2019年北京东城区高三二模数学(文科)试卷及答案解析
高三数学（文）（东城）第 1 页（共 5 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学（文科）2019.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{13},{20}Ax x x B x x 或，则A BU （A ）12x xx或（B ）12xx（C ）{23}xx （D ）R（2）下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（A ）3y x （B ）cos y x（C ）xye（D ）1yx（3）执行如图所示的程序框图，输入2,5ab，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7,3（B ）3,3（C ）5,3（D ）5,2（4）若,x y 满足21x y x -＃，则点(,)x y 到点(1,0)-距离的最小值为（A ）5（B ）355（C ）22（D ）12（5）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为高三数学（文）（东城）第 2 页（共 5 页）（A ）334000mm（B ）333000mm（C ）332000mm（D ）330000mm（6）已知,,,m n p q 为正整数，且m n p q +=+，则在数列{}n a 中，“mnp q a a a a ”是“n a 是等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB. 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ，(1,0)C .若6BOC，则cos的值是（A ）34310（B ）34310（C ）43310（D ）43310（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00=(1)K V v k （其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是（A ）随着车流密度增大，车流速度增大（B ）随着车流密度增大，交通流量增大（C ）随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大（D ）随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小高三数学（文）（东城）第 3 页（共 5 页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）双曲线2214xy的渐近线方程为.（10）复数5i 1i-的实部为；虚部为.（11）在ABC 中，4A，ab cba222，3c ，则C；a ____________.（12）已知2log 9a，3log b m ，5log 15c，则满足a bc 的一个正整数m 为.（13）如图，矩形ABCD 中，2AB ，1BC ，O 为AB 的中点.当点P 在BC 边上时，AB OP ×uu u r uu u r的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ×uu u r uu u r 的最小值为.（14）已知直线l 过点(1,1)，过点(1,3)P 作直线ml ，垂足为M ，则点M 到点(2,4)Q 距离的取值范围为.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）设数列n a 满足：11a ，120nna a ．（Ⅰ）求n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）若等差数列n b 满足41a b ，322a a b ，问：37b 与n a 的第几项相等？高三数学（文）（东城）第 4 页（共 5 页）已知函数2,0,0sin A x A xf 的部分图象如图所示.（Ⅰ）求f x 的解析式；（Ⅱ）若对于任意的0,xm ，1f x恒成立，求m 的最大值.（17）（本小题13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修. 现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲维修的元件数3546463784乙维修的元件数4745545547（I ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（II ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差2s 甲与乙维修的元件数的方差2s 乙的大小.（只需写出结论）；（III ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人.（18）（本小题14分）如图所示的五面体ABCDEF 中，平面ADE平面ABCD ,AE DE ,AE DE ,AB ∥CD ，ABBC ,60DAB，4ABAD．（Ⅰ）求四棱锥E ABCD 的体积；（Ⅱ）求证：EF ∥平面ABCD ；（Ⅲ）设点M 为线段BC 上的动点，求证：EM 与AM 不垂直．高三数学（文）（东城）第 5 页（共 5 页）已知函数1()2ln 2f x x x xx.（Ⅰ）求曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：(1)()0xf x .（20）（本小题14分）已知椭圆22221(0)：xy C a bab的一个焦点为(1,0)F ，离心率为12.A 为椭圆C 的左顶点，,P Q 为椭圆C 上异于A 的两个动点，直线,AP AQ 与直线:4l x分别交于,M N 两点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15，求M 的坐标；（III ）设直线l 与x 轴交于点R ，若,,P F Q 三点共线，求证：MFRFNR .北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科）参考答案及评分标准2019.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）D （3）D （4）C （5）C （6）B （7）C（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2x y =?（10）2；1（11）3；6（12）10 （答案不唯一）（13）2；2（14）[2,32]三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解: （Ⅰ）依题意，数列n a 满足：11a ，12nn a a ，所以n a 是首项为1，公比为2的等比数列.则n a 的通项公式为1(2)n na ，前n 项和1[1(2)]1(2)1(2)3nnnS . (7)分（Ⅱ）由(Ⅰ) 可知，81b ，62b ，因为n b 为等差数列，212db b .所以n b 的通项公式为210nb n .所以372371064b .令1)2(64n ，解得7n.所以37b 与数列{}n a 的第7项相等. (13)分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，2A .因为51264T，所以T.所以2. 解得2.又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6，所以2sin(2)26.解得=+2()6k k Z .又因为2，所以=6.