高考数学 一轮复习 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示
[由题悟法]
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求函数解析式的 5 种方法
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表 达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出 换元法 x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到
故 f(x)的解析式是 f(x)＝lgx－2 1，x＞1.
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(4)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x)的解析式；
解：(解方程组法)由 f(－x)＋2f(x)＝2x，
①
得 f(x)＋2f(－x)＝2－x，
②
①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.
即 f(x)＝2x＋1－3 2－x.
① ②
②×5－①×3 得 f(x)＝1156x－196x＋18(x≠0)．
答案：f(x)＝1156x－169x＋18(x≠0)
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
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考点一 函数的定义域 基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．(2018·常州期末)函数 y＝ 1－x＋lg(x＋2)的定义域为
________． 解析：由题意可得1x－＋x2≥＞00，， 解得－2＜x≤1，故所求 函数的定义域为(－2,1]． 答案：(－2,1]
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2．(2018·南通中学高三测试)函数 y＝2x2－1－3xx－2 2的定义域为
________________． 解析：由函数 y＝2x2－1－3xx－2 2得12－x2－x2≥3x0－，2≠0，
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[小题体验] 1．(2019·无锡一中期中测试)函数 f(x)＝ln(x2－x)的定义域为
________． 解析：由题意知，x2－x＞0，即 x＜0 或 x＞1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) 2．已知 f( x)＝x－1，则 f(2)＝________. 解析：令 x＝2，则 x＝4，所以 f(2)＝3. 答案：3
[题点全练] 角度一：分段函数的求值问题
|log3x＋1|，－1＜x≤0，
1．设函数 f(x)＝ tan
π2x，0＜x＜1，
则f
f
33－1
＝________.
解析：因为－1＜
33－1≤0，所以 f
33－1＝log3
33＝12，
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[通法在握] 1．分段函数的求值问题的解题思路 (1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间， 然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间 的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 2．分段函数与不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果 并起来．
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必过易错关
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1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方 法，同时要注意函数的定义域．
2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是 “由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量 的范围不确定，要分类讨论．
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[小题纠偏]
1．(2019·常州一中检测)若函数 f(x)＝2loxg－22x，－x1≤，1x，＞1，
所以 f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋1－3 2－x. (5)已知 f(0)＝1，对任意的实数 x，y 都有 f(x－y)＝f(x)－
y(2x－y＋1)，求 f(x)的解析式．
解：(赋值法)令 x＝0，得 f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，
所以 f(y)＝y2＋y＋1，即 f(x)＝x2＋x＋1.
f(x)的解析式，要注意新元的取值范围
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质， 待定系 数法 或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求
出相应的系数
解方程 已知关于 f(x)与 f 1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条件 组法 再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)
赋值法 给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式
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[即时应用] 1．(2019·如皋测试)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x))＝x＋2，
则 f(x)＝________. 解析：设 f(x)＝kx＋b，由 f(f(x))＝x＋2，可得 k(kx＋b)＋b ＝x＋2，即 k2x＋kb＋b＝x＋2，所以 k2＝1，kb＋b＝2， 解得 k＝1，b＝1，即 f(x)＝x＋1. 答案：x＋1
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4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数 f(x)＝ 的定义域是________．
log 1 x－3)≥0⇒0＜2x－3≤1⇒32＜x≤2， 2
即函数 f(x)的定义域是32，2.
答案：32，2
[谨记通法]
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函数定义域的求解策略
则f
f
33－1＝f
12＝tan
π4＝1.
答案：1
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角度二：求参数或自变量的值与范围
1 2．已知 f(x)＝x|si2n，x|x，∈x[∈0，－＋π2∞，0，，
若 f(a)＝12，则 a＝
________.
1
解析：若 a≥0，由 f(a)＝12得，a 2 ＝12，解得 a＝14；
为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域．
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考点二 求函数的解析式 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(1)已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)；
解：(待定系数法)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得 a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以2aa＋＋bb＝＝1b，＋1， 解得 a＝b＝12. 所以 f(x)＝12x2＋12x，x∈R .
