用列表法求概率.2.1用列举法求概率
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
人教版九年级上册第25章第二节第一课时《25.2.1用列举法求概率》赛课教案
第二十五章概率初步25.2用列举法求概率第1课时运用直接列举或列表法求概率教学内容：人教版九年级上册第25章第二节第一课时运用直接列举或列表法求概率学习目标：1.2. 学会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.3. 知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.会用“直接列举法”和“列表法”列举所有可能出现的结果.教学重难点重点：知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.难点：会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.教学方法教法：创设情景提问法、演示法、启发式教学.学法：小组合作、讨论交流.教学过程：一、情境导入1、12.4 H国家宪法日（PPT出示志愿者图片）（设计意图：通过宪法的导入, 让学生们了解宪法，增强法律意识）2、再由我校也将开展进社区宣传宪法的活动，向每班招募一名志愿者，但是小辛玉和安琪都想去，引出抛硬币活动，正面向上小车玉去，反面向上安琪去，学生判断公平的依据。
学生说概率公式P （A）=-n（设计意图：增强学生对社会的服务意识，复习旧知）3、当小车玉抛出硬币是正面，决定小车玉去参加活动时，安琪提出一人抛一枚硬币更公平。
老师提问：同时抛两枚硬币，怎么制定规则比较公平呢？（设计意图：引出本节课的主题：用列举法求概率）4、确定本节课的学习目标。
二、探索新知（一）用直接列举法求概率问题1：同时掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
学生抛硬币，得出结论：抛掷两枚硬币的所有可能为：正正，正反，反正，反反请学生分别回答上面三个问题。
（学生做出判断，老师评价，及时表扬）（设计意图：由学生自己动手操作，得出结论，吸引学生的兴趣）问题2：如何制定规则，让小车玉和安琪都觉得公平呢？学生回答：落地后一正一反，小车玉赢；如果落地后两面一样，安琪赢.其他学生判断公平性。
（设计意图：使学生理解公平与概率之间的关系）问题3：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？学生以小组为单位讨论，并由小组汇报讨论结果。
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
用列举法求概率 (2)
【小题快练】 1.判断对错: (1)“同时抛两枚骰子”与“把一枚骰子连续抛两次”所涉及的因素 不相同.( × ) (2)小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的机会都 相同,小红希望上学时经过每个路口都是绿灯,但实际这样的机会是
1. 8
(√)
(3)投一枚均匀的小正方体,小正方体的每个面上分别标有数字1,2,
【思路点拨】(1)小明从袋中取出一支笔,所得的各种结果作为横行, 小军从袋中取出一支笔,所得的各种结果作为竖列,列表后得出事件的 各种结果.
(2)根据表格中的各种结果,分别求出小明、小军获胜的概率,根据小
明、小军获胜的概率是否相等来判断游戏规则是否公平 .
【自主解答】(1)列表得: 小明 红1 红2 红 1红 2 红 2红 1 红3 红 1红 3 红 2红 3 黑1 红 1黑 1 红 2黑 1 黑2 红 1黑 2 红 2黑 2
提示:相等.
【自主解答】(1)所有获奖情况的树状图如下:
共有24种可能的情况,其中甲、乙二人都得到计算器共有 4种情况,所 以,甲、乙二人都得到计算器的概率为 :P=
4 1 . 24 6
(2)这种说法是不正确的．由(1)中的树状图可知共有24种可能情况：
6 1 ; 乙得到篮球有六种可能 24 4 情况：P(乙)= 6 1 ; 丙得到篮球有六种可能情况：P(丙)= 6 1 ; 24 4 24 4
8
(7,2)
(8,2)
(7,3)
(8,3)
(7,5)
(8,5)
(7,9)
(8,9)
∴所有可能出现的结果共有16个,这些结果出现的可能性相同,而和为 偶数的结果共有6个,所以小敏观看比赛的概率为P(和为偶数)= 6 ＝ 3 .
25.2.1 运用直接列举或列表法求概率
=
7
18
1.小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社
会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A )
1
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
3
D.
4
2.有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个
球上分别写了“细”、“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”、
“心”的字样,从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概
率是( B )
1
A.
3
1
B.
4
2
C.
3
3
D.
4
3.若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概
率为( A )
1
A.
2
3
B.
4
1
C.
3
1
D.