所以()2sin(2)6f x x. (7)分（Ⅱ）因为0,x m ，所以2,2666xm，当2662x，时，即0,6x时，f x 单调递增，所以(0)1f xf ，符合题意；当52,626x时，即,63x时，f x 单调递减，所以()13fxf ，符合题意；当532,662x时，即2,33x时，fx 单调递减，所以()13fxf ，不符合题意；综上，若对于任意的0,xm ，有1f x恒成立，则必有03m，所以m 的最大值是3. (13)分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设A 表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，51()102P A ． (4)分（Ⅱ）22ss 甲乙 (8)分（Ⅲ）设增加工人后有n 名工人.因为每天维修的元件的平均数为1[354+64+6+3+7+8+4+4+7+4+5+5+4+5+5+4+7]=10.10（）（）所以这n 名工人每天维修的元件的平均数为10n.令103n . 解得103n . 所以n 的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人……….13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）取AD 中点N ，连接EN ．在△ADE 中，AE DE ，所以EN AD .因为平面ADE 平面ABCD ，平面ADE平面ABCDAD ，EN平面ADE ,所以EN平面ABCD ．又因为AE DE ，4AD ，所以2EN.因为AB ∥CD ，AB BC ，60DAB，4ABAD，所以63ABCD S 梯形.所以1632433-E ABCDV . (5)（Ⅱ）因为AB ∥CD ，AB平面ABFE ，CD平面ABFE ，所以CD ∥平面ABFE ．又因为CD平面CDEF ，平面ABEF平面CDEF EF ，所以CD ∥EF ．因为CD平面ABCD ，EF平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ． (10)（Ⅲ）连接MN ，假设EMAM .由（Ⅰ）知EN平面ABCD ，NDC BAEFM因为AM 平面ABCD ,所以ENAM ．因为EM AM , 且ENEME ，所以AM 平面ENM ．因为MN 平面ENM ，所以AMMN ．在△AMN 中，2,4AN AMAN ，所以AMNANM .所以90AMN．这与AM MN 矛盾．所以假设不成立，即EM 与AM 不垂直． (14)（19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)，(1)0f .2211'()2(1ln )112ln f x x x x x.'(1)2f .所以曲线()yf x 在(1,(1))f 处的切线方程为2(1)y x .即22y x .……………．5分（Ⅱ）记21()12ln g x x x .33222(1)(1)'()x x g x xxx.由'()0g x 解得1x ．()g x 与'()g x 在区间(0,)上的情况如下：x(0,1)1(1,)'()g x 0+()g x ↘极小↗所以()g x 在1x时取得最小值(1)2g ．所以21()12ln 20g x x x.所以'()0f x .所以()f x 在(0,)上单调递增.又由(1)0f 知，当01x 时，()0f x ，10x ，所以(1)()0x f x ；当1x时，()0f x ，10x ，所以(1)()0x f x .所以(1)()0xf x .………………………………13分（20）（共14分）解：（I ）由题意得1,1,2c c a解得2,1.a c 因为222abc ，所以23b.所以椭圆C 的方程为22143xy. ………………………………4分（II ）因为ΔPAF 与ΔPMF 的面积之比为15，所以1||||5AP PM .所以16AP AM .设00(4,)(0),(,)M m mP x y ，则001(2,)(6,)6x y m ，解得001,6mx y .将其代入22143xy ，解得9m .所以M 的坐标为(4,9)或(4,9). ……………………………… 8分（III ）设00(4,),(4,),(,)M m N n P x y ，若0m ，则P 为椭圆C 的右顶点，由,,P F Q 三点共线知，Q 为椭圆C 的左顶点，不符合题意.所以0m .同理0n .直线AM 的方程为(2)6my x .由22(2),6143m y x x y 消去y ，整理得2222(27)4(4108)0m x m x m .2222(4)4(27)(4108)0m m m Δ成立.由2024108227m x m ，解得20254227m x m .所以00218(2)627mm y x m .所以22254218(,)2727m mP m m .当3m 时，3n ，2254227mm =1，即直线PQ x 轴.由椭圆的对称性可得||||||3MR FR NR .又因为90MRF NRF ，所以45MFR FNR .当3m 时，3n ，直线FP 的斜率22221806275429127FP mmm k m m m .同理269FQ nk n .因为,,P F Q 三点共线，所以226699mn mn .所以9mn .在Rt MRF Δ和Rt NRF Δ中，||||tan ||3MR m MFR FR ，||3||tan ||||3FR m FNR NR n ，所以tan tan MFR FNR .因为,MFR FNR 均为锐角，所以MFR FNR .综上，若,,P F Q 三点共线，则MFR FNR . ………………………………14分。
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣1或x≥2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|2≤x＜3}D．R2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+13．（5分）执行如图所示的程序框图，输入a＝2，b＝5，那么输出的a，b的值分别为（）A．7，﹣3B．﹣3，﹣3C．5，﹣3D．5，24．（5分）若x，y满足2x﹣1≤y≤x，则点（x，y）到点（﹣1，0）距离的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3 6．（5分）已知m，n，p，q为正整数，且m+n＝p+q，则在数列{a n}中，“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（﹣1，0）．若∠BOC＝，则cos（β﹣α）的值是（）A．B．C．D．8．（5分）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为．10．（5分）复数的实部为；虚部为．11．（5分）在△ABC中，，a2+b2﹣c2＝ab，c＝3，则∠C＝；a＝．12．（5分）已知a＝log29，b＝log3m，c＝log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．14．（5分）已知直线l过点（1，1），过点P（﹣1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若等差数列{b n}满足b1＝a4，b2＝a2﹣a3，问：b37与{a n}的第几项相等？16．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．17．（13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．（Ⅰ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（Ⅱ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．（只需写出结论）；（Ⅲ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．18．（14分）如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，AE⊥DE，AE＝DE，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4．