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)
求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等
式(组)求解． (3)抽象函数：
①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数 f(g(x))
的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出； ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域
－1≤x≤1， 解得x≠2且x≠－12，
即－1≤x≤1 且 x≠－12，
所以所求函数的定义域为－1，－12∪－12，1.
答案：－1，－12∪－12，1
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3．若函数 y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数 g(x)＝fxx－＋11 的定义域是________． 解析：令 t＝x＋1，由已知函数的定义域为[1,2 019]，可知 1≤t≤2 019.要使函数 f(x＋1)有意义，则有 1≤x＋1≤2 019， 解得 0≤x≤2 018，故函数 f(x＋1)的定义域为[0，2 018]．所 以使函数 g(x)有意义的条件是0x≤－x1≤≠20，018， 解得 0≤x＜1 或 1＜x≤2 018.故函数 g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2 018]． 答案：[0,1)∪(1,2 018]
若 a＜0，则|sin a|＝12，a∈－π2，0， 解得 a＝－π6.综上可知，a＝14或－π6. 答案：14或－π6
角度三：分段函数与不等式问题
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x2ex，x≥0， 3．(2018·如东期末)设函数 f(x)＝xex2，x＜0， 则使得
f(2x＋1)＞f(x－1)成立的 x 的取值范围是________． 解析：当 x＞0 时，f(－x)＝x2ex＝f(x)，且为增函数，同理当 x＜0 时，f(－x)＝xex2＝f(x)，且为减函数，所以 f(x)关于 y 轴 对称，且左减右增．要使 f(2x＋1)＞f(x－1)，则需|2x＋1|＞ |x－1|，两边平方化简得 x2＋2x＞0，解得 x＜－2 或 x＞0， 故所求 x 的取值范围是(－∞，－2)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)
则f
f
52＝________.
解析：因为52＞1，所以 f 52＝log232，
又因为 log232＜1，所以 f
f
52＝2
log
2
3 2
－2＝－12.
答案：－12
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2．(2018·苏州中学测试)已知 f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足
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3．(2019·海头高级中学高三期中)若函数 f(x)＝23＋ －lloogg32x－，xx＞，0x，＜0， 则 f( 3)＋f(－ 2)＝________. 答案：5
4．已知函数 f(x)＝3－x，x，x≤x＞1，1. 若 f(x)＝2，则 x＝________. 解析：依题意得当 x≤1 时，3x＝2，所以 x＝log32； 当 x＞1 时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故 x＝log32. 答案：log32
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(2)已知 f x＋1x＝x2＋x12，求 f(x)的解析式； 解：(配凑法)由于 f x＋1x＝x2＋x12＝x＋1x2－2， 所以 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2， 故 f(x)的解析式是 f(x)＝x2－2，x≥2 或 x≤－2.
