高考数学一轮复习 专题10.4 随机事件的概率与古典概型(讲)
专题10.4 随机事件的概率与古典概型【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测随机事件的概率与古典概型1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.2013•浙江理12; 2014•浙江文14.1.考查互斥事件、对立事件；2.考查古典概型概率的计算.3.备考重点：(1) 掌握互斥事件、对立事件等概念； (2) 掌握二项式系数的性质及其简单应用古典概型概率的计算方法.【知识清单】1. 随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件． (2)在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件． (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件． (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母,,,A B C L 表示． 2．频率与概率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()An n f A n=为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记作()p A ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率． 3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即A B I 为不可能事件(A B φ=I )，则称事件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生． 一般地，如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥. 对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即A B I 为不可能事件，而A B U 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4.事件的关系与运算定义符号表示包含关系 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B A ⊇ (或A B ⊆)相等关系 若B A ⊇且A B ⊇，那么称事件A 与事件B 相等 A B = 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A B U(或A B +)交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A B I (或AB )互斥事件 若A B I 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A B φ=I 对立事件若A B I 为不可能事件，A B U 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A B φ=I 且A B =ΩU5.随机事件的概率事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()p A .由定义可知()01p A ≤≤，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：()01p A ≤≤. (2)必然事件的概率：()1p A =. (3)不可能事件的概率：()0p A =. (4)互斥事件的概率加法公式：①()()()p A B p A p B =+U (,A B 互斥)，且有()()()1p A A p A p A +=+=．②()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++U UL U L (12,,,n A A A L 彼此互斥)． (5)对立事件的概率：()()1P A P A =-． 对点练习：1．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A = “所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是（ ）A. 1个白球2个红球B. 2个白球1个红球C. 3个都是红球D. 至少有一个红球 【答案】C2．古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是n1。
如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=nm 。
基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． 概率公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.对点练习：【2017山东，理8】从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【考点深度剖析】概率是高考热点之一，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.【重点难点突破】考点1：随机事件的概率【1-1】有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一个白球；③两球中至少有一个白球.其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③ 【答案】A【解析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件。
但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件。
故选A.【1-2】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为,m n ，记t m n =+，则下列说法正确的是( ) A. 事件“12t =”的概率为121B. 事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C. 事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D. 事件“832t mn ><且”的概率为14【答案】D【解析】对于A, 1266t ==+,则概率为1116636⨯=,选项错误; 对于B, “t 是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误; 对于C,事件“2t =”包含在“3t ≠”中,不为互斥事件,选项错误; 对于D, 事件“832t mn ><且”的点数有:()()()()()()()()()3,6,4,5,4,6,5,4,5,5,5,6,6,3,6,4,6,5,共9种,故概率为91664=⨯,选项正确; 综上可得,选D.【1-3】【2018届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为( ) A.12 B. 1532 C. 1132 D. 516【答案】C【领悟技法】1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2. 判断事件关系时要注意 (1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系． 3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系； 第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的； 第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A A U =U ，A A φ=I ，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件. 事件,A B 的和记作A B +，表示事件,A B 至少有一个发生.当,A B 为互斥事件时，事件A B +是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的.当计算事件A 的概率()p A 比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些，为此有()()1P A P A =-.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.对于n 个互斥事件12,,,n A A A L ，其加法公式为()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++U UL U L . 分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.5.对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．6.实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．7.求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有： (1)列举法； (2)列表法； (3)利用树状图列举．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A =-，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便． 【触类旁通】【变式一】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【变式二】【2017届浙江省台州市高三上学期期末】袋子里装有编号分别为“”的个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的个球编号之和大于的概率为（ ） A.B.C. D.【答案】B考点2 古典概型【2-1】【2017天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===.本题选择C 选项. 【2-2】【2016北京文6】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）. A.15 B.25 C.825 D.925【答案】B【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为42105=.故选B. 【2-3】【2017课标II ，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.110 B. 15 C. 310 D. 25【答案】D【领悟技法】1. 古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同． (3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识． 2.计算古典概型事件的概率可分三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；(2)分别计算基本事件的总个数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝m n求出事件A 的概率． 3. 