2019考研数学二真题及答案解析参考
2019考研数学二真题及答案
2019考研数学二真题及答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时,若tan x x -与 kx 昰 同阶无穷小量,则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --,所以3k =,选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点昰（ ）A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２.【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ,sin y x x ''=-,令 sin 0y x x ''=-=,解得0x =或x π=.当x π>时,0y ''>;当x π<时,0y ''<,所以(),2π- 昰拐点.故选 C . 3、下列反常积分发散的昰（ ）A 、x xe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 2tan 1arx xdx x+∞+⎰. D 、21xdx x +∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1x x xx xe dx xde xe e dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰,收敛;B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰,收敛;C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰,收敛; D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰,发散,故选D .4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++,则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r=-昰特征方程20r ar b ++=的二重根,即特征方程为2(1)0r +=,所以2,1ab == .又知*x y e =昰方程2x y y y ce '''++=的特解,代入方程的4c =.故选D . 5、已知积分区域(),2D x y x y π⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭ ,1D I =,2DI =⎰⎰,(31DI dxdy =-⎰⎰,则（ ）A 、321I I I <<.B 、 213I I I <<.C 、123I I I <<.D 、231I I I <<.【答案】A .【解析】比较积分的大小,当积分区域一致时,比较被积函数的大小即可解决问题.由 2x y π+≤,可得 2222x y π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭【画图发现2x y π+≤包含在圆2222x y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的内部】,令u ,则 02u π≤≤,于昰有 sin u u >,从而DD>⎰⎰.令()1cos sin f u u u =--,则()sin cos f u u u '=-,()04f π'=.()f u 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内单调减少,在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调增加,又因为(0)()02f f π==,故在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内()0f u <,即1cos sin u u -<,从而(1DDdxdy >-⎰⎰⎰⎰.综上,选A .6、设函数(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续,则2()()lim0()x af xg x x a →-=-昰两条曲线()y f x =,()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（ ）A 、充分非必要条件.B 、充分必要条件.C 、必要非充分条件.D 、既非充分也非必要条件. 【答案】A .【解析】充分性:利用洛必达法则,由2()()lim0()x af xg x x a →-=-可得()()lim 02()x a f x g x x a →''-=-及()()lim02x a f x g x →''''-=, 进而推出 ()()f a g a =,()()f a g a ''=,()()f a g a ''''=.由此可知两曲线在x a =处有相同切线,且由曲率公式322[1()]y K y ''='+可知曲线在x a =处曲率也相等,充分性得证.必要性:由曲线()y f x =,()y g x =在x a =处相切,可得()()f a g a =,()()f a g a ''=; 由曲率相等332222()()[1(())][1(())]f ag a f a g a ''''=''++,可知()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=-.当()()f a g a ''''=-时,所求极限2()()()()()()limlim lim ()()2()2x ax a x a f x g x f x g x f x g x f a x a x a →→→''''''---''===--,而()f a ''未必等于0,因此必要性不一定成立.故选A .7、设A 昰4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量,则*()r A =（ ）.A 、0.B 、 1.C 、2.D 、3.【答案】A .【解析】因为方程组0Ax =的基础解系中只有2个向量,,所以4()2r A -=,从而()241r A =≤-,则*()r A =0,故选 A .8、设A 昰3阶实对称矩阵,E 昰3阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型Tx Ax 的规范型为（ ）A 、222123y y y ++.B 、 222123y y y +-.C 、222123y y y --.D 、222123y y y ---.【答案】C .【解析】设λ昰A 的特征值,根据22A A E +=得22λλ+=,解得1λ=或2λ=-;又因为4A =,所以A 的特征值为1,-2,-2,根据惯性定理,T x Ax 的规范型为222123y y y --.故选C .二、填空题:9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2lim(2)x xx x →+=.【答案】24e .【解析】0222lim ln[1(21)]0lim(2)lim[1(21)]x x x x xxxxx x x x e→++-→→+=++-=0212lim 2(1ln 2)24x x x xee e →+-+===.10、曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 轴上的截距为 .【答案】322π+. 【解析】斜率32sin 11cos t dy t dx t π===--,切线方程为 322y x π=-++,截距为322π+. 11、设函数()f u 可导,2()y z yf x =,则2z zxy x y∂∂+=∂∂ . 【答案】2y yf x ⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12、曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为 ．