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第八节 、常系数非齐次线性微分方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0, 可设 Q( x) xQm ( x) x(b0 xm b1 xm1 bm )
同（1）类似，可得一特解： y* xQm ( x)ex;
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)
例 2 求微分方程： y 5y 6 y xe 2x 的通解
相应的齐次方程为： y 5y 6 y 0 ，：
其特征方程为 r2 5r 6 0 ， 解得特征根为 r1 2, r2 3
齐次方程的通解为
C1e2x C2e3x ， C1, C2 为任意常实数。
求微分方程： y 5y 6 y xe 2x 的通解
故可设 y* x2 Ae3x , 代入方程, 化简得
y*
2A 1,
xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
例 1 求微分方程： y 3y 2y x 1 的通解
例3 设函数 ( x)连续，且满足
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x 一型非齐方程
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0, 可设 Q( x) xQm ( x) x(b0 xm b1 xm1 bm )
同（1）类似，可得一特解： y* xQm ( x)ex;
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)
例 2 求微分方程： y 5y 6 y xe 2x 的通解
相应的齐次方程为： y 5y 6 y 0 ，：
其特征方程为 r2 5r 6 0 ， 解得特征根为 r1 2, r2 3
齐次方程的通解为
C1e2x C2e3x ， C1, C2 为任意常实数。
求微分方程： y 5y 6 y xe 2x 的通解
故可设 y* x2 Ae3x , 代入方程, 化简得
y*
2A 1,
xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
例 1 求微分方程： y 3y 2y x 1 的通解
例3 设函数 ( x)连续，且满足
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x 一型非齐方程
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
常系数非齐次线性微分方程
k
一、f (x)=ex Pm (x) 型
x
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x ) 2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0, 可设 Q( x ) Qm ( x ), y* Qm ( x )e x ; ( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
2
2 p 0,
2
可设 Q( x ) x Qm ( x ), y* x Qm ( x )e .
综上讨论
x
0 不是根 k x 设 y* x e Qm ( x ) , k 1 是单根, 2 是重根
4/12
f (x)=ex Pm (x) 型, 可设 y * ( x ) x k Qm ( x )e x （k是作为特征根的重数） 待定 2x 例1 求 y 3 y 2 y xe 的通解.
f (x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx] 型
[2( A sinx B cos x ) x( A cos x B sin x )] x( A cos x B sin x ) 4 sin x A 2 , B 0.
x e [ R ( x) cosx R ( x) sinx]
(1) m ( 2) m
8 /12
k x
(1) ( 2) 可设 y * ( x ) x k e x ( Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ) （m max{ m1 , m2 }， 待定 k是 i作为特征根的重数）
( n) ( n 1)
p1 y
( n 1)
pn1 y pn y f ( x )
一、f (x)=ex Pm (x) 型
x
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x ) 2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0, 可设 Q( x ) Qm ( x ), y* Qm ( x )e x ; ( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
2
2 p 0,
2
可设 Q( x ) x Qm ( x ), y* x Qm ( x )e .
综上讨论
x
0 不是根 k x 设 y* x e Qm ( x ) , k 1 是单根, 2 是重根
4/12
f (x)=ex Pm (x) 型, 可设 y * ( x ) x k Qm ( x )e x （k是作为特征根的重数） 待定 2x 例1 求 y 3 y 2 y xe 的通解.
f (x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx] 型
[2( A sinx B cos x ) x( A cos x B sin x )] x( A cos x B sin x ) 4 sin x A 2 , B 0.