（Ⅰ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：（x﹣1）f（x）≥0．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率为．A 为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：x＝4分别交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△P AF与△PMF的面积之比为，求M的坐标；（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R，若P，F，Q三点共线，求证：∠MFR＝∠FNR．2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：B＝{x|x﹣2≥0}＝{x|x≥2}，则A∪B＝{x|x≥2或x＜﹣1}，故选：A．2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得：a＝2，b＝5，不满足a＞b，a＝2+5＝7，b＝7﹣5＝2a＝7﹣2＝5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．4．【解答】解：由x，y满足2x﹣1≤y≤x，作出可行域如图，点（﹣1，0）到点（x，y）的最小距离为D到P的距离．即：＝．故选：C．5．【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．【解答】解：若“{a n}是等比数列”，则a m•a n＝a12q m+n﹣2，a p•a q＝a12q p+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴a m•a n＝a p•a q成立，即必要性成立，若a n＝0，则{a n}是等差数列，当m+n＝p+q时，由“a m•a n＝a p•a q”成立，但“{a n}是等比数列”不成立，即充分性不成立，则“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的成立的必要不充分条件，故选：B．7．【解答】解：由三角函数的定义可知，cos，sinα＝，β＝，∴cos（β﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝＝故选：C．8．【解答】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y＝±∴双曲线的渐近线方程为y＝±故答案为：y＝±10．【解答】解：∵＝，∴复数的实部为；虚部为．故答案为：；．11．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：＝，解得：a＝．故答案为：，．12．【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．故答案为：27．13．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．14．【解答】解：设A（1，1）依题意点M的轨迹是以AP为直径的圆，圆心C的坐标为（0，2），半径为，∵|CQ|＝＝2，∴|CQ|﹣≤|MQ|≤|CQ|+，即≤|MQ|≤3．故答案为[，3]三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．∴依题意，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝﹣2a n，∴{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列．∴{a n}的通项公式为，前n项和．………………………．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b1＝﹣8，b2＝﹣6，因为{b n}为等差数列，d＝b2﹣b1＝2．所以{b n}的通项公式为b n＝2n﹣10．所以b37＝2×37﹣10＝64．令64＝（﹣2）n﹣1，解得n＝7．所以b37与数列{a n}的第7项相等．…………………..（13分）16．【解答】（本题满分共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，A＝2．因为，所以T＝π．所以．解得ω＝2．又因为函数f（x）的图象经过点，所以．解得．又因为，所以．所以．…………………………………………………………．（7分）（Ⅱ）因为x∈[0，m]，所以，当时，即时，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，不符合题意；综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，所以m的最大值是．………………………………………..（13分）17．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，．……………………………………………………．（4分）（Ⅱ）．……………………．（8分）（Ⅲ）设增加工人后有n名工人．因为每天维修的元件的平均数为：．所以这n名工人每天维修的元件的平均数为．令．解得．所以n的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．………．（13分）18．【解答】（Ⅰ）解：取AD中点N，连接EN．在△ADE中，∵AE＝DE，∴EN⊥AD．∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EN⊂平面ADE，∴EN⊥平面ABCD．又∵AE⊥DE，AD＝4，∴EN＝2．∵AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4，∴．∴；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，∴CD∥平面ABFE．又∵CD⊂平面CDEF，平面ABEF∩平面CDEF＝EF，∴CD∥EF．∵CD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；（Ⅲ）证明：连接MN，假设EM⊥AM．由（Ⅰ）知EN⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴EN⊥AM．∵EM⊥AM，且EN∩EM＝E，∴AM⊥平面ENM．∵MN⊂平面ENM，∴AM⊥MN．在△AMN中，AN＝2，AM≥4＞AN，∴∠AMN＜∠ANM．∴∠AMN＜90°．这与AM⊥MN矛盾．∴假设不成立，即EM与AM不垂直．19．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞），f（1）＝0.．f'（1）＝2．所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1）．即y＝2x﹣2．……………．（5分）（Ⅱ）证明：记.．由g'（x）＝0解得x＝1．g（x）与g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以g（x）在x＝1时取得最小值g（1）＝2．所以．所以f'（x）＞0．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．又由f（1）＝0知，当0＜x＜1时，f（x）＜0，x﹣1＜0，所以（x﹣1）f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，x﹣1＞0，所以（x﹣1）f（x）＞0．所以（x﹣1）f（x）≥0．………………………………（13分）20．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c＝1，又，解得a＝2，c＝1．∵a2﹣b2＝c2，∴b2＝3．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）解：∵△P AF与△PMF的面积之比为，∴，则．设M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），则，解得．将其代入，解得m＝±9．∴M的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），若m＝0，则P为椭圆C的右顶点，由P，F，Q三点共线知，Q为椭圆C的左顶点，不符合题意．∴m≠0．同理n≠0．直线AM的方程为．由消去y，整理得（27+m2）x2+4m2x+（4m2﹣108）＝0．△＝（4m2）2﹣4（27+m2）（4m2﹣108）＞0成立．由，解得．∴．得．当|m|＝3时，|n|＝3，，即直线PQ⊥x轴．由椭圆的对称性可得|MR|＝|FR|＝|NR|＝3．又∵∠MRF＝∠NRF＝90°，∴∠MFR＝∠FNR＝45°．当|m|≠3时，|n|≠3，直线FP的斜率．同理．∵P，F，Q三点共线，∴，得mn＝﹣9．在Rt△MRF和Rt△NRF中，，，∴tan∠MFR＝tan∠FNR．∵∠MFR，∠FNR均为锐角，∴∠MFR＝∠FNR．综上，若P，F，Q三点共线，则∠MFR＝∠FNR．。