【答案】1ln 32【解析】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )ln3.2s xdx x x ππ==+=⎰ 13、已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰,则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-． 【解析】设21sin ()xt F x dt t=⎰,则 1111122200000111()()()[()]()222f x dx xF x dx F x dx x F x x dF x ===-⎰⎰⎰⎰211112222000011sin 111()sin cos (cos11)22244x x F x dx x dx x x dx x x '=-=-=-==-⎰⎰⎰.14、已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭,ij A 表示元素ij a 的代数余子式,则1112A A -= ．【答案】4-.【解析】由行列式展开定理得111211001000111111211121111210104322131210343434034A A A -----------====-==----． 三、解答题:15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）已知函数2,0()1,0x x xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩,求()f x ',并求函数()f x 的极值．【解析】当0x >时,22ln ()xx x f x xe ==,2()2(ln 1)xf x x x '=+;当0x <时,()(1)x f x x e '=+;22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞,即()f x 在0x =处不可导．综合上述:22(ln 1),0()(1),0xxx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩;令()0f x '=得驻点1211,x x e=-=;0x =昰函数()f x 的不可导点. 当1x <-时,()0f x '<;当10x -<<时,()0f x '>;当10x e<<时,()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>;故11x =-昰函数的极小值点,极小值为1(1)1f e --=-;21x e=昰函数的极小值点,极小值为21()e f e e-=;函数()f x 在0x =处连续且有极大值(0)1f =．16、（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【解析】设222236(1)(1)1(1)1x A B Cx Dx x x x x x x ++=++-++--++ （1）两边同乘以2(1)x -且令1x =,可得3B =; （2）两边同乘以x 且令x →∞,可得0A C+=;（3）两边分别令0x =,1x =-,可得63244A B D A B C D -++=⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩;解得2,2,1A C D =-==.则2222362321(1)(1)1(1)1x x x x x x x x x ++=-++-++--++,于昰2222362321(1)(1)1(1)1x x dx dx x x x x x x x ⎛⎫++=-++ ⎪-++--++⎝⎭⎰⎰2223(1)32ln 12ln 1ln(1)111d x x x x x x C x x x x ++=---+=---++++-++-⎰.17、（本题满分10分）设函数()y x昰微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =解．（1）求()y x 的表达式;（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤,求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 【解析】（1）方程为一阶线性非齐次微分方程．由通解公式可得222()222()()())x x x xdxx dxy x e ee dx C e C e C -⎰⎰=+=+=,把初始条件(1)y =,得0C =,从而得到 22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18、（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤,计算二重积分D．【解析】显然积分区域D 关于y 轴对称,由对称性可得0D=;将2234()x y y +≤化为极坐标,有 20sin rθ≤≤,于昰23sin 44sin DDd r dr πθπθθ==⎰⎰33522444411sin (1cos )cos 22120d d ππππθθθθ==--=⎰⎰. 19、（本题满分10分）设n 昰正整数,记n S 为曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积,求n S ,并求lim .n n S →∞【解析】当()2,(21)x k k ππ∈+时,sin 0x >;当()(21),(22)x k k ππ∈++时,sin 0x <,故曲线sin (0)xy ex x n π-=≤≤与x 轴之间图形的面积应表示为(1)0sin sin nn k xx n k k S exdx e xdx πππ+--===∑⎰⎰,先计算(1)sin k x kk b e xdx ππ+-=⎰, 作变量替换 u x k π=-,于昰有 ()sin()u k kb eu k du πππ-+=+⎰0sin k u ee u du ππ--=⎰()01sin [sin cos ]2k u k u e e udu e e u u ππππ----==-+⎰12k e eππ--+=. 所以00(1)(1)(1)(1)(1)22(1)2(1)k n n nnn k k k e e e e e e S b e e ππππππππ------==++-+-====--∑∑, 因此 (1)(1)1lim lim 2(1)2(1)n n n n e e e S e e πππππ-→∞→∞+-+==--. 20、（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式222222330u u u ux y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂．求,a b的值,使得在变换(,)(,)ax byu x y v x y e +=之下,上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【解析】在变换(,)(,)ax by u x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂,(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax by ax byu v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂, 222222(,)ax by ax by ax byu v v e b e b v x y e y y y+++∂∂∂=++∂∂∂; 把上述式子代入关系式222222330u u u ux y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂,得到 22222222(43)(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-+++-+-+=∂∂∂∂根据要求,显然当33,44a b =-=时,可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21、（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数,且(0)0,(1)1f f ==,1()1f x dx =⎰,证明:（1）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=;（2）至少存在一点(0,1)η∈,使得()2f η''<-． 