(3)已知 f 2x＋1＝lg x，求 f(x)的解析式； 解：(换元法)令2x＋1＝t 得 x＝t－2 1，代入得 f(t)＝lgt－2 1， 又 x＞0，所以 t＞1，
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ
第一 节 函数及其表示
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试，全面打牢基础
函数的概念与基本初等函数Ⅰ复习
函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示突破点(一) 函数的定义域1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．求给定解析式的函数的定义域常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2) D ．[－2,0]∪[1,2] [答案] C求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[答案] [0,1)已知函数定义域求参数[例3] (2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][答案] D1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1] D ．[0,2] 解析：选B2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点求函数的解析式求函数解析式的四种方法[典例](1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(2)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x ＋1)．(2) f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32(2)(2017·张掖高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14B.⎝⎛⎭⎫12 21log 5＋C.12D.120 [答案] (1)C (2)D求参数或自变量的值或范围[例2] (1)(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．[答案] (1)A (2)(－∞，8]1．[考点一]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ≤0，x 2，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．1 C.14 D.12解析：选C2．[考点一]已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx ，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫23的值为( ) A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 解析：选B3．[考点一]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 解析：选B4．[考点二]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析：选C5．[考点二]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为________．答案：－1或16．[考点二]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．答案：[－4,2][全国卷5年真题集中演练——明规律] 1．(2016·全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：选D1．下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C2．若函数f (x ＋1)的定义域为[0,1]，则f (2x －2)的定义域为( ) A ．[0,1] B ．[log 23,2] C ．[1，log 23] D ．[1,2] 解析：选B3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 解析：选B 4．若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案：[－1,0]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝________.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10] 解析：选D2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－2 解析：选C3．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1 D ．－1解析：选A4．(2017·贵阳检测)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：选D5．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x 解析：选D6．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B二、填空题7．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，f (x ＋1 001)＝2f (x )＋1，已知f (15)＝1，则f (2 017)＝________.答案：18．(2017· 绵阳诊断)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：答案：－349．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：答案：710．定义函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则不等式(x ＋1)f (x )>2的解集是________．答案：{x |x <－3或x >1} 三、解答题11．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1) f (－1)＝0，f (1.5)＝－18.(2) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4(x ＋2)2，x ∈[－2，－1)，－2(x ＋1)2，x ∈[－1，0)，x 2，x ∈[0，1]，－12(x －1)2，x ∈(1，2].12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1) y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)－72≤x ≤70.0≤x ≤70.行驶的最大速度是70千米/时．第二节 函数的单调性与最值突破点(一) 函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．判断函数的单调性1．复合函数单调性的规则若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．2．函数单调性的性质(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝1f(x)单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝f(x)单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．[例1](1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为() A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) [答案](1)C(2)B函数单调性的应用应用(一) [例2] 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c[答案] D应用(二) 解函数不等式[例3] f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[答案] B用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例4] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞C.⎣⎡⎭⎫－14，0D.⎣⎡⎦⎤－14，0 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞) [答案] (1)D (2)D1．[考点一]函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞)解析：选A2．[考点二·应用(一)]已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a ) 解析：选C3．[考点二·应用(二)](2017·太原模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．<x <3.答案：⎝⎛⎭⎫0，13∪(1,3) 4．[考点二·应用(三)]已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫32，25．[考点一]用定义法讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性．突破点(二) 函数的最值1.函数的最值 前提设函数f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．求函数的最值(值域)1．(1)判断或证明函数的单调性；(2)计算端点处的函数值；(3)确定最大值和最小值． 2．分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．[典例] (1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．[答案] (1)1 (2)⎝⎛⎦⎤2，103 (3)21．已知a >0，设函数f (x )＝2 018x ＋1＋2 0162 018x ＋1 (x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 016B ．2 018C ．4 032D ．4 034 解析：选D2．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 解析：选C3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案：34．(2017·益阳模拟)已知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f (x )的值域为________．答案：⎣⎡⎦⎤79，785．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案：1[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________．答案：161．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x D ．y ＝x ＋1x 解析：选A2．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 解析：选C3．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B 4．