浅谈几种数学思想方法
谈小学数学教学的几种思想方法
对象 ， 如数学上韵点 、 、 数 式放在一起作为研究对象 ， 这 种思想就是集合思想 。 集合思想作为一种思想 ， 在小学
数学中就有所体现 。 在小学数学中， 集合概念是通过画 集合图的办法来渗透的。 如用 圆圈 图 （ 韦恩图 ）向学 生直观地渗透集合概 念。让他们感知圈内的物体具有某种共 同的属性 ， ． 可以
一
对应 是人 的思维对 两个 集合 间问题联 系的把握 ， 是现代数学 的一个 最基本 的概念 。小学数学教学 中主 要利用虚线 、 实线 、 箭头 、 计数器 等图形将元素与元素 、 实物与实物 、 数与算 式 、 量与量 联系起来 ， 透对应思 渗 想。 如人教版一年级上册教材 中， 分别将小兔和砖头 、
让学生体会 自然数是数 不完 的 ， 奇数 、 的个数有无 偶数 限多个 ， 让学生初 步体会 “ 限” 无 思想 ； 在循环小数这一 部分内容 中， ÷３ ０ ３ …是一循环小数 ，它的小数点 １ ＝． ３ ３ 后面的数 字是写不完 的， 是无 限的； 在直线 、 射线 、 平行
线的教学时 ，可让学生体会线 的两端是可 以无限延长
小猪和木头 、 白兔和萝 卜 苹果和梨一 一对应后 ， 小 、 进 行多少的比较学习 ， 向学生渗透 了事 物间的对 应关 系 ， 为学生解决问题提供了思想方法。
四、 函数的思想方法 恩格斯说 ：数学 中的转折 点是笛 卡儿 的变数 。有 “ 了变数 ， 动进入 了数 学 ， 了变数 ， 运 有 辩证法 进入 了数
极 限的思想方法是人们从有 限中认识无限 ，从近
似中认识精确 ，从量变 中认识质变的一种数学思想方 法， 它是事物转化 的重要环节 ， 了解它有重要意义 。 现行 小 学教材 中有许多 处 注意 了极 限思想 的 渗 透 。在“ 自然数 ”奇数 ”偶数” “ “ 这些概念教学时 ， 教师可
浅谈几种常见的数学思想方法
浅谈初中数学常见的几种数学思想
一
◆ 学究 教研 ◆
０６０ ） ６ ３ ０
浅 谈初 中数学常 见 的几种数学思想
系， 并说 明理由。 解 ：１ （ ）用 待 定 系 数 法 ， （ ， ） 别代． ＝ ｘ 将 ３２分 Ｋｙ ａ 和 旦 ， 得两个 函数的 求
（ ＜） ０ ４。
学常见 的有 ： 从未知 向已知转 化 ， 复杂问题 向简单问题转 化 ， 新 知识 向旧知识 转化 ， 多元 向一元转化 ， 高次向低次转化等等 。以 下例２ 例 ３例４ 、 、 的解决都包含有转化 的思想 ， 细细品味。 请
二 、 化 与 化 归 的 思 想 转
解 决数学问题时 ，常遇到一些 问题直接 求解较为 困难 ， 为 此我们可 以选择运用恰 当 的方法进 行变换 ， 将原 问题转化为 一 个新问题 ， 通过对新 问题 的求 解 ， 达到解决原 问题 的 目的 ， 就 这 是转 化与化归 的思想 。数 学 中的转 化与化归 比 比皆是 ， 中数 初
可得Ｂ ＝ ＂４ ＝ ，Ａ ４ ｘ ． ＿ ＝ ． ／ Ｃ ＝＿ Ｄ ＝ ０ ， Ｃ Ｖ５
・ ． ．
ＡＢ ＡＰ ： ．＝ ，简 ｙ号＋ Ａ — Ａ ， 击 化 得一 Ｃ Ｄ
（） ２分类讨论： Ｐ ＝Ｃ ￣ ＝，喜 ， ①当 Ｄ Ｐ ， ｙｘ一 ＋ Ｐ 解得 要 ， ＝ ） ）
二转化与化归的思想解决数学问题时常遇到一些问题直接求解较为困难为此我们可以选择运用恰当的方法进行变换将原问题转化为一个新问题通过对新问题的求解达到解决原问题的目的这就是转化与化归的思想
学 １ ８ 辑０耳 期 ２ 第 １
周福 奎 （ 北省抚 宁县 榆 关初 级 中学 河
浅谈新课标下高中数学学习的几种思想方法
浅谈新课标下高中数学学习的几种思想方法1. 引言1.1 新课标对高中数学学习的影响新课标对高中数学学习的影响主要体现在教学方法和教育理念上的变革。
新课标提倡学生在学习数学的过程中注重实践和探究，强调培养学生的创新精神和批判思维能力。
传统的数学教学往往注重机械运算和结果的正确性，而新课标倡导的教学方法更加注重学生的思维能力和解决问题的能力。