证明:（1）令0()()xx f t dt Φ=⎰,则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰,则由于()f x 在[]0,1连续,则()x Φ在[]0,1上可导,且()()x f x 'Φ=,则由拉格朗日中值定理,至少存在一点1(0,1)ξ∈,使得1()(1)(0)1ξ'Φ=Φ-Φ=,即1()1f ξ=;又因为(1)1f =,对()f x 在[]1,1ξ上用罗尔定理 ,则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂,使得()0f ξ'=; （2）令2()()F x f x x=+,显然 ()F x 在[]0,1具有二阶导数,且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理,至少存在一点11(0,)ηξ∈,使得2111111()(0)11()10F F F ξξηξξξ-+'===+-;至少存在一点21(,1)ηξ∈,使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-;对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理,则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂,使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--,又因为()()2F f ηη''''=+,故()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ:12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭;向量组Ⅱ:12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价,求常数a 的值,并将3β用123,,ααα线性表示．【解析】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件昰123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时,显然, 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===,两个向量组等价．此时,123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,也就昰3123(23)(2)k k k βααα=-++-+,其中k 为任意常数;（2）当1a ≠时,继续进行初等行变换如下:12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然,当1a ≠-且1a ≠时,123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==,同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,123(,,)3r βββ=,也就昰123123123123(,,)(,,)(,,;,,)3r r r αααβββαααβββ===,两个向量组等价．这时,3β可由123,,ααα线性表示,表示法唯一:3123βααα=-+．（3）当=1a -时,()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,此时两个向量组不等价.综上所述,综上所述,当向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价时,1a ≠-.23、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与 21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 相似, （I ）求,x y ;（II ）求可逆矩阵P ,使得 1P AP B -=.【解析】（I ）由于A 与B 相似,根据矩阵相似必要条件,有 ()()A B tr A tr B ⎧=⎪⎨=⎪⎩ , 即2(24)22221x y x y--+=-⎧⎨-+-=-+⎩,解得 3,2x y ==-.（II ）矩阵B 昰上三角矩阵,易得B 的特征值为2,1,2--.又因为A 与B 相似,所以A 的特征值也昰2,1,2--.对于矩阵A :解方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==,可得属于特征值12,λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为:1(1,2,0)T α=-,2(2,1,0)T α=-,3(1,2,4)T α=-对于矩阵B :解方程组()0(1,2,3)i E B x i λ-==,可得属于特征值12,λ=21,λ=-32λ=-的线性无关的特征向量为:1(1,0,0)T β=,2(1,3,0)T β=-,3(0,0,1)T β= 令1123(,,)P ααα=, 2123(,,)P βββ=,则有111122212P AP P BP --⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭, 即 112112P P APP B --=, 令 1112121110111212030212004001004P PP -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则有 1PAP B -=,证毕.。
2019考研数学二答案解析
= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1
2019年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析
y
=
g(x) 在 x
=
a 对应的点处相切且曲率相等的充
分但不必条件，应选(A).
(7)设 A 是4阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有2个向量，
则 r( A*) = ( )
(A)0
应选(B)。
(3)下列反常积分发散的是( )
∫ (A) +∞ xe−xdx 0
∫ (B) +∞ xe−x2 dx 0
【答案】D
+∞ arctan x
∫ (C) 0
1+ x2 dx
+∞ x
∫ (D) 0
1+ x2 dx
【解析】(方法一)
∫ ∫ 由 +∞ xe−xdx = Γ(2) = 1，得 +∞ xe−xdx 收敛；
=
a 处连续，则 lim x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= 0 是曲线
y = f (x) 和 y = g(x) 在 x = a 对应的点处相切且曲率相等的( )
(A)充分非必要条件，(B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 【答案】A
【解析】若 lim x→a
∫∫ (5)已知平面区= 域 D
{(
x,
y)
||
x
|
+
|
y
|≤
π 2
}
，= 设 I1
D
x2 + y2 dxdy ， I2 =
∫∫ ∫∫ sin x2 + y2 dxdy ， I3 =(1− cos x2 + y2 )dxdy ，则( )
D
2019考研数学二考试真题及答案详解(完整版)
f (a ) g (a )
lim
f' (x)
g
' (
x)
xa 2(x a)
f (a) g(a)
lim f (x) g(x) = f (a) g(a) f ( a) g( a)
xa
2
2
f(x)与 g(x)相切于点 a.且曲率相等.选择（B）
f
+ y × f + 2y 2 f x
= - 2 y3 f + yf + 2 y3 f
x
x
=
yf
ççç
y2 x
÷÷÷÷
12. 设函数 y lncosx(0≤x≤ )的弧长为
.
