浅谈微积分与数学思想方法_金友良

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非常规性思维的思想方法
非常规性思维是发散思维的一种 ， 是摒弃了固有的思维定势 ， 超 越常规思维 ， 注 重 寻 求 数 学 直 觉 思 维 、 数 学 顿 悟 和 数 学 想 象 等 的 思 维 方式 ， 将解决问题的方法拓宽 、 迁移 ， 从而达到积极简化解决问题过程 的作用 。 非常规思维的形成是以常规思维作为基础 ， 是常规思维的更高阶 段 ， 它只是 将 各 种 方 法 反 常 规 的 应 用 到 其 它 问 题 的 解 决 上 ， 但 这 种 迁 移并非是无缘无故无目的的行为 ， 它们之间有着密切的联系 。 在教学 实践中 ， 我 们 应 该 刻 意 地 发 现 可 以 加 入 这 部 分 元 素 的 素 材 ， 以 问 题 引 入的方式 ， 用例题把其具体化 。 例 3 计算积分
分 析 ： 按 照 常 规 方 法 ， 被 积 函 数 中 含 有 姨1+x ， 可 以 实 施 如 下 三 角 代 换 ： 令 x =tanx ， 再 通 过 第 二 类 换 元 积 分 法 就 可 以 求 出 积 分
乙x
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姨1+x
2
dx ， 这里就不作详细介绍 。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
非常规做法 ： 如果注意到被积函数中有 x ， 又想到 xdx= 1 d （x ），
高职的高等数学的核心内容是微积分 。 作为高职生不仅仅掌握微 积分的基本知 识 和 基 本 技 能 ， 了 解 其 基 本 的 逻 辑 体 系 ， 更 重 要 的 应 当 是理解和 掌 握 其 数 学 思 想 方 法 。 这 数 学 思 想 方 法 对 学 生 来 说 尤 为 重 要 ， 能为学生终身享用 。 笔者认为 ， 微积分学中蕴含着丰富的数学思想 方法 ， 教师在教学实践中 ， 注意适时渗透有关的数学思想方法 ， 将有利 于我们实现教 学 目 的 ， 促 进 整 个 教 学 方 式 和 过 程 的 优 化 ， 真 正 让 学 生 在掌握微积分的基本知识和基本技能的同时 ， 理解和掌握其数学思想 方法 。 本文谈谈微积分中的几种主要数学思想方法 。
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在微积分学中 ， 大量地采用了分析与综合的方法 。 下面以定积分 的概念为例说明 。 例 5 定积分概念 定积分的概念有着现实的几何与物理背景 ， 一般实例为求由曲线 y=f （x ）（f （x ）≥0 ），x∈ ［a ，b ］ 与直 线 x=a ，x＝b ，y＝0 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 。 对于这一由初等数学不能解决的复杂问题 ， 我们首先用分析法 ， 将 其分割为若干个小曲边梯形 （ 如下图 ）， 对其中的每个小曲边梯形如第 i 个 ， 用静止不变的观点研 究 ， 则 可 把 函 数 f （x ） 在 ［xi－1 ，xi ］ 看 作 是 不 变 的 ，即把第 i 个小曲边梯形近似地作为一个小矩形 ，其宽为 Δxi =xi -xi－1 ， 高为 f （ξi ），ξi 是 ［xi－1 ，xi ］ 中任取的一点 ， 从而第 i 个小曲边梯形的面 积
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分类的思想方法
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时 , 我 们 往 往 把可能出现的所有情况分别进行讨论 , 得出每种情况下相应的结论 , 这 种思想方法就是分类的思想方法 。 此种思想是重要的数学思想 ， 是作 为一个大学生的基本素质之一 ， 尤其是未来领导的基本素质之一 。 分类的思想方法在微积分学中较为普遍 。 在教学实践中 ， 适时揭 示分类思想 ， 帮 助 学 生 掌 握 和 善 于 运 用 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 ， 有 助 于 他们对知识的加深认识 、 理解和整理消化 ， 从而掌握其本质规律 。 例 4 判定级数 Σ 1p （p— —— 级数 ） 的敛散性 。 n=1 n 分析 ： 不同的 p 值 ， 有不同的敛散情形 ， 因此要分类讨论 。
例 1 不定积分的分部积分法 。 处理方法 是 ： 将 计 算 积 分
乙uv′dx，
若此积分直接积分不是那么容易或不能积分 ， 则通过分部积分法公式
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应用极限思想方法
