第 8 章 磁场的源
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磁场的涡旋源
磁场是一种非常神奇的物理现象，它既可以被用来制造电磁设备，也可以用来探测地球的磁场。
而磁场的涡旋源则是磁场的一个重要特性，下面我们来详细了解一下。
首先，磁场的涡旋源是指在某个区域内磁场的旋转方向。
磁场的旋转方向可以是顺时针或逆时针，而涡旋源则是指在某个区域内这种旋转方向的变化。
涡旋源可以是单一的，也可以是多个交错存在的。
其次，涡旋源是磁场的一种局部现象，它只存在于磁场的某个区域内。
在涡旋源周围的区域内，磁场的方向是连续的，没有明显的旋转方向变化。
因此，涡旋源是磁场的一个局部特性，可以被看作是磁场的一种“异常”。
第三，涡旋源的存在对磁场的特性有着重要的影响。
涡旋源会导致磁场的强度和方向发生变化，同时还会影响磁场的传播速度和能量密度。
因此，在磁场的研究中，涡旋源是一个非常重要的研究对象。
第四，磁场的涡旋源在许多应用中都有着重要的作用。
例如，在电动机和发电机中，涡旋源是电磁场的一个关键特性，它决定了电机的运行效率和输出功率。
在地球物理探测中，涡旋源则可以被用来探测地球的磁场，从而了解地球内部的结构和构成。
最后，涡旋源的研究也是一个非常有趣的课题。
涡旋源的形成和演化过程涉及到许多物理现象，例如电磁感应、磁场的反转和扭曲等等。
通过对涡旋源的研究，我们可以更深入地了解磁场的本质和特性，同时也可以探索许多新的应用领域。
总之，磁场的涡旋源是磁场的一个重要特性，它对磁场的强度、方向和传播速度都有着重要的影响。
涡旋源在许多应用中都有着重要的作用，并且也是一个非常有趣的研究课题。
希望今天的文章能够让大家对磁场的涡旋源有更深入的了解。
物理 磁场和它的源2
4 π r0 无限长载流长直导线
(cos1 cos 2 )
2
1 0 2 π
×
B
0 I
2 π r0
I
B
y
半无限长载流长直导线
π 1 2 2 π
x
C
o
1
P
BP
0 I
4πr
4
物理学
第五版
17-4
毕奥-萨伐尔定律
无限长载流长直导线的磁场
B
0 I
2πr
运动电荷的磁场
圆电流的磁场 dI 2 π rdr rdr 2π R 0 dI 0 dB dr o 2r 2 r 0 R 0 R dr B dr 2 0 2 0, B 向内 0, B 向外
18
解法一
物理学
第五版
17-5
运动电荷的磁场
解法二
运动电荷的磁场
dB0
0 dqv
4 π r2
R o r
dq 2 π rdr
v r
dr
B
dB
0
2
dr
0
2
R
0
dr
0 R
2
19
物理学
第五版
17-6
磁场的高斯定理
一 磁感线
切线方向—— B 的方向； 疏密程度—— B 的大小.
B
2 S
dS1
1
B2
B1
dΦ 1B 1 dS1 0 dΦ2 B2 dS2 0
B cos dS 0
S
磁场高斯定理
S B d S 0
大学物理7-2磁场的源
q
+
r
v
B
q
r
v
B
例4 半径为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度为 ，并 以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘 中心的磁感应强度。
解法一 ：圆电流的磁场
dq 2 rdr dI rdr T 2 / dB
R o r
0 dI
2r
0
2
dr
7.2
magnetic field and magnetic induction
磁力——电流和磁体之间的相互作用。 (1) 磁铁与磁铁之间的相互作用力 磁铁
同极相斥 异极相吸
注意：如果把一条磁铁折成数段，不论段数 多少或各段的长短如何，每一小段仍将形成 一个很小的磁铁，仍具有N、S两极，即 N 极与 S 极相互依存而不可分离。但是，正电 荷或负电荷却可以独立存在，这是磁现象和 电现象的基本区别。
(1) 将电流分解为无数个电流元 Idl (2) 由电流元求dB (据毕—萨定律)
(3) 将 dB 在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称 性分析，以简化计算步骤 (4) 对 dB 积分求 B = dB
Bx dBx , B y dB y , Bz dBz
L L L
矢量合成： B B i B j B k x y z
2
x
C
o
0 I B （cos 1 cos 2 ） 4 r
方向：电流与磁感强度成 右手螺旋定则 注意：从直电流始端沿电 流方向积分到末端。 ◆ 无限长载流长直导线 的磁场
z
D
2
B
I
o
x
C
r
毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
长直线
长
内
直
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
B 0I 2r
B0
第八章
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
练习：求同轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
B • dl 0
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感应强度
B
在闭合曲线
上的环流，等于该闭合曲线所包围的电流的代
数和与真 空中的磁导率的乘积。即
B • dl 0 Ii
说明：
I4
I1 I2 I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
B • dl 0 Ii
.. . . .