x e [ R ( x) cosx R ( x) sinx]
(1) m ( 2) m
8 /12
k x
(1) ( 2) 可设 y * ( x ) x k e x ( Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ) （m max{ m1 , m2 }， 待定 k是 i作为特征根的重数）
( n) ( n 1)
p1 y
( n 1)
pn1 y pn y f ( x )
常系数(非)齐次线性微分方程
常系数（非）齐次线性微分方程1 非常系数线性微分方程非常系数线性微分方程是一类有关于时间变化的微分方程，其中系数不为同一个常量。
它可以描述经典力学系统、介质传播过程等一些复杂的现象。
它包括了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程和非线性微分方程，它们郹能描述曲线与表达式之间的紧密联系，具有广泛的应用性。
2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是方程中只有一个未知函数及其一阶导数，表达式如下：f'(t) + a(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为常系数的函数，这种方程的解通常可以得到整数次方程的特解。
3 高阶线性微分方程高阶线性微分方程也是属于非常系数线性微分方程的一个分支，它的特点是未知函数及其以下高阶导数，表达式如下：f^{n}(t) + a_{1}(t) f^{n-1}(t) + a_{2}(t) f^{n-2}(t) + ... + a_{n}(t) f(t) = b(t)其中f(t)为未知函数，a_{1}(t)、a_{2}(t)、... 、a_{n}(t)和b(t)为常系数的函数，此种方程一般只能求解特解，而不能求普通解。
4 非线性微分方程非线性微分方程是非常系数线性微分方程的另外一个分支，它与线性微分方程最大的不同之处在于它它中参数为非常量，表达式如下：f''(t) + f(t)^2 + a(t) f(t) + b(t) = 0其中f(t)为未知函数，a(t)和b(t)为非常量的函数，由于涉及到非线性，因此求解时往往比较困难。
5 应用非常系数线性微分方程在解决实际问题中具有十分重要的意义，它可以描述经典力学、介质传播等复杂的物理现象，也可以用来模拟生物/神经分子的神经元执行的传输机制。
此外，非常系数线性微分方程也广泛用于经济学、植物生理学等领域。
高数第十二章常系数非齐次线性微分方程
k x y * xQ ( x ) e m
x 结 论 : 如 果 f ( x ) P ( x ) e ,则 ( 1 ) 的 解 具 有 形 如 : m
的 特 解 , 其 中 Q ( x ) 是 与 P ( x ) 同 次 的 多 项 式 . m m
x Q ( x ) e , 不 是 特 征 根 m x y *x Q )e , 是 单 特 征 根 m(x 2 x x Q ( x ) e , 是 重 特 征 根 m
代 入 上 式 , 比 较 系 数 可 求 出 Q ( x ) , m x 从 而 得 ( 1 ) 的 特 解 为 y * = Q ( x ) x e .
( i i i )如 果 是 特 征 方 程 r p r q0 的 重 根 , 则
2
m
p q0 , , 且 2 p0 , 于 是 有
i x
P P P P i) x i) x l n ( l n ( ( ) e ( ) e 22 i 22 i
P () x e
( i ) x
P () x e
( i ) x
12
P P P P P l n P l n l n 其 中 P ( x ) i ,P ( x ) i 22 i 22 22
其 中 0 , = 2 , P x , P 0 l n
所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 y y 0 ,
2 特 征 方 程 为 r 1 0 , 特 征 根 r i .
因 i 2 i 不 是 特 征 方 程 的 根 , 所 以 可 设 特 解 为 y * ( a x b ) c o s 2 x ( c x d ) s i n 2 x
x 结 论 : 如 果 f ( x ) P ( x ) e ,则 ( 1 ) 的 解 具 有 形 如 : m
的 特 解 , 其 中 Q ( x ) 是 与 P ( x ) 同 次 的 多 项 式 . m m
x Q ( x ) e , 不 是 特 征 根 m x y *x Q )e , 是 单 特 征 根 m(x 2 x x Q ( x ) e , 是 重 特 征 根 m
代 入 上 式 , 比 较 系 数 可 求 出 Q ( x ) , m x 从 而 得 ( 1 ) 的 特 解 为 y * = Q ( x ) x e .
( i i i )如 果 是 特 征 方 程 r p r q0 的 重 根 , 则
2
m
p q0 , , 且 2 p0 , 于 是 有
i x
P P P P i) x i) x l n ( l n ( ( ) e ( ) e 22 i 22 i
P () x e
( i ) x
P () x e
( i ) x
12
P P P P P l n P l n l n 其 中 P ( x ) i ,P ( x ) i 22 i 22 22
其 中 0 , = 2 , P x , P 0 l n
所 给 方 程 对 应 的 齐 次 方 程 为 y y 0 ,
2 特 征 方 程 为 r 1 0 , 特 征 根 r i .
