n维线性空间

设V是数域F上的 n维线性空间, ，，…，是它的一个基。由上节可知，对任意的α，β V,它们在这个基下有唯一确定的坐标

α=（，，…，），β=（，，…，）。

于是，对任意的λ F,α+β=（，，…，） ,

α=（，，…，） .

这样，可以在线性空间V与有序 n元素组所张成的向量空间之间

建立起一个一一对应:V ,使 =

.

显然，影射还保持了线性空间V与的线性运算关系，即

= +

=λ .

我们把具这些性质的映射称为从线性空间V到上的同构映射，一般说来，有

定义18.1 设 , 是数域F上的两个线性空间，如果从到

有一个映射： ,满足

(1) 是从到上的一一映射；

(2)对任意的α，β ,有 = +

(3)对任意的α V ，任意的 F,有 =λ

.

那么，是从到上的同构映射。如果两个线性空间之间存在一个同构映射，就称这两个线性空间同构。

前面的论述证明了下面的定理。

定理18.1 数域F上任意一个n 维线性空间V和数域F上有序n元数组的向量空间同构。

进一步可知，线性空间的同构具有下述性质：

(1) ,

(2)

(3) 设：是线性空间到上的同构映射，那么

中的向量组，，…，线性相关当且仅当它们在中的像

, ,…, 线性相关。

(4) 同构的线性空间的维数相等，反过来，维数相等的线性空间都同构。