R1 R2
.. . .
..r...............
q
v
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
静电场 E dl 0
l
磁 场 B dl ?
1、圆形积分回路
B
dl
0I 2r
dl
0I
2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
I
r
B
B
0I
2r
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
I
大学物理第八章磁场的源
磁场源的定义与分类
磁场源
能够产生磁场的物体或电流。
分类
天然磁场源（地球磁场、磁铁等）和人工磁场源（电流线圈、电磁铁等）。
磁场源的重要性
磁场源在物理学中具有重要地位，是研究电磁相互作用和电磁场 理论的基础。
磁场源的应用广泛，如磁力选矿、磁悬浮列车、核磁共振成像等 。
02
磁场源的基本性质
磁场强度与磁感应强度
磁场强度
描述磁场源的强弱程度，用符号H表示，单位为A/m 。
磁感应强度
描述磁场对通电导体的作用力，用符号B表示，单位为 T（特斯拉）。
磁场强度与磁感应强度之间的关系
H = B/μ0，其中μ0为真空磁导率，约等于4π×10^7H/m。
磁化强度与磁化电流
1 2
磁化强度
描述物质被磁化的程度，用符号M表示，单位为 A/m。
大学物理第八章磁场源
目
CONTENCT
录
• 磁场源概述 • 磁场源的基本性质 • 电流的磁场 • 磁场的源：永磁体 • 磁场的源：电磁铁 • 磁场源的测量与控制
01
磁场源概述
磁场与磁力
磁场
是由磁体或电流产生的空间场，对放入其中的磁体或电流产生力 的作用。
磁力
是磁场对放入其中的磁体或电流的作用力，表现为吸引或排斥。
在交通领域，永磁体被用于制造高速和高效 的交通工具，如高速列车和电动汽车等。
在医疗领域，永磁体被用于治疗疾病和 诊断，如磁共振成像和肿瘤治疗等。
05
磁场的源：电磁铁
电磁铁的工作原理
02
01
03
电磁铁由线圈和铁芯组成，当电流通过线圈时，线圈 产生磁场，磁场与铁芯相互作用产生磁力。
磁力的大小与电流强度、线圈匝数、铁芯材料等因素 有关。
第25讲8-4铁磁性分子场理论课件(1)
Ek= Ku1 sinθ2+ Ku2 sinθ4
磁晶各向异性常数K1和K2或K1+K2是衡量材 料的磁晶各向异性大小的重要常数，它的大 小与晶体的对称性有关。晶体的对称性越低， 它的K1+K2的数值越大。K1和K2是本性特性，主 要决定于材料的成分
用自旋-轨道相互作用解释磁晶各向异性 的起源的中心思想
立方晶体的磁致伸缩系数的表达式：
λs=λ100*3/2(α12β12+α22β22+α32β321/3)+ 3λ111 (α1α2β1β2+α2α3β2β3 +α3α1β3β1)
式中αi和βi分别是磁化强度矢量和测量方向 与立方晶体的三个晶轴夹角的方向余弦：λ100和 λ111分别是〈100〉和〈111〉晶轴的饱和磁致伸 缩系数
Ek= K1 (α12α22+α22α32+α32α12) + K2 (α12α22α32)
式中K1, K2称为磁晶各向异性常数。当K2 很小时，可以只用K1来描述立方晶体的磁晶各 向异性能Ek
对于六角晶体，如果易磁化轴是晶体的 六重对称轴，那么易磁化轴只有一个，所以 称为单轴晶体。单轴晶体磁晶各向异性能是 sinθ的函数，即Ek=f(θ)。将此式按泰勒级 数展开
当晶体的磁致伸缩是各向同性时，则 λ100=λ111=λ0
λs=λ0*3/2(α1β1+α2β2+α3β3-1/3) = λ0*3/2（cos2θ- 1/3）
式中θ是磁化强度矢量方向与测量方 向之间的夹角。当θ=0,λs=λ0; θ=π/2, λs=-λ0/2，说明当纵向伸长时，横向要收 缩。
多晶体与单晶体磁致伸缩系数的关系为
RKKY理论中心思想是：
在稀土金属中4f电子是局域的，6s电子 是游动的。f电子与s电子发生交换作用,使s 电子极化，这个极化了的s电子的自旋对f电 子自旋取向有影响；结果形成了以游动的s 电子为媒介，使磁性离子的4f电子自旋与相 邻的离子的4f电子自旋存在间接交换作用， 从而产生自发磁化。
磁晶各向异性常数K1和K2或K1+K2是衡量材 料的磁晶各向异性大小的重要常数，它的大 小与晶体的对称性有关。晶体的对称性越低， 它的K1+K2的数值越大。K1和K2是本性特性，主 要决定于材料的成分
用自旋-轨道相互作用解释磁晶各向异性 的起源的中心思想
立方晶体的磁致伸缩系数的表达式：
λs=λ100*3/2(α12β12+α22β22+α32β321/3)+ 3λ111 (α1α2β1β2+α2α3β2β3 +α3α1β3β1)
式中αi和βi分别是磁化强度矢量和测量方向 与立方晶体的三个晶轴夹角的方向余弦：λ100和 λ111分别是〈100〉和〈111〉晶轴的饱和磁致伸 缩系数
Ek= K1 (α12α22+α22α32+α32α12) + K2 (α12α22α32)
式中K1, K2称为磁晶各向异性常数。当K2 很小时，可以只用K1来描述立方晶体的磁晶各 向异性能Ek
对于六角晶体，如果易磁化轴是晶体的 六重对称轴，那么易磁化轴只有一个，所以 称为单轴晶体。单轴晶体磁晶各向异性能是 sinθ的函数，即Ek=f(θ)。将此式按泰勒级 数展开