函数f (x )＝2x －1在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________． 答案：－27 －235．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 [练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：选B2．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3) 解析：选A3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1 解析：选C5．(2017·九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B6．(2017·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 解析：选D 二、填空题7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (x )的最小值是________．答案：22－310．(2017·豫南名校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2) 三、解答题 11．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 答案：a 的取值范围是(0,1]．12．已知函数f (x )＝ax ＋1a (1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．解： g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <1，1a ，a ≥1，∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a ＝1时，有a ＝1a ＝1，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1. 第三节 函数的奇偶性及周期性突破点(一) 函数的奇偶性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y 轴对称2.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．函数奇偶性的判断[例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x lg(x ＋x 2＋1)；(2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1 (x >0)，x 2＋2x －1 (x <0)；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3.[解] (1)偶函数．(2)非奇非偶函数．(3)奇函数．(4)函数f (x )是奇函数．函数奇偶性的应用[例2] (1)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.[答案] (1)B (2)131．[考点一]下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝x2＋cos x 答案：D2．[考点一]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．f(x)＝1＋x2B．f(x)＝x＋1x C．f(x)＝2x＋12x D．f(x)＝x＋ex解析：选D3．[考点二]设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝()A．－12 B.12C．2 D．－2解析：选B4．[考点二]设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.答案：－15．[考点二]已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.答案：x2＋x－1突破点(二)函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．利用函数的周期性求值或范围周期函数y(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是4|b －a |； (8)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； (9)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a .[典例] (1)(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.(2) f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝1 009.1．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D2．(2017·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14 D ．－12解析：选A3．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值．f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝336＋3＝339.突破点(三) 函数性质的综合问题1．函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性结合，而周期性多与抽象函数结合，并结合奇偶性求函数值．2．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．奇偶性与单调性的综合问题偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．[例1] 已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．实数m 的取值范围是[－1,1)．奇偶性与周期性的综合问题[例2] 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1 D ．－3＋1[答案] D奇偶性、周期性、单调性的综合问题[例3] 则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)[答案] D1．[考点一](2017·太原模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x 2 C ．y ＝cos xx D ．y ＝－x 2 解析：选D2．[考点二](2017·广州联考)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98 解析：选B3．[考点一]已知定义在R 上的奇函数f (x )在x >0时满足f (x )＝x 4，且f (x ＋t )≤4f (x )在x∈[1,16]时恒成立，则实数t的最大值是()A.2－1 B．16(2－1) C.2＋1 D．16(2＋1)解析：选A4．[考点三]已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝1f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数解析：选A5．[考点二]已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3 a＋1，则实数a的取值范围为________．答案：(－1,4)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.答案：13．(2014·新课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.答案：34．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．答案：(－1,3)5．(2012·新课标全国卷)设函数f(x)＝(x＋1)2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.答案：21．(2016·肇庆三模)在函数y＝x cos x，y＝e x＋x2，y＝lg x2－2，y＝x sin x中，偶函数的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0解析：选B2．下列函数为奇函数的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝e x －e －x 解析：选D3．(2017·江南十校联考)设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为R D ．f (x )是周期函数 解析：选D4．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．答案：－15．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案：－－x －1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．(2017·石家庄质量检测)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝|x |－1 C ．y ＝lg x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12ln |x | 解析：选B2．(2017·泰安模拟)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 解析：选A3．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－12 解析：选A4．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析：选C5．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 解析：选D6．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16 解析：选B 二、填空题7．(2017·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R)可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 答案：19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．解析：答案：(－2,1)10．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案： 2 三、解答题11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1) m ＝2.(2)实数a 的取值范围是(1,3]．12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1) f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数． (3) x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)． 第四节 二次函数与幂函数突破点(一) 幂函数1.幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质 函数性质y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性 增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减幂函数的图象[例1] 幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )[答案] C幂函数的性质(1)幂函数在(0；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；(5)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．[例2] (1)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________． (2)若(a ＋1)13－<(3－2a )13－，则实数a 的取值范围是________．[答案] (1)a >c >b (2)(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，321．[考点二]已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x23＋－m m 是幂函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为( )A ．－1 B ．2 C ．－1或2 D ．3解析：选B2．[考点一]图中C 1，C 2，C 3为三个幂函数y ＝x k 在第一象限内的图象，则解析式中指数k 的值依次可以是( )A ．－1，12，3B ．－1,3，12 C.12，－1,3 D.12，3，－1解析：选A3．[考点一、二](2017·昆明模拟)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意． 4．[考点二]若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c解析：选D 5．[考点二]若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 突破点(二) 二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ；(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，图象的对称轴是x ＝m ，顶点坐标是(m ，n )；(3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，图象的对称轴是x ＝x 1＋x 22. 2．二次函数的图象和性质 f (x )＝ax 2＋bx ＋ca >0a <0图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既不是奇函数也不是偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上单调递减最值 当x ＝－b2a 时，y min ＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y max ＝4ac －b 24a求二次函数的解析式[例1] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象确定二次函数的图象，主要有以下三个要点：从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．二次函数的图象与性质的应用考法(一) 二次函数的单调性[例2] 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[解] (1)实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2) f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．考法(二)二次函数的最值二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系m<n<－b2a，即－b2a∈(n，＋∞)m<－b2a<n，即－b2a∈(m，n)－b2a<m<n，即－b2a∈(－∞，m)图象最值f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f⎝⎛⎭⎫－b2af(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)[例3]已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．[a＝－1或a＝2.考法(三)二次函数中的恒成立问题[例4]已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．实数a的取值范围是[2,3]．1．[考点二]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：选D2．[考点三·考法(一)]函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A．－3 B．13 C．7 D．5解析：选B3．[考点一]二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．答案：f (x )＝12x 2－2x ＋14．[考点三·考法(二)]设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.5．[考点三·考法(三)]已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 近五年全国卷对本节内容未直接考查1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选A2．设a ＝⎝⎛⎭⎫2313，b ＝⎝⎛⎭⎫1323，c ＝⎝⎛⎭⎫1313，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a解析：选A3．已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选D4．二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．答案：y ＝13x 2－2x ＋35．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________． 答案：(－∞，－3][练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1解析：选B2．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( ) A ．－4 B ．4 C ．4或－4 D ．不存在解析：选B 3．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )<f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )>f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：选A4．已知函数f (x )＝x 2＋2|x |，若f (－a )＋f (a )≤2f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－2,2]C ．[－4,2]D ．[－4,4]解析：选A 5．设函数f (x )＝x 2－23x ＋60，g (x )＝f (x )＋|f (x )|，则g (1)＋g (2)＋…＋g (20)＝( )A ．56B ．112C ．0D ．38 解析：选B6．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析：选C 二、填空题7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案：(3,5)8．已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．答案：99．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为________． 答案：⎣⎡⎦⎤－235，1 10．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 三、解答题11．(2017·杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12的值域． 解：(1) m ＝0.(2)值域为⎣⎡⎦⎤12，1. 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．第五节 指数与指数函数突破点(一) 指数幂的运算1.根式(1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂。
高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第一节函数的概念及其表示课件
2
故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2(x≥2).
故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥2).
(4)因为f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
所以f(-x)+2f(x)=x2-2x,
所以2f(-x)+4f(x)=2x2-4x,②
②-①,得
1 2
f(x)=3x -2x,
故函数 f(x)的解析式为
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数
的 值域
.
(2)如果两个函数的
定义域
两个函数是同一个函数.
相同,并且 对应关系 完全一致,那么这
微点拨对函数概念的理解
(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系;
(2)如果两个函数的定义域和对应关系相同,这两个函数就是同一个函数,
的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
微拓展复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可
以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作
y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))
则 f(f(26))等于(
log 5 (-1), ≥ 4,
1
A.
5
1
B.
e
C.1
D.2
)
答案 (1)ln 2
(2)C
解析(1)由题意知,当x>0时,f(x)<0;
当x≤0时,f(x)=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3.
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ第一节 函数及其表示课件 理
π4＝1.
答案：1
12/11/2021
第二十七页，共三十六页。
角度二：求参数或自变量的值与范围
1 2．已知 f(x)＝x|si2n，x|x，∈x[∈0，－＋π2∞，0，，
若 f(a)＝12，则 a＝
________.
1
解析：若 a≥0，由 f(a)＝12得，a 2 ＝12，解得 a＝14；
若 a＜0，则|sin a|＝12，a∈－π2，0，
12/11/2021
第十七页，共三十六页。
4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数 f(x)＝ 的定义域是________．
log 1 2x－3
2
解析：由题意得 log 1 (2x－3)≥0⇒0＜2x－3≤1⇒32＜x≤2， 2
即函数 f(x)的定义域是32，2.
