概率论和概率分布
1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析
离散型随机变量的概率函数和分布函数的性质和分析随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机事件的可能结果。
离散型随机变量是指可能取有限个或者可数个值的随机变量。
在概率论中，我们通常通过概率函数和分布函数来描述离散型随机变量的性质和分布情况。
概率函数是离散型随机变量的重要工具，它定义了随机变量取某个特定值的概率。
对于一个离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=x)，其中x为X可能取的某个值。
概率函数具有以下性质：1. 非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0。
2. 正则性：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
通过概率函数，我们可以计算离散型随机变量的期望值、方差等统计量。
例如，对于一个服从二项分布的离散型随机变量X，其概率函数可以表示为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，k为成功次数，p为成功的概率。
通过计算概率函数，我们可以得到二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
除了概率函数，分布函数也是描述离散型随机变量的重要工具。
分布函数描述了随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)。
分布函数具有以下性质：1. 单调性：对于任意的x1<x2，有F(x1)≤F(x2)。
2. 有界性：对于任意的x，0≤F(x)≤1。
3. 右连续性：对于任意的x，有lim[F(x+Δx)]=F(x)，其中Δx→0。
通过分布函数，我们可以计算离散型随机变量落在某个区间的概率。
例如，对于一个服从泊松分布的离散型随机变量X，其分布函数可以表示为F(x)=∑(k=0 to x)P(X=k)=e^(-λ)∑(k=0 to x)λ^k/k!，其中λ为平均发生率。
通过计算分布函数，我们可以得到泊松分布在某个特定值x处的概率P(X=x)=e^(-λ)λ^x/x!。
概率函数和分布函数是描述离散型随机变量的重要工具，它们可以帮助我们了解随机变量的性质和分布情况。
概率与概率分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的几种概率分布概率论是研究随机现象的数学理论，其中涉及到许多常见的概率分布。
概率分布描述了随机变量在不同取值上的概率分布情况。
本文将介绍几种常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布之一，也被称为矩形分布。
在均匀分布中，随机变量在一定的取值范围内的概率是相等的。
例如，抛一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
均匀分布通常用于模拟随机数发生器的输出，或者在一定范围内随机选择一个数值。
二、正态分布正态分布是最重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
在正态分布中，随机变量在取值范围内的概率密度函数呈钟形曲线状。
正态分布具有许多重要的性质，例如均值、标准差等。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重、考试成绩等都符合正态分布。
三、泊松分布泊松分布描述了单位时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的特点是，事件之间相互独立且平均发生率恒定。
泊松分布通常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的交通事故次数等。
四、指数分布指数分布描述了连续随机变量首次达到某一值的时间间隔的概率分布情况。
指数分布的特点是，事件之间相互独立且事件发生的概率与时间间隔成反比。
指数分布通常用于模拟随机事件的发生时间间隔，例如单位时间内的电话呼叫间隔、单位距离内的交通事故间隔等。
除了上述几种常见的概率分布外，还有许多其他概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种概率分布都有其特定的应用场景和数学性质，对于不同的问题可以选择适合的概率分布进行建模和分析。
总结起来，概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在各自的领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多随机现象和问题。
对于研究概率论和统计学的人来说，熟悉这些常见的概率分布是非常重要的。
概率与概率分布
第六章概率与概率分布推论统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。