因 i 2 i 不 是 特 征 方 程 的 根 , 所 以 可 设 特 解 为 y * ( a x b ) c o s 2 x ( c x d ) s i n 2 x
课件：常系数非齐次线性微分方程
2, 是二重特征根
例1 求方程 y 5 y 4 y ( x 1)e3x 的通解. m 1
解: 特征方程 r2 5r 4 0, r1 1，r2 4， 3
对应齐次方程通解 Y c1e x c2e4x ,
3不 是特征根，设 y* ( Ax B)e3x ,
代入方程, 得:
B 1 , A 0, 2
y2*
1 2
x sin
x,
原方程有一个特解: y*
y1*
y2*
1ex 2
1 2
x sin x,
原方程的通解为
y
c1
cos
x
c2
sin
x
1 2
e
x
1 2
x
sin
x.
三、小结与教学要求:
◆掌握 y py qy f ( x) 以下两种形式的求解方法:
解 特征方程为 r2 r 0, r1 0,r2 1, m 1, n 0
wi i 不是特征根,
Hale Waihona Puke 可设 y* (ax b)cos x (cx d )sin x,
代入原方程, 得:
(2c ax b cx a d )cos x
(c ax b 2a d cx)sin x 4sin x 7xcos x,
iw 1 i 不是特征根,
可设y* e x[(ax b)cos x (cx d )sin x],
代入原方程, 整理得:
cos x[(ax b) 3a 3(cx d ) 2c]
sin x[(cx d ) 2a 3c 3(ax b)] xsin x, a 3c 0, b 3a 3d 2c 0,
x(1 2
x
1)e2 x
.
大学课件高等数学二阶常系数非齐次线性微分方程
(2) 求非齐次方程的特解 x 设 y x 1A e ( 1 是单根 ) A 2 即 y 2 xe x 解得
x
1 特征根 r1 1
所以原方程通解为 y C1e C 2e
2x
2 xe
x
(3) 求原方程的特解 (求函数y的解析表达式)
2 由 y x x 1, 得 y 2 x 1, 且 y ( 0 ) 1,
设y xAe
3 x
将 y , y , y 代入方程,得
A 1 4 ,
y
1 4
xe
3 x
2x
1
C1 e C 2 e
x
2x
2x x( x 1)e
1
2
10
2002年考研数学二, 3分 设 y y ( x ) 是二阶常系数微分方程 py qy e 3 x 满足初始条件 y (0) y (0) 0 y 的特解, 则当 x 0时 , 函数 (A) 不存在. (B) 等于1.
ln( 1 x )
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y( x )
的极限
(D) 等于3.
0 0
(C) 等于2.
2
0 0
解 lim
ln( 1 x )
2
x 0
y( x )
2x lim lim x 0 y( x ) x 0 y ( x ) 2 2 lim x 0 y ( x )
y py qy 0
难点 如何求非齐次方程特解？ 方法 待定系数法.
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy Pm ( x )e
高等数学第七章第九节常系数非齐次线性微分方程课件.ppt
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x xke x Qm (cos x i sin x)
b0
1 ,
b1
1 3
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
x
(
1 2
Qm (cos x i sin x) xke x Rm cos x R~m sin x
其中 R m , R~m 均为 m 次多项式 .
