n维线性空间
线性空间的基与维数
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
线性空间的例子
021 210 102
是M3 的一组基。
a bi c di
(3) 集合 P
|,
c di a bi | a,b,c,d
按矩阵的加
法与数乘运算构成实数域
10 A1 0 1 , A2
01 1 0 ，A3
上 的 线 性 空 间 。 维 数 dim P 4 ， 且
i0 0 i , A4
0i i 0 是P 的一组基。
空 间 ， 称 为V 上 的 对 称 双 线 性函 数 空 间 ， 并且 有 线 性 空 间的 同 构
SB(V,V)
Sn(F)， f A。
（3）数域F 上的全体n 元二次型的集合Qn(F)是数域F 上的线性空间，称为n 元二
次型空间，且有同构Qn (F )
Sn(F)， f A，这里A 是二次型 f 的矩阵。因此
例5. 其它例子
（1）集合S
同构S
{{an } (a1, a2, a3, , an, ) | an , an 2 an an 1, n 1}是 上的线性空间，且有
2，{an }
a1
1 51 5
a2 。 dimS 2 。首项为 1，公比分别为 2 和 2 的等比数
列{pn }和{qn }是S 的一组基。设{an }是斐波那契数列，这时a1 a2 1，则{an }关于S 的基{pn }，
注意：P 不是复数域 上的线性空间。
设H a1 a2i a3j a4k | ai 维线性空间，定义乘法 i2 j2 k2
是以1, i, j,k 为基的实数域 上的 4 1 ， ij ji k ， jk kj i ，
ki ik j ，并由分配律扩充为H 中的乘法，则H 是一个代数，称为四元数代数。
这时有线性空间的同构（甚至是代数同构） P
第五章_第2节 n维线性空间中的微分方程
③ A( x ) [ai j ( x )]nn 在x x0处连续
⑥ A [ai j ]nn 的范数： A
y的范数： y yi
i 1
n
i , j 1
ai j
n
y的范数还有如下等价定义： 2 2 (1) | y | y12 y2 yn ; ( 2) | y | max | y1 | + | y2 | ++ | yn |;
a11 ( x ) y1 a12 ( x ) y2 a1n ( x ) yn f1 ( x ) y1 a21 ( x ) y1 a22 ( x ) y2 a2n ( x ) yn f2 ( x ) y2 an1 ( x ) y1 an2 ( x ) y2 ann ( x ) yn fn ( x ) yn
n 阶方程 (2.4)
等价
一阶n元方程组 (2.4)
或
n 阶方程 (2.4) 转化 一阶n元方程组 (2.4)
转化
2º n 阶方程 (2.4)
一阶n元方程组 (2.4)
例3 一阶二元微分方程组
d y 1 d x 0
0 y, 1
y1 y y2
y1 y1 即 y2 y2
又
( y1 , y2 , , yn ) ( , , , ( n1) ) (C1 , C 2 , , C n ) (C1 , C 2 , , C n )
( , , , ( n1) ) 若J 0， (C1 , C 2 , , C n ) 则 ( y1 , y2 , , yn ) 0 (C1 , C 2 , , C n )
n维线性空间
设V是数域F上的 n维线性空间, ，，…，是它的一个基。
由上节可知，对任意的α，β V,它们在这个基下有唯一确定的坐标
α=（，，…，），β=（，，…，）。
于是，对任意的λ F,α+β=（，，…，） ,
α=（，，…，） .
这样，可以在线性空间V与有序 n元素组所张成的向量空间之间建立起一个一一对应:V ,使 =
.
显然，影射还保持了线性空间V与的线性运算关系，即
= +
=λ .
我们把具这些性质的映射称为从线性空间V到上的同构映射，一般说来，有
定义18.1 设 , 是数域F上的两个线性空间，如果从到
有一个映射： ,满足
(1) 是从到上的一一映射；
(2)对任意的α，β ,有 = +
(3)对任意的α V ，任意的 F,有=λ
.