4
4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这
三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是( C )
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【适用范围】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步
进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【点睛】当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现
11
所以P(C)=
36
用列举法求概率一一列举法和列表法
用心领“悟”
1
2
3
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
游戏者获胜的概率为1/6.
转盘 摸球
1
1
2
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
3
(1,3)
(2,3)
1、现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯，各组中的灯均为并联，两组等同时只能各亮一盏，求同时亮红灯的概率。
(3,4)
(3,3)
(3,2)
(3,1)
(2,6)
(2,5)
(2,4)
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,6)
(1,5)
(1,4)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A) 的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以 P(A)=
(5,5)
(2,5)
(1,5)
5
(6,4)
(5,4)
(2,4)
(1,4)
4
6
5
2
1
二
一
此题用列树图的方法好吗？
P(点数相同）=
P(点数和是9）=
P(至少有个骰子的点数是2 ）=
如果把例3中的“同时掷两个骰子”改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化 吗?
用列举法求概率讲解
第第二一个个
A
B
C DE C DE
H IH IH I H IH IH I
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
当一次试验涉及两个因素时，且可能
出现的结果较多时，为不重复不遗漏地
列出所有可能的结果，通常用列表法
当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，
通常用树形图
巩固练习：在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的 概率选用哪种方法更方便？
1、从盒子中取出一个小球，小球是红球
直接列举
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球
用列举法求概率
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右
的颜色相同
列表法或树形图
3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三
次，三个小球的颜色都相同
树形图
用列举法求概率
复习
求概率的方法有哪些种？
应怎样进行选择？ 1、当一次试验涉及两个因素时，且可能出
现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有 可能的结果，通常用列表法
252第1课时运用直接列举或列表法求概率
252第1课时运用直接列举或列表法求概率直接列举法是一种简单但有效的方法来求解概率问题。
它适用于问题的样本空间较小且易于列举的情况。
在这种方法中，我们将所有可能发生的事件列出，并计算它们发生的概率。
下面是一个关于使用直接列举法求解概率的例子。
假设有一个装有5个红球和3个蓝球的盒子。
现在我们随机从盒子中抽取两个球，不放回。
我们想要计算从中抽取的两个球都为红球的概率。
首先，我们需要确定样本空间，也就是所有可能发生的事件。
从盒子中抽取两个球，不放回，有以下8种可能的结果：(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,B),(R,B),(B,B)其中(R,R)表示从盒子中抽取的两个球都是红球，(R,B)表示从盒子中抽取的一个红球一个蓝球。
在这个问题中，我们可以看到样本空间里有8种可能的结果，每种结果的发生概率都是相等的。
因此，我们只需要统计样本空间中符合条件（两个球都是红球）的结果占样本空间的比例即可。
我们可以看到符合条件（两个球都是红球）的结果有6种，它们是：(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,B)所以，从中抽取的两个球都为红球的概率就是6/8，即3/4通过这个例子，我们可以看到直接列举法的一个重要步骤是确定样本空间，并从中找出符合条件的结果。
然后，我们计算这些结果出现的概率，并求和。
最后，我们得到的和就是我们要求解的概率。
直接列举法在处理小样本空间的问题时是非常实用的。
然而，当样本空间较大且难以列举时，直接列举法就不再适用了。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来求解概率，例如排列组合、条件概率、贝叶斯定理等。
总结起来，直接列举法是一种计算概率的简单但有效的方法，适用于问题的样本空间较小且易于列举的情况。
25.2 用列举法求概率(第一课时)
25.2.1 用列举法求概率（第一课时）教学内容用列表法求概率课型新授课教学目标1.知识与技能目标：学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
2.过程与方法目标，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
3.情感与态度目标，通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
教学分析重点学习运用列表法或树形图法计算事件的概率。