2019届北京市东城区高三下学期二模考试数学(文)试卷及解析
2019届北京市东城区高三下学期二模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{13},{20}A x x x B x x 或=-=-≥，则A B =U A. {}12x x x <-≥或 B. {}12x x -<≤ C. {23}x x ≤< D. R【答案】A【解析】【分析】解出集合B 中的不等式，根据集合并集运算得到结果. 【详解】{2}B x x =≥,根据集合的并集运算得到：A B =U {}12x x x <-≥或. 故答案为：A.2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是A. 3y x =B. cos y x =C. x y e =D. 1y x =+【答案】D【解析】【分析】 根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.【详解】3y x =是奇函数，故A 排除；x y e =是非奇非偶函数，C 排除； cos y x =是偶函数，但在()0,+∞上有增也有减，B 排除，只有D 正确. 故答案为：D.3.执行如图所示的程序框图，输入5,2==b a ，那么输出的,a b 的值分别为A. 7,3-B. 3,3--C. 5,3-D. 5,2【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，依次代入数值得到结果. 【详解】根据程序框图，依次代入数值得到：a ＝a ＋b ＝7，b ＝a －b ＝7－5＝2，a ＝a －b ＝7－2＝5， 所以，a ＝5，b ＝2故答案为：D.4.若,x y 满足21x yx -＃，则点(,)x y 到点(1,0)-距离的最小值为 535 C. 22 D. 12【答案】C【解析】【分析】根据不等式画出可行域，结合图像以及点线距公式得到结果.【详解】21x y x -＃相当于21x y y x -≤⎧⎨≤⎩，画出平面区域，如下图，。
2019年最新北京市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。
北京市东城区2019届高三一模数学(文)考试试题(解析版)
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科） 2019.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{20},{210}A x x x B x x =+>=+>，则A B =I（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭（B ）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（C ）{0}x x > （D ）R 答案：C考点：集合的运算，一元二次不等式。
（A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i 答案：B考点：复数的运算，复数几何意义。
解析：对于（A ），z ＝2，则(2i)42z i -=-，对应点在第四象限，不符； 对于（B ），z ＝－1，则(2i)2z i -=-+，对应点在第二象限，符合；对于（C ），z ＝i ，则(2i)12z i -=+，对应点在第一象限，不符； 对于（D ），z ＝2＋i ，则(2i)5z -=，对应点在x 轴上，不符； 所以，选B 。
（3）已知圆22:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）4答案：D考点：圆的标准方程解析：圆方程为：22(1)1x y ++=，圆心为（－1,0）， 与直线3x =的距离等于：3－（－1）＝4（4）设E 为ABC △的边AC 的中点，+u u u r u u u r u u u rBE mAB nAC =，则,m n 的值分别为（A ）11,2- （B ）1,12- （C ）1,12- （D ）11,2答案：A考点：平面向量的三角形法则和平行四边形法则。
解析：因为E 为AC 中点，所以，BE ＝11111()22222BA BC AB AC AB AB AC +=-+-=-+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，11,2m n =-=（5）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形答案：A 考点：三视图、解析：该几何体如下图所示，所以，截面为等腰三角形。
2019东城区高三二模文科数学试卷及答案
北京市东城区2019年度综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，则()U AB =ð（A ）{1，2，3，4} （B ）{1，2，4，5} （C ）{1，2，5} （D ）{3}（2）若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 （3）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（A ）7.68 （B ）8.68 （C ）16.32 （D ）17.32 （4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为 （A ）43（B ）83 （C ）4 （D ）8（5）已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l 的距离是 （A ）22 （B ）2 （C ）223（D ）22正视图侧视图俯视图（7）△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++=，且||||OA AB =，则CA CB ⋅等于 （A ）32（B（C ）3 （D）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
【解析】
解：模拟程序的运行，可得：
a=2，b=5，
不满足a＞b，a=2+5=7，
b=7-5=2
a=7-2=5．
输出a，b的值分别为5，2．
故选：D．
由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算并输出变量a，b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
若an=0，则{an}是等差数列，当m+n=p+q时，由“am•an=ap•aq”成立，但“{an}是等比数列”不成立，
即充分性不成立，
则“am•an=ap•aq”是“{an}是等比数列”的成立的必要不充分条件，
故选：B．
根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：由三角函数的定义可知，cos ，sinα= ，β= ，