通过探究式学习和启发式教学法，学生可以更加深入地理解数学的知识，培养解决实际问题的能力。
新课标还提倡跨学科应用，强调数学与其他学科之间的联系和应用。
这种跨学科的教学方法可以帮助学生更好地理解数学知识的实际应用，并培养学生的综合能力和跨学科思维能力。
新课标下的高中数学学习不再是简单地学习数学知识，而是通过多种方法和途径培养学生的全面发展和综合能力，旨在为学生未来的学习和生活奠定坚实基础。
2. 正文2.1 灵活运用启发式教学法启发式教学是一种注重启发式思维和学生自主探究的教学方法。
在新课标下的高中数学学习中，灵活运用启发式教学法可以帮助学生更好地理解数学概念，培养他们的思维能力和解决问题的能力。
启发式教学法强调通过激发学生的好奇心和求知欲来引导他们主动探索知识。
教师可以设计一些具有启发性的问题和情境，让学生在实际操作中发现规律和解决问题，从而提高他们的自主学习能力。
启发式教学法注重培养学生的思维方式和解决问题的方法。
通过让学生通过自己的思考和实践来发现规律和结论，可以激发他们的逻辑思维和创造力，帮助他们形成扎实的数学基础。
启发式教学法还能促进学生与他人的交流和合作。
在解决问题的过程中，学生可以通过讨论、合作和分享经验来互相交流和学习，从而提高他们的团队合作能力和沟通能力。
2.2 重视数学实践能力的培养重视数学实践能力的培养是新课标下高中数学学习的重要内容之一。
数学实践能力是指学生能够将数学知识和方法应用到具体问题中去解决实际的数学问题的能力。
在传统的数学教学中，学生往往只是被灌输抽象的数学概念和定理，缺乏实际应用的机会，导致他们对数学的理解和掌握都停留在表面。
浅谈小学数学三种基本思想方法
《课程标准（2011 年版）》在课程目标中指出“学会独立思虑，领会数学的基本思想和思想方式” 。
请您选择一种或几种数学基本思想方法，联合实例来说说你在教课中是如何实行的？浅谈小学数学三种基本思想方法一、观察和比较从逻辑学角度看，观察和比较是重要的思想方法，现代数学思想方法把察见解和比较法看作是最基本的数学思想方法。
观察是思想的窗口，是认识的开始，是解决问题的基础，可以说科学上的重要发现多发源于观察。
欧拉、牛顿、门捷列夫等有名的科学家都特别尊崇观察。
观察对数学学习是十分重要的，数学看法的形成，命题的发现，解题方法的探究，都离不开观察。
优异的观察力是使学生学好数学的基本条件，也是激发学生的数学探究精神、引起数学发现的源泉。
比方，小学数学《数一数》教课要求：经过活动，初步感觉“看”和“数”能认识生活中的现象和事物，是学习数学的方法。
可见，察见解这一思想方法对数学学习是多么重要。
比较是经过观察，解析比较研究对象的共同点和差异点。
它是认识事物的最基本的思想方法之一。
比方，小学数学《比一比》教课要求：让学生展开简单的比较活动，经历并体验比较的过程，学习比较的方法，为此后的数学学习作思想方法上的准备。
可见，比较方法的重要性。
又如，在教课解决问题题中，教师擅长指引学生比较题中已知和未知数目变化前后的状况，可以帮助学生较快地找到解题门路。
二、可逆思想它是逻辑思想中的基本思想，当顺向思想难于解答时，可以从条件或问题思想追求解题思路的方法。
思想的可逆性，即从正向思想转为逆向思想。
司马光就是把一般思想中的“人走开水”变为“水走开人”，这就是一种可逆思想的思虑。
有时可逆思想是创新的门路，好多伟大的科学家都是可逆思想的奇才。
心理学家皮亚杰就把可逆思想作为少儿智慧发展的重要标准。
苏联教育心理学家克鲁捷茨基的研究表示数学能力强的学生，在一个方向上形成了联系，就意味着相反方向上建立了联系，因此他能迅速地辨识或理解逆向问题。
比方：教课除法 48÷6=8，我们是经过 6 的口诀，六八四十八来引入除法的学习。
浅谈初中教学数学中几种常见的思想方法
分 组 ． 生 合作 交流 、 纳 总 结 ， 出结 论— — 有 三 种情 况 ： 学 归 得
一 一
