,,,011022000220. 此时两个向量组不等价.
23.（1）A与B相似，则()()trAtrB，AB，即41482xyxy，解得32xy
（2）A的特征值与对应的特征向量分别为
1=2，11=20；2=1，22=10；3=2，31=24.
所以存在1123=P,,，使得111212PAP.
B的特征值与对应的特征向量分别为
1=2，11=00；2=1，21=30；3=2，30=01.
所以存在2123=P,,，使得122212PAP.
所以112211=PAPPAP，即1112112BPPAPPPAP
其中112111212004PPP.
2019考研数学二答案真题解析
1 / 9 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
（1）当0x
时，若tanxx
与k
x是同阶无穷小，则k
（）
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
【答案】C
【解析】0x时，有3
tan
3x
xx
，故3k
（2）曲线3
sin2cos()
22yxxxx
的拐点坐标为（）(A)
(,)
22
(B) (0,2)
(C) (,2)
(D) 33
(,)
22
【答案】C
【解析】sincos2sincossinyxxxxxxx
，
cossincossinyxxxxxx
，
令0y
得0x
或x
，
当(0,)xU
，0y
，故(0,2)
不是拐点；
当x
时，0y
；当x
时，0y
，故(,2)
为拐点.
（3）下列反常积分发散的是（ ）
(A)
0x
xedx
(B) 2
0x
xedx
(C)
2
0arctan
1x
dx
x
(D)
2
01x
dx
x
【答案】D
【解析】2
0
2
01
ln(1)
12x
dxx
x
，故选项D正确；
选项A：
0(2)1x
xedx
；选项B：22
2
0011
22xx
xedxedx
；
选项C：2
2
0
2
00arctan1
arctanarctan(arctan)
128x
dxxdxx
x
.
（4）已知微分方程x
yaybyce
的通解为
12()xx
yCCxee
，则,,abc
依次为（）
(A)
1,0,1 (B)
1,0,2(C)
2,1,3(D)
2,1,4
【答案】D
【解析】由通解形式可得，
12()x
CCxe
是对应齐次方程的解，故是1
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
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1 / 10
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word版）
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、当0x时，若tanxx与 kx是 同阶无穷小量，则k（ ）
A、 1. B、2. C、 3. D、 4.
【答案】C.
【解析】因为 3tan~3xxx，所以3k，选 C.
2、曲线3sin2cosyxxxx －２２的拐点是（ ）
A、, ２２ . B、0,2 . C、,2 . D、33, ２２.
【答案】C.
【解析】cossinyxxx ，sinyxx，令 sin0yxx，解得0x或x。
当x时，0y；当x时，0y，所以,2 是拐点。故选 C.
3、下列反常积分发散的是（ ）
A、0xxedx. B、 20xxedx. C、 20tan1arxxdxx. D、201xdxx.
【答案】D.
【解析】A、00001xxxxxedxxdexeedx，收敛；
B、222001122xxxedxedx，收敛；
C、22200tan1arctan128arxxdxxx，收敛；
D、2222000111(1)ln(1)1212xdxdxxxx，发散，故选D。
考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编17(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编17 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
A．f”(0)＜0，g”(0)＞0．
B．f”(0)＜0，g”(0)＜0．
C．f”(0)＞0，g”(0)＞0．
D．f”(0)＞0，g”(0)＜0．
正确答案：A
解析：则AC 一 B2＞0故z=f(x)g(y)在(0，0)点取极小值，应选(A)．
2． 设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有＜0，则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是
A．x1＞x2，y1＜y2
B．x1＞x2，y1＞y2
C．x1＜x2，y1＜y2
D．x1＜x2，y1＞y2
正确答案：D
解析：由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由＜0可知，f(x，y)关于变量x是单调增的，关于变量y是单调减的，因此，当x1＜x2，y1＞y2时，f(x1，y1)＜ f(x2，y1)，f(x2，y1)＜f(x2，y2)则 f(x1，y1)＜f(x2，y2)故应选(D)．
3． 设区域D由曲线y=smx，x=(xy5一 1)dxdy =
A．π
B．2
C．一2
D．一π
正确答案：D
解析：作辅助线y=一 sinx(≤x≤0)．如图，将区域D分为两部分D1和D2，其中D1关于x轴对称，D2关于y轴对称，而xy5分别关于变量x和y都是奇函数，则
4． 设z=f(xy)，其中函数f可微，则
A．2yf’(xy)
B．一2yf ‘(xy)
C．
D．
正确答案：A
解析：
5． 设Dk是圆域D=((x，y)|x2+ y2≤1}在第k象限的部分，记Ik=(y一x)dxdy(k=1，2，3，4)，则
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版) 2
编辑版word 2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word版）
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
1、当0x时，若tanxx与 kx是 同阶无穷小量，则k（ ）
A、 1. B、2. C、 3. D、 4.
【答案】C.
【解析】因为 3tan~3xxx，所以3k，选 C.
