第3章光学谐振