用列表法求概率.2.1用列举法求概率
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
人教版九年级上册第25章第二节第一课时《25.2.1用列举法求概率》赛课教案
第二十五章概率初步25.2用列举法求概率第1课时运用直接列举或列表法求概率教学内容：人教版九年级上册第25章第二节第一课时运用直接列举或列表法求概率学习目标：1.2. 学会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.3. 知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.会用“直接列举法”和“列表法”列举所有可能出现的结果.教学重难点重点：知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.难点：会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.教学方法教法：创设情景提问法、演示法、启发式教学.学法：小组合作、讨论交流.教学过程：一、情境导入1、12.4 H国家宪法日（PPT出示志愿者图片）（设计意图：通过宪法的导入, 让学生们了解宪法，增强法律意识）2、再由我校也将开展进社区宣传宪法的活动，向每班招募一名志愿者，但是小辛玉和安琪都想去，引出抛硬币活动，正面向上小车玉去，反面向上安琪去，学生判断公平的依据。
学生说概率公式P （A）=-n（设计意图：增强学生对社会的服务意识，复习旧知）3、当小车玉抛出硬币是正面，决定小车玉去参加活动时，安琪提出一人抛一枚硬币更公平。
老师提问：同时抛两枚硬币，怎么制定规则比较公平呢？（设计意图：引出本节课的主题：用列举法求概率）4、确定本节课的学习目标。
二、探索新知（一）用直接列举法求概率问题1：同时掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
学生抛硬币，得出结论：抛掷两枚硬币的所有可能为：正正，正反，反正，反反请学生分别回答上面三个问题。
（学生做出判断，老师评价，及时表扬）（设计意图：由学生自己动手操作，得出结论，吸引学生的兴趣）问题2：如何制定规则，让小车玉和安琪都觉得公平呢？学生回答：落地后一正一反，小车玉赢；如果落地后两面一样，安琪赢.其他学生判断公平性。
（设计意图：使学生理解公平与概率之间的关系）问题3：“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？学生以小组为单位讨论，并由小组汇报讨论结果。
25.2.1 用列表法求概率课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
B.
1
2
1
(1，1)
(1，2)
2
(2，1)
(2，2)
C.
D.
由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有
4种等可能的情况，
)
知识讲解
知识点2 用列表法求概率
【例 2】一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，
2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3)至少有一个骰子的点数为2.
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
（B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不
会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两
道题全对的概率是（ B ）
A.
B.
C.
D.
随堂练习
3. 在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机
用列举法求概率 (2)
【小题快练】 1.判断对错: (1)“同时抛两枚骰子”与“把一枚骰子连续抛两次”所涉及的因素 不相同.( × ) (2)小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的机会都 相同,小红希望上学时经过每个路口都是绿灯,但实际这样的机会是
1. 8
(√)
(3)投一枚均匀的小正方体,小正方体的每个面上分别标有数字1,2,
【思路点拨】(1)小明从袋中取出一支笔,所得的各种结果作为横行, 小军从袋中取出一支笔,所得的各种结果作为竖列,列表后得出事件的 各种结果.
(2)根据表格中的各种结果,分别求出小明、小军获胜的概率,根据小
明、小军获胜的概率是否相等来判断游戏规则是否公平 .
【自主解答】(1)列表得: 小明 红1 红2 红 1红 2 红 2红 1 红3 红 1红 3 红 2红 3 黑1 红 1黑 1 红 2黑 1 黑2 红 1黑 2 红 2黑 2
提示:相等.
【自主解答】(1)所有获奖情况的树状图如下:
共有24种可能的情况,其中甲、乙二人都得到计算器共有 4种情况,所 以,甲、乙二人都得到计算器的概率为 :P=
4 1 . 24 6
(2)这种说法是不正确的．由(1)中的树状图可知共有24种可能情况：
6 1 ; 乙得到篮球有六种可能 24 4 情况：P(乙)= 6 1 ; 丙得到篮球有六种可能情况：P(丙)= 6 1 ; 24 4 24 4
8
(7,2)
(8,2)
(7,3)
(8,3)
(7,5)
(8,5)
(7,9)
(8,9)
∴所有可能出现的结果共有16个,这些结果出现的可能性相同,而和为 偶数的结果共有6个,所以小敏观看比赛的概率为P(和为偶数)= 6 ＝ 3 .