当晶体的磁致伸缩是各向同性时，则 λ100=λ111=λ0
λs=λ0*3/2(α1β1+α2β2+α3β3-1/3) = λ0*3/2（cos2θ- 1/3）
式中θ是磁化强度矢量方向与测量方 向之间的夹角。当θ=0,λs=λ0; θ=π/2, λs=-λ0/2，说明当纵向伸长时，横向要收 缩。
多晶体与单晶体磁致伸缩系数的关系为
RKKY理论中心思想是：
在稀土金属中4f电子是局域的，6s电子 是游动的。f电子与s电子发生交换作用,使s 电子极化，这个极化了的s电子的自旋对f电 子自旋取向有影响；结果形成了以游动的s 电子为媒介，使磁性离子的4f电子自旋与相 邻的离子的4f电子自旋存在间接交换作用， 从而产生自发磁化。
高三第一轮复习_第八章《磁场》
R (2 6 )a, v (2 6 ) aqB ,sin 6 6
2
2m
10
旋转圆
练习：如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内 有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同 质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分 布在0<y<2R的区间内。已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原 点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。 （2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。 （3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？ 并说明理由。
C．先减小后增大
D．先增大后减小
若上述为带正电小球，匀强电场由竖直向上顺时针至 水平向右，则如何？
安培力作用下导体运动情况的判定
细橡皮筋
方法归纳：电流元法；特殊位置法；等效法；结论法； 转换研究对象法
安培力作用下的综合问题
练习：如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导 轨上端连接一个定值电阻.导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并良好接触．斜 面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场．现对a棒施 以平行导轨斜向上的拉力，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒 恰好静止．当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力，a棒将继续沿导轨向 上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨．当a棒再次滑回到磁场 上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动．已知a棒、b棒和定值电阻的阻值 均为R，b棒的质量为m，开始时a棒离PQ的距离为L，重力加速度为g，导轨电阻不计。
磁场的源
电流元可作为计算电流磁场的基本单元。然后根据 叠加原理，就可以求出任意电流的磁场分布。
2. 毕奥－萨伐尔定律
毕奥－萨伐尔定律，即：一段电流元 Idl 与它所激 发的磁感应强度 dB 之间的关系
0 Idl er dB 4 r 2
0 Idlsin 大小： dB 2 4 r
r sin
cos 2 cos 1
I
1 0 nI 2
O
B
0 nI
x
5. 运动电荷的磁场
0 Idl er 毕—萨定律 dB 4 r 2 Idl JSdl nSdlqv
J
S v
0 nSdlqv er dB 4 r2
dB 0 q B1 v er 2 dN 4r
本章重点： 1. 通过磁场的高斯定律和安培环路定律，能够正确 认识磁场的基本性质，即磁场是一个“无源”的 非保守力场，磁感应线是无头无尾的涡旋线。 2. 会用磁场叠加原理对磁场的分布特征进行分析， 并掌握用毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理计算磁 场的两种基本方法。
8.1 毕奥－萨伐尔定律 1. 电流元的磁场 计算磁场的基本方法与在静电场中计算带电体的电 场时的方法相仿，为了求恒定电流的磁场，我们也 可将载流导线分成无限多个小的电流元 Idl的叠加。
I
1
在逆着电流方向的延长线上任一点处，
1 , 2
0 I B (1 1) 0 4r
结论： 载流直导线延长线上任一点的磁感 强度为零。 P
2
I
1
P
例2 圆形载流导线的磁场。 真空中，半径为 R 的载流导线 ，通有电流 I，称圆电 流。求其轴线上一点 P 的磁感强度的方向和大小。
I
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向(且在垂直于轴线的平面内， 下同)；
·P点的磁场就是所有这样一对对
的窄条形成的，所以P点的磁场B 一定也垂直于r方向如图。