难点能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
教学准备PPT 课时第一课时电子教案教学过程1.创设情景，发现新知引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。
每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。
作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。
（1）学生分组讨论，探索交流在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。
然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。
此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘，即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。
怎样避免这个问题呢？（2）指导学生构造表格从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。
∴P(A数较大)= , P(B数较大)=.∴P(A数较大)＞ P(B数较大)∴选择A装置的获胜可能性较大。
《25.2.1用列举法求概率(1)》名师教案(人教版九年级上册数学)
25.2.1 用列举法求概率（彭小永）一、教学目标（一）学习目标1．了解列举法的含义．2．理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．3．会用列举法计算简单的随机事件的概率．（二）学习重点用列举法计算简单的随机事件的概率（三）学习难点包含两步的随机事件的概率二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）古典概型试验有两个特点：①一次试验中，可能出现的结果有有限个；②一次试验中，各种结果发生的可能性大小相同 .（2）列表法求概率：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较少时，为不重不漏列出所有可能结果，通常采用列举法 .（3）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 0.5 ，反面朝上的概率是 0.5 .2.预习自测（1）甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率为（）A． B． C． D．【知识点】随机事件的概率【解题过程】解：甲有左、中、右三个位置可以选择，所以甲站中间的概率为.【思路点拨】列举甲站位所有的可能性，找出符合条件的，便可算出其概率.【答案】B（2）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1、2、3、4、5，随机抽取3张，用抽到的 3个数字作为边长，恰好构成三角形的概率是（）A． B． C． D．【知识点】随机事件的概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：所有的可能结果有：（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，3，4）、（1，3，5）、（1，4，5）、（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5）共10种情况，只有（2，3，4）、（2，4，5）、（3，4，5）三种情况可以构成三角形，所以结果为.【思路点拨】列举出所有可能的情况，再利用“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，找出符合条件的3组值，便得到答案.【答案】A（3）从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程有两个不相等的实数根的概率是 .【知识点】概率，根的判别式【解题过程】解：因为方程x2-x+k=0有两个不相等的实根，所以根的判别式，所以，有-2、-1和0满足要求，其概率为.【思路点拨】弄清一元二次方程有两个不相等实根的条件，找出的取值范围，再计算其概率.【答案】（4）在一个不透明的袋子中，有两个红球和两个白球，它们只有颜色上区别，从袋子里随机摸出一个球记下颜色后放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 . 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：设4个球分别为红1、红2、白1、白2，则可列出下表：第二次第一次红1红2白1白2红1（红1，红1）（红1，红2）（红1，白1）（红1，白2）红2（红2，红1）（红2，红2）（红2，白1）（红2，白2）白1（白1，红1）（白1，红2）（白1，白1）（白1，白2）白2（白2，红1）（白2，红2）（白2，白1）（白2，白2）从表中可以看出，在总共16种情况中，只有4种符合要求，所以，所求的概率为.【思路点拨】用列表的方法便可轻松地找到答案. 如果第一次摸了不放回，则在表格中的从左上到右下这条对角线上的四组数据不会出现. 也就是说，做这种题时，要特别注意第一次摸出后是否放回的问题，它对结果有较大的影响.【答案】(二)课堂设计1.知识回顾（1）必然事件、不可能事件发生的概率分别是 1和0 ；随机事件的概率大于0且小于1 . （2）如果在一次试验中，有n种可能的结果，它们发生的可能性都相同，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= ( ) .2.问题探究探究一温故知新，引出课题●活动①请思考后，回答下列问题（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪些可能的结果？请写出这些结果.（2）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，有哪些可能的结果？请写出这些结果.（3）“同时抛掷两枚质地均匀的硬币两次”与“先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果是一样的吗？由学生思考后，举手回答.