微积分思想即应用极限思想 ， 巧妙地通过有限情形的 “ 趋势 ” 分 析 ， 直接获得无穷过程的终极值 ， 解决微积分学的两个主要问题 ： 变化 率问题和积累问题 ， 并推而广之解决其他实际问题 。 这种思想培养人 们做事目标的明确性 、 思维的条理性 、 过程的规范性和方法的创新性 ， 是高等数学教育的灵魂 。 变化率问题即研究非均匀变化变量的局部变化规律 。 例如 ， 变速 直线运动物体的瞬时速度 ， 曲线在一点处的切线斜率 、 曲率等 。 这类问 题即求函数在某一点的变化率问题 。 解决这类问题的基本思想是 ： 先 考虑指定点附近的变化情况 。 即由指定点适当扩大到该点附近的一个 小范围来考察 。 在这个小范围内 ， 近似的以 “ 不变代变 ”、“ 以静代动 ”， 求得平均变化率 。 该平均变化率近似等于该点处的瞬时变化率 。 再将 小范围无限缩小而 趋 向 于 零 ， 促 使 “ 近 似 ” 转 化 为 “ 精 确 ”， 从 而 求 得 函 数在指定点处的变化率问题 ， 这就是微分学问题 。 积累问题即研究非均匀变化变量的无限积累问题 。 例如 ， 求不规 则 图 形 的 面 积 ，求 曲 线 的 长 度 ，求 曲 面 的 面 积 ，求 非 均 匀 物 体 的 质 量 等 。 这类问题即无限求和问题 。 解决这类问题的基本思想是 ： 先将整体 化为有限个微小的局部 （ 化整为零 ）， 在每个局部 “ 以直代曲 ”、“ 以不变 代变 ”（ 主要是为 简 化 运 算 ）， 再 积 零 为 整 求 和 式 ， 得 到 整 体 的 近 似 值 ， 最 后 ，再 使 每 一 局 部 无 限 变 小 ，通 过 求 和 式 极 限 ，促 使 “近 似 ”转 化 为 “ 精确 ”， 从而得到积累问题的准确值 ， 这就是积分学问题 。
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化归的思想方法
乙x 姨1+x
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2
dx
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把所要解决的问题通过一系列步骤化为已经解决了的或者较为 简单的问题去处理的思想就是化归的思想 。 化归是解决数学问题的一 种极为重要的思想方法 ， 化归思想也就是数学家的思想 。 从宏观看 ， 化归的思想是解决数学问题形成数学构想的方法论依 据 。 如解析几何就是把几何问题化归为代数问题 ， 函数图像是把代数 问题化归为几何问题来解决的工具 。 从微观看 ， 数学问题的解决过程 就是不断地发现问题 、 分析问题 ， 直至化归为熟悉问题的过程 。 如求某 曲线在一点处的切线问题 ， 就要转化为求在该点处的函数的导数来解 决 ； 求某些平面图形的面积 、 立体图形的体积等 ， 常常转化为定积分问 题来解决 。 化归的进程是 ： 观察 — 分析 — 联想 — 定向 — 化归 。 用化归思想解 决问题的模式 ， 可用下图来表示 。 在微积分学中许多处理问题的方式或方法都遵循或体现了化归 的思想方法 。
1 +…+ 1 +… 的对应项 ，而且后一级数是几何级数 ， 公比 q= 1 p p 8 8 2
所以收敛 ， 因此级数
<1，
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【 参考文献 】
［1］ 王培德 ．数学思想应用及探究 ： 建构教学 [M]．北京 ： 人民教育出版社 ，2003． ［2］ 洪琦 ．微积分教学应突出化归思想 [J]．中国林业教育 ，2006 （2 ）． ［3］ 李 明 ． 探 索 微 积 分 教 学 中 的 非 常 规 性 思 维 [J]． 金 华 职 业 技 术 学 院 学 报 ，2008 （6 ）． ［4］ 宋 述 刚 ， 陈 忠 ． 微 积 分 理 论 中 的 辩 证 法 规 律 与 辩 证 思 维 方 法 [J]． 长 江 大 学 学 报 ： 自科版 ，2005 （10 ）． ［5］ 李万军 ．微积分思想及其认识 [J]．周口师范学院学报 ，2008 （5 ）． 作 者 简 介 ： 金 友 良 （1966 —）， 男 ， 浙 江 丽 水 人 ， 丽 水 职 业 技 术 学 院 ， 副 教 授 ， 高等数学教学研究方向 。
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就可以将 x 分成 x · x ， 再转化求解 。
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乙x 姨1+x dx （x ＋1 ） 姨1+x d （x ＋1 ）－ 1 乙 ＝1 乙 姨1+x d（x ＋1） 2 2 （x ＋ 1 ） d （x ＋ 1 ）－ 1 乙 （x ＋ 1 ） d （x ＋ 1 ） ＝1 乙 2 2
解：
3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ＝ 1 （x ＋ 1 ） － 1 （x ＋ 1 ） ＋ C 5 3 5 3
On Calculus and Mathematics Thoughts and Methods JIN You-liang （Lishui Vocational and Technical College, Lishui Zhejiang ，323000,China ） 【Abstract 】This paper discusses several major mathematics thoughts and methods which are contained in calculus, and can be infiltrated into the practice in the course so students could take advantage of these methoads lifelong. 【Key words 】Calculus ；Mathematics thoughts and methods ；Infiltrate
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||T||→0 i = 1
Σ f （ξ ）Δ x 。
i i
Σ1 n
n=1
∞
发散 ；
当 p<1 时 ， 1p > 1 。 由
n
n
Σ1 n
n=1 p p
∞
发散 ， 所以
Σ1