·由于圆柱面上电流分布的轴对称 性，可知
理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以
氢原子在基态时，其轨道磁矩为
B
e 2me
h
2
eh
4me
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ， 普朗克常量h= 6.62610-34J·s代入，可算得
B 9.273 1024 A m2
B dr B dr B dr
L
L1
L2
0I d d
2 L1
L2
0I 0
2
二、安培环路定理
对非平面闭合路径，r 和 dr 可以正交分解 为平行于电流 I 分量和垂直于电流 I 的分量。
B dr L
L B dr//
L B dr
B
又 R2 l 2 R2 csc2
1 r
2
p
dB
l dl
R A2
B
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
0 nI 2 sin d
2
1
0
2
nI (cos
2
cos
1 )
B
0nI
2
(cos
2
cos
1 )
讨论：（1）螺线管无限长 1 , 2 0
B 0nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1、O2处磁感应强度相等， 大小都是
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
B0
0 NI
2R
2
0 NIR2
R2 R2 3/2
0 NI 1 1 0.677 0 NI
SB dS 0
不存在磁单极子或 “磁荷” 。
一、比奥-萨伐尔定律
I
例1 长直电流的磁场
·把直电流分为无数电流元
·任取一电流元Idl，它
在P点产生的磁场大小为
B
2
dB =
0
4
Idl sin
r2
方向如图
·本例中，所有电流元在P点产生的
磁场方向相同，于是P点B的大小为
B
=
dB
=
0
4
Idl sin
r2
Idl
l
r
P
·
oa
dB
1
B
=
dB
=
0
4
Idl sin
r2
·利用r=a/sin；l=-a cot；dl=a d/sin2，可得
B 2 0I sind
1 4a
2
B=
0I 4a
(cos1 - cos2)
·特例：（1）对无限长直电流，
1 = 0 ；2 = ，有
B
μ 0
I
2πa
Idl
l
r
P
·
o
Idl
r
P
I
dB
称为真空中的磁导率
一、比奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl er
r2
大小： 方向：
dB
0Idl sin
4πr 2
Idl
r
如图所示
既垂直电流元 又垂直矢径
Idl r P
I
dB
0 4π 10 7 H/m
真空中的磁导率
一、比奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl er
盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度
为dr的圆环作圆电流，电流强度：
dI
2
q
R 2
2r d r
qr d r R 2
++++++o++++++++
d B 0 d I
2r
B
0q 2R 2
R
dr
0q
0
2R
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所 需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流 线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两 线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到， 这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 IR 2
2(R2
x2
)3 2
0 2
(R2
IS
x2
)3 2
讨论：
（1）在圆心处 x 0
B 0I
2R
（2）在远离线圈处 x R, x r
载流线圈 的磁矩
引入
pm
ISen
B
0 2
IS x3
0 2
IS r3
B
0
2
pm r3
例3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有 线圈n匝。
无限长直导线，在垂直于
L
电流 I 的平面上任取闭
合路径 L 为积分路径， I
磁感应强度的环流为
B
dr
L
B
dr
L
B
cos
dr
LBrd
0I rd 0I
L 2r
2
d
L
0 I
二、安培环路定理
当电流反方向流动时，磁感应强度反向，闭
合路径 L 的绕行方向与电流不构成右螺，有
L
B
dr
0
I
若I 在L外（L未包围I）
2R 2 2
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
2
2
0 NIR2
R2
R
2
3/
2
80 NI
5 5R
1
1 2 2
2
0.716 0 NI
R
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度 都等于