2、曲线3sin2cosyxxxx －２２的拐点是（ ）
A、, ２２ . B、0,2 . C、,2 . D、33, ２２.
【答案】C.
【解析】cossinyxxx ，sinyxx，令 sin0yxx，解得0x或x。
当x时，0y；当x时，0y，所以,2 是拐点。故选 C.
3、下列反常积分发散的是（ ）
A、0xxedx. B、 20xxedx. C、 20tan1arxxdxx. D、201xdxx.
【答案】D.
【解析】A、00001xxxxxedxxdexeedx，收敛；
B、222001122xxxedxedx，收敛；
C、22200tan1arctan128arxxdxxx，收敛；
D、2222000111(1)ln(1)1212xdxdxxxx，发散，故选D。
编辑版word 4、已知微分方程的xyaybyce通解为12()xxyCCxee，则,,abc依次为（ ）
A、 1,0,1. B、 1,0,2. C、2,1,3. D、2,1,4.
2019年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2019年考研（数学二）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 当x→0，x—tanx与xk是同阶无穷小，求k( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：因x—tanx～，若要x—tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选
C．
2． y=xsinx+2cosx[x∈]的拐点坐标是( )
A．
B．(0，2)
C．(π，—2)
D．
正确答案：B
解析：y′=sinx+xcosx—2sinx，y″= —xsinx，令y″=0得x=0，x=π，又因为y″′= —sinx—xcox，将上述两点代入y″′(π)≠0，所以(π，—2)是拐点．
3． 下列反常积分发散的是( )
A．∫0+∞xe—xdx
B．∫0+∞xe—x2dx
C．
D．
正确答案：D
解析：对A：∫0+∞xe—xdx=∫0+∞xd(—e—x)= —xe—x｜0+∞+∫0+∞e—xdx= —e—x｜0+∞=1；对B：∫0+∞xe—x2dx=；
4． 已知微分方程y″+ay′+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e—x+ex，则a，b，c依次为( )
A．1，0，1
B．1，0，2
C．2，1，3
D．2，1，4
正确答案：D
解析：由条件知特征根为λ1=λ2= —1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=e*为特解，代入得c=4，故选
D．
5． 已知平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤}，，试比较I1，I2，I3的大小( )
A．I3＜I2＜I1
B．I1＜I2＜I3
C．I2＜I1＜I3
D．I2＜I3＜I1
正确答案：A
解析：因为，所以I2＜I1，I3＜I1．所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故选A．
2020考研数学真题数二之考查知识点分析
2020考研数学真题数二之考查知识点分析
2020考研数学考试已经结束，经过长时间的磨练，洗礼，相信同学们会有不错的成绩，下面文都数学的老师给大家总结一下2020考研数学（二）所涉及到的知识点，希望对2020及2021的学生有所帮助。
第一题，无穷小与变限积分函数结合，考查大家对无穷小量阶的理解；
第二题，考查无穷间断点的概念，大家需要计算极限即可；
第三题，考查定积分的计算，换元计算即可；
第四题，考查高阶导数的计算；
第五题，考查多元函数的极限，连续，偏导数的定义，考查的比较深入，需要有深入的理解，才能较好地做出题目，这道题有一定难度，通过这道题，建议大家学习数学一定要弄懂知识点，不能背题；
第六题，主要考查了不等式，导数，属于综合题，这道题目大家可以得到'()10()()fxlnfxxfx，是一个增函数，代入数值即可得到正确答案，这题不太容易想到，属于难题；
第七题，考查了齐次线性方程组解的结构，矩阵的秩与增广矩阵的秩之间的关系，属于我们平时着重强调的知识点，这道题不能出现问题；
第八题，考查了特征值与特征向量，矩阵的相似对角化，矩阵P与对角矩阵之间的关系；
第九题，考查参数方程的二阶导数；
第十题，考查二重积分的计算；
第十一题，考查全微分，只需要计算偏导数，注意最后答案的格式；
第十二题，考查水的压力，属于定积分的物理应用，属于数二的重点内容，需要引起大家重视；
第十三题，考查二阶常系数齐次线性微分方程以及无穷限反常积分； 第十四题，考查4阶行列式的计算，大家可以先利用行列式的性质先化简再计算；也可以直接展开；
第十五题，考查斜渐近线，大家只需要记住斜渐近线的求法，求两个极限即可；
第十六题，考查变限积分函数，导数的求法，导数的定义以及导数的连续性，需要大家理解知识点，利用极限这个重要工具去解决问题；
第十七题，考查多元函数的无条件极值，大家先求驻点，再用充分条件判断即可，属于简单题目，这类题比较“套路”，绝对不能出现问题；
2019年全国硕士研究生数学二答案11页word文档
第 1 页 一、选择题
1、【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知
1003sinsin33cos3cos31=lim=limkkxxxxxxcxkcx
23003sin9sin33cos27cos3=lim=lim(1)(1)(2)kkxxxxxxkkcxkkkcx
3024=lim(1)(2)kxkkkcx
从而(1)(2)243kkkck，故3,4kc。从而应选（C）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xxfxxoxxoxxox
所以3,4kc。，从而应选（C）。
2、【分析】本题考查导数的定义。通过适当变形，凑出()fx在0x点导数定义形式求解。
【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]xxxfxfxxfxxffxfxxx
2233300()(0)()(0)lim2lim'0xxxfxxffxffxx
故应选（B）。
评注：已知抽象函数在一点可导，求含有该函数的某个极限，一般应利用导数定义完成。
3、【分析】本题考查驻点的定义。先求出导函数，进而求出导函数的零点即可。
【详解】：2(2)(3)(1)(3)(1)(2)31211'()(1)(2)(3)(1)(2)(3)xxxxxxxxfxxxxxxx
令231211'()0(1)(2)(3)xxfxxxx，只需求2312110xx，
由于2124311120，所以有两解。
故应选（C）。
4/【分析】考查二阶常系数线性非齐次方程待定特解的形式。首先将方程右端分解，然后分别写出待定特解。
2019考研数学二答案解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1、当0x→
时，若tanxx−
与kx
是同阶无穷小，则k=
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
【答案】C 【解析】3
tan~
3x
xx−−
，所以选C.