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 【触类旁通】【变式一】某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A. B. C.D.【答案】C【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：本题选择C 选项.【变式二】【2016江苏7】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56【易错试题常警惕】易错典例：甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？易错分析：（1）错把分步原理当作分类原理来处理.（2）该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的，两人都抽取到选择题这种情况被重复计数.概率值不会大于1，这是错解.错解：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是14C ，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为101416=+C C ；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有1919110=+C C ，所以概率值为1910.（2）甲、乙中甲抽到判断题的种数是6×9种，乙抽到判断题的种数6×9种，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为12×9；又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是10×9，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是561012=. 【解析】（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是14C ，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为241416=⨯C C ；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有9019110=⨯C C ，所以概率值为1549024=. （2）甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90；故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是151390302424=++.方法二：利用对立事件事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12； 故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是15131********=-=-. 温馨提醒：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的； 2．随机事件的概率()mP A n=，其中n 是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m 是所研究事件A 中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n 的关键是抓住“等可能”，即n 个基本事件及m 个基本事件都必须是等可能的；3．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．4．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【学科素养提升之思想方法篇】对立统一，峰回路转——正难则反正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.【典例】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【答案】得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.解：设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为，则它们彼此是互斥事件.由题意得，，，又事件与事件对立，所以，而，所以，，所以，所以，所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.11。
2019高考数学一轮复习第10章概率统计和统计案例第1讲随机事件的概率与古典概型课件文
(必修 3 P124A 组 T5)某人捡到不规则形状的五面体石块， 他 在每个面上作了记号，投掷了 100 次，并且记录了每个面落在 桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，请估计石块的第 1 面或第 4 面落在桌面上的概率是( 石块的面 频数 18 A． 25 9 C． 20 1 32 2 18 ) 3 15 13 B． 100 1 D． 9 4 13 5 22
(必修 3 P129 例 5 改编)某种饮料每箱装 6 听， 如果其中有 2 听不合格，质检人员从中随机抽出 2 听，检测出都是合格产 品的概率为________．
解析： 记 A1， A2， A3， A4 为合格产品， B1， B2 为不合格产品， 基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1， B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3， B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共 15 种．
A∩B(或 AB)
名称 互斥 事件 对立 事件
定义 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与 事件 B 互斥 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事 件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事 件
符号表示 A∩B＝∅
P(A)＋P(B) ＝1
4．概率的几个基本性质 (1)任何事件的概率都在 0～1 之间，即 0≤P(A)≤1．必然事 件的概率为 1，不可能事件的概率为 0． (2)当事件 A 与事件 B 互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．上述 公式称为互斥事件的概率加法公式． (3)对立事件的概率之和为 1，即若事件 A 与事件 B 对立，即 P(A)＋P(B)＝1．
(3)如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出 1 现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n；如果 某个事件 A 包括的结果有 m 个， 那么事件 A 发生的概率 P(A) m ＝n． (4)古典概型的概率公式
2020版高考数学一轮复习随机事件的概率、古典概型与几何概型课件理
(1)(2019·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个
不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率
为( )
3 A.10
B．25
3 C.20
D．14
(2)(2018·石家庄一模)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2， a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2
2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是( )
A．0.80
B．0.85
C．0.90
D．0.99
C [由题意，该射手击中靶心的频率大约在0.9附近上下波动，故其概率 约为0.90.故选C.]
4．古典概型与几何概型
பைடு நூலகம்名称
古典概型
相同点
基本事件发生的可能性相等
不同点
基本事件有有限个
几何概型 基本事件有无限个
计算公式
P(A)＝________________ P(A)＝__________________
[常用结论] 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如
下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
5．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞 机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击 中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．
2019届高三数学课标一轮复习课件：10.4 随机事件的概率与古典概型
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3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率:P(A)=1 . (3)不可能事件的概率:P(A)=0 . (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必 然事件.P(A∪B)=1 ,P(A)=1-P(B) .
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答案
第十章
知识梳理 双击自测
10.4 随机事件的概率与古典概型
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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5.A,B,C三名学生按任意次序站成一排,A在边上的概率 为 .
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4.口袋内有一些除颜色外完全相同的红球、黄球、白球,从中摸出 一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率为 0.6,那么摸出白球的概率是 .
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设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A,B,C,由条件 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.65,P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.6,又P(A∪B)=1P(C),∴P(C)=0.35.∴P(B)=0.25. 0.25
第十章
考点一 考点二 考点三
自测点评 1.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的 改变而变化,概率却是一个常数.当试验次数越来越多时,频率向概 率靠近. 2.对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定 是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的 两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型 才是古典概型.