BQ
0 NIR2
2 R 2
R
2
3/2
0 NIR2
2 R2
3R
B 0nI / 2
实 际 上 ， L>>R 时，螺线管内部的 磁场近似均匀，大
小为 0nI
B
0nI
0nI
2
A1
O
A2
练习：如下列各图示，求圆心O点的磁感应强度。
I
OR
B
μ 0
I
4R
R
I
O
B
μ 0
I
4R
μ 0
I
2πR
•
I
OR
B
μ 0
I
8R
•
2 3
I
OR
B
μ 0
I
6R
πμ0RI
(1
3) 2
例 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
1 r
A1
2
p
dB
R A2
l dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
d
B
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
B
L dB
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l R cot
A1
d l R csc2 d
dl
I
0 IR 2
2r 3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的
磁场垂直分量相互抵消 所以
y
Idl rˆ
R I
o
Idl
r组成的平面
r
dB
x
. dByz
dPBx
x
z
Byz dB cos 0 I
结论：在P点的磁感强度
B Bx
0 IR2
2r 3
2
0 IR2
x2 R2
3 2
方向：沿轴向 与电流成右手螺旋关系
L
B
dr
0
I int
二、安培环路定理
注意
L
B
dr
0
I int
B
空间所有恒定电流共同产生的
L 在磁场中任取的一闭合线，任意规定一个
绕行方向
dr L 上的任一线元
Iint 与 L 套 连 的 闭 合 恒 定
电流，与L绕行方向
成右螺时取正，反之 取负。
二、安培环路定理
2. 特例验证
如图，真空中有一载流
a
dB
1
（2）半无限长载流导线
B半无限
1 2
B无限
0I 4a
（3）场点在直电流延长线上
Idl rˆ 0
B0
l
B
P
IP
一段载流直导线的磁场:
B
μ 0
I
4πa
(cos1
cos2
)
无限长载流直导线的磁场:
(因为 1 0 ) 2 π
B
μ 0
I
2πa
半无限长载流直导线的磁场:
(因为
1
2
)2 π
B
圆柱面半径为R，通有恒定电流I。
·P点的磁场就是所有这样一对对
的窄条形成的，所以P点的磁场B 一定也垂直于r方向如图。
·由于圆柱面上电流分布的轴对称 性，可知
理论中，其量值等于（h/2π）d的整数倍。所以
氢原子在基态时，其轨道磁矩为
B
e 2me
h
2
eh
4me
它是轨道磁矩的最小单位（称为玻尔磁子）。 将e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ， 普朗克常量h= 6.62610-34J·s代入，可算得
B 9.273 1024 A m2
B dr B dr B dr
L
L1
L2
0I d d
2 L1
L2
0I 0
2
二、安培环路定理
对非平面闭合路径，r 和 dr 可以正交分解 为平行于电流 I 分量和垂直于电流 I 的分量。
B dr L
L B dr//
L B dr
B
又 R2 l 2 R2 csc2
1 r
2
p
dB
l dl
R A2
B
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
0 nI 2 sin d
2
1
0
2
nI (cos
2
cos
1 )
B
0nI
2
(cos
2
cos
1 )
讨论：（1）螺线管无限长 1 , 2 0
B 0nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
解 设两个线圈的半径为R， 各有N匝，每匝中的电流均 为I，且流向相同（如图）。 两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右，在圆心 O1、O2处磁感应强度相等， 大小都是
O1 Q1 P Q2 O2
R
R
R
B0
0 NI
2R
2
0 NIR2
R2 R2 3/2
0 NI 1 1 0.677 0 NI
SB dS 0
不存在磁单极子或 “磁荷” 。
一、比奥-萨伐尔定律
I
例1 长直电流的磁场
·把直电流分为无数电流元
·任取一电流元Idl，它
在P点产生的磁场大小为
B
2
dB =
0
4
Idl sin
r2
方向如图
·本例中，所有电流元在P点产生的
磁场方向相同，于是P点B的大小为
B
=
dB
=
0
4
Idl sin
r2
Idl
l
r
P
·
oa
dB
1
B
=
dB
=
0
4
Idl sin
r2
·利用r=a/sin；l=-a cot；dl=a d/sin2，可得
B 2 0I sind
1 4a
2
B=
0I 4a
(cos1 - cos2)
·特例：（1）对无限长直电流，
1 = 0 ；2 = ，有
B
μ 0
I
2πa
Idl
l
r
P
·
o
Idl
r
P
I
dB