答案：32，2
12/11/2021
又 x＞0，所以 t＞1，
故 f(x)的解析式是 12/11/2021
f(x)＝lgx－2 1，x＞1.
第二十一页，共三十六页。
(4)已知函数 f(x)满足 f(－x)＋2f(x)＝2x，求 f(x)的解析式；
解：(解方程组法)由 f(－x)＋2f(x)＝2x，
①
得 f(x)＋2f(－x)＝2－x，
所12/以11/20f21(y)＝y2＋y＋1，即 f(x)＝x2＋x＋1.
第二十二页，共三十六页。
[由题悟法] 求函数解析式的 5 种方法
配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式， 然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式
换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝ φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式， 要注意新元的取值范围
高考数学(理)大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 第1讲 函数及其表示教师用书 理 新人教版(2
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第二章函数概念与基本初等函数I 第1讲函数及其表示教师用书理新人教版（建议用时：30分钟)一、选择题1。
（2017·郑州质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3）的定义域是( )A。
[－3，1] B。
（－3，1）C.（－∞,－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪（1，＋∞)解析使函数f（x)有意义需满足x2＋2x－3〉0，解得x>1或x<－3，所以f(x）的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞）.答案D2.(2017·石家庄一模)已知f(x）为偶函数,且当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞）时，f（x)＝log2x，则f错误!＋f(4)等于( ）A.－错误!＋2 B。
1C。
3 D.3＋2解析因为f错误!＝f错误!＝2sin错误!＝错误!，f(4)＝log24＝2，所以f错误!＋f(4）＝错误!＋2。
答案D3.已知f(x)是一次函数，且f[f（x）]＝x＋2，则f（x）＝（）A.x＋1 B。
2x－1C。
－x＋1 D.x＋1或－x－1解析设f(x）＝kx＋b（k≠0),又f［f（x)］＝x＋2，得k（kx＋b）＋b＝x＋2,即k2x＋kb＋b＝x＋2.∴k2＝1，且kb＋b＝2,解得k＝b＝1。
2020版高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示课件
考点一 求函数的解析式 [师生共研过关]
[题组练透]
(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)的解析式． [解] (换元法)令2x＋1＝t，得x＝t－2 1， 代入得f(t)＝lgt－2 1，又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lgx－2 1，x∈(1，＋∞)．
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 求f(x)的解析式．
[过关训练]
1．[口诀第1、2、3、4句]y＝
x2－x1－log2(4－x2)的定义域是
()
A．(－2,0)∪(1,2)
B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2)
D．[－2,0]∪[1,2]
解析：要使函数有意义，则xx－ 2≠x10≥，0，
4－x2>0，
解得x∈(－2,0)∪[1,2)，
∴aa＋ －bb＋ ＋cc＝ ＝15， ， c＝0，
解得ab＝ ＝3－，2， c＝0，
∴g(x)＝3x2－2x.
3．[口诀第 4 句]已知 f(x)满足 2f(x)＋f1x＝3x，求 f(x)的解析.
解：∵2f(x)＋f1x＝3x，
①
把①中的 x 换成1x，得 2f1x＋f(x)＝3x.