【设计意图】让学生通过回答前两个问题，初步学会使用列举法解决问题.探究二利用列举法求概率，解决实际问题●活动①初试列举法例1 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面朝上；（2）两枚硬币全部反面朝上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：同时抛掷两枚硬币，有以下四种结果：（正，正）、（正、反）、（反，正）、（反、反）；（1）由于全部正面朝上的结果（正，正）这只有1种，所以，P（两次正面朝上）；（2）由于全部反面朝上的结果（反，反）这只有1种，所以，P（两次反面朝上）（3）由于一枚正面朝上、一枚反面朝上的结果有（正，反）与（反，正）两种，所以，P（一正.一反）【思路点拨】排列出所有可能的结果，再找出符合条件的，便可轻松得解. 特别注意试验结果要不重不漏.【答案】（1）；（2）；（3）.练习：在一个不透明的盒子里有3个分别标有5、6、7的小球，他们除数字外其他均相同. 充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出一个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：∵摸出的所有可能结果有：（5，6）、（5，7）、（6，5）、（6，7）、（7，5）、（7，6）共6种情况，它们之和分别为11、12、11、13、12、13共4个奇数和2个偶数，∴P（两数之和为奇数）【思路点拨】用列举法得出所有可能的结果，找出符合条件的，问题便迎刃而解.特别注意事先摸出的球是否放回对概率的影响，还要注意不重不漏.【答案】【设计意图】让学生在列举法的使用上熟能生巧.●活动②用列表法求概率例2 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子的点数和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：两枚骰子分别记为1和2，可用下表列举出所有可能的结果：第1枚1 2 3 4 5 6第2枚1 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6 （1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现36种结果，并且它们出现的可能性相等. （1）两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6种，分别是（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6），所以P（A）=；（2）两枚骰子的点数之和为9（记为事件B）的结果有4种，分别是（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）所以P（B）=；（3）至少有一枚点数为2（记为事件C）的结果有11种（见上表），所以P（C）=.【思路点拨】分横行和纵列将两枚骰子的点数排列出来，计算符合条件的结果即可. 要注意不重不漏.【答案】（1）；（2）；（3）练习：有A、B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是( )A.13B.14C.23D.34【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：摸球的结果如下：A袋B袋细致信细信致信心细心致心共有4种可能的结果，且每种结果是等可能性的. 所以抽出“细心”的概率为 . 【思路点拨】用列表法可以轻松得解，注意不重不漏，还要注意摸球讲不讲顺序.【答案】 .●活动③拓展提高，解答概率综合题例3 有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字1、2、3、4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为，另有三张背面完全相同，正面分别写着-2、-1、1的卡片，小亮将其混合，正面朝下旋转在桌面上，并从中抽取一张，把卡片正面的数字记为.然后他们计算出S=x+y的值.和-2 -1 11 -1 0 22 0 1 33 1 2 44 2 3 5（1）用列表法表示出S的所有可能情况；（2）分别求出当S=0和S<2时的概率. 【知识点】用列表法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：（1）列表如右，共12种情况.（2）P（S=0）=； P（S<2）.【思路点拨】用表格将所有情况列举出来，然后找出符合条件的即可轻松得解.【答案】（1）共有如上表的12种情况. （2）P（S=0）=；P（S<2）.练习：某中学要在全校学生中举办“中国梦·我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一名代表参赛. 九年级1班经过投票初选，小亮和小丽票数全班并列第一，现在他们都想代表全班参赛. 经过班长与他们协商决定，用掷骰子的办法让获胜者去参赛. 规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小亮胜；向上一面都是偶数，则小丽胜；否则视为平局，若为平局，继续上述游戏，直到分出胜负为止. 如果小亮和小丽都按上述规则各掷一次骰子，解答下列问题：（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？（2）该游戏是否公平？请用列表法说明理由.【知识点】用列表法求概率【解题过程】解：（1）∵朝上一面的点数为奇数有3种情况，∴P（奇数）（2）由题意知，可列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6 （1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由上表可知：共有36种等可能的结果，其中小亮和小丽获胜各有9种结果，∴P（小亮胜）P（小丽胜）.【思路点拨】列表法求概率是一种很常见的方法.【答案】（1）P（奇数）；（2）公平.小亮与小丽获胜的概率同样大（表格见上）. 【设计意图】强化列表法求概率，使其熟练掌握.3. 课堂总结知识梳理（1）列举法的使用条件：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．