在 研 究与 解 决 数学 问题 时 。要 根 据 数 学对 象 的 本 质 属 学 教 学 中应 正 确 使 用 ， 握 新 旧 知 识 的 区别 与 联 系 。如 在 掌
绝 运算 法 则 时 ． 完 性 ， 对 象 区 分 为不 同种 类 ， 后 进 行 分 析 ， 到 解 决 问 题 学 习实 数 的相 反 数 、 对 值 概 念 和 运 算 律 、 将 然 达 的 目的 。 学 中 的分类 是 按 照 数学 对 象 的相 同 点 和 差异 点 ， 全 可 以 通 过 复 习有 理 数 的 相 反 数 、 对 值 、 算 律 和 运 算 数 绝 运 将 数学 对 象 区分 为不 同种类 的思 想方 法 ，分 类 以 比较 为 基 法 则 类 比得 出 。 比 的对 象 间 可 能 会 表 现 出 差 异 。如 有 理 类
以 看 出其 共 性 ： 含 有一 个 未 知数 且 未 知 数 的次 数 是 １ 的 只 次
整 式 方 程 叫一 元 一 次 方 程 ， 标 准 形 式 是 ａ ＋ ＝ ｆ 、 为 已 其 ） ｂ ０ａ ｂ 【
例： 较 Ｉ＋ Ｉ Ｉ ＋ＢＩ 试比 Ａ Ｂ 与 ＡＩ Ｉ 的大小
解 ： 、 同号时 ， ｌ＋ －Ａｆ Ｉ ｆ 当Ａ Ｂ 有 Ａ Ｂ『ｆ Ｂ ＋ 当Ａ Ｂ 、异号时， ｆ＋ ｛ ｌ 有 Ａ Ｂｆ Ａ ｌ Ｂｌ ＜ ＋ 当Ａ Ｂ 、 中至少有一个为零时， Ｉ＋ ＩＩ ＋Ｂ 有 Ａ Ｂ ＝Ａｌｌ Ｉ
浅谈几种数学思想在解题中的运用
两个函数图像交点的方法来解决这道题
目。函数 c=-ax2+2ax，再通过自变量 x 的
取值范围 0<x<3，从而得出函数 c 的取值
范围 a<c<-3a。这道题目可以培养学生的
转化思想，提高解决函数取值范围等问题
的能力。
转化思想可以使很多问题化复杂为
简 单 ，改 变学 生 的学 习 方 式 ，增 强 学 生
分 析 ：在 矩 形 A BCD 中 A B=6， A D=8，∠A DC=90毅得出 DC=A B =6，A C=
8x2+20=-3（-3x1-1）-x1+8x2+20 =8（x1+ x2）+23=-1。其中两次使用 x12=-3x1-1， 把高次幂转化为低次幂，最后转化为一次 代数式，再用韦达定理得出答案。数学解
的 数 学 运 用 意 识 ，从 而 提 高 解 决 问 题 的
能力。
数学问题的解决以数学思想为指导，
以数学方法为手段。数学思想是数学学习
的灵魂和精髓。在解题教学中渗透数学思
想，可以增强学生发现问题和提出问题的
能力，分析和解决问题的能力。提高数学
的学习兴趣，养成良好的学习习惯，成为
的不同发展方向，划分为若干部分分别研
究，最后综合各类结果得到整个问题的解
决。下面例题是依据“等图，矩形 A BCD 中，A B=6，
A D=8，P，E 分别是线段 A C、BC 上的点，
且四边形 PEFD 为矩形。
A
D
P
F
Q
B
E
C
若△PCD 是 等 腰 三 角 形 时 ， 求 A P 的长；
bx（a<0）的对称轴为直线 x=1”得出，图象
初中数学思想方法有哪些
初中数学思想方法有哪些数学作为一门重要学科，对于初中生来说是一个必修课程。
在学习数学的过程中，除了掌握基本的知识和技能外，更重要的是培养学生的数学思维和方法。
那么，初中数学思想方法有哪些呢？接下来，我们将从几个方面进行探讨。
首先，数学思想方法包括逻辑思维。
数学是一门严谨的学科，逻辑思维是数学学习的基础。
在解决数学问题时，学生需要运用逻辑思维，按部就班地分析问题，找出问题的关键点，合理推理，得出正确的结论。
通过数学问题的解决，学生可以培养自己的逻辑思维能力，提高问题分析和解决问题的能力。
其次，数学思想方法还包括抽象思维。
数学是一门抽象的学科，很多数学问题都需要通过抽象思维来解决。
学生需要具备将具体问题抽象为数学问题的能力，通过数学符号和公式来描述和解决实际问题。
抽象思维能力的培养不仅可以提高学生的数学学习能力，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。
