沪科版九年级数学24.3第2课时圆内接四边形
G A
B
如图，七边形ABCDEFG是 O 的园内接七边形， O 是七边形 ABCDEFG的外接圆。
圆内接四边形？
A D O B
C
如果一个四边形 的所有顶点都在 同一个圆上，那么
这个四边形叫做圆内接四边形
这个圆叫做这个四边形的外接圆。
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系呢？ 证明猜想
B A
O C
D
B
D
C
E
例 ：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点 A的直线CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于点D。 经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交 于点F。 求证：CE∥DF
D A
C O E
1
O B
2
F
变式练习1 ：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、
B两点，过A点的直线CD与⊙O1交于点 C，与⊙O2交于点D，过B点的直线EF与 ⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。 猜想：CE∥DF， 仍然成立 吗？
E A
D
O1
B
O2
F
C
变式练习2:如图,⊙O1和⊙O2有两个 公共点A﹑B，过A﹑B两点的直线分 别交⊙O1于C 、E,交⊙O2于D 、F， 且CD∥EF。 求证：CE=DF A
O2
C
D
F
O1
B
E
思维拓展: 1、圆内接平行四边形一定是 矩 形。 2、圆内接梯形一定是 等腰梯 形。 3、圆内接菱形一定是 正方 形。
°
如图，哪些角相等呢？
4 ∠1＝______ ∠DAB ∠2＝______ ∠CDA ∠3＝______ ∠BCD ∠4＝______ ∠ABC
D
A
3
O
B
2
1
C
在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、 ∠C的度数之比是2：3：6，求这个四边形 各角的度数。
解：设∠A、∠B、∠C的度数分别是2x、3x、
∴∠A＝∠DCE
B
C
E
我们把∠A叫做∠DCE的内对角。因为∠A
是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角，
圆的内接四边形的对角互补，且 任何一个外角等于它的内对角。 如图，那些角互 补，哪两个角相 等？
C B O D A E
， ABC+CDA=180°
EAB+BCD=180 EGC=ABC
1 ° D= x 2
思路：在一般的圆内接四边形中，如果把圆心O与一组 对顶点A、C分别相连，能得到什么结果呢? D
,
1 ° B= y 2
A
y°O x°
C
B 1 1 ∴∠D+∠B= ( x y ) 360 180 2 2
如果延长BC到E，那么∠A与 ∠DCE 会有怎样的关系呢？ ∵∠DCE＋∠BCD ＝ 180°
你能用今天学的知识来解释吗？
1、圆内接四边形的定义： 所有顶点都在同一个圆上的四边形。
对角互补 2、圆内接四边形的性质： 外角等于它的内对角
3、解题时应注意两点： （1）注意观察图形，分清四边形的外角 ____和它的内对角 _____ 的位置，不要受背景的干扰。
公共弦 ， （2）证题时，常需添辅助线-----两圆的_________ 圆内接四边形 。 构造_____________
由于四边形ABCD内接与圆 A+B=180° 2x+6x=180 x=22.5° A=45° ,B=67.5° C=135° D=180° ---67.5° =112.5°
A 1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边 形，已知∠BOD=100°， 则∠BAD= 50º ∠BCD= 130º 2、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º ，则∠BOD= 150º O
圆的内接四边形
复习提问：
1、如图(1)，△ABC叫⊙O的_____ 内接 三角形，⊙O叫△ABC 的 外接 ____ 圆。 2、 如上图(1),若弧BC的度数为1000, 则 50º ∠BOC=_____ 100º ,∠A=__
A
O
B
C
图1
圆内接多边形与多边形的外接圆 一个多边形的所有顶 点都在同一个圆上， 这个多边形叫做圆的 内接多边形，这个圆 叫做这个多边形的外 接圆。
沪科版九年级数学下册第24章24.3.3圆内接四边形
夯实基础
7．【2020·牡丹江】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，连接 BD.若A︵C＝B︵C，∠BDC＝50°，则∠ADC 的度数是( B ) A．125° B．130° C．135° D．140°
夯实基础
8．【中考·十堰】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB
整合方法
(2)求证：AB＋BC＝BM. 证明：如图，在BM上截取BE＝BC，连接CE. ∵BM 平分∠ABC，∠ABC＝120°， ∴∠MBC＝12∠ABC＝60°.