那么，是从到上的同构映射。
如果两个线性空间之间存在一个同构映射，就称这两个线性空间同构。
前面的论述证明了下面的定理。
定理18.1 数域F上任意一个n 维线性空间V和数域F上有序n元数组的向量空间同构。
进一步可知，线性空间的同构具有下述性质：
(1) ,
(2)
(3) 设：是线性空间到上的同构映射，那么中的向量组，，…，线性相关当且仅当它们在中的像 , ,…, 线性相关。
(4) 同构的线性空间的维数相等，反过来，维数相等的线性空间都同构。
n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用
n维线性空间的线性变换的核与值域的性质及应用命题一：若线性变换σ, τ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ，τ可交换，则τ的核和值域都是σ-子空间。
证明：∀ξ∈σ-1(0)，则有τ（σ（ξ）） =τ[3]σ（ξ）=σ（0）=0∴σ（ξ）∈σ-1(0)∀τ（η）∈τ(V ) ，）=τ（σ（η））∈τ(V ) σ（τ（η）∴τ(V ) 也是A-子空间。
例一：设F 为数域，V=F ，证明：1） T(x 1, x 2, , x n )=(0, x 1, x 2, , x n -1) 是线性空间V 的一个线性变换，且T =0 2）求T 的核与值域TV 的维数。
证明：设α=（α1+α2+ +αn ）∈V , β=（β1+β2+ +βn ）∈V 。
T(α+β)=(0,α1+β1, α2+β2, , αn -1+βn -1) =(0, α1, α2, , αn -1)+(0, β1, β2, , βn -1)=Tα+Tβ∀k ∈F ,则T （k α）=（0, k α1, k α2, , k αn -1）=k （0, α1, α2, , αn -1）=kT α，nn∴T 为线性空间V 的线性变换。
又由于T （x 1, x 2, , x n ）=T（0, x 1, x 2, , x n -1）=（0,0, x 1, x 2, , x n -2）2T 3（x 1, x 2, , x n ）=（0,0, x 1, x 2, , x n -3） T n =02) 由T （x 1, x 2, , x n ）=（0, x 1, x 2, , x n -1）=0则可得：-1x 1=x 2= =x n -1=0即：T (0)为由一切向量（0,0, ,0, x n ）所作成的子空间∴它是一维的又r(T -1(0))+r(TV)=n∴r(TV)=n-1例二：设σ是n 维线性空间V 的线性变换，V 1=σV ，V 2=σ-1(0)分别是σ的值域与核，α1, α2, , αr是V 1是一组基，设β1, β2, , βr 是α1, α2, , αr 的原像，令W=L（β1, β2, , βr ），证明： 1）σ的秩+σ的零度=n2）V=W⊕V 2证明：设σ是零度为t ，且η1, η2, , ηt 是它的一组基，则可扩充为 V 的一组基η1, η2, , ηt ，ηt +1, ηt -2, , ηn ，且σ-1(ηi ) =0，i =1, 2, t 。
第一章 第7节 n维线性空间的同构00
是一种映射关系，更进 一步，它还表示一一对 应的关系。
定义7.1 若两个线性空间 V1 与 V2，存在 V1 到 V2 上 的一个一一对应 σ ，使得对于任意的向量 α , β ∈ V1 ，数 λ 都有：
(1) : σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) (2) : σ (λα ) = λσ (α )
第10节 矩阵的相似对角形
对于n维线性空间V上的 线性变化T，是否存在V 的一个基使其在这个基 下的矩阵为对角矩阵。
一、线性变换的可对角化
定义10.1: 数域F上的n维线性空间V的线性变换T称为可 对角化的，如果在V中存在一个基，使得T在这个基下的 矩阵为对角矩阵。
T (α1 , α 2 , , α n ) = (α1 , α 2 , , α n ) A
特征向量为非零向量！
T :V → V
V的基
T (α )= λα ,
λ ∈ F, ≠ 0
α1 , α 2 , , α n
T (α1 , α 2 , , α n ) = (α1 , α 2 , , α n ) A
x1 x2 α = (α1 , α 2 , , α n ) xn
(证明p42)
不变子空间简单性质（证略p42）： (1) 线性变换T 的不变子空间的和与交仍然是T的不变 子空间 (2) 设 W = span{α1 , α 2,, α s } 则W是线性变换T 的不变 1, 2, , s 子空间的充要条件是 T (α i ) ∈ W , i = (3) V 的任一子空间都是数乘变换的不变子空间。
(α ) T (α ), T |W= ∀α ∈ W
例题9.1—9.5 ：
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
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设V是数域F上的 n维线性空间, ，，…，是它的一个基。
由上节可知，对任意的α，β V,它们在这个基下有唯一确定的坐标
α=（，，…，），β=（，，…，）。
于是，对任意的λ F,α+β=（，，…，） ,
α=（，，…，） .
这样，可以在线性空间V与有序 n元素组所张成的向量空间之间建立起一个一一对应:V ,使 =
.
显然，影射还保持了线性空间V与的线性运算关系，即
= +
=λ .
我们把具这些性质的映射称为从线性空间V到上的同构映射，一般说来，有
定义18.1 设 , 是数域F上的两个线性空间，如果从到
有一个映射： ,满足
(1) 是从到上的一一映射；
(2)对任意的α，β ,有 = +
(3)对任意的α V ，任意的 F,有=λ
.
那么，是从到上的同构映射。
如果两个线性空间之间存在一个同构映射，就称这两个线性空间同构。
前面的论述证明了下面的定理。
定理18.1 数域F上任意一个n 维线性空间V和数域F上有序n元数组的向量空间同构。
进一步可知，线性空间的同构具有下述性质：
(1) ,
(2)
(3) 设：是线性空间到上的同构映射，那么中的向量组，，…，线性相关当且仅当它们在中的像 , ,…, 线性相关。
(4) 同构的线性空间的维数相等，反过来，维数相等的线性空间都同构。