第四步 分析 y的特点
y y1 y1
xke x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
常系数非齐次线形微分方程
波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、电磁波等 的传播规律。
热传导方程
在物理中，热传导方程也是一种典型的常系 数非齐次线性微分方程，可以用来描述热量 在物体中的传递规律。
在工程中的应用
1 2
控制工程
常系数非齐次线性微分方程在控制工程中有着广 泛的应用，如控制系统分析、设计等。
通解的求解
通解的定义
通解是指满足齐次线性微分方程的解，它与非齐次项 无关。
通解的求解方法
通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，或 者通过待定系数法、常数变易法等求解。
通解的性质
通解具有与非齐次项无关的特性，即通解不受非齐次 项的影响。
举例说明
• 举例：考虑常系数非齐次线性微分方 程$y''+y=x^2$，其中非齐次项为 $x^2$。通过设特解为 $y_1=ax^2+bx$，代入原方程求解 得到特解$y_1=x^2$。通解可以通过 求解对应的齐次线性微分方程得到， 即$y_2=c_1\cos t+c_2\sin t$。因 此，该常系数非齐次线性微分方程的 通解为$y=y_1+y_2=x^2+c_1\cos t+c_2\sin t$。
电路分析
在电路分析中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述电流、电压等的变化规律。
3
信号处理
在信号处理中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述信号的滤波、调制等处理过程。
在经济学中的应用
消费模型
常系数非齐次线性微分方程可 以用来描述经济学中的消费模
型，如凯恩斯消费函数等。
投资模型
在经济学中，投资模型也可以 用常系数非齐次线性微分方程 来描述，如资本存量-时间滞
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不是特征方程的根 . 0 设所求特解为 y * b x b ,代入方程 : 0 1
3 b x 3 b 2 b 3 x 1 0 1 0
比较系数, 得
3 b 3 0 2 b 3 b 1 0 1
1 于是所求特解为 y* x . 3
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代入方程得 2 b x b 2 b x 0 1 0 1 2 b 1 0 b 1 比较系数, 得 0 , b 1 2 2 b b 0 0 1
1 2 x 因此特解为 y * x ( x 1 ) e. 2
2 x 2 x 3 x 1 2 ( x x ) e . y C e C e 1 2 2
x y * e [Q ( x ) Q ( x ) ]
2 (1) 若 不是特征方程的根, 即 p q 0 ,则取 2 x[Q ( p q ) Q ( x ) ] ( 2 p ) Q ( x ) e ( x ) Q (x) 为 m 次待定系数多项式 Q ), 从而得到特解 m(x x x e P ( x ) 形式为 y * eQ ( x ) . m m
为实数 , P m(x) 为 m 次多项式 . x 设特解为 y * e Q ( x ) ,其中 Q ( x ) 为待定多项式 ,
x 2 y * e [ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得 2 (x) Q ( p q ) Q ( x ) P (x ) ( 2 p ) Q ( x ) m
k x 特解 y * x Q ( x ) e ( k 0 , 1 , 2 ) m
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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例1. 求方程 的一个特解. y 2 y 3 y 3 x 1 2 解: 本题 0, 而特征方程为 r 2 r 3 0 ,
0 ,r 1 ,r 2 其根为 r 1 2 3
x 2x 故对应齐次方程通解为 Y C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C e C e 2 3 1
设非齐次方程特解为 y b 1 ,故 * b x ,代入方程得 2
y* 2 x, 原方程通解为
2x x C e y C C e 3 1 2
第十二章
第九节
常系数非齐次线性微分方程
x 一、 f ( x ) e P ( x ) 型 m
x 二、 f ( x ) e [ P ( x ) cos x l ~ P ( x ) sin x ] 型 n
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二阶常系数线性非齐次微分方程 : y p y q y f ( x ) ( p, q为常数 )
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2
2 p q 0 , 2 p 0 ,
2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y * x Q ( x ) e 则 Q(x ) m
p q 0 , 2 p 0 ,
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
1
1 2
x
由初始条件得
C C C 0 1 2 3 1 C 2 C 2 3 2
C 4 C 0 2 3
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解得
C1 3 4 C 2 1 C 1 3 4
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2 1 x 2 x ( 3 2 x 4 e e ) 4
1 b 1, b 0 1 3
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2 x 例2. 求方程 的通解. y 5 y 6 y x e 2 解: 本题 2, 特征方程为 r 5 r 6 0 , 2 , r 3 其根为 r 1 2
2 x 3 x 对应齐次方程的通解为 Y C e C e 1 2 2 x 设非齐次方程特解为 y * x ( b x b ) e 0 1
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2 (x) (x ) ( p q ) Q ( x )P ( 2 p ) Q ( x ) Q m
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
x (x 则 Q )为m 次多项式, 故特解形式为 y * x Q ( x ) e m