通过概率论，可以知道在一定条件下，总体的各种抽样结果所具有的概率特性。
然后，推论统计依据这些概率特性，研究在发生了某种抽样结果的情况下总体参数是什么，或者对社会研究中提出的某种假设进行检定。
学习推论统计必须首先对概率论有所了解。
第一节概率论1．随机现象和随机事件概率是与随机现象相联系的一个概念。
所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象。
随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。
例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0．5，这就是概率。
随机现象具有在一定条件下呈现多种可能结果的特性。
但由于到底出现哪种结果，却又无法事先预言。
因此，人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，简称事件。
当随机事件发生的可能性能用数量大小表示出来时，我们就得到了概率。
在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。
随机试验必须符合以下三个条件：①它可以在相同条件下重复进行；②试验的所有结果事先已知；③每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。
随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件（或称样本点）；所有可能出现的基本事件的集合，称为样本空间，记为Ω。
随机事件（可记为A、B、C等）如果仅含样本空间中的一个样本点，该事件称为简单事件；随机事件如果含样本空间中的一个以上的样本点，该事件称为复合事件。
换言之，复合事件是样本空间Ω的某个子集。
随机事件有两种极端的情况：一种是必然会出现的结果，称为必然事件；另一种是不可能出现的结果，称为不可能事件。
从样本空间来看，必然事件是由其全部基本事件组成的，可记为S；不可能事件则不含任何基本事件，可记为Φ。
2．事件之间的关系客观事物之间总是存在着一定的关系，随机事件之间也不例外。
概率论与数理统计各种分布总结
概率论与数理统计各种分布总结概率论与数理统计中有许多不同的概率分布，每个分布都具有不同的特征和应用。
下面是一些常见的概率分布的总结：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：在一个区间内的所有取值都具有相等的概率。
它可以是离散的（离散均匀分布）或连续的（连续均匀分布）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在一系列独立的伯努利试验中成功次数的概率分布。
每个试验只有两个可能结果（成功和失败），并且成功的概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述在给定时间或空间单位内发生某事件的次数的概率分布。
它通常用于模拟稀有事件的发生情况。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的连续概率分布之一。
它具有钟形曲线的形状，对称且具有明确的均值和标准差。
许多自然现象和测量数据都可以近似地用正态分布来描述。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：描述了连续随机事件之间的时间间隔的概率分布。
它通常用于模拟无记忆性事件的发生情况，如设备故障、到达时间等。
6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：由正态分布的平方和构成的概率分布。
它在统计推断中广泛应用，特别是在假设检验和信赖区间的计算中。
7. t分布（Student's t-Distribution）：用于小样本量情况下参数估计和假设检验。
与正态分布相比，t分布具有更宽的尾部，因此更适用于小样本数据。
8. F分布（F-Distribution）：用于比较两个或多个样本方差是否显著不同的概率分布。
它经常用于方差分析和回归分析中。
这只是一些常见的概率分布的总结，还有其他许多分布，每个都在不同的领域和应用中起着重要的作用。
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
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第一节 人身保险的含义
一、人身保险的界定
（一）概念： 表述之一：以人的身体或者生命为保险标的，保险人对 被保险人的生命或者身体因遭受 事故、意外伤害、疾病、 衰老 等原因导致 死亡、伤残、丧失工作能力 或者 年老退休 负责给付保险金。 表述之二：以人的身体或寿命为保险标的的保险，当被 保险人发生死亡、伤残、疾病等保险事件或生存到保险期 满时，保险人给付保险金。
二、人身保险的种类
（一）按实施的形式划分 1、自愿保险：投保方（投保人或者被保险人）和保 险人在平等互利的基础上，自愿签订的人身保险 合同，双方按合同条款的规定各自履行自己的义 务并享受相应的权利。 2、强制保险：又称法定保险。是由国家政府出面强 令实施的人身保险。