称为真空中的磁导率
一、比奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl er
r2
大小： 方向：
dB
0Idl sin
4πr 2
Idl
r
如图所示
既垂直电流元 又垂直矢径
Idl r P
I
dB
0 4π 10 7 H/m
真空中的磁导率
一、比奥-萨伐尔定律
dB
0 4
Idl er
盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度
为dr的圆环作圆电流，电流强度：
dI
2
q
R 2
2r d r
qr d r R 2
++++++o++++++++
d B 0 d I
2r
B
0q 2R 2
R
dr
0q
0
2R
例 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所 需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流 线圈组成，当它们之间的距离等于它们的半径时，试计算两 线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到， 这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。
载流圆线圈轴线上的磁场
B
0 IR 2
2(R2
x2
)3 2
0 2
(R2
IS
x2
)3 2
讨论：
（1）在圆心处 x 0
B 0I
2R
（2）在远离线圈处 x R, x r
载流线圈 的磁矩
引入
pm
ISen
B
0 2
IS x3
0 2
IS r3
B
0
2
pm r3
例3. 载流直螺线管内部的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有 线圈n匝。
无限长直导线，在垂直于
L
电流 I 的平面上任取闭
合路径 L 为积分路径， I
磁感应强度的环流为
B
dr
L
B
dr
L
B
cos
dr
LBrd
0I rd 0I
L 2r
2
d
L
0 I
二、安培环路定理
当电流反方向流动时，磁感应强度反向，闭
合路径 L 的绕行方向与电流不构成右螺，有
L
B
dr
0
I
若I 在L外（L未包围I）
2R 2 2
R
两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为
BP
2
2
0 NIR2
R2
R
2
3/
2
80 NI
5 5R
1
1 2 2
2
0.716 0 NI
R
此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度 都等于
BQ
0 NIR2
2 R 2
R
2
3/2
0 NIR2
2 R2
3R
B 0nI / 2
实 际 上 ， L>>R 时，螺线管内部的 磁场近似均匀，大
小为 0nI
B
0nI
0nI
2
A1
O
A2
练习：如下列各图示，求圆心O点的磁感应强度。
I
OR
B
μ 0
I
4R
R
I
O
B
μ 0
I
4R
μ 0
I
2πR
•
I
OR
B
μ 0
I
8R
•
2 3
I
OR
B
μ 0
I
6R
πμ0RI
(1
3) 2
例 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
1 r
A1
2
p
dB
R A2
l dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
d
B
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
B
L dB
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l R cot
A1
d l R csc2 d
dl
I
0 IR 2
2r 3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的
磁场垂直分量相互抵消 所以
y
Idl rˆ
R I
o
Idl
r组成的平面
r
dB
x
. dByz
dPBx
x
z
Byz dB cos 0 I
结论：在P点的磁感强度
B Bx
0 IR2
2r 3
2
0 IR2
x2 R2
3 2
方向：沿轴向 与电流成右手螺旋关系
L
B
dr
0
I int
二、安培环路定理
注意
L
B
dr
0
I int
B
空间所有恒定电流共同产生的
L 在磁场中任取的一闭合线，任意规定一个
绕行方向
dr L 上的任一线元
Iint 与 L 套 连 的 闭 合 恒 定
电流，与L绕行方向
成右螺时取正，反之 取负。
二、安培环路定理
2. 特例验证
如图，真空中有一载流
a
dB
1
（2）半无限长载流导线
B半无限
1 2
B无限
0I 4a
（3）场点在直电流延长线上
Idl rˆ 0
B0
l
B
P
IP
一段载流直导线的磁场:
B
μ 0
I
4πa
(cos1
cos2
)
无限长载流直导线的磁场:
(因为 1 0 ) 2 π
B
μ 0
I
2πa
半无限长载流直导线的磁场:
(因为
1
2
)2 π
B
圆柱面半径为R，通有恒定电流I。