②
联立①②可得2fx＋f1x＝3x， 2f1x＋fx＝3x，
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N
＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是
(C )
解析：A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函 数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N 中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是
高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念及其表示课件理ppt版本
[小题纠偏]
1．函数y＝
x 与函数y＝
x x
________(填“是”或“不是”)
同一函数．ຫໍສະໝຸດ 解析：函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，y＝
x 的定 x
义域为(0，＋∞)．因为两个函数的定义域不同，所以
不表示同一函数．
答案：不是
2．函数f(x)＝ x－1· x＋1的定义域为________． 解析：由题意，得xx－＋11≥≥00，， 所以 x≥1，所以函数 f(x) 的定义域是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)
谢谢
2019/11/13
2．根据下列条件求各函数的表达式： (1)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x ＋17，求 f(x)； (2)已知 f x＋1x＝x3＋x13，求 f(x)． 解：(1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋ b＋5a＝2x＋17，所以 a＝2，b＝7，所以 f(x)＝2x＋7. (2)因为 f x＋1x＝x3＋x13＝x＋1x3－3x＋1x，所以 f(x)＝x3 －3x(x≥2 或 x≤－2)．
角度三：已知定义域确定参数问题 5．(2016·苏北四市调研)若函数 f(x)＝ 2 x2＋2ax－a－1
的定义域为 R，则 a 的取值范围为_______________． 解析：因为函数 f(x)的定义域为 R，所以 2 x2＋2ax－a－1≥0 对 x∈R 恒成立，即 2 x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0 恒成 立，因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 答案：[－1,0]
4．函数f(x)＝ |xx|－－54的定义域是________________． 答案：[4,5)∪(5，＋∞)
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示课件
B．(－1，1]
C．(－，－1)
D．(－4，0)∪(0，1]
答案 A
解析 要使函数 f(x)有意义，应有
－x2－3x＋4≥0，
x＋1>0，
解得－1<x<0 或 0<x≤1，故选 A.
x＋1≠1，
3 ． (2021·陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 ( 四 )) 已 知 函 数 f(x) ＝
□06 唯一确定
A→B
一个元素 x，在集合 B 中都有 合 B 中都有□04 唯一确定的
的元素 y 与之对应
数 f(x)与之对应
名称 记法
称对应 f：A→B 为从集 称 f：A→B 为从集合 A 到集
合 A 到集合 B 的一个 合 B 的一个函数
映射
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
2．函数的定义域、值域
x－1 B．y＝ x－1与 y＝ x－1 C．y＝4lg x 与 y＝2lg x2 D．y＝(3 x)3 与 y＝x 答案 D
解析 A 中，y＝x－1 与 y＝ （x－1）2＝|x－1|的解析式不同，两函数
不相等；B 中，y＝
x－1的定义域为[1，＋∞)，y＝
x－1 x－1的定义域为(1，
＋∞)，定义域不同，两函数不相等；C 中，y＝4lg x 与 y＝2lg x2＝4lg |x|的
A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝ x 答案 C 解析 依据函数的概念，集合 A 中任一元素在集合 B 中都有唯一确定 的元素与之对应，故选项 C 不符合．
－x2－3x＋4 2．函数 f(x)＝ lg （x＋1） 的定义域为( )
A．(－1，0)∪(0，1]
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版
●命题角度三 分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所 以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一 函数解析式的求法 【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二 分段函数——多维探究 高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小． 常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段 函数与不等式问题．
●命题角度一 分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数的概念及其表示课件
运算求解 综合性 逻辑推理 数学运算
运算求解 创新性 逻辑推理
考题
考点
考向
关键能力 考查要求 核心素养
2021新高 函数奇偶性 利用奇偶性求 运算求解 基础性 数学运算
考Ⅰ，13 与周期性 解参数的值
2021新高 函数奇偶性 函数奇偶性的 运算求解 基础性 数学运算
(2)如果两个函数的定义域相同，并且___对__应__关__系___完全一致，则这
两个函数为相等函数．
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法___、图象法和列表法．
知识点二 分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对函数称为分段函数．分段函数表示的是一个 函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于 各段函数的值域的__并__集____.
第一讲 函数的概念及其表示
知识梳理 · 双基自测
知识梳理 知识点一 函数的概念及其表示 1．函数的概念
函数
两个集合A，B
设A，B是两个__非__空__数__集____
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 对应关系f：A→B 的__任__意____一个数x，在集合B中都有__唯__一__确__定___
x (5)函数 y＝ x－1定义域为 x>1.( × )
题组二 走进教材 2．(必修1P67T1改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( B )
[解析] A中函数的定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中 函数的值域不是[0,2]．
的定义域为x2<x<3，且x≠52 .