（二）按投保主体划分 1、个人人身保险：以个人为投保者，根据个人的不同社会地位 （包括生存环境、生活环境等）、不同的经济需求以及不同 的经济承受能力所签订的各种责任范围的保险。 （1）按当事人不同：个人约定/第三者约定 （2）按保额给付方式不同：一次性给付/年金给付 （3）按投保者是否参加分红：分红人身保险/非分红人身保险 （4）按被保险人是否要体检：体检保险/无体检保险 （5）按承保的保险事故（投保的风险）不同 2、团体人身保险：通过一份保险合同承保团体的全部人（原则 上不经过医疗检查）的人身保险。
险种名称: 新华定期寿险（A）
险种特点: 1. 费率低廉，强化保障功能，兼具身故与高残责任 2. 涵盖疾病与意外双重责任 3. 定期保障，有效回避利率变动风险 4. 期满型设计，可与相应年期险种组合，满足全面保障需求 5. 缴费灵活多样 投保规则 : 1. 投保年龄：1周岁-65周岁； 2. 保险期限：可任选10年、15年、20年、30年 3. 缴费方式：趸缴、年缴； 4. 缴费期限：5年及10年、15年、20年、30年（同保险期限）
2、损失均摊、均衡保费 （1）自然保费：按照各年龄死亡率计算而得的逐年更新的保费。 某年龄自然保费×（1＋利率）＝保额×此年龄死亡率 自然保费刚好用于当年的死亡给付，没有积累使寿险经营每年达到平衡。 自然保费逐年增加，且增加速度越来越快。 （2）均衡保费：指投保人在保险年度内的每一年所缴保费相等。 均衡保费在早期高于自然保费，晚期低于自然保费。 将死亡风险造成的损失均匀地分摊于整个保险期间。
（四）作用 1、保证被保险人将来的可保资格（因为随年龄增加或因健 康原因得不到人寿保险的保障） 2、作为终身寿险或两全保险的补充（费率低，则同样的保 费可多获定期寿险） 3、定期寿险适用于低收入而急需较高保险金额的人购买， 如大学生、刚结婚有了小孩的年轻夫妇； 4、作为贷款的担保手段（债务人死亡，定期寿险的保险金 可用于合同生效一年内因疾病导致身故或高残， 将获得相当于保险金额10%的保险金给付及所缴保险费，保 险责任终止 2．合同有效期内，若被保险人因意外伤害或合同生效一年 后因疾病导致身故或高残，将获得相当于保险金额全数的保 险金给付，保险责任终止 举例： 罗某30岁，结婚时贷款39万买房，贷款需20年还清。约2500 元的房款是家中每月的主要支出。为了在遭遇不幸时避免债 务危机的发生，他为自己投保了50万元的新华定期寿险A款， 选择20年的保险期限，缴费期20年。每年交保费1250元，平 均每月交104元。保费支出：20年累计交保费25000元；保障 收益：身故或高残给付50万元，一年内因病身故或高残给付 51250元。
（三）按投保的风险划分
1、人寿保险 2、意外伤害保险 3、健康保险
三、人身保险的特点
1、保险金额的定额给付性（不包括医疗费用保险） 2、保险期限的长期性（利率、通货膨胀、预测偏差的影响） 3、生命风险的相对稳定性（主要风险因素是死亡率） 4、寿险保单的储蓄性（风险保费和储蓄保费）
第二节
一、人寿保险的概念
3、风险同质性 风险同质性（风险均等原理）：指每个风险单位 发生损失的机会是相等的。 不同性质的风险单位购买相同性质的保险时所缴 纳的保费是不相同的。 影响风险同质性的因素：（1）年龄；（2）性别； （3）职业；（4）健康状况；（5）体格；（6） 居住环境；（7）家族病史；（8）生活习惯；（9） 以往病史；（10）个人爱好等。
（二）人身保险的研究内容 1、社会主体——人——所面临的风险 2、人身保险经济活动中所包含与反映的生产关系 投保人
保险人
被保险人
（三）人身保险的三个方面说明
1、人身保险的客观性 风险是可以预测的 损失幅度不能过于巨大，也不能于过于微小 有众多的同类风险暴露单位 损失发生是不可预料的
第八章
人身保险
人身保险概述 人寿保险 意外伤害保险 健康保险 团体保险
几个重要概念
1、狭义的财产保险（以财产物为标的） 2、广义的财产保险 3、意外伤害保险 4、健康保险 5、生存保险 6、死亡保险 7、生死两全保险 说明： 人身保险=3+4+5+6+7 非寿险=1+2+3+4 寿险=5+6+7 广义的财产保险=1+责任保险+信用保险+保证保险 第三领域的保险=3+4
人寿保险
人寿保险是以人的生命为保险标的，以人的生死为保险事 件，当发生保险事件时，保险人履行给付保险金责任的保 险。 保障项目包括死亡和期满生存 采用均衡保费，高于早期的自然保费，低于晚期的自然保 费
二、人寿保险的分类
定期死亡保险
死亡保险
终身死亡保险
联合人寿保险 单纯的生存保险
人寿保险
生存保险 年金保险 普通两全保险 期满双倍两全保险 两全保险 养老附加两全保险 联合两全保险
人寿保险之死亡保险
一、定期死亡保险
（一）概念： 定期死亡保险又称定期寿险。指以被保险人在规定期限内发生死亡 事故（高残）作为保险金给付条件的人寿保险。 （二）特点： 1、保险费低廉（根据死亡率计算，不考虑储蓄因素） 2、纯保障性，无储蓄性 3、存在逆选择 4、可续保性（不需可保性检查） 5、可转换性（转换为终身寿险单或两全保险单，65岁以前变换， 定期寿险单已生效5年之后，按被保险人所达到的年龄或投保时的 年龄变换） （三）适合投保的客户 1、在短期内急需保障的人 2、家庭经济收入较低，子女尚未成年的家庭主户。