勾股定理中的最短路径问题
人教版八年级数学下册17.1勾股定理的应用-最短路径问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
勾股定理中的最短路径问题与翻折问题(五大题型)(原卷版)
专题01 勾股定理中的最短路径问题与翻折问题（五大题型）【题型1 与长方形有关的最短路径问题】【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【题型4将军饮马与最短路径问题】【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【方法技巧】长方体最短路径基本模型如下：几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【题型1 与长方体有关的最短路径问题】【典例1】（2023•丹江口市模拟）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点C′处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，高为30cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（）cm．A．10B．50C．10D．70【变式1-1】（2022秋•新都区期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（）A．10cm B．25cm C．5cm D．5cm【变式1-2】（2023春•光泽县期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．D．35【变式1-3】（2023春•灵丘县月考）如图，正方体的棱长为3cm，已知点B与点C之间的距离为1cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A．B．5cm C．4cm D．【变式1-4】（2022秋•莲湖区期末）如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想沿正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（）A．B．C．D．【变式1-5】（2022秋•汝阳县期末）如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【变式1-7】（2022秋•平昌县期末）如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12B．15C．18D．21【变式1-8】（2023•陇县三模）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）厘米．A．8B．10C．12D．13【变式1-10】（2022春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）A．cm B．4cm C．cm D．5cm【题型2 与圆柱有关的最短路径问题】（2023春•防城区期中）如图，一圆柱高BC＝12πcm，底面周长是16πcm，【典例2】P为BC的中点，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点P处吃食，要爬行的最短路程是（）A．12πcm B．11πcm C．10πcm D．9πcm【变式2-1】（2023春•德州期中）如图，圆柱形玻璃容器高18cm，底面圆的周长为48cm，在外侧底部点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧顶端的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（）A．52cm B．30cm C．D．60cm【变式2-2】（2023春•夏津县期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是50cm，当一段葛藤绕树干盘旋2圈升高为2.4m 时，这段葛藤的长是（）m．A．3B．2.6C．2.8D．2.5【变式2-3】（2023春•东港区校级月考）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A．26B．13+C．13D．2【变式2-4】（2023春•富顺县校级月考）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A．cm B．15cm C．14cm D．13cm【变式3-5】（2022秋•蒲城县期末）今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为20cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（）A．20πcm B．40πcm C．D．【变式2-6】（2023春•宣化区期中）如图，圆柱底面半径为，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（）A．21cm B．24cm C．30cm D．32cm【变式2-7】（2023春•随县期末）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要m．【题型3 与台阶有关的最短路径问题】【典例3】（2023春•连山区期末）如图是楼梯的一部分，若AD＝2，BE＝1，AE＝3，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（）A．B．3C．D．2【变式3-1】（2022春•郾城区期末）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）cm．A．10B．50C．120D．130【变式3-2】（2023春•西塞山区期中）如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．【变式3-3】（2022秋•叙州区期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A 点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【题型4将军饮马与最短路径问题】【典例4】（2022秋•辉县市校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（）cm．A．15B．C．12D．18【变式4-1】（2022春•吴江区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（）A．13cm B．3cm C．cm D．2cm【变式4-2】（2023春•临潼区期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【变式4-3】（2022秋•牡丹区月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．