25.2.1 运用直接列举或列表法求概率
=
7
18
1.小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社
会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A )
1
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
3
D.
4
2.有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个
球上分别写了“细”、“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”、
“心”的字样,从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概
率是( B )
1
A.
3
1
B.
4
2
C.
3
3
D.
4
3.若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概
率为( A )
1
A.
2
3
B.
4
1
C.
3
1
D.
4
4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这
三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是( C )
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【适用范围】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步
进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【点睛】当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现
11
所以P(C)=
36
用列举法求概率一一列举法和列表法
用心领“悟”
1
2
3
解:每次游戏时,所有可能出现的结果如下:
游戏者获胜的概率为1/6.
转盘 摸球
1
1
2
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
3
(1,3)
(2,3)
1、现有两组电灯，每一组中各有红、黄、蓝、绿四盏灯，各组中的灯均为并联，两组等同时只能各亮一盏，求同时亮红灯的概率。
(3,4)
(3,3)
(3,2)
(3,1)
(2,6)
(2,5)
(2,4)
(2,3)
(2,2)
(2,1)
(1,6)
(1,5)
(1,4)
(1,3)
(1,2)
(1,1)
总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A) 的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以 P(A)=
(5,5)
(2,5)
(1,5)
5
(6,4)
(5,4)
(2,4)
(1,4)
4
6
5
2
1
二
一
此题用列树图的方法好吗？
P(点数相同）=
P(点数和是9）=
P(至少有个骰子的点数是2 ）=
如果把例3中的“同时掷两个骰子”改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变化 吗?
用列举法求概率讲解
第第二一个个
A
B
C DE C DE
H IH IH I H IH IH I
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
当一次试验涉及两个因素时，且可能
出现的结果较多时，为不重复不遗漏地
列出所有可能的结果，通常用列表法
当一次试验涉及3个因素或3个以上 的因素时，列表法就不方便了，为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果，
通常用树形图
巩固练习：在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以下事件的 概率选用哪种方法更方便？
1、从盒子中取出一个小球，小球是红球
直接列举
2、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取出两球
用列举法求概率
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大 小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右 左 直 右左 直 右左 直 右
的颜色相同
列表法或树形图
3、从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连取了三
次，三个小球的颜色都相同
树形图
用列举法求概率
复习
求概率的方法有哪些种？
应怎样进行选择？ 1、当一次试验涉及两个因素时，且可能出
现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有 可能的结果，通常用列表法
252第1课时运用直接列举或列表法求概率
252第1课时运用直接列举或列表法求概率直接列举法是一种简单但有效的方法来求解概率问题。
它适用于问题的样本空间较小且易于列举的情况。
在这种方法中，我们将所有可能发生的事件列出，并计算它们发生的概率。
下面是一个关于使用直接列举法求解概率的例子。
假设有一个装有5个红球和3个蓝球的盒子。
现在我们随机从盒子中抽取两个球，不放回。
我们想要计算从中抽取的两个球都为红球的概率。
首先，我们需要确定样本空间，也就是所有可能发生的事件。
从盒子中抽取两个球，不放回，有以下8种可能的结果：(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,B),(R,B),(B,B)其中(R,R)表示从盒子中抽取的两个球都是红球，(R,B)表示从盒子中抽取的一个红球一个蓝球。
在这个问题中，我们可以看到样本空间里有8种可能的结果，每种结果的发生概率都是相等的。
因此，我们只需要统计样本空间中符合条件（两个球都是红球）的结果占样本空间的比例即可。
我们可以看到符合条件（两个球都是红球）的结果有6种，它们是：(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,R),(R,B)所以，从中抽取的两个球都为红球的概率就是6/8，即3/4通过这个例子，我们可以看到直接列举法的一个重要步骤是确定样本空间，并从中找出符合条件的结果。
然后，我们计算这些结果出现的概率，并求和。
最后，我们得到的和就是我们要求解的概率。
直接列举法在处理小样本空间的问题时是非常实用的。
然而，当样本空间较大且难以列举时，直接列举法就不再适用了。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来求解概率，例如排列组合、条件概率、贝叶斯定理等。
总结起来，直接列举法是一种计算概率的简单但有效的方法，适用于问题的样本空间较小且易于列举的情况。