湘教版高中数学选修1-1第1章 常用逻辑用语命题及其关系课件讲义
2019-2020版数学新设计同步湘教版选修1-1讲义：第一章 常用逻辑用语 1.1.3 Word版含答案
1．1.3充分条件和必要条件[学习目标]1．理解充分条件、必要条件、充要条件的概念．2．会判断所给条件是充分条件、必要条件、还是充要条件．[知识链接]1．判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若|x|＝1，则x＝1.答：(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab，即x>a2＋b2⇒x>2ab，但由x＞2ab推不出x＞a2＋b2.命题(2)中，由|x|＝1，可得x＝1或－1，即由|x|＝1推不出x＝1；但x＝1能推出|x|＝1.结论：一般地，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．若p是q的充分条件，p唯一吗？答：不唯一，如x＞3是x＞0的充分条件，而x＞5，x＞8，…等都是x＞0的充分条件．[预习导引]1．在“若p则q”形式的命题中，把p称为命题的条件，q称为命题的结论．“若p则q”为真命题，我们就说由p可以推出q，记作p⇒q，读作“p推出q”．2．如果p可推出q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．3．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．要点一充分条件、必要条件例1指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sin α>sin β，q：α>β.解(1)∵x2＝2x＋1⇒x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇒a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)由sin α>sin β不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sin α>sin β，∴p 既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．规律方法要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p 是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.跟踪演练1下列“若p则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若x＝y，则x2＝y2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(6)若a＞b，则ac＞bc.解(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3 ＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3 ＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件.(2)∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的充分不必要条件．(5)∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的充分不必要条件．(6)∵p⇒q，而q⇒p，∴p是q的既不充分也不必要条件．要点二充分条件、必要条件与集合的关系例2是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．解由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，令A＝{x|x>2或x<－1}，由4x＋p<0，得B＝{x|x<－p 4}，当B⊆A时，即－p4≤－1，即p≥4，此时x<－p4≤－1⇒x2－x－2>0，∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．规律方法(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪演练2 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若q 是p 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m (m >0)}．∵q 是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1＋m ≤10，解得0<m ≤3.1－m ≥－2，∴实数m 的取值范围是(0,3]．要点三 充要条件的证明例3 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.证明 必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14，(x 1＋x 2)－2>0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14，－(2k －1)－2>0，k 2＋(2k －1)＋1>0，解得k <－2.充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0.设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)>0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－(2k －1)－2＝－2k －1>0， ∴x 1－1>0，x 2－1>0.∴x 1>1，x 2>1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k <－2.规律方法 一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .跟踪演练3 求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 解 (1)当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；(2)当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a <0； 若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0，－1a <0，Δ＝1－4a ≥0，⇒0<a ≤14.综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14.反之，若a≤14，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1 4.1．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件答案 C解析∵－2<x<1⇒x>1或x<－1，且x>1或x<－1D⇒－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分条件，也不必要条件．2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析x2＋(y－2)2＝0，即x＝0且y＝2，∴x(y－2)＝0.反之，x(y－2)＝0，即x＝0或y＝2.x2＋(y－2)2＝0不一定成立．4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0答案 D解析a⊥b⇔a·b＝0，a·b＝(x－1,2)·(2,1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0，故选D.1．充分条件、必要条件的判断方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题¬q ⇒¬p即可；同理要证p⇐q，只需证¬q⇐¬p即可．所以p⇔q，只需¬q⇔¬p.(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．3．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．。
数学新设计同步湘教版选修1-1课件：第一章 常用逻辑用语 1.1.1
(4)6 确实是所给方程的解，所以它是命题，是真命题． (5)由于给定方程 x2－2x＋5＝0，我们就可以用其判别式来判 断它是否有实数解．由 Δ＝4－4×5＝－16<0 知，“方程 x2 －2x＋5＝0 无实数解”是命题，且是真命题． 规律方法 要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的 推理论证，在证明时，要有理有据，有时应综合各种情况作 出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反 例即可．
要点一 例1
命题的判断 ( B．2＋3＝8 D．这是一棵大树 )
下列语句是命题的是
A．x－1＝0 C．你会说英语吗？
答案 B
解析 A 中 x 不确定，x－1＝0 的真假无法判断；B 中 2＋3 ＝8 是命题，且是假命题；C 不是陈述句，故不是命题；D 中“大”的标准不确定，无法判断真假．
规律方法
答：判断一件事情的句子叫命题． 如：有两边相等的三角形是等腰三角形． 2．怎样判断命题的真假？ 答：看命题是否正确，要看它是否与客观事实相符合．
[预习导引]
1．可以判断成立或不成立的语句叫作_____ 命题 ，成立的命题叫作 真命题 ，不成立的命题叫作假命题 _______ _______． 2．暂时不知道真假的命题可以叫作______ 猜想 ．
跟踪演练 2
下列命题：
①若 xy＝1，则 x、y 互为倒数； ②四条边相等的四边形是正方形； ③平行四边形是梯形； ④若 ac2>bc2，则 a>b. 其中真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，不一
定是正方形，③平行四边形不是梯形．
并不是所有的语句都是命题，只有能判断成立
或不成立的语句才是命题， 命题首先是“陈述句”； 其次是“能 判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题.