2、设函数π3π
sin2cos()22yxxxx=+−
的拐点
A. ππ(,).
22B.(0,2).
C.(π,2).−
D. 3π3π
(,).
22−
【答案】C.
【解析】令sin0yxx=−=
，可得πx=
，因此拐点坐标为π2−（，）
.
3、下列反常积分发散的是
A.
0edx
xx+
−
B. 2
0edx
xx+−
C.
2
0arctan
d
1x
x
x+
+D.
2
0d
1x
x
x+
+
【答案】D
【解析】2
2
0
01
dln(1)
12x
xx
x+
+
=+=+
+
，其他的都收敛，选D.
4、已知微分方程¢¢y+a¢y+by=cex
的通解为y=(C
1+C
2x)e-x
+ex
，则a、b、c依次为
A、1,0,1
B、 1,0,2
C、2,1,3
D、2,1,4
【答案】 D.
【解析】由通解形式知，
121==−
，故特征方程为22
1=21=0+++（）
，所以
2,1ab==
，又由于ex
y=
是+2xyyyce+=的特解，代入得4c=
.
5、已知积分区域π
{(,)|
}
2Dxyxy=+
，22
1dd
DIxyxy=+
，
22
2sindd
DIxyxy=+
，22
3(1cos)dd
DIxyxy=−+
，试比较
123,,III
的大小
A.
321III
B.
123III
C.
213III
D.
231III
【答案】C
【解析】在区域D
上2
222222
0,sin
4xyxyxy
+++
，进而
213.III
6、已知(),()fxgx
的二阶导数在xa=
处连续，则
2()g()
lim0
2019年考研数学二复变函数真题及答案详解
2019年考研数学二复变函数真题及答案详解
复变函数是数学中一个重要且常见的概念，在数学考研中也占据着一定的比重。2019年考研数学二复变函数部分的真题难度适中，但题目中可能涉及到一些细节和技巧，需要我们进行仔细分析和解答。下面将对2019年考研数学二复变函数部分的真题及答案进行详细解析。
一、选择题
1. 设复数函数$f(z)$在复平面上解析，且对于任意$z\in\mathbb{C}$，有$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y),v(x,y)$分别为$f(z)$的实部和虚部函数。若所有一阶偏导数存在且连续，则必有$\frac{\partial v}{\partial
x}=0$。
解析：根据复变函数的柯西-黎曼方程，设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则有$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。由于题目中已经给出所有一阶偏导数存在且连续，因此必有$\frac{\partial v}{\partial
x}=0$。
2. 设$f(z)$在圆环$0<|z-a|
解析：根据洛朗级数展开定理，对于解析函数$f(z)$在圆环$0<|z-a|
二、填空题
1. 设$f(z)=\cos(z^2)$，则$f'(i)=?$；
解析：根据复合函数求导法则，将$f(z)=\cos(z^2)$进行展开，即$f(z)=\cos((x+iy)^2)=\cos(x^2-y^2+2ixy)$。对该函数求导，得到$f'(z)=-2x\sin(x^2-y^2+2ixy)+2iy\sin(x^2-y^2+2ixy)$。将$z=i$代入上式，可得$f'(i)=2i\sin(1)$。
2. 设$f(z)$在解析区域内解析，$|f(z)|=1$，则$f(z)$为常数函数；
考研数学历年真题答案解析-2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试卷
1 1
［参考答案］C
［答案解析］
2
［参考答案］B
［答案解析］
2
3
［参考答案］D
［答案解析］
4
3
［参考答案］D
［答案解析］
5
［参考答案］A
［答案解析］
4 6
［参考答案］A
［答案解析］
5 7
［参考答案］A
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