整合方法
又∵BE＝BC，∴△EBC是等边三角形． ∴CE＝CB＝BE，∠CEB＝60°. ∴∠MEC＝180°－∠CEB＝120°. 在△ ABC 和△ MEC 中， ∠BAC＝∠EMC， ∠ABC＝∠MEC， CB＝CE，
夯实基础
9．【中考·天水】如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点 A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝ 80°，则∠EAC的度数为( C )
A．20° B．25° C．30° ，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，过 B， C 两点的⊙O 交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 EO 并 延长交⊙O 于点 F，连接 BF，CF，若∠EDC＝135°， CF＝2 2，则 AE2＋BE2 的值为( ) A．8 B ．12 C ．16 D ．20
夯实基础
2．下列多边形中一定有外接圆的是( A ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
夯实基础
3．下列命题中，不正确的是( C ) A．矩形有一个外接圆 B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧 C．菱形有一个外接圆 D．任何一个三角形都有一个外接圆
24.3 第2课时 圆内接四边形-2022-2023学年九年级下册初三数学(沪科版)
24.3 第2课时圆内接四边形-2022-2023学年九年级下册初三数学(沪科版)一、知识回顾在前面的学习中，我们已经学习了关于圆的知识，包括圆的定义、圆心、半径以及圆上的弧和圆心角等概念。
本节课我们将学习圆内接四边形的性质。
1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四个边都是圆的弦。
2. 圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的两对对角线互相垂直。
（2）圆内接四边形的两对对边相等。
（3）圆内接四边形的对角线交点与圆心在一条直线上。
二、圆内接四边形的证明1. 圆内接四边形的两对对角线互相垂直的证明设圆内接四边形的对角线交点为O，圆心为C，四边形的顶点分别为A、B、D、E。
根据圆的性质，圆内接四边形的两条对角线都是圆的弦，所以OA、OB、OD、OE都是圆的直径，而直径的特点是与圆心连线垂直。
所以，根据直径的性质可知，圆内接四边形的两对对角线互相垂直。
2. 圆内接四边形的两对对边相等的证明在证明这个性质之前，我们先引入一个重要概念——切线。
切线的定义在平面几何中，给定一个圆以及一个点P，如果从点P到圆的圆心C的距离等于圆半径r，那么称线段PC为圆的切线。
现在，我们回到圆内接四边形的性质证明上。
以圆心为原点建立坐标系，设圆的半径为r，则圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
设四边形的顶点A、B、D、E的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、D(x3,y3)、E(x4, y4)。
由圆内接四边形的定义可知，四个点都在圆上，即满足圆的方程。
分别代入圆的方程可以得到以下方程组：x1^2 + y1^2 = r2 x22 + y2^2 = r2 x32 + y3^2 = r2 x42 + y4^2 = r^2将以上方程相减，可以得到以下方程：x1^2 + y1^2 - (x2^2 + y2^2) = 0 x2^2 + y2^2 - (x3^2 + y3^2) = 0 x3^2 + y3^2 - (x4^2 + y4^2) = 0 x4^2 + y4^2 - (x1^2 + y1^2) = 0将上述方程两边同时乘以2，然后相加，可以得到以下等式：2(x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2) = 2(x1^2 +y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2)即：2(x1^2 + y1^2) + 2(x2^2 + y2^2) + 2(x3^2 + y3^2) + 2(x4^2 + y4^2) =2(x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2)化简后可得：x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2 = x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2即：0 = 0这说明方程成立。
24.3 圆周角 第2课时 课件 沪科版数学九年级下册
回顾 A
C
圆周角 O
B
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角
等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
直径是同特圆殊或的等弦圆，中对，于同一弦般或的等弦弦，所它对所的对圆的周圆角周相角等是吗否？也相等呢？
思考
A和C有什么数量关系呢？
A
四边形一组对角的数量关系. OD
B
C 圆内接四边形一组对角的数量关系.
四个如顶果点一都个在多圆边上形的所有顶点都在同一个圆上，这个多 边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
A
E
OD
B
C
F
∠A∠E ∠C∠F ∠A∠C180° ∠E∠F180°
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE 有什么关系？
A
∠DCE∠DCB180°
OD
∠A ∠DCB180°
B
CE
∠A∠DCE
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳
A
OD
B
CE
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等 于它的内对角.
台江区二中九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第2课时圆内接四边形课件新版沪科版3
结束语
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第2课时圆 内接四边形课件新版沪科版3
视图〔3〕
温故知新 1、一个物体的三视图指的是什么 ？
2、说出下面一些基本几何体的三视图 :
3、你能画出以下图的三视图吗 ？
主
左
视
视
图
图
俯
导入
前面我们讨论了由立体图形〔实物〕画出 三视图 , 下面我们讨论由三视图想象出立体 图形〔实物〕．
例2 在圆内接四边形ABCD中 , ∠A、∠B、 ∠C的度数之比是2:3:6 , 求这个四边形各角的度数.