①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y *
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 y *的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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一、
x f ( x ) e P ( x ) 型 m
于是所求解为
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~ x ( x ) e P ( x ) cos x P ( x ) sin x 型 l n 二、 f
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所求通解为
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y 3 y 2 y 1 例3. 求解定解问题
y ( 0 ) y ( 0 ) y ( 0 ) 0
3 2 解: 本题 0, 特征方程为 r 3 r 2 r 0 ,
3 b x 3 b 2 b 3 x 1 0 1 0
比较系数, 得
3 b 3 0 2 b 3 b 1 0 1
1 于是所求特解为 y* x . 3
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代入方程得 2 b x b 2 b x 0 1 0 1 2 b 1 0 b 1 比较系数, 得 0 , b 1 2 2 b b 0 0 1
1 2 x 因此特解为 y * x ( x 1 ) e. 2
2 x 2 x 3 x 1 2 ( x x ) e . y C e C e 1 2 2
x y * e [Q ( x ) Q ( x ) ]
2 (1) 若 不是特征方程的根, 即 p q 0 ,则取 2 x[Q ( p q ) Q ( x ) ] ( 2 p ) Q ( x ) e ( x ) Q (x) 为 m 次待定系数多项式 Q ), 从而得到特解 m(x x x e P ( x ) 形式为 y * eQ ( x ) . m m
为实数 , P m(x) 为 m 次多项式 . x 设特解为 y * e Q ( x ) ,其中 Q ( x ) 为待定多项式 ,
x 2 y * e [ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x ) ]
代入原方程 , 得 2 (x) Q ( p q ) Q ( x ) P (x ) ( 2 p ) Q ( x ) m
k x 特解 y * x Q ( x ) e ( k 0 , 1 , 2 ) m
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
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例1. 求方程 的一个特解. y 2 y 3 y 3 x 1 2 解: 本题 0, 而特征方程为 r 2 r 3 0 ,
0 ,r 1 ,r 2 其根为 r 1 2 3
x 2x 故对应齐次方程通解为 Y C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ C e C e 2 3 1
设非齐次方程特解为 y b 1 ,故 * b x ,代入方程得 2
y* 2 x, 原方程通解为
2x x C e y C C e 3 1 2
第十二章
第九节
常系数非齐次线性微分方程
x 一、 f ( x ) e P ( x ) 型 m
x 二、 f ( x ) e [ P ( x ) cos x l ~ P ( x ) sin x ] 型 n
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二阶常系数线性非齐次微分方程 : y p y q y f ( x ) ( p, q为常数 )
(3) 若 是特征方程的重根 , 即
2
2 p q 0 , 2 p 0 ,
2 x 是 m 次多项式 , 故特解形式为 y * x Q ( x ) e 则 Q(x ) m
p q 0 , 2 p 0 ,
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设
1
1 2
x
由初始条件得
C C C 0 1 2 3 1 C 2 C 2 3 2
C 4 C 0 2 3
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解得
C1 3 4 C 2 1 C 1 3 4
3 x 1 2 x 1 y e e x 4 4 2 1 x 2 x ( 3 2 x 4 e e ) 4
1 b 1, b 0 1 3
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2 x 例2. 求方程 的通解. y 5 y 6 y x e 2 解: 本题 2, 特征方程为 r 5 r 6 0 , 2 , r 3 其根为 r 1 2
2 x 3 x 对应齐次方程的通解为 Y C e C e 1 2 2 x 设非齐次方程特解为 y * x ( b x b ) e 0 1
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2 (x) (x ) ( p q ) Q ( x )P ( 2 p ) Q ( x ) Q m
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
x (x 则 Q )为m 次多项式, 故特解形式为 y * x Q ( x ) e m
①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y *
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 y *的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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一、
x f ( x ) e P ( x ) 型 m
于是所求解为
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~ x ( x ) e P ( x ) cos x P ( x ) sin x 型 l n 二、 f
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所求通解为
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y 3 y 2 y 1 例3. 求解定解问题
y ( 0 ) y ( 0 ) y ( 0 ) 0
3 2 解: 本题 0, 特征方程为 r 3 r 2 r 0 ,