高考数学专题《随机事件的概率与古典概型》习题含答案解析
专题11.4 随机事件的概率与古典概型1．（2021·全国·高一课时练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.9【答案】D 【分析】直接利用频率的公式求解. 【详解】由题得这个人中靶的次数为2+3+4=9， 所以此人中靶的频率是90.910=. 故选：D2．（2021·全国·高一课时练习）已知A 与B 是互斥事件，且()0.3P A =，()0.1P B =，则()P A B +等于（ ） A ．0.1 B ．0.3C ．0.4D ．0.8【答案】D 【分析】根据互斥事件概率的加法关系即可求解． 【详解】由题：A ，B 是互斥事件, 所以()()()P A B P A P B +=+， 且()()110.30.7P A P A =-=-=，, 则()()()0.8P A B P A P B ++==． 故选：D3.（2019·全国高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排练基础法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．4．（2021·广东顺德·高二期中）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ） A ．72% B ．74%C ．75%D ．76%【答案】B 【分析】根据题意可直接计算. 【详解】该同学这两场投篮的命中率为2080%3070%74%2030⨯+⨯=+.故选：B.5．（2021·广东·佛山市南海区九江中学高二月考）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.5D ．0.8【答案】B 【分析】甲不输分为甲胜乙和甲乙下成平局两种情况，其中甲胜乙和甲乙下成平局是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式进行求解即可. 【详解】甲不输棋的设为事件A ，甲胜乙设为事件B ，甲乙下成平局设为事件C ，则事件A 是事件B 与事件C 的和，显然B 、C 互斥，所以()()()P A P B P C =+，而()0.8P A =，()0.5P C =，所以()()()0.3P B P A P C =-=，所以甲胜的概率是0.3故选:B6.【多选题】（2021·广东·仲元中学高二开学考试）下列说法错误的是（ ） A ．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B ．某种福利彩票的中奖概率为11000，买1000张这种彩票一定能中奖 C ．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为49100D ．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】BCD 【分析】根据概率的定义和生活中的概率判断各选项的对错.由频率和概率的关系可知随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，A正确，某种福利彩票的中奖概率为11000，买1000张这种彩票不一定能中奖，B错误，掷一枚硬币出现反面的概率为12，C错误，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是明天有70%的可能会降水，D错误，故选：BCD.7．（2021·全国·高一课时练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为_______.【答案】0.25【分析】找到质量在497.5～501.5 g之间的袋数由频率可得答案.【详解】质量在497.5～501.5 g之间的有498，501，500，501，499共5袋，所以其频率为520＝0.25，由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25.故答案为：0.25.8．（2021·全国·高一课时练习）从一批乒乓球产品中任取一个，若其质量小于2.45g的概率为0.22，质量不小于2.50g的概率为0.20，则质量在2.45~2.50g范围内的概率为___________.【答案】0.5829 50【分析】利用概率的性质计算出所求概率.【详解】依题意质量在2.45~2.50g范围内的概率为10.220.20.58--=.故答案为：0.589．（2021·全国·高一课时练习）操作1：将1000粒黑芝麻与1000粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.操作2：将1500粒黑芝麻与500粒白芝麻放入一个容器中，并搅拌均匀，再用小杯从容器中取出一杯芝麻，计算黑芝麻的频率.通过两次操作，你是否有所发现？若有一袋芝麻，由黑、白两种芝麻混合而成，你用什么方法估计其中黑芝麻所占的百分比？【答案】答案见解析利用频率估计概率的思想可得出结论. 【详解】通过两次操作，我们会有所发现，比如： 操作1中，黑芝麻的频率为10001100010002=+，操作2中，黑芝麻的频率为1500315005004=+，在搅拌均匀的前提下，由此可想到可将这袋芝麻搅拌均匀后从中取出一杯， 将此杯中黑芝麻的频率作为黑芝麻所占的百分比的估计.10.（2021·北京丰台·高二期中）从两个黑球（记为1B 和2B ）、两个红球（记为1R 和2R ）从中有放回地任意抽取两球．（1）用集合的形式写出试验的样本空间； （2）求抽到的两个球都是黑球的概率． 【答案】 （1）答案见解析 （2）14【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可 （1）试验的样本空间1112111221222122={(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),B B B B B R B R B B B B B R B R Ω 1112111221222122(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}R B R B R R R R R B R B R R R R ；（2）设事件=A “抽到两个黑球”，则对于有放回简单随机抽样， 11122122{(,),(,),(,),(,)}A B B B B B B B B =．因为样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型． 因此(A)41P(A)()164n n ===Ω． 所以抽到的两个球都是黑球的概率为14练提升1．（2021·北京丰台·高二期中）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】B 【分析】分别求出从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球和抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解. 【详解】解：从有4个大小质地完全相同的球的袋子中随机抽取2个球有246C =种情况，抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球有11313C C ⋅=，所以抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是3162=.故选：B.2．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是（ ） A ．至少一次中靶 B ．至多一次中靶 C ．