解 : 设∠A、∠B、∠C的度数分别等于2x°、 3x°、 6x°. ∵四边形ABCD内接与圆 , ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180° ∵2x+6x=180° , ∴x=22.5 ∴∠A=45° , ∠B=67.5° , ∠C=135° , ∠D=180°-67.5°=112.5°
自主学习
例1 : 根据三视图说出立体图形的名称．
分析 : 由三视图想象立体图形时 , 要先分别根据主视 图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧 面 , 然后再综合起来考虑整体图形．
练一练
1、由三视图想象实物形状 :
(1)
(2)
(3) 实
(4) 实
2、下面所给的三视图表示什么几何体?
C
圆内接四边形的对角 互补 .
D O
A
B
如下图 , 四边形ABCD内接于
E
⊙O , 试说明∠A与∠DCE的关系.
解：由于 BAD 与 B C D 所对的
C
圆心角之和是周角为360°，则 ∠A+∠BCD=180°.
沪科版九年级数学下册课件：24.3《圆周角(3)圆内接四边形》ppt
A D
O2
BF
注意:相交两圆的公共弦是常用的辅助线.
五、巩固练习 1.四边形ABCD内接于圆,AC平分∠BAD, 延长DC交AB的延长线于点E,若AC=EC, 求证:AD=EB
A
OB
DC
E
2.课本30页练习1、2.
六、小结 本节课你有什么收获？ 到现在,我们学习的与圆有关的辅助线
有哪些?
七、作业 课堂作业: 1,必做题:书本上第32页第9题 2,选做题:书本上第32页第11题 家庭作业：一张试卷
2.这个圆叫做这个多边形的外接圆。
B
A
A
DC
B OO
F CD
3.如图:⊙O内接四边形ABCD,
(1)∠ A+∠1=?, ∠ B+∠D=?
(2)在∠ A ,∠ B ,∠ D ,∠ 1中,
D
哪个角与∠ 2相等？
A
其中，∠A是∠BCD的对角
（简称为∠DCE的内对角）
O
12E
B
C
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补,每一个外角都等于它的
三、自学提纲 看书本上第29-30页，解决以下问题 1.什么叫圆内接多边形？什么叫多边形的
外接圆？ 2.圆内接四边形的对角有什么关系？ 3.圆内接四边形的外角等于什么？ 4.自学例2. 5.做课后32页第10题.
四、合作探究
1.圆内接多边形定义： 如果一个多边形的各个顶点都在同一个圆上, 那么这个多边形叫做这个圆的内接多边形.
24.3圆周角（3）
——圆内接四边形
D
A
O
B
CE
一、复习引入 1.什么叫圆内接三角形? 2.什么叫做圆内接四边形?
圆内接四边形-九年级数学下册同步教学课件(沪科版)
定理
圆内接四边形的对角互补，且任何 一个外角都等于它的内对角.
24.3.2 圆内接四边形
“ THANKS ”
A
圆上一条弧所对的圆周角等于它
所接四边形 讲授新课 圆内接四边形及其性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
C
D O
A
B
如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是
四边形ABCD的外接圆.
∵ 2x+6x=180°， ∴ x = 22.5°.
∴ ∠A = 45°， ∠B = 67.5°， ∠C =135°， ∠D =180°-67.5°=112.5°.
24.3.2 圆内接四边形
例2 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，点 O 在∠D 的内部， 四边形 OABC 为平行四边形，
则∠OAD＋∠OCD = _6__0__度．
24.3.2 圆内接四边形
例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点E. 若BC＝BE. 求证：△ADE是等腰 三角形．
证明：∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°， ∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形．
则∠APB = 120°.
C P
B A
24.3.2 圆内接四边形
5. 在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A.
解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，
A
∴∠C = 180°－∠CBD－∠BDC = 130°.
沪科版9数学下第24章圆内接四边形
知2－练
2 已知：四边形ABCD内接于⊙O,BC是⊙O的直径， AD//BC，AC 与BD相交于点P， ∠APB =20°,求四 边形ABCD各个角的度数.
3 证明：圆内接平行四边形是矩形.
（来自《教材》）
知2－练
4 (中考)圆内接四边形ABCD中，若∠A＝70°，则 ∠C等于( ) A．20° B．30° C．70° D．110°
知3－讲
导引：(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB，由圆内接 四边形的性质，知：∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F ＝180°，可得∠E＋∠F＝180°，进而可得 CE∥DF，由此得证．
(2)由四边形CEFD是平行四边形，得CE＝DF.由于 ⊙O1和⊙O2是两个等圆，因此 CE DF .