22【变式4-4】（2022秋•雁峰区校级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（）A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm【变式4-5】（2022秋•郫都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包渣相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．【题型5几何图形中翻折、旋转问题】【典例5】（2022秋•大东区校级期末）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-1】（2022春•安乡县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝10，点D为BC的中点，点E为AC边上一动点，连接DE．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点C'．若△AEC'为直角三角形，则AE的长为．【变式5-2】（2023春•长沙期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式5-3】（2022秋•绥德县期中）如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【变式5-4】（2020秋•海宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D为BC上一点，将△ABD沿AD折叠至△AB′D，AB′交线段CD 于点E．当△B′DE是直角三角形时，点D到AB的距离等于．【变式5-5】（2020•浙江自主招生）将一直径为25cm的圆形纸片（如图①）剪成如图②所示形状的纸片，再将纸片沿虚线折叠得到正方体形状的纸盒（如图③），则这样的纸盒体积最大为cm3．【变式5-6】（2022秋•和平区期中）一长方体容器（如图1），长、宽均为2，高为8，里面盛有水，水面高为5，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD＝．【变式5-7】（2022春•温州期末）图1是一款平衡荡板器材，示意图如图2，A，D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G，H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG＝GH＝DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连结G′Q，测得G′Q＝1.6m，∠DQG′＝90°，此时荡板G′H′距离地面0.6m，则点D离地面的距离为m．【变式5-8】（2022•公安县模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶，AB＝84cm，BC＝30cm，CP＝36cm，侧面如图1所示，EF为隔板，等分上下两层．下方内桶BCFG绕底部轴（CP）旋转打开，如图2，将其打开后点G卡在隔板上，此时可完全放入下方内桶的球体的最大直径为25.2cm，求BG的长度为cm．。
用勾股定理求几何体中的最短路线长课件
问题描述
问题定义
给定一个几何体，如长方体、球体等，求从一个顶点到另一个顶点的最短路线长 度。
问题分析
最短路线问题可以通过几何学中的勾股定理进行求解。勾股定理是直角三角形中 ，直角边的平方和等于斜边的平方。在三维空间中，可以利用勾股定理找到最短 路径。
02
勾股定理简介
勾股定理的定义
勾股定理：在直角三角形中，直角边 的平方和等于斜边的平方。即，如果 直角三角形的两条直角边长度分别为 a和b，斜边长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。
用勾股定理求几何体中的 最短路线长ppt课件
• 引言 • 勾股定理简介 • 几何体的最短路线问题 • 用勾股定理求解最短路线长 • 结论
01
引言
目的和背景
目的
介绍如何使用勾股定理在几何体中寻找最短路线长度。
背景
几何体中的最短路线问题在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、工程、机器 人等领域。通过解决这类问题，可以优化设计、提高效率、降低成本等。
THANKS
感谢观看
勾股定理的证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中比较常见的是欧几里得证 明法。该证明方法利用了相似三角形的性质和边长之间的关 系，通过一系列的推导和证明，最终证明了勾股定理。
除了欧几里得证明法外，还有其他的证明方法，如利用代数 方法和微积分方法等。这些证明方法虽然不同，但都能够证 明勾股定理的正确性。
的性质和勾股定理得出的结论。
空间几何体中的最短路线问题
1 2 3
球面几何中的大圆弧最短
在球面几何中，两点之间的大圆弧是最短的路径 。大圆弧是指经过球心并与球面相切的圆弧。
圆柱体或圆锥体中的母线最短
在圆柱体或圆锥体中，从顶点到底面的母线是最 短的路径。母线是与底面平行的线段，也是旋转 轴。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
勾股定理最短路径问题做题技巧
勾股定理是数学中的经典定理，被广泛应用于解决直角三角形中的各种问题。
其中，勾股定理最短路径问题是一个常见而又有一定挑战性的问题，需要我们对勾股定理的应用进行深入理解和掌握。
下面，我将共享一些在做勾股定理最短路径问题时的一些技巧和注意事项，希望能对大家有所帮助。
1. 确定直角三角形在解决勾股定理最短路径问题时，首先需要确定问题中是否存在直角三角形。
通常情况下，我们可以通过问题描述中给出的线段长度或角度信息来判断是否为直角三角形。
一旦确定存在直角三角形，我们便可以应用勾股定理来解决最短路径问题。
2. 确认最短路径在确定了直角三角形后，接下来我们需要确认问题中所要求的最短路径。
这个最短路径可能是直角三角形中的某条边，也可能是直角三角形内部的某一段路径。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来判断最短路径的具体位置。
3. 应用勾股定理一旦确定了直角三角形和最短路径，我们就可以开始应用勾股定理来求解问题了。
勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
我们可以根据勾股定理的这一表达式来进行问题的推理和计算，从而得出最终的最短路径结果。
4. 注意特殊情况在应用勾股定理解决最短路径问题时，我们还需要特别注意一些特殊情况。
当直角三角形的两条直角边长度相等时，斜边也将会最短，这种情况下我们可以直接应用勾股定理来得出结果。
另外，当直角三角形的两条直角边长度有一个为0时，斜边也将为另一条直角边，这时最短路径也就不言而喻了。
5. 结合实际问题当我们应用勾股定理解决最短路径问题时，需要将数学知识与实际问题相结合，确保解答的合理性和可行性。
我们可以通过画图、列方程等方法来辅助求解，从而得出准确的最短路径结果。
在解决勾股定理最短路径问题时，我们需要确保对勾股定理的基本原理有充分的理解，同时要灵活运用对问题进行分析和求解。
希望以上共享的技巧和注意事项能够帮助大家在做题时更加得心应手，解决问题时得心应手。
勾股定理最短路径问题
勾股定理最短路径问题
勾股定理最短路径问题是一种在数学和计算机科学领域中常见的问题。
该问题