至多两次中靶 D ．两次都中靶【答案】D 【分析】事件A 和B 互斥而不对立所需要的条件是()p A B =∅且()1p A B ≠，一一验证A 、B 、C 、D 四个选项，选出答案. 【详解】设“只有一次中靶”为事件A设“至少一次中靶”为事件B ，则事件B 包含：“有一次中靶”和“有两次中靶”两种情况，，显然()p A B ≠∅，不互斥，A 选项错误；设“至多一次中靶”为事件C ，则事件C 包含事件：“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然()p A C ≠∅，不互斥，B 选项错误；设“至多两次中靶”为事件D ，则事件D 包含事件：“有两次中靶”，“有一次中靶”和“有零次中靶”，显然()p A D ≠∅，不互斥，C 选项错误；设“两次都中靶”为事件E ，则()p A E =∅，()1p A E ⋃≠，满足互斥而不对立所需要的条件，故选项D 正确. 故选：D3．（2021·全国·高三月考（文））2019年版高中数学人教A 版教材一共有5本.分别是《必修第一册》《必修第二册》《选择性必修第一册》《选择性必修第二册》《选择性必修第三册》，在一次数学新教材培训会议上，主持人刚好带了全套5本新教材，现从中随机抽出了3本送给在场的培训学员，则恰有1本选择性必修的新教材被抽到的概率为（ ） A ．35B ．310 C ．13D ．15【答案】B 【分析】应用组合数计算随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的抽取方法，再应用古典概型的概率求法求出概率即可. 【详解】由题设，随机抽出了3本恰有1本选择性必修的新教材的概率为212335310C C C =.故选：B4．（2021·广西南宁·高三月考（文））哥尼斯堡“七桥问题”是著名的古典数学问题，它描述的是:在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图1).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?瑞士数学家欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题，并证明了上述走法是不可能的.假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与A 直接相连的概率为（ ）A ．27B ．37C ．12D ．1021【答案】D 【分析】结合古典概型公式和组合公式直接求解. 【详解】由题可知，若从7条线路中选2条，则有2721C =种方法，若选出的两条线都与A 相连，则共有2510C =种方法，则这两条线都与A 直接相连的概率为252101021C P C ==.故选：D5．（2021·广东·广州市协和中学高二期中）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛取三局二胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为13，且各局比赛的胜负互不影响，在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为（）A．49B．59C．527D．23【答案】B【分析】甲获得冠军有两种情况, 第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军, 第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军，求出两种情况下的概率，相加即可.【详解】在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军有两种情况，第一种情况：第二局甲获胜获得得比赛冠军，11 3P=第二种情况：第二局甲输，第三局甲获胜获胜得比赛冠军1212 339P=⨯=，故甲获得冠军的概率为125 399 +=.故选：B.6.（2021·广东·仲元中学高一期末）数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2个，或3个选项，则他能得分的概率为（）A．12B．716C．25D．25【答案】A【分析】利用组合数求得随机地填涂了1个或2个或3个选项，每种可能性都是相同的，然后列举计数能得分的涂法种数，求得所求概率.【详解】解：随机地填涂了1个或2个或3个选项，共有12344414C C C++=种涂法，能得分的涂法为（BCD），（BC），（BD），（CD），B，C，D，共7种，故他能得分的概率为71 142=．故选：A.7.（2021·上海市松江二中高二月考）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为___________． 【答案】23【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1021053=+ 故答案为：238．（2021·北京市第八中学怡海分校高二期中）1.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋子中依次不放回地摸出2个球.（1）写出试验的样本空间；（2）求摸出的2个球颜色相同的概率. 【答案】（1）{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} （2）13【分析】（1）列举法把所有情况写出来，用集合表示，就是试验的样本空间；（2）有古典概率的公式进行计算 （1）试验的样本空间为：{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),Ω=(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}（2）设事件A =“摸出的两个球的颜色相同” 所以{}(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)A =， ()4n A =，()12n Ω=所以()41()()123n A P A n ===Ω 9．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高二月考）从编号为A 、B 、C 、D 的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；（3）求所选3人中至少有一名女生的概率【答案】（1）答案见解析（2）3 5（3）4 5【分析】（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设4名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从6名学生中任3人的所有情况有：ABC，ABD，ABm，ABn，ACD，ACm，ACn，ADm，ADn，Amn，BCD，BCm，BCn，BDm，BDn，Bmn，CDm，CDn，Cmn，Dmn，共20种，（2）由（1）可知共有20种情况，其中所选3人中恰有一名女生的有12种，所以所求概率为123 205，（3）由（1）可知共有20种情况，所选3人中至少有一名女生的有16种，所以所求概率为164 20510．（2021·陕西·西安中学高二月考（理））福州某中学高一（10）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照性别分层抽样的方法组建了一个由4人组成的课外学习兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男､女同学的人数；（2）经过一个月的学习､讨论，这个兴趣小组决定从该组内选出2名同学分别做某项试验，求选出的2名同学中恰有1名女同学的概率；（3）试验结束后，同学A得到的试验数据为68，70，71，72，74；同学B得到的试验数据为69，70，70，72，74；请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由.