6
解析：
y ln cos x, 0 x 6
l
6 0
1
sin x cos x
2019 考研数学二考试真题及答案详解 来源：文都教育
一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的.
1.当 x→0 时， x tan x与x k 同阶，求 k（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：
x - tan x - x3 若要 x - tan x 与 xb 同阶无穷小， \ k = 3 3
A. y12 y22 y32
B. y12 y22 y32
C. y12 y22 y32
D. y12 y22 y32
解析： 由 A2 + A = 2E 得 λ2 + λ=2 ， λ 为 A 的特征值， l=-2 或 1， 又 A λ1λ2 λ3=4 ，故 λ1=λ2=-2，λ3=1 ，
2019年考研数学二真题及答案解析
2019年研究生统一入学考试数学（二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当时，若与是同阶无穷小，则k=（ ）。
A.1B.2C.3D.42.设函数的拐点（ ）。
A.B.C.D 3.下列反常积分发散的是（ ）。
A.B.C.D.4.已知微分方程的通解为，则、、、依次序为（ ）。
A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，45.已知区域，，，，试比较的大小（ ）。
A.B.C.D.CCDDA6.已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.即非充分又非必要条件7.设A是四阶矩阵，是A的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则的秩是（ ）。
A.0B.1C.2D.38.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。
若，且，则规范形为（ ）。
A.B.C.D.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.。
10.曲线在对应点处切线在y轴上的截距。
11.设函数可导，，则。
12.已知函数的弧长为。
13.已知函数，则。
14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。
15.已知求，并求的极值。
当x>0时，当x<0时，AA C故，而在x=0附近时，当x>0，，单调递减；当x<0，，单调递增；故在x=0处取极大值16.求不定积分。
17.是微分方程满足的特解。
（1）求；由于则可以得出，两边同时积分可以得由于，代入得c=0，故（2）设平面区域求D绕x轴旋转一周的体积；由体积公式得18.已知平面区域D满足，，求。
极坐标方程为，由于对称性==19.，是的图像与x轴所围成图形的面积，求，并求。
2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分） 求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=； （2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似， （Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。
2019考研数学二真题及答案解析
(C) I1 I2 I3
(D) I2 I3 I1
（6） 设函数f
(x), g(x)的2阶导函数在x
a处连续，则 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
0是两条曲线
y f (x), y g(x)在x a对应的点处相切及曲率相等的 （ ）
(A) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件
(B)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
（ 7 ） 设 A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax 0的基础解系只有2个向量，则
r A* （ ）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
（8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若A2 A 2E, 且 A 4，则二次型xT Ax 的规范为
（18）（本题满分 10 分）
已知平面区域D (x, y) x y,(x2 y2 )3 y4 , 计算二重积分 x y dxdy. D x2 y2
（19）（本题满分 10 分）
设n是正整数，记Sn为曲线y
ex
sin
x(0
x
n
)与x轴所围图形的面积.求Sn ,并求
lim
n
Sn.
（20）（本题满分 11 分）
（23）（本题满分 11 分）
2 2 1
2 1 0
已知矩阵A 2 x 2与B 0 1 0 相似.
0 0 2
0 0 y
(1) 求x、y ;
(2) 求可逆矩阵P，使得P1AP B.