另外，数学思想方法还包括直观思维。
有些数学问题需要通过图形和图像来解决，这就需要学生具备一定的直观思维能力。
通过观察和分析图形，学生可以更好地理解和解决数学问题，培养自己的直观思维能力，提高解决实际问题的能力。
最后，数学思想方法还包括创造性思维。
数学是一门富有创造性的学科，学生在学习数学的过程中需要培养自己的创造性思维能力。
在解决数学问题时，学生可以通过不同的方法和思路来解决问题，培养自己的创造性思维能力，提高自己的数学学习能力。
综上所述，初中数学思想方法包括逻辑思维、抽象思维、直观思维和创造性思维。
这些思维方法不仅可以帮助学生更好地学习和理解数学知识，还可以培养学生的创新能力和问题解决能力。
因此，学生在学习数学的过程中，应该注重培养自己的数学思想方法，不断提高自己的数学学习能力。
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浅谈几种数学思想方法
作者：邹之北
来源：《科教导刊》2009年第14期
摘要数学思想方法的种类很多,按照徐利治教授的分法可分为宏观的数学方法和微观的数学方法两大类。
本文通过几个具体的例子说明了关系映射反演原则、数形结合和划归等数学思想方法的作用。
说明了数学思想方法是数学的灵魂,是联系数学中各类知识的纽带,只有掌握了数学思想方法才能真正地掌握数学知识。
关键词数学思想方法关系映射反演原则数形结合划归
中图分类号:G633.6文献标识码:A
方法论就是把某种共同的发展规律和研究方向作为讨论对象的一门学问。
各种学科都有自己独具特点的方法论,而数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学科。
一般说来,数学方法论可分为宏观的数学方法和微观的数学方法,宏观数学方法是指撇开数学内在因素进行数学发展规律研究的方法;微观数学方法则指数学工作者专就数学内部体系结构中的特定问题进行分析研究必须遵循的方法。
每一个数学研究者都必须精通某些微观的数学方法,微观的数学方法包括很多具体的数学方法,如:归纳与类比、抽象分析法等等。
下面结合具体的例子来说明几种微观的数学方法是怎样起作用的:
例1 一个球与正四面体的六条棱相切,若四面体的棱长为a,求这个球的体积。
(2000年全国高中联赛题)
解法一:设正四面体ABCD(见图1),六条棱都等于a,
作O1为面BCD的中心,连A、O1,延长B O1与CD交于E,则棱切球的球心O在A O1上,连B、O,E、O
解得:
于是
解法二:将整四面体AB1CD1置于正方体ABCD-A1B1C1D1中
此时与正四面体的六条棱相切的球转化为与正方体六个面相切的球,见图2。
O1为AC的中点,O2为BD的中点,连O1、O2,O1O2的中点O即为球心,球的半径为OO1
通过以上两种方法的对比,我们可以明显地看出解法二优于解法一,它的计算量小得多,将一个问题简化了,这是因为解法二应用了关系映射反演原则。
先对这一原则概略说明如下:令R表示一组原象的关系结构(或原象系统),其中包含着待确定的原象X。
令M表示一种映射(一一对应法则),通过它的作用假定原象结构R被映成映像结构R*,其中自然包含着未知原象X的映像X*。
如果有办法把X*确定下来,则通过反演即逆映射I=M-1也就相应地把X确定下来。
这就是关系映射反演工作原则的基本内容,可用框图表示如图3。
在例1中,我们对四面体的熟悉程度不如平行六面体,直接求解比较困难。
通过观察,我们可以得出这样一个结论:作四面体的外接平行六面体,且使四面体的六条棱成为平行六面体的各个侧面的对角线,此时,四面体与其外接平行六面体是一一对应的。
所以我们将正四面体转化到正方体进行求解。
应用关系映射反演原则,图三中的R(正四面体结构)和X(棱切球的体积),通过
M(即正四面体的六条棱成为正方体的各个侧面对角线),映成R*(正方体结构)和X*(正方体的内切球体积),通过I=M-1(X和X*是同一球的体积),也就把X确定下来了。