（2）列表法的使用条件：当一次试验要涉及的因素只有两个(我们也常称为两步操作试验)，且每一步的结果为有限多个情形，我们常通过列表的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的结果，再利用公式P（A）求它的概率.（3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏.重难点归纳（1）只有有限多个情形时，我们可以使用列举法；（2）当一次试验要涉及两个因素（或叫两步），且每一步的结果为有限多个情形，我们可以通过列表法求它的概率；（3）使用列举法求概率时，要求做到不重不漏. （三）课后作业 基础型 自主突破1. 为支援灾区，小明准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5、1、2这三个数字组成，但具体顺序忘记了．他第一次就拨通电话的概率是( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18【知识点】用列举法求概率 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】5、1、2这三个数字的排列方式有：512、521、125、152、215、251共6种，其中只有一种是正确的，所以，他第一次就拨通电话的概率是16.【思路点拨】用列举法不重不漏地将三个数排列出来是关键. 【答案】C 2.在的空格□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是( )A ．1 B.34 C.12 D.14【知识点】用列举法求概率 【解题过程】解：方框中符号的填法共有：（+，+）（-，-）、（+，-）、（-，+）4 种，只有 （+，+）与（-，+）2种符合要求，所以能构成完全平方式的概率为12.【思路点拨】记住完全平方式的符号特点，再用列举法排列出所有的情况，便可求得其概率. 【答案】C3.如图所示，每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为_______． 【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：翻动木牌有6种情形，只有两种情况可以中奖，中奖的概率为【思路点拨】找出所有的情形和符合条件的个数即可计算出相应的概率.【答案】.4.从－2、－1、2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是________.【知识点】用列举法求概率【解题过程】－2、－1、2这三个数学共有6种排法，分别是（-2，-1）、（-1，-2）、（-2，2）、（-1，2）、（2，-2）、（2，-1），其中只有（2，-2）和（2，-1）在第四象限，其它的均不合要求，所以该点在第四象限的概率为.【思路点拨】第四象限的点的横、纵坐标分别为正和负，只有两个点符合条件，其概率为.【答案】5.将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法(如：5，2，1和1，5，2)，那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是________．【知识点】用列举法求概率【解题过程】长度为8厘米的木棍截成长为整数的三段，共有5组结果，它们分别是：（1，1，6）、（1，2，5）、（1，3，4）、（2，2，4）、（2，3，3），其中只有（2，3，3）这一种情形能构成三角形，其概率为.【思路点拨】注意不重不漏；还要注意三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【答案】 .6. 小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.34【知识点】用列举法求概率小明小华A BA （A，A）（B，A）B （A，B）（B，B）【解题过程】分别将“打扫社区卫生”和“参加社会调查”记为事件A和事件B，则两人的选择有如下情况，同时选择“参加社会调查”（事件B）的只有一种情况，其概率为14.【思路点拨】用表格排列出所有的情况和符合条件的情况，即可求出其概率.【答案】1 4能力型师生共研7. 如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指向的数都是奇数的概率为________．【知识点】用列表法求概率【思想方法】分类讨论思想【解题过程】解：可列表如右，共有9种可能的情况，其中只有4种情况符合题意，所以P（两次都是奇数）.1 2 31 （1，1）（2，1）（3，1）2 （1，2）（2，2）（3，2）3 （1，3） （2，3） （3，3）【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可.【答案】P （两次都是奇数）.8. 一个口袋中有4个相同的小球，分别写有字母A 、B 、C 、D ，随机地抽取一个小球后放回，再随机抽取一个小球．(1)试用列表法列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果； (2)求两次抽出的球上字母相同的概率． 【知识点】用列表法求概率 【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：（1）根据题意，可以列表如右，共有16种可能的结果.（2）因为在总共的16种情况中，只有4种是两个字母相同的情况，所以P （两次的字母相同）.【思路点拨】利用表格排列出所有可能的情况，再找出符合题意的即可.【答案】（1）共有16种情况（见上表）； （2）P （两次的字母相同）.探究型 多维突破9. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色. 求可配成紫色的概率. 【知识点】用列表法求概率 【数学思想】数形结合思想 【解题过程】第1次 第2次A B C DA (A ，A) (B ，A) (C ，A) (D ，A) B (A ，B) (B ，B) (C ，B) (D ，B) C(A ，C) (B ，C) (C ，C) (D ，C)D(A ，D) (B ，D) (C ，D) (D ，D)红 蓝1 蓝2红 （红，红） （红，蓝1） （红，蓝2）解：由于必须是等可能性的，所以需将第2个转盘的蓝色分成蓝1和蓝2 ，因此可列出右表，从表中可以看出，共有6种等可能情况，有3种可以配成紫色，所以P （配成紫色）.