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第1章 常用逻辑用语
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第1章 常用逻辑用语 1.1.1 命题的概念和例子 1.1.3 充分条件和必要条件 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的定义与标准方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质 2.3.1 抛物线的定义与标准方程 2.4 圆锥曲线的应用 3.1 导数概念 3.1.2 问题探索——求作抛物线的切线 3.2 导数的运算 3.2.2 一些初等函数的导数表 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极大值和极小值 3.4 生活中的优化问题举例
2018-2019版数学新设计同步湘教版选修1-1讲义：第一章
章末复习1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题就是判断这个语句能否分出真假．(2)原命题、逆命题、否命题、逆否命题，这四种命题之间，原命题与逆否命题是同真同假的命题，逆命题与否命题为同真同假的命题．2．简单的逻辑联结词含有逻辑联结词(“且”“或”“非”)的命题(也叫复合命题)真假的判定分下面几种情况：(1)p∧q，当p、q都为真命题时，p∧q为真命题；当p、q中至少有一个为假命题时，p∧q为假命题．(2)p∨q，当p、q中至少有一个为真命题时，p∨q为真命题；当p、q全为假命题时，p∨q为假命题．(3)¬p，当p为假命题时，¬p为真命题；当p为真命题时，¬p为假命题．3．充分条件、必要条件、充要条件(1)判断充分条件、必要条件、充要条件的问题，一般是先找出大前提、条件、结论后，再进行判断．(2)充要条件的证明分两步：一证充分性，二证必要性，它实际上是证明两个命题．充要条件也可称为等价条件．4．全称量词和存在量词含有全称量词的命题是真命题，必须满足所有的情况；含有存在量词的命题是真命题，只需满足某一种情况；对含有全称量词或存在量词的命题作否定，不仅要否定结论，还要更换量词．题型一等价转化思想对于含有逻辑联结词“非”的充分、必要条件的判断，往往利用“原命题与逆否命题是等价命题”进行转化．例1判断下列命题的真假：(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.解(1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，故原命题为假．跟踪演练1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.(其中r>0)；(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1.解(1)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充分必要条件．(2) ¬ q ：x ＝－1且y ＝－1，¬ p ：x ＋y ＝－2.∵¬ q ⇒¬ p ，而¬ pD ⇒¬ q ，∴¬ q 是¬ p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件．例2 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且¬ p 是¬ q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解 法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴¬ q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴¬ p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵¬ p 是¬ q 的必要而不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞). 法二 ∵¬ p 是¬ q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴PQ ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞).跟踪演练2 已知命题p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；命题q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解 x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根⇔⎩⎨⎧m 2－4>0，－m <0，⇔m >2.4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔16(m －2)2－16<0⇔m 2－4m ＋3<0⇔1<m <3. ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 和q 一真一假，∴当p 真q 假时，有⎩⎨⎧m >2，m ≤1或m ≥3，解得m ≥3；当p 假q 真时，有⎩⎨⎧m ≤2，1<m <3，解得1<m ≤2.∴所求m 取值范围为{m |1<m ≤2或m ≥3}． 