第四章 珠 算 除 法

除法的分类
• 除法分基本除法和简捷除法。 除法分基本除法和简捷除法。 • 基本除法又可进一步分为商除法（包括 基本除法又可进一步分为商除法（ 隔位与不隔位商除法）， ），扒皮除法和归 隔位与不隔位商除法），扒皮除法和归 除法，其中商除法简便易学， 除法，其中商除法简便易学，普及率较 高； • 简捷除法可进一步分为定身减除法、定 简捷除法可进一步分为定身减除法、 身加除法和省略除法等。 身加除法和省略除法等。
• 设m代表被除数（实数）的位数，n代表除数（法数）的 代表被除数（实数）的位数， 代表除数（法数） 位数， 代表商数的位数。 位数，s代表商数的位数。 • （1）当被除数（实数）的首位数小于除数（法数）的 当被除数（实数）的首位数小于除数（法数） 首位数（即不够除） 商的位数等于被除数的位数m 首位数（即不够除）时，商的位数等于被除数的位数m 减去除数的位数n 即用公式： 减去除数的位数n，即用公式：m－n＝s ①。 • （2）当被除数（实数）的首位数大于除数（法数）的 当被除数（实数）的首位数大于除数（法数） 首位数（即够除） 商的位数等于被除数的位数m 首位数（即够除）时，商的位数等于被除数的位数m减 去除数的位数n再加1 即用公式： 去除数的位数n再加1，即用公式：m－n＋1＝s ②。 • （3）当被除数（实数）的首位数与除数（法数）的首 当被除数（实数）的首位数与除数（法数） 位数相等就比较它们的次高位或次次高位， 位数相等就比较它们的次高位或次次高位，若实数小于 法数则用公式①，若实数大于法数则用公式②。 法数则用公式① 若实数大于法数则用公式②

第二节 商
除 法
• 商除法是一种古老的求商法，商除法又可进一步地分为 商除法是一种古老的求商法， 隔位商除法和不隔位商除法。 隔位商除法和不隔位商除法。 • 一、隔位商除法 • （一）隔位商除法的要领 • 1．布数 • 为了计算时随时观看除数，作除法时，将除数布于算盘 为了计算时随时观看除数，作除法时， 左边，被除数布于算盘右边适当的位置上（ 左边，被除数布于算盘右边适当的位置上（一般和除数 相隔三、四档以免混淆）。 相隔三、四档以免混淆）。 • 2．立商位置 • 被除数与除数同位数相比，大于或等于除数（够除）， 被除数与除数同位数相比，大于或等于除数（够除）， 隔位立商，即在被除数首位数的前二档置商， 隔位立商，即在被除数首位数的前二档置商，而当被除 的数同位比除数小时（不够除），则挨位置商， ），则挨位置商 的数同位比除数小时（不够除），则挨位置商，即在被 除数首位数的前一档置商。 除数首位数的前一档置商。 • 归纳起来，立商法则是：够除隔位商，不够除挨位商。 归纳起来，立商法则是：够除隔位商，不够除挨位商。
• 3．估商 • 从被除数的首位或前两位与除数首位的比较中看被除的数含几 倍除数就进商数几，这一比较方法用乘法大九九口诀进行， 倍除数就进商数几，这一比较方法用乘法大九九口诀进行，但 要遵循“宁小勿大”的估商原则。具体做法有以下三种： 要遵循“宁小勿大”的估商原则。具体做法有以下三种： • （1）法首估商法：商除法一般不用整个除数去与被除数比较估 法首估商法： 而是用除数的首数字（法首） 商，而是用除数的首数字（法首）去与被除数的一位或两位比 较估商，叫法首估商法。 较估商，叫法首估商法。 • （2）法首加1估商法：当除数的首二位数字较大时，用法首估 法首加1估商法：当除数的首二位数字较大时， 商误差较大，根据估商宜偏小的原则，就应采取法首加1估商法。 商误差较大，根据估商宜偏小的原则，就应采取法首加1估商法。 