【思路点拨】只有红配蓝或者蓝配红可以配成紫色；用列表法可以轻松得出所有可能的情况.【答案】P （配成紫色） .10. 如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡发光．(1)任意闭合其中一个开关，小灯泡发光的概率是多少？ (2)任意闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？ 【知识点】用列举法求概率 【数学思想】分类讨论思想 【解题过程】解：（1）由电路图可知，闭合开关D 可以使灯光发光，只闭合A 、B 、C 三个都不使灯光发光，所以，P （闭合一个开关可发光）.（2）闭合两个开关的情况如表中所示，其中只有开关D 闭合的才能让小灯光发光，共有6种情况，所以，P （闭合两个开关可发光）. 第1 个 第2个A BCDA （B ，A ） （C ，A ） （D ，A ）B （A ，B ）（C ，B ） （D ，B ）C （A ，C ） （B ，C ）（D ，C ）D（A ，D ） （B ，D ） （C ，D ）【思路点拨】注意灯泡发光的一个基本条件是连通有电源的电路.蓝 （蓝，红） （蓝，蓝1） （蓝，蓝2）【答案】（1）P（闭合一个开关可发光）；（2）P（闭合两个开关可发光）.自助餐1.从2、3、4、5中任选两个数，分别记作m、n，那么点（ m，n）在函数图象上的概率为（）A． B． C． D．【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，分类讨论思想【解题过程】.从2、3、4、5中任选两个数作为点的坐标，分别是（2，3）、（2，4）、（2，5）、（3，2）、（3，4）、（3，5）、（4，2）、（4，3）、（4，5）、（5，2）、（5，3）、（5，4）共有12种情况，在函数图象上的只有（3，4）和（4，3）两个点，所以P（点在函数上）. 【思路点拨】选两个数，相当于选了一个数后，不放回，再选一个数. 选了第一个数后是否放回对结果有直接的影响，务必重视.【答案】D2.小强和小华两人玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（）A． B． C． D．【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若三个动作分别简记为“石、剪、布”，则两人出手的情况包括：（石，石）、（石，剪）、（石，布）、（剪，石）、（剪，剪）、（剪，布）、（布，石）、（布，剪）、（布，布）九种情况，平局只有3种，所以两人平局的概率为.【思路点拨】用列举法排出所有可能的情况，指出平局的3种情况，即可得到答案.【答案】B3.同时抛掷A、B两个小正方体骰子，正面朝上的数字分别记为，并以此确定点P（），那么，点P落在抛物线上的概率为 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】函数思想，数形结合思想【解题过程】解：如下表所示，得到的点共有36种情况，只有（1，2）、（2，2）两个点满足要求，所以，点P在抛物线上的概率为 .x y 1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）【思路点拨】用列表法找出所有的点，再将1、2、3、4、5、6作为变量的值代入函数的解析式，求出的值，找出符合条件的点P，便可轻松得解.【答案】.4.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0、1、2、3，先由甲任选一个数字，记为m，将它放回后，再由乙任选一个数字，记为n. 若m、n满足，则称两人心有灵犀，那么两人心有灵犀的概率是 .【知识点】用列举法求概率【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解：从下表可知，共有16种可能的情况，符合条件的有10种，其概率为.甲结果0 1 2 3乙0 0 1 2 31 1 0 1 22 2 1 0 13 3 2 1 0【思路点拨】用表格排列出所有可能的情况，找出符合条件的情况即可轻松得解.【答案】 .5.一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各一个，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球．【知识点】用列举法求概率【解题过程】解：（1）共有4种情况，摸出红球的概率为；（2）如图，共有16种情况，两次均为红色的只有1种，其概率为.第1 次红黄蓝白第2次红（红，红）（黄，红）（蓝，红）（白，红）黄（红，黄）（黄，黄）（蓝，黄）（白，黄）蓝（红，蓝）（黄，蓝）（蓝，蓝）（白，蓝）白（红，白）（黄，白）（蓝，白）（白，白）【思路点拨】第一次摸出后是否放回对结果有着重大影响.【答案】（1）摸出红球的概率为；（2）两次均为红色的概率为.6．六一儿童节前夕，某市“关心下一代工作委员会”决定对品学兼优的“留守儿童”进行彰．某校八年级8个班中只能选两个班级参加这项活动，且八(1)班必须参加，另外再从其他班级中选一个班参加活动．八(5)班有学生建议采用如下的方法：将一个带着指针的圆形转盘分成面积相等的4个扇形，并在每个扇形上分别标有1、2、3、4四个数字，转动转盘两次，将两次指针所指的数字相加(当指针指在某一条等分线上时视为无效，重新转动)，和为几就选哪个班参加．你认为这种方法公平吗？请说明理由．【知识点】用列表法求概率【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：我认为这个方法不公平，理由如下：我们可以用下表列出所有可能的情况. 两次得到的数字之和分别为2、3、4、5、3、4、5、6、4、5、6、7、5、6、7、8共16种情况. 所以，八(2)班被选中的概率为116，八(3)班被选中的概率为216＝18，八(4)班被选中的概率为316，八(5)班被选中的概率为416＝14，八(6)班被选中的概率为316，八(7)班被选中的概率为216＝18，八(8)班被选中的概率为116，所以这种方法不公平.第1 次和第2次1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8【思路点拨】用列表法将所有可能的情况排列出来，算出各个班被选中的概率，通过比较确定是否公平.【答案】这种方法不公平，理由如上.。