【答案】（1）男､女同学的人数分别为3，1（2）12（3）B同学的实验更稳定，理由见解析【分析】（1）按照分层抽样的按比例抽取的方法，男女生抽取的比例是45：15，4人中的男女抽取比例也是45：15，从而解决；（2）先算出选出的两名同学的基本事件数，再算出恰有一名女同学事件数，两者比值即为所求概率；（3）欲问哪位同学的试验更稳定，只要算出他们各自的方差比较大小即可.（1）解：因为每个同学被抽到的概率为416015P==，课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1；（2）解：把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b），（a2，b），（a3，b），共6种，其中有一名女同学的有3种，所以，选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为131 62P==；（3）解：16870717274715x++++==，26970707274715x++++==，∴2222221(6871)(7071)(7171)(7271)(7471)45s-+-+-+-+-==，222222(6971)2(7071)(7271)(7471)3.25s-+⨯-+-+-==，∴B同学的实验更稳定.1．（2021·山东·高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A．29B．23C．14D．12【答案】D【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.练真题【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为224⨯=，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为2142=． 故选：D2．（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42% 【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅， 则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.3．（2020·全国高考真题（文））设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A ．15B ．25 C ．12D ．45【答案】A 【解析】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=. 故选：A4.（2019·江苏高考真题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____. 【答案】710. 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况， 若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=. 5.（2020·江苏省高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 6．（2017·山东高考真题（文））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率． 【答案】（1）15P = ；（2）29P =【解析】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==. （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =.。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第四节 随机事件的概率与古典概型
下列选项正确的是(
)
A.A∪B=C
B.B∪D是必然事件
C.A∩B=C
D.A∩D=C
答案 AB
解析 对于A选项,事件A∪B指至少有一件次品,即事件C,故A正确;对于B选
项,事件B∪D指至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即
代表了所有情况,即B∪D为必然事件,故B正确;对于C选项,事件A和B不可
把样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件
3.事件的关系与运算
事件的关系或运算
包含
并事件(和事件)
交事件(积事件)
互斥(互不相容)
互为对立
含义
符号表示
事件A发生,则事件B一定发生 A⊆B
A与B至少一个发生
A∪B或A+B
A与B同时发生
A∩B或AB
A与B不能同时发生
A∩B=⌀
A与B有且仅有一个发生
A∩B=⌀,A∪B=Ω
所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择L1的人数 6
12
18
12
12
选择L2的人数 0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大
空间.
2.事件的分类
必然
确定 事件
事件
事件
含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω必然发
生,因此称Ω为必然事件Fra bibliotek不可能 空集⌀也是Ω的一个子集,可以看作一个事件,由于它不包含任
高考数学一轮复习随机事件的概率与古典概型
斥事件，但不对立，如恰有3个红球.
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用频率估计概率
【例2】 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4
元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.
根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气
含义
并事件（和事件）
A与B至少有一个发生
交事件（积事件）
A与B同时发生
互斥事件
互为对立事件
A与B不能同时发生
A与B有且仅有一个发生
符号表示
A∪B或A＋B
A∩B或AB
A∩B＝⌀
A∩B＝⌀，
A∪B＝Ω
目录
（2）概率的几个基本性质
①概率的取值范围： 0≤P（A）≤1 ；
②必然事件的概率P（Ω）＝1；
③不可能事件的概率P（⌀）＝0.
斥不对立事件，所以A、D选项错误，B选项正确.A∪B＝“至少一次中靶”，C
选项正确.
答案 （1）BC
目录
（2）（多选）将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、
丁4个人，每人一个，则下列说法正确的是 （
）
A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件
）
答案：（3）×
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2.（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽
取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为
（
）
1
A.