45708÷293＝156， 这时用法首2 估商。 如45708÷293＝156， 这时用法首2加1的“3”估商。用“法首 估商 估商法”估出的商，有时比实商略小， 加1估商法”估出的商，有时比实商略小，这时可通过补商来调 整。 • （3）法二位估商法：当除数首位是1时，用法首1估商，或用法 法二位估商法：当除数首位是1 用法首1估商， 首加1 1+1=2）估商，都会产生误差，遇到此种情况， 首加1（1+1=2）估商，都会产生误差，遇到此种情况，用法二 位估商一般准确无误。 位估商一般准确无误。
• （三）多位数除法 • 除数是两位或两位以上的除法，叫做多位 除数是两位或两位以上的除法， 数除法。它与一位数除法的运算原理相同， 数除法。它与一位数除法的运算原理相同， 也需要置数、估商、置商、减积、 也需要置数、估商、置商、减积、定位等 五个计算步骤。不同的是在估商时， 五个计算步骤。不同的是在估商时，不能 只看除数的首位，而要顾及到后面几位。 只看除数的首位，而要顾及到后面几位。 另外，在减积时， 另外，在减积时，要把商与除数各位数字 相乘的积，依次从被除数中减去。 相乘的积，依次从被除数中减去。
第四章 珠 算 除 法
• 已知两数之积和其中一个因数，求另一个因数的运算叫 已知两数之积和其中一个因数， 除法。 除法。 • 除法的算式是：被除数÷除数＝商……余数 除法的算式是：被除数÷除数＝ 余数 • 珠算术语中将被除数叫做实数，除数叫做法数。 珠算术语中将被除数叫做实数，除数叫做法数。 • 珠算除法，应该遵守下面三个基本规则： 珠算除法，应该遵守下面三个基本规则： • （1）用除数去除被除数时，应从左到右，先从被除数 用除数去除被除数时，应从左到右， 的最高位除起，依次除到最低位。 的最高位除起，依次除到最低位。 • （2）珠算除法是用大九九口诀乘积递位叠减，是乘法 珠算除法是用大九九口诀乘积递位叠减， 的逆运算（逆位叠减就是每乘一位将乘积退一位减去）。 的逆运算（逆位叠减就是每乘一位将乘积退一位减去）。 • （3）被除数和除数不能交换位置。 被除数和除数不能交换位置。
• 隔位除法下，由于该法与不隔位除法在 隔位除法下， 置商时相差一个档次， 置商时相差一个档次，故商的个位应向 左多移一档。如除数是正二位， 左多移一档。如除数是正二位，则商的 个位应在被除数个位档的左三档上； 个位应在被除数个位档的左三档上；是 负二位， 负二位，则商的个位就在被除数个位档 的右一档上；是零位， 的右一档上；是零位，则商的个位档应 在被除数个位档的左一档上 。
二、移档定位法
• 移档定位法也叫数档定位法。它是按照“等档同 移档定位法也叫数档定位法。它是按照“ 零位不变”的规则，以除数的位数为准， 向、零位不变”的规则，以除数的位数为准，用 向右或向左数档位的办法来确定商数的个位档。 向右或向左数档位的办法来确定商数的个位档。 • 不隔位除法下，在整数及带小数除法中只要数一 不隔位除法下， 数除数整数有几位，商数的个位就在被除数个位 数除数整数有几位， 的左边第几档上；在纯小数除法中， 的左边第几档上；在纯小数除法中，除数是负几 商的个位就在被除数个位挡右边第几档上。 位，商的个位就在被除数个位挡右边第几档上。 如除数是负二位， 如除数是负二位，则商的个位就在被除数个位档 右边第二档上；在纯小数除法中，除数是零位时， 右边第二档上；在纯小数除法中，除数是零位时， 则被除数的个位档，就是商的个位档。 则被除数的个位档，就是商的个位档。