∴cos（β-α）=cos cosα+sin sinα= =
故选：C．
由三角函数的定义可知，cos ，sinα= ，β= ，然后结合两角差的余弦公式即可求解
本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题
18.如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，AE⊥DE，AE=DE，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4．
（Ⅰ）求四棱锥E-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．
北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习(二模)试题文(含解析)
1、填写信息、稳定情绪试卷一发下来，立即忙于答题是不科学的，应先填写信息。
如本答题卡上涂清“试卷类型”写清姓名和准考证号等，这样做不但是考试的要求，更是一剂稳定情绪的良药。
2、总览全卷，区别难易。
打开试卷后，看看哪些是基础题，哪些是中档题，哪些是难题或压轴题，按先易后难的原则，确定解题顺序，逐题进行解答。
力争做到“巧做低档，题全做对；稳做中档题，一分不浪费，尽力冲击高档题，做错也无悔。
”3、认真审题灵活作答审题要做到：一不漏掉题，二不看错题，三要审准题，四要看全题目的条件和结论。
要遵循“审题要慢，做题要快”的原则。
坚决避免因审题不清或审题时走马观花，粗心大意造成失分现象。
如《父辈》看成《父亲》要求介绍漫画，应该是说明文，写成了记叙文。
4、过程清晰，稳中求快，要注意“三要”①要书写清晰，卷面整洁。
特别是数学、理综解题过程要力求完整。
我们提的口号是“争取多写一步”。
文科作文和文综要注意卷面整洁。
②一次成功。
要提高第一次做题的成功率，不要认为反正还得检查而粗枝大叶。
即使查出错误再去纠正，在时间上也是不合算的。
③科学地使用草稿纸。
利用草稿纸也有学问，利用好了能帮助思考，节省时间，储存记忆；反之就要扰乱思维，浪费时间。
使用的方法不应该是先正中间写一写，然后边缘，拐解，最后填空，结果自己都很难看清。
而应该是：一卷面上不写解答过程的题，把过程在草稿纸上演算，标上题号以便检查时用；二是卷面要求写解答过程的题，如果思路很清楚就直接写在卷面上，不必在草稿纸上写一遍又抄一遍，要在草稿纸上标出记号。
四折叠草稿纸也是一种方法。
5、注重策略，减少失误。
①答题顺序策略。
做题是按顺序做还是先易后难做，科学的方法是按顺序做与先易后难相结合。
先把自己有把握的题一次性做好，再逐一攻克难度较大的题。
如文综卷，按顺序仍然是先做容易基础题，先易后难，但由于地理一般给一个空间概念，历史给一个时间线索，政治给予认识，评价等。
如果有的同学看了材料分析后做政治评价比较容易，也可以先做政治题。
2019届北京市东城区第一学期高三期末数学(文)试题(解析版)
2019届北京市东城区第一学期高三期末数学（文）试题一、单选题1．若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2．下列复数为纯虚数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y=2x（x≥0）上，则cosα的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在终边上任意取一点，再利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】角以为始边，终边在射线上，在终边上任意取一点，则，故选A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，在角的终边上任取一点是解题的关键，属于基础题．4．若满足则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域，由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故选B．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的实质是计算排列数的值，由，即可计算得解．【详解】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当，时，可得：，故选B．【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，，．【详解】根据不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，，，满足，但是不成立，∴是的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.7．某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2 B．C．D．3【答案】D【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，∴，∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．8．地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题9．已知向量=（1，-2），=（2，m），若⊥，则m=______．【答案】1【解析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【详解】∵；∴，∴，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题. 10．在△ABC中，已知a=1，，，则c=______．【答案】【解析】先根据同角的三角函数的关系求出，再根据正弦定理即可求出．【详解】在中，已知，，，∴，由正弦定理可得，∴，故答案为．【点睛】本题考查了正弦定理和同角的三角函数的关系在解三角形中的应用，考查了运算和求解能力，属于基础题．11．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{an}和{bn}的通项公式：an=______，bn=______．【答案】-n2【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则，，故答案为，2．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12．过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B 两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e=______．【答案】【解析】利用已知条件列出方程，转化为求解即可．【详解】过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，交双曲线于，两点，为坐标原点，若为等腰直角三角形，可得，即，可得：，，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 常见双曲线离心率的求法有：1、直接求出，求解；2、变用公式整体求出；3、构造的齐次式解出等.13．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有______．（注：请写出所有正确结论的序号）【答案】①②【解析】由分段函数可得函数的单调性，可判断①；由的值可判断②；由的值可判断③．【详解】，可得随着的增加而减少，故①正确；当时，，，9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故②正确；，故③错误，故答案为①②．【点睛】本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调性和函数的取值范围的求法，考查判断能力和运算能力，属于基础题．14．