5
2
C.
5
高考数学一轮复习 10.3随机事件的概率、古典概型与几何概型课件
2
2= 3 ,故1选A.
2
2
3
4.在平面区域 00 内xy任11取, 一点P(x,y),若(x,y)满足2x+y≤b的概率大于 ,
1 4
则b的取值范围是 ( )源自A.(-∞,2) B.(0,2)C.(1,3)
D.(1,+∞)
答案
D
是奇数的概率是
(结果用数值表示).
答案 3
10
解析 从5个数字中任取3个,共有 C=35 10种情况,剩下两个数字都是奇数,
共有 C3种2 情况,故所求概率为P=
C32= 3 .
C35 10
典例题组
随机事件的概率 典例1 (2014陕西,19,12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车 辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件 B发生,则称此事件为事件A与事件B的并 事件(或和事件)
符号表示 B⊇A
(或A⊆B)
B=A A∪B (或A+B)
交事件 (积事件)
互斥事件
对立事件
若某事件发生当且仅当A发生且B发 生,则称此事件为事件A与事件B的 交事件(或积事件)
若A∩B为不可能事件,则事件A与事 件B互斥
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,知样本车辆中
车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主
为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000
C140C52 C165
B.
C130C53 C165
C.
2024年高考数学---随机事件、古典概型
2.互斥事件与对立事件
名称 互斥事件
对立事件
定义
若A∩B为不可能事件,那么称事 件A与事件B互斥
若A∩B为不可能事件,A∪B为 必然事件,那么称事件A与事件B 互为对立事件
符号表示 A∩B=⌀
A∩B=⌀ 且A∪B=Ω (Ω为全集)
3.概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0. 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0. 性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B). 性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B). 性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B). 性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B).
基础篇
考点一 随机事件的概率 1.随机事件的频率与概率 1)频数与频率:在相同的条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现, 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比 例fn(A)= nA 为事件A出现的频率.
n
2)概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A 的概率用P(A)表示.
对角面(如平面AA1C1C),有6种情况,
在同一个平面的有6+6=12个结果,构成三棱锥的有70-12=58个结果; ②从正方体的8个顶点中任取3个,共有 C83 =56个结果,其中所取3点与中心 共面,则这4个点在同一对角面上,共有6C34 =24个结果,因此,所选3点与中 心构成三棱锥的有56-24=32个结果. 故从正方体的8个顶点和中心中任选4个,则这4个点恰好构成三棱锥的个 数为58+32=90,故所求概率P= 90 = 5 .故选D.
新高考2023版高考数学一轮总复习第10章第4讲随机事件的概率古典概型课件
式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化
学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：
“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事
件B
( A)
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
[解析] (1)∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件 A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．
(2)某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B： “他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发 生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．
考点突破·互动探究
考点一
随机事件的关系——自主练透
例1 (1)(多选题)(2022·山东潍坊核心素养测评)不透明的口袋内装
有红色和绿色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片
都为红色”互斥而不对立的事件有 A．2张卡片都不是红色
( AB )
B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色
A．47
B．37
C．72
D．17
(4)(2022·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人
才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具
体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周
末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排
六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的
每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴
届高考数学一轮复习讲义课件：随机事件的概率与古典概型(共59张PPT)精选全文
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变式迁移 1 指出下列两个随机事件中的一次试验是什么？一共进行了几 次试验？ (1)同一枚质地均匀的硬币抛 10 次，有 10 次正面朝上； (2)姚明在本赛季共罚球 87 次，有 69 次投球命中．
解析 (1)抛一次硬币就是一次试验，一共进行了 10 次试验． (2)罚一次球就是一次试验，一共进行了 87 次试验.
典例对对碰
题型一 对随机实验的理解 例 1.下列随机事件中，一次试验是指什么？它们各有几次试验？ (1)一天中，从北京开往沈阳的 7 列列车，全部正点到达； (2)抛 10 次质地均匀的硬币，硬币落地时 5 次正面向上． 分析 关键看这两个事件的条件是什么．
解析 (1)一列列车开出，就是一次试验，共有 7 次试验．(2)抛
4．事件与集合的关系 (1)包含事件． 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时我们就说事件 B 包含事件 A，记作 B⊇A(A⊆B)． ①与集合比，B 包含 A，可用图所示．
②不可能事件记作∅，显然 C⊇∅(C 为任一事件)． ③事件 A 也包含于事件 A，即 A⊆A. 例如：在投掷骰子的试验中，{出现 1 点}⊆{出现的点数为奇数}．