例2 设函数,若,,则关于的方程的解的个数为()
A、1
B、2
C、3
D、4
解法一: 由于,
解得:b=4 c=2
所以原方程
当时,解得,,
有三解,所以选C
解法二:根据已知条件,可将f(x)的图形画出,见图4,再将g(x)=x的图形画出,由图形容易看出有三个交点,易得正确答案C
比较以上两种方法可知:解法一用的是纯代数法,由于这道题的计算量不大,很容易用方程直接求出,但也很容易忽视当x>0时,f(x)=2的这种情况,所以很可能会漏掉一个解;解法二用的是数
形结合的思想方法,只要对函数的图形比较熟悉,画出图形,从图形上直接得出结论,直观,且不会漏选,多选,是一种比解法一快捷准确的方法。
数学所关注的是事物的数量关系和空间形式。
或简言之,数学研究数和形。
但数和形是相互关联着的,通过数量关系可以了解形的性状,通过形的性状也可以了解数量关系,因此,在一定条件下,它们之间可以实现相互转化。
数和形是同一事物的两个不同侧面,数形结合有助于我们完整地了解事物的全貌。
在处理数学问题时,若能从数和形两方面结合着思考,常常能帮助我们找到解决问题的途径。
这种处理问题的思想方法也就称为数形结合。
解法二正是运用了数形结合使得问题简单化、直观化、有利于我们快速准确作答。
例3设P为平行四边形ABCD内部一点,证明:∠BAP=∠PCB当且仅当∠PBA=∠ADP
证明:如图5所示,过P作PP’平行且等于AB,连B、P’ ,C、P’
图5
则∠BC P’=∠ADP,且因为四边形ABP’P是平行四边形,所以∠BAP=∠PP’B,∠PBA=∠BP P’。
于是∠BAP=∠PCB∠P P’B=∠PCBB、P’、C、P四点共圆∠BPP’=∠BC P’∠PBA=∠ADP
例4 如果,求证X、Y、Z成等差数列。
证明:(1)当X-Y≠0时,则是一元二次方程
的判别式,由△= 0知该方程有两相等的实根。
但由
推得:T = 1是它的根
所以
即
X、Y、Z成等差数列
(2)当时,根据已知条件也有
因为,
X、Y、Z仍成等差数列
由例3、例4可知:直接求解并不容易,例3将问题转化到同一个平行四边形,再利用四点共圆求证结论;例4将等式转化为方程,利用方程的根与系数的关系求证结论。
显而易见,例3、例4都是用了转化的数学方法。
转化又称为化归,是数学中一种重要的思想和方法,即把面对的新问题转变成已经解决的问题。
化归的途径有三大类:向基本模型化归;向特殊化归;向低层次化归。
基本模型即是已经建立模式化解决方法的问题,如果我们能把所给的问题化归到已知的数学模型,则此问题的解决方法就由这种模型现成地给出了。
基本模型有很多种类,如方程模型、函数模型等等。
例4就是化归为方程模型。
特殊的常是较简单的和容易把握的,对于一般性的问题,我们总是希望通过一些手段化为特殊的,从而借助特殊将一般性问题解决。
向特殊化归的手段多种多样,针对不同的问题,采取不同的方法,例如:“割”、“补”、和“转移”的方法是平面几何和立体几何中使图形向特殊化归的基本方法,例3用的就是这种方法;“变换法”是使式和方程向特殊化归的基本方法。
由于事物的发展是从低层次到高层次,所以低层次的问题相对来说比较简单,而且低层次的情况我们是比较熟悉的,所以我们解决问题时,常把高层次的问题化归到低层次。
向低层次化归的方法也非常多:通过平移法、射影法、截面法和展开法可将立体几何问题向平面几何化归。
解决一个问题可能会同时用上几种方法,如例1用的是关系映射反演原则,也可以说是用了化归的方法,因为解法二采用了“补”的方法,将正四面体“补”成正方体,而正方体正是我们所熟悉的特殊模型,所以非常容易地求解出来。
通过以上以几个例子,我们知道,数学思想方法是数学的灵魂,是联系数学中各类知识的纽带,如果忽视了数学思想,就会失去各类知识间的内在联系,失去认识网络的纵横交错,就不可能形成完善的认识结构,更谈不上全面提高思维素质,而有了数学思想,知识也不再成为独立的、零散的东西,方法也就不再是死板的教条,这样就有助于使我们形成完善的认识结构,全面提高我们的思维素质。