已知函数f（x）=x3-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）．若∀x∈[-a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为______；此时ω=______．【答案】4【解析】函数，均为奇函数，只需考虑，都有即可，结合图象可得当且仅当在上，在满足，才能取到最大值，进而可得.【详解】∵函数，均为奇函数．∴只需考虑，都有即可．∵函数在满足，在满足，∴当且仅当在上，在满足，才能取到最大值，（如图）．此时，，．故答案为：4，．【点睛】本题主要考查了函数的对称性应用，数形结合法，最终将题意转化为与0的关系是解题的关键，属于中档题．三、解答题15．已知等差数列{an}满足a1=1，a2+a4=10．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解的通项公式；（Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列的前项和．【详解】（I）设的公差为，因为，所以．所以，解得．所以．（Ⅱ）由（I）知，，所以的前项和为==．【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.16．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，证得．【详解】（Ⅰ）===，所以，的最小正周期．（Ⅱ）证明：∵，∴，∴，∴，∴，所以对于任意的，都有．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）7（Ⅲ）14.68（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，【解析】由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【详解】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150.（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p=（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．【点睛】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1⊥B1C1，AA1=AB=2，BC=1，E为A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥B-ECC1的体积；（Ⅲ）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）证明平面，推出，然后证明平面，得到，，即可证明平面；（Ⅱ）说明，证明平面，通过求解即可；（Ⅲ）证明，说明为中点，然后求解即可．【详解】（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1⊥平面A1B1C1．因为B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1=B1，所以B1C1⊥平面AA1B1B．因为A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥B1C1．因为AA1=AB=2，所以四边形AA1B1B为菱形．所以A1B⊥AB1．因为B1C1∩AB1=B1，所以A1B⊥平面AB1C1．（Ⅱ）由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1=B1，所以A1B1⊥平面BB1C1C．又A1B1=AB=2，故A1到平面BB1C1C的距离为2．因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．所以．（Ⅲ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB∩平面A1B1C1=EH．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABC，所以AB∥平面A1B1C1．又平面A1B1C1∩平面EAB=EH，所以EH∥AB．又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．所以．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.19．已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-∞，-1）（-，+∞）【解析】（Ⅰ）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当时，令，得，，分三种情况①，②当，③当，讨论的单调区间．【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，．当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．（Ⅱ）f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．（1）当a≤0时，ae x-1＜0，所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；②当-lna＜-1，即a＞e时，当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）；③当-lna＞-1，即0＜a＜e时，当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程20．已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（-1，0）．直线l：y=k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率以及已知条件求解，，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及弦长公式，得到直线距离然后求解的面积；（Ⅲ）当时，求出直线的斜率；设直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理，转化求解证明即可．【详解】解：（I）由已知有解得所以椭圆C的方程为．（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2-2）=0．由已知，△=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线l的方程为x-2y+2=0，F1（-1，0）到直线l的距离．所以△F1AB的面积为．（III）当x2=-1时，．此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠-1．设直线BF1的斜率为．则直线BF1的方程为y=t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2-2）=0．设E（x3，y3），则有．由得，代入上式整理得，解得．因为，将，代入，整理得x3-x1=0，所以x3=x1．所以直线AE与x轴垂直．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，计算量较大，有一定难度.。
2019年高三二模数学(文科)(含答案)