（16）（本题满分 10 分）
求不定积分
(
x
3x 1)2 (x2
6
x
dx. 1)
（17）（本题满分 10 分）
2019年数学二真题及答案解析【原版】
2019年数学二真题及答案解析——一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，若x −tan x 与x k是同阶无穷小，则k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.【答案】C【解析】33311tan (())~,33x x x x x o x x -=-++-故 3.k =（2）设函数3sin 2cos 22y x x x x ππ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的拐点坐标为（A ）,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()0,2.（C ）(),2π-（D ）33,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】'sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x=+-=-''cos sin cos sin y x x x x x x=--=-令''00y x x π===得或当''0;''0x y x y πππ>><<时当时，，故(,-2)为拐点（3）下列反常积分发散的是（）（A ）xxe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰（C ）2arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x +∞+⎰【答案】（D ）【解析】（A ）1,.xx xx xe dx xde xee dx +∞+∞+∞----+∞=-=-+=⎰⎰⎰收敛.（B ）2220011,.22x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰收敛（C ）[]2220arctan 1arctan 128x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛.（D ）22001ln(1).12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰发散综上，故选（D ）（4）已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12(),xx y C C x ee -=++则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1（B ）1,0,2（C ）2,1,3（D ）2,1,4【答案】D 【解析】()221012,1;2, 4.x x r ar b r a b e y y y ce c -++=+=='''++==由题干分析出为特征方程的二重根,即=0故又为的解代入方程得（5）【答案】【解析】（6）已知(),()f x g x 二阶可导且在x a =处连续，则(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等是2()()lim0()x af xg x x a →-=-的（）（A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】（C ）【解析】因2()()lim0()x af xg x x a →-=-，则[][]221[()()]()()()()()()2lim0()x af ag a f a g a x a f a g a x a x a →''''''-+--+--=-，故()()0()()0()()0f a g a f a g a f a g a -=⎧⎪''-=⎨⎪''''-=⎩由此可得(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等。
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A.充分非必要条件B.充分必要条件
C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件
7.设 是四阶矩阵， 是 的伴随矩阵，若线性方程组 的基础解系中只有2个向量，则 的秩是
;
8.设 是3阶实对称矩阵， 是3阶单位矩阵，若 ，且 ，则二次型 的规范形为
已知函数 ，求
16.（本题满分10分）
求不定积分
(
17.（本题满分10分）
是微分方程 满足条件 的特解.
（1）求
（2）设平面区域 ，求D绕 轴旋转一周所得旋转体的体积.
18.（本题满分10分）
已知平面区域 满足 ，求
19.（本题满分10分）
的图像与x轴所谓图形的面积，求 ，并求
。
20.（本题满分11分）
23.（本题满分11分）
已知矩阵
（1）求 ，
（2）求可逆矩阵 使得
@
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学二）
9.
10.
11.
12.
13.
14.|
15.
15.解：
当 时， .
当 时， .
当 时， ，
，
.
故 .
~
令 ，得 .
（1）当 单调递减，
当 单调递增，
故 为极小值.
（2）当 单调递增，
当 单调递减，
故 为极大值.
（3）当 单调递减，
&
当 单调递增，
故 为极小值.
16.
17.
18.
'
19.
20.解：
，
带入得 ，解得 .
.
22.解：
（1）当 ，即 时， ，此时两个向量组必然等价，且 .
:
（2）当 时，
此时两个向量组等价， .
（3）当 时， .
此时两个向量组不等价.
23.（1） 与 相似，则 ， ，即 ，解得
已知函数 满足 求 的值，使得在变换 下，上述等式可化为 不含一阶偏导数的等式.
21.（本题满分11分）
已知函数 在 上具有二阶导数，且 ，证明：
（1）存在 ，使得 ；
（2）存在 ，使得 .
22.（本题满分11分）
。
已知向量组（Ⅰ） ， ， ，
（Ⅱ） ， ， ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求 的取值，并将 用 线性表示.
A. B.
C. D.
二、填空题
9.
10.曲线 在 对应点处切线在y轴上的截距为
11.设函数 可导， ，则
12.设函数 的弧长为
13.(
14.已知函数 ，则
14.已知矩阵 ， 表示 中 元的代数余子式，则
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
（2） 的特征值与对应的特征向量分别为
， ； ， ； ， .
所以存在 ，使得 .
的特征值与对应的特征向量分别为
， ； ， ； ， .
所以存在 ，使得 .
所以 ，即
其中 .
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析
一、选择题
1.当 时，若 与 是同阶无穷小，则
..
..
2. 的拐点
A. B.
C. D.
|
3.下列反常积分收敛的是（）
A. B.
C. D.
4.
的值为（ ）
,0,1 ,0,2 ,1,3 ,1,4
5.已知积分区域 ， ， ， ，试比较 的大小
;
A. B.
C. D.