题型二 分类讨论思想若命题“p ∨q ”“p ∧q ”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p ∨q ”“p ∧q ”的真假情况分类讨论参数的取值范围．例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 和q 有且只有一个正确，求a 的取值范围．解 p 真：0＜a ＜1， q 真：Δ＝(2a －3)2－4＞0， ∴a ＞52或a ＜12，法一 p ：0<a <1.q ：Δ＝(2a －3)2－4>0⇒a >52或a <12.因p 和q 有且只有一个正确，所以当p 正确q 不正确时，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52成立，即12≤a <1；当p 不正确q 正确时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1或a ≤0，a >52或a <12成立，即a >52. 综上：a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.法二 ∵p :A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，q :B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}， ∴p 和q 有且只有一个正确⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ，故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞)．跟踪演练3 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解 p 真：Δ＝(－a )2－4×4≥0，∴a ≤－4或a ≥4. q 真：－a4≤3，∴a ≥－12.由“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假． 当p 真q 假时，a <－12；当p 假q 真时，－4<a <4. 综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．1.对于命题的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系.2.充分条件、必要条件和充要条件考查面十分广泛，涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角等内容.3.准确把握含有三个逻辑联结词的复合命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，綈p与p真假相反.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式；二是要掌握判断含有量词命题的真假的特例法.。
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第1章 常用逻辑用语
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2016-2017学年湘教版高中数学选修1-1：第1章、常用逻辑用语单元复习课件2
D．既不充分也不必要条件 π 解析 因为 0<x< 2 ，所以 0<sin x<1，故 xsin2x<xsin x，结合
xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同，可知答案选 B.
网络构建
专题归纳
答案 B
点评 断． 对充要条件问题的判断，充分性与必要性都得判 定，同时要注意利用命题的真假，或与集合的关系，进行判
网络构建
专题归纳
3．充分条件、必要条件、充要条件
(1)判断充分条件、必要条件、充要条件的问题，一般是先 找出大前提、条件、结论后，再进行判断． (2)充要条件的证明分两步：一要充分性，二是必要性，它 实际上是证明两个命题．充要条件也可称为等价条件．
网络构建
专题归纳
专题一
判断命题的真假
1 1 a 【例 1】 设命题 p：若 a>b，则 < ；命题 q： <0⇔ab<0.给 a b b 出下列四个命题：①p 或 q；②p 且 q；③綈 p；④綈 q. 其中真命题的个数为( A．0 C．2 B．1 D．3 )．
网络构建
专题归纳
专题二
四种命题及其关系
m＋3 【例 2】 给出命题：“当 2m＋1>0 时，如果 >0，那么 m2 2m－1 －5m＋6<0” ，判断它及其逆命题、否命题、逆否命题的真假． 1 解 由 2m＋1>0，得 m>－2.
m＋3 1 由 >0，得 m<－3 或 m>2. 2m－1 1 1 当 m>－ 时，m> . 2 2 1 由 m －5m＋6<0，得 2<m<3.当 m>－2时，2<m<3.
a>0， 1 2 解 p：由 ax －x＋ a>0 恒成立得 a 16 Δ ＝1－4×a×16<0， ∴a>2.q：由 2x＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， t2－1 t2－1 令 t＝ 2x＋1>1，则 x＝ 2 ，∴t<1＋a 2 ， ∴2(t－1)<a(t2－1)对一切 t>1 均成立． 2 ∴2<a(t＋1)，∴a> ，∴a≥1. t＋1 p 或 q 为真，p 且 q 为假，则 p 与 q 一真一假． 若 p 真 q 假，则 a>2 且 a<1，a 不存在． 若 p 假 q 真，则 a≤2 且 a≥1，∴1≤a≤2. 故 a 的取值范围为 1≤a≤2.