2019年高三二模数学（文科）（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A={x|x＜2}，B={x|x2-5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 284.函数y=的部分图象大致是（）A. B.C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 1B.C.D.6.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.7.已知F是抛物线C：y2＝4x（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e＝A. B. C. D.8.定义在R上的函数满足：且，若，则的值是A. B. 0 C. 1 D. 无法确定9.已知f（x）=sin x cosx+cos2x-，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则=（）A. B. 1 C. D. 010.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A. B. C. D.11.函数f（x）=的零点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 012.设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A. B. 3 C. 或3 D. 5或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为______．14.在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），则cos（2θ+）=______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=-1，a n+1=S n•S n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．16.已知曲线x2-4y2=4，过点A（3，-1）且被点A平分的弦MN所在的直线方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁______ ______ 80年龄大于50岁10______ ______合计______ 70100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：，n=a+b+c+d，P（K2＞k）0.1000.0500.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.63519.在平面xOy中，已知椭圆过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．20.已知函数f(x)=x2+a ln x．（1）当a=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若g(x)=f(x)+在上是单调增函数，求实数a的取值范围．21.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求其共轭复数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．【解答】解：∵=，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选B．2.【答案】A【解析】解：集合A={x|x＜2}，B={x|x2-5x+6＜0，x∈Z}={x|2＜x＜3，x∈Z}=∅，则A∩B=∅，其中元素的个数为0．故选：A．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．4.【答案】A【解析】解：当x=2时，f（2）==ln3＞0，故排除C，当x=时，f（）==4ln＞0，故排除D，当x→+∞时，f（x）→0，故排除B，故选：A．根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的特点，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由于=-，则n=1，S=-1；n=2，S=-+-1=-1；n=3，S=2-+-+-1=2-1；…n=2016，S=-1；n=2017，S=-1.2017＞2016，此时不再循环，则输出S=-1．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可．本题考查了根据几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目．解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S三棱柱=2××2×1+2×2+2×2+2×2=6+8．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质，双曲线的渐近线方程及其性质，属于中档题. 【解答】解：已知抛物线方程为，则2p=4，解得p=2，则F(1,0)，抛物线准线方程为x=-1，设AB与x轴交点为M，则|MF|=2，双曲线：的渐近线方程为：，将x=-1代入到，解得，则，又△ABF为等边三角形，则，则，则，则，解得.故选D.8.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）满足f（2-x）+f（x-2）=0，∴f（2-x）=-f（x-2），∴f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，又f（x）满足f（x）=f（4-x），∴f（x）=f（x-4），∴f（x+8）=f（x+8-4）=f（x+4）=f（x+4-4）=f （x），∴函数为周期函数，周期T=8，∴f（2014）=f（251×8+6）=f（6），又f（6）=f（6-8）=f（-2）=-f（2）=-1，故选：A．先由条件f（2-x）+f（x-2）=0推出f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），故函数f（x）为奇函数，再由条件f（x）=f（4-x）推出函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，将条件进行转化即可得到结论．本题主要考查了抽象函数及其应用，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值，属于中档题．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+•-=sin（2x+），将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）=sin（2x-+）+1=sin2x+1的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=a对称，再根据g（x）的周期为=π，可得=1，故选B．10.【答案】C【解析】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=，可得：-1+lnx=0，可得：x=e；3x+4=0可得x=-．函数的零点为：2个．故选：B．利用分段函数，分别为0，然后求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，考查计算能力．12.【答案】B【解析】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a-15=0，解得a=3，a=-5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A 点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．13.【答案】-4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，由，得A（-2，-1）此时z=-2+2×（-1）=-4．故答案为：-4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.