• （二）一位数除法 • 除数是一位数的除法，叫做一位数除法。它是 除数是一位数的除法，叫做一位数除法。 多位数除法的基础。运算时， 多位数除法的基础。运算时，将商与除数的乘 积依次从高位到低位轮减，减积时，如遇到积 积依次从高位到低位轮减，减积时， 的十位为0 要占一位，以免错档。 的十位为0，要占一位，以免错档。
第一节 商的定位法
• 在珠算除法中，随着乘减的继续，被除数逐渐从 在珠算除法中，随着乘减的继续， 算盘上消失，最后只有商数（有时还有余数）。 算盘上消失，最后只有商数（有时还有余数）。 商的位数不像在笔算中那么容易看出。 商的位数不像在笔算中那么容易看出。所以珠算 除法得出商以后，必须定位，才能确定位数。 除法得出商以后，必须定位，才能确定位数。 • 一、公式定位法 • 公式定位法是利用数学公式确定商数数值的一种 定位方法，其优点在于事先就可确定商的位数， 定位方法，其优点在于事先就可确定商的位数， 可使计算者心中有数，按要求位数计算商数， 可使计算者心中有数，按要求位数计算商数，既 不多算，也不少算。 不多算，也不少算。
• 三、固定个位档定位法 • （1）在算盘梁上选好定位部位，然后标上定位标记 在算盘梁上选好定位部位， （小数点和分节号）。 小数点和分节号）。 • （2）不隔位除法用公式（m–n）上盘，即被除数位数m， 不隔位除法用公式（ n 上盘，即被除数位数m 减除数位数n是几位，则从几位档起布被除数， 减除数位数n是几位，则从几位档起布被除数，运算后 盘上各档算珠所表示的数和梁上所标的分节和小数点照 抄写成数，即为所求商数及位数。 抄写成数，即为所求商数及位数。 • （3）隔位除法用公式（m–n＋1）上盘。 隔位除法用公式（ n 上盘。 • （4）省一除法（定身除法）用公式（m–n＋1）上盘。 省一除法（定身除法）用公式（ n 上盘。
• 4．运算顺序 • 被除数从首位开始，依次除到末位或所要求的准确度的 被除数从首位开始， 档位为止。 档位为止。 • 5．减积 • 商与除数首位数相乘的积，其十位数从商的右一档减起， 商与除数首位数相乘的积，其十位数从商的右一档减起， 个位从右二档减起，除数位次每右移一档， 个位从右二档减起，除数位次每右移一档，其减积档次 也右移一档，除数是第几位， 也右移一档，除数是第几位，与商的乘积十位数就从商 的右边第几档减去， 的右边第几档减去，上次减积的个位就是本次减积的十 依次运算下去。减积过程中注意“指不离档” 位，依次运算下去。减积过程中注意“指不离档”，以 免发生错档。 免发生错档。
• 以上三条可概括为：“实法齐位比，实小法大位相减 以上三条可概括为： 实法齐位比， （m－n），实大减后再加1（m－n＋1）”。 ），实大减后再加1 实大减后再加 • 【例1】 13.8÷6＝2.3 13.8÷ • 定位：被除数首位数1，小于除数首位数6，用公式① 定位：被除数首位数1 小于除数首位数6 用公式① 定位。 ），商数是正一位数 商数是正一位数。 定位。即2－1＝1（位），商数是正一位数。 • 【例2】 6.87÷3＝2.29 6.87÷ • 定位：被除数首位数6，大于除数首位数3，用公式② 定位：被除数首位数6 大于除数首位数3 用公式② 定位。即1－1＋1＝1（位），商数是正一位数。 定位。 ），商数是正一位数。 商数是正一位数 • 【例3】 121÷1.1＝110 121÷1.1＝ • 定位：被除数的首位数和除数的首位数都是1，而被除 定位：被除数的首位数和除数的首位数都是1 数的首二位数2大于除数的首二位数1 故采用公式② 数的首二位数2大于除数的首二位数1，故采用公式② 定位， ），商数是正三位数 商数是正三位数。 定位，即3－1＋1＝3（位），商数是正三位数。