高中数学第1章常用逻辑用语章末小结讲义含解析湘教版选修2_10416395.doc
第1章常用逻辑用语1．命题的概念及真假命题的判断(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成．命题分为真命题和假命题．(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p 且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假．2．四种命题及其关系(1)四种命题的构成：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p(结论和条件“换位”)；否命题：若非p，则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非q，则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)．(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．(2)判断方法：①定义法：分别寻找“p⇒q”“q⇒p”“p] q”“q p”中哪两个成立．②命题法：分别判断命题“若q，则p”与“若p，则q”的真假．③集合法：p，q能用集合A，B表示时，判断集合关系“A B”“B A”“A＝B”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件．4．逻辑联结词命题p，q的运算“或”“且”“非”与集合P，Q的运算“并”“交”“补”有如下的对应关系：p或q⇔P∪Q；p且q⇔P∩Q，非p⇔∁U P.5．全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题．而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断．[例1] ①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4.②函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0成中心对称．③命题“如果a ·b ＝0，则a ⊥b ”的否命题和逆命题都是真命题． ④若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件． 其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上) [解析] ①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4， ∴cos 〈a ·b 〉＝－45.∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos〈a ，b 〉＝－4，①正确． ②当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3无意义，由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确． ③∵原命题的逆命题为“若a ⊥b ，则a ·b ＝0”为真， ∴其否命题也为真．∴③正确． ④当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立． (当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .) ∴④正确． [答案] ①②③④判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题解析：对于A ，逆命题是“若3a >3b ，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.答案：A2．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”．答案：C[例2] n S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”． 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12⇒0<θ<π6⇒sinθ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12 ＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决．[例3] 已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解] p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， ∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a . 由题意p ⇒q 且pq ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，⇒0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围为(0,3]．将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法．3．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式知当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab ，其中当a ＝b 时，等号成立．∴当a >b >0时，ab <a 2＋b 22，反之不成立．答案：A4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．答案：B[例4] 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] p 真：Δ＝a 2－4×4≥0， ∴a ≤－4或a ≥4.q 真：－a4≤3，∴a ≥－12.由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题得：p ，q 两命题一真一假． 当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4. 综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．先求出命题p ，q 为真、假命题时a 的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法．5．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．解：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2. 依题意，得p 假q 真或p 真q 假，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2.∴1<a ≤2，∴a 的取值范围为(1,2].[例5] ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0； ②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①是真命题．②中，x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题． ④中x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，故④是真命题． [答案] D利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法．6．命题“∀n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n D ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．答案：D7．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真， 则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1. 命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”为真， 则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．答案：(－∞，－2]∪{1}(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“<”的否定是“≥”．故选D.答案：D2．命题“若x ＝－1，则 x 2＋3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题． 又它的逆命题是：若x 2＋3x ＋2＝0， 则x ＝－1，是假命题， ∴它的否命题也是假命题. 答案：B3．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为1a <1b则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．答案：D4．已知f (x )＝e x＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0解析：由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0，故选B.答案：B5．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b.下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题． 答案：B6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件．答案：A7．命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”是命题乙：“a b ＋c b＝2”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ，b ，c 成等差数列时， 若b ＝0，则a b ＋c b＝2不成立， 反之当a b ＋c b ＝2，即a ＋cb＝2， 即a ＋c ＝2b 时，b －a ＝c －b ， 所以a ，b ，c 成等差数列．答案：A8．下列命题是真命题的是( ) A ．“若x ＝0，则xy ＝0”的逆命题 B ．“若x ＝0，则xy ＝0”的否命题 C ．若x ＞1，则x ＞2D ．“若x ＝2，则(x －2)(x －1)＝0”的逆否命题解析：D 中，x ＝2时，(x －2)(x －1)＝0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题．答案：D9．命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列，命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,21－x,2x 2成等比数列可得x ＝－2或x ＝1，由lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列可得x ＝1，所以甲是乙的必要而不充分条件．答案：B10．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分而不必要条件． 答案：A11．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，8)C ．(－∞，3]∪(8，＋∞)D ．[3,8)解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：D12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：∵p ，q 都是真命题，∴①②③④均正确． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．命题“若x >y ，则x 3>y 3－1”的否命题为________．解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x ≤y ，则x 3≤y 3－1”． 答案：若x ≤y ，则x 3≤y 3－114．若“∀x ∈R ，x 2－2x －m >0”是真命题，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵∀x ∈R ，x 2－2x －m >0是真命题， ∴Δ＝(－2)2＋4m <0恒成立． ∴m <－1.答案：(－∞，－1)15．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：当命题p 为真时，由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1；当命题q 为真时，可知a ≤x ≤a＋1，又綈p 是綈q 的必要不充分条件等价于p 是q 的充分不必要条件，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1a ，a ＋1]，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 16．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，逆命题“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )≥0，即b ≤0，∴b ≤－1时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p ∨q 假时，p ，q 一定均假，∴④正确．故①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题． 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．18．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：3是素数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解：(1)p 或q ：3是素数或3是偶数； p 且q ：3是素数且3是偶数；非p ：3不是素数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题．(2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解； p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围． 解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在12，2上的最小值为2.若q 真，则1c <2，即c >12. 若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12； 若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k . (1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2.∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k 2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2. ∴k 的取值范围是(－1,2)． 21．(本小题满分12分)已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，如果p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解：由y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0<a <1，∵曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两个不同的点，∴Δ＝(2a －3)2－4×1×1>0，解得a <12或a >52. ∴p 真对应集合A ＝{a |0<a <1}，q 真对应集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <12或a >52. 由于p ∨q 真，即p ，q 中至少有一个为真命题．p 真q 假时，12≤a <1；p 假q 真时，a >52或a ≤0；q 真q 真时，0<a <12. 综上得，a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式(x －3a )(x －a －2)<0的解集为A ，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是真命题，得x 2－x －m <0在－1≤x ≤1时恒成立，∴m >(x 2－x )max ，得m >2，即B ＝{m |m >2}．(2)不等式(x －3a )(x －a －2)<0，①当3a >2＋a ，即a >1时，解集A ＝{x |2＋a <x <3a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B ，∴2＋a ≥2，此时a ∈(1，＋∞)；②当3a ＝2＋a ，即a ＝1时，解集A ＝∅，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立；③当3a <2＋a ，即a <1时，解集A ＝{x |3a <x <2＋a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B 成立，∴3a ≥2，此时a ∈（23，1）. 综上①②③可得a ∈（23，＋∞）.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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第1章 常用逻辑用语 1.1.1 命题的概念和例子 1.1.3 充分条件和必要条件 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的定义与标准方程 2.2 双曲线 2.2.2 双曲线的简单几何性质 2.3.1 抛物线的定义与标准方程 2.4 圆锥曲线的应用 3.1 导数概念 3.1.2 问题探索——求作抛物线的切线 3.2 导数的运算 3.2.2 一些初等函数的导数表 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极大值和极小 常用逻辑用语
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湘教版高中数学必修第一册第1章1-1-1第1课时集合与元素课件
[解] 由题意可知，a＝1或a2＝a， (1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1． (2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0， 满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数a的值为0．
三个元素．]
5
题号
1
√
2
3
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数．故选D．]
4
5
题号
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1___∈_____B(填“∈”或 1
“∉”)．
2
∈ [由集合相等的定义可知，1∈B．]
3
4
5
5．已知集合A由a2－a＋1，|a＋1|两个元素构成，若3∈A，则a的 值为___－__1_或__－__4___．
√A．一切很大的数
√B．好心人
题号
√C．漂亮的小女孩
D．不小于3的自然数
1 2
ABC [“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A，3
4
B，C中的元素均不能构成集合．故选ABC．]
5
2．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为( )
题号
A．1
B．2
1
√C．3
D．4
2
3
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 4
[母题探究] 本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围． [解] 由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1．
反思领悟 根据集合中元素的基本属性求值的3个步骤
[跟进训练] 3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值．
最新高中数学选修1-1课件：第1章 常用逻辑用语1.1.1
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题．
解析： (1)是陈述句，但不能判断真假 ，故不是命
(2)是祈使句，故不是命题． (3)(4)是陈述句，能判断真假，是命题． 答案： (3)(4)
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第一章 常用逻辑用语
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命题真假的判断
判断下列命题的真假： (1)一个数的算术平方根一定是正数； (2)若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行； (3)若G2＝ab，则a，G，b成等比数列； (4)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根； (5)平行四边形的对角线互相平分．
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第一章 常用逻辑用语
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命题的结构
一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式， 其中命题中的p叫做命题的条__件____，q叫做命题的结__论____，也就 是说，命题由条__件_____和结__论____两部分组成．
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第一章 常用逻辑用语
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1．判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)风景这边独好． (2)让我们尽情享受寒假吧！ (3)函数f(x)＝x3是R上的奇函数． (4)火星上有水．
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第一章 常用逻辑用语
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不是命题 是疑问句，不是陈述句，因此不是命题
不是命题 是祈使句，不是陈述句，因此不是命题
是命题 是陈述句，并且可以判断真假
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第一章 常用逻辑用语
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