【答案】-1【解析】解：角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），∴cosθ=，sinθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=2cos2θ-1=-，则cos（2θ+）=cos2θ-sin2θ=--=-1，故答案为：-1．利用任意角的三角函数的定义求得cosθ 和sinθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ和cos2θ的值，再利用两角和的余弦公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．由已知数列递推式可得数列{}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，求其通项公式后，利用a n=S n-S n-1求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由a n+1=S n•S n+1，得：S n+1-S n=S n•S n+1，即，∴数列{}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，则，∴．∴当n≥2时，．n=1时上式不成立，∴．故答案为：．16.【答案】3x+4y-5=0【解析】【分析】设两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．【解答】解：设两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）所以x12-4y12=4，，两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1+y2)(y1-y2)，又=3，=-1，∴=-，所以直线的方程为y+1=-（x-3），即3x+4y-5=0．由点A（3，-1）在双曲线内部，直线方程满足题意．∴MN所在直线的方程是3x+4y-5=0．故答案为：3x+4y-5=0．17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin（π-（A+B））=sin C2cos C sinC=sin C∴cos C=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.【答案】解：（1）20；60；10；20；30.（2），所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是．【解析】本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．支持不支持合计年龄不大于50岁20 60 80年龄大于50岁10 10 20合计30 70 100（2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．19.【答案】解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率．可得：，解得a=2，c=，则b=，椭圆方程为：；（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组整理得：x2+2mx+2m2-4=0，x1+x2=-2m，-4，直线与椭圆要有两个交点，所以,即：，利用弦长公式得：，由点线距离公式得到P到l的距离．S=|AB|•d=•=≤=2．当且仅当m2=2，即时取到最大值，最大值为：2．【解析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+a ln x，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，=．当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）-0+f（x）递减极小值递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．（Ⅱ）由g（x）=x2+a ln x+，得．若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-+≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥在[1，+∞）上恒成立．令φ（x）=，则φ′（x）=-．当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=--4x＜0，∴φ（x）=在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）max=φ（1）=0．∴a≥0．∴a的取值范围为[0，+∞）．【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得，令φ（x）=，则φ′（x）=-．由此利用导数性质能求出a的取值范围．21.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，得y2=16x即直线l的普通方程为y=2x+1，曲线C的直角坐标方程为y2=16x；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，得，，，．即的值为.【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值．。
2019东城区高三一模文科数学试卷及答案
东城区2019年综合练习（一）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z 满足(1i)2z -=，则z 等于（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）命题“0x ∃∈R ，20log 0x ≤”的否定为（A ）0x ∃∈R ，20log 0x > （B ）0x ∃∈R ，20log 0x ≥ （C ）x ∀∈R ，2log 0x ≥ （D ）x ∀∈R ，2log 0x >（3）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ） （C ） （D ）（4）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； ②若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；③若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面；④若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面． 其中为真命题的是（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）②和④（5）已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示，则点P (),ωϕ的坐标为（A ）(2,3π （B ）(2,6π（C ）1(,23π （D ）1(,26π（6）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（A ）5n ≤ （B ）6n ≤ （C ）7n ≤ （D ）8n ≤（7）已知函数131()()2xf x x =-，那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为（A ）1(0,)3 （B ）11(,)32（C ）1(,1)2（D ）(1,2)（8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离．平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 （A ）3 （B ）323- （C ）36- （D ）33-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。