2 教学重点
圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系。
3 教学难点
探究圆心角和圆心角相关性质的过程。
1 课堂讲解 圆内接多边形
圆内接四边形对角互补
2 课时流程 圆内接四边形外角等于内对角
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？ 研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形） 1.边的性质： （1）矩形：对边相等，对边平行； （2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等； （3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行． 归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么共同的性质． 2.角的关系 猜想：圆内接四边形的对角互补． 归纳：一般的圆内接四边形对角互补。
证明：(1) 连接AB，如图.
知3－讲
∵四边形ABEC是⊙O1 的内接四边形，
∴∠BAD＝∠E.
又∵四边形ADFB是⊙O2的内接四边形， ∴∠BAD＋∠F＝180°，∴∠E＋∠F＝180°.
最新沪科版初中数学九年级下册24.3第2课时圆内接四边形优质课课件
复习 导入
自主 学习
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
什么是圆周角？
圆周角概念: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆
周角.
特征： ① 角的顶点在圆上.
D
B E
●O
② 角的两边都与圆相交.
A
C
首页
圆周角定理
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
F
A M
B
C
DO
3.判断. （1）等弧所对的圆周角相等；（ ） （2）相等的弦所对的圆周角也相等；（ ） （3）90°的角所对的弦是直径；（ ） （4）同弦所对的圆周角相等.（ ）
B
C
D
O2 O1
A
A
C
O
C
O
E
F
A
B
G
E
4.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=75°,则∠C=____7_5.°
即 ∠ABC = ∠1AOC. 2
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B B
圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
自主学习
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形 叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
D
E
C
O
A B
B
C
A
OD
F
E
首页
合作探究
活动：探究与圆内接四边形的定理
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形；⊙O为四边形 ABCD的外接圆.
A
D
O
B
C
圆的内接梯形一定是＿＿等＿腰＿＿梯形.
最新沪科版九年级下册数学精品教案-24.3 第2课时 圆内接四边形
24.3 圆周角第2课时圆内接四边形学习目标1．理解圆内接多边形的概念；2．掌握圆内接四边形的性质，并能够运用其进行简单的计算与证明(重点、难点)．教学过程一、情境导入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？二、合作探究探究点：与圆内接四边形有关的计算【类型一】利用圆内接四边形的性质进行计算如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO ＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.方法总结：解决圆中角度计算问题关键是掌握弧的角度、弧所对圆心角的度数和弧所对圆周角度数之间的关系，巧妙地利用弧的度数作桥梁进行转化，找出相应的等量关系．【类型二】利用圆内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．方法总结：在运用圆的内接四边形进行解题时，要牢记圆内接四边形的对角互补．三、板书设计1．圆的内接多边形2．圆的内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角．教学反思教学过程中，以学生为主体，让学生自己探究圆内接四边形的性质，在探究的过程中体会转化思想．在解决问题时能通过联想进行转化，提升学生的逻辑思维能力.。
2023九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第2课时圆内接四边形教案(新版)沪科版
教师活动：
-布置作业：根据课堂内容，布置适量的习题，包括基础题、提高题和拓展题，以巩固学习效果。
-提供拓展资源：向学生推荐一些拓展阅读材料，如数学期刊、在线教育资源，以供学生深入学习。
-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生个性化的反馈和指导。
学生活动：
-完成作业：认真完成作业，巩固课堂所学知识。
4.教室布置：
a.将教室分成几个小组讨论区，每个讨论区配备一台电脑或投影设备，方便学生观看多媒体资源。
b.在教室前方设置讲台，用于教师讲解和演示教学内容。
c.预留一片实验操作区域，放置画图工具和实验器材，便于学生进行实际操作。
d.教室内张贴与圆内接四边形相关的挂图和提示性标语，营造良好的学习氛围。
5.其他：
本节课使用沪科版2023九年级数学下册教材，确保每位学生都有教材。提前布置学生预习第24章圆的相关内容，特别是24.3节圆周角的知识，为学习圆内接四边形打下基础。
2.辅助材料：
a.准备与圆内接四边形相关的图片，展示不同形状和大小的圆内接四边形，帮助学生建立直观认识。
b.制作动态PPT或视频，演示圆内接四边形的性质，如对角互补、对边相等等，以便学生更好地理解和记忆。
重点题型整理
题型1:证明圆内接四边形的对角互补。
题目:证明圆内接四边形的对角互补。
解答:设ABCD是圆内接四边形，延长AB和CD相交于点E，延长AD和BC相交于点F。根据圆周角定理，得∠AED=∠BFC。又因为ABCD是圆内接四边形，所以∠AED+∠BFC=180°。因此，∠AEB+∠BFC=180°，即∠AEB和∠BFC互补。同理，可证明∠BEC和∠BFC互补，∠CED和∠DFA互补，∠CFA和∠DFA互补。因此，圆内接四边形的对角互补。