的目标是找到两个给定点之间的最短路径，并且路径中的每个线段都恰好满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理，它表明在一个直角三角形中，斜边的平方等
于两个直角边的平方和。
勾股定理最短路径问题则是将这个定理应用到路径规划中。
为了解决这个问题，我们可以使用图论中的最短路径算法，如Dijkstra算法或
A*算法。
首先，我们将给定的起点和终点转化为图中的节点，节点之间的连接表
示可以直接连接的路径。
在每个节点中，我们需要计算到达该节点的路径长度。
以起点为起始节点，我
们开始遍历每个相邻节点，并通过计算其与起点的距离来更新节点的路径长度。
这个过程会持续进行，直到所有节点的路径长度都被计算出来。
接下来，我们需要根据勾股定理来评估路径的长度。
对于连接起点和终点的路
径上的每一段线段，我们可以根据勾股定理计算其长度。
通过将每一段线段的长度累加，我们可以得到整条路径的长度。
最后，我们可以使用最短路径算法来确定具有最短长度的路径。
这将帮助我们
找到勾股定理最短路径问题的解决方案。
总结而言，勾股定理最短路径问题是一个涉及路径规划和数学定理应用的问题。
通过使用最短路径算法，我们可以找到满足勾股定理的最短路径，从而有效地解决这个问题。
勾股定理应用之最短路径问题
沿着台阶面爬到B点去吃可口的食物，最短线路是多少？
A
20
CHale Waihona Puke 解：如图，将台阶3
展开， BC=(3+2) ×3=15AC=2
２
0
∵△ABC为直角
3
三角形 2
答：最短路线
3
是25cm。
2
B
利用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1.在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图， 将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模 型，再运用勾股定理解决实际问题。
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求出爬
行的最短路程。
解：如图，将圆柱体 展开， BC=18÷2=9 AC=1
2 ∵△ABC为直角 三角形
C
B
答：蚂蚁爬行的最短路线
是15cm。
A
最短路径问题
几何体的表面路径的最短的问题，一般将 立体图形展开为平面图形来计算。
勾股定理 --最短路线问
1
1.两点之间，线段最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长是圆 柱的高,它的另一边长是底面圆的周长。
圆柱侧面两点最短路径问题
如图所示，圆柱体的底面周长为18cm ，高AC为12cm ，
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点B，试求为出什爬么
行的最短路程。
1
1B
B
1
1 1
1
A
1
1
长方体中的最值问题
如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、8。现有一蚂
蚁从顶点A出发，沿长方体表面到达顶点B，蚂蚁走的路程
最短为多少厘米？
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
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如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点 A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm,如果 从点A开始经过四个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm.
在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为_____cm．（结果保留π）
勾股定理与立体图形的其他问题
如图，有一个长、宽高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面 放入一根细木条（木条的粗细，变形忽略不计），要求木条不能 露出木箱，能放入的细木条最大长度是？
小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm， 40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？
如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm ），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离 为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管 长为hcm，则h的最小值大约为_____cm．
（精确到个位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 5≈2.2）．
Hale Waihona Puke 短距离为（ ）m．A．4.8 B． 29
C．5
D．3+2 2
如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底
部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm
与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____
cm．（容
器厚度忽略不计）
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长 为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正 好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最 短路径是_____
A．6cm
B．12cm
C．13cm
D．16cm
如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边 长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至 侧面的B点，最少要用______秒钟
如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等
分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最
勾股定理-最短路径问题
勾股定理最短路径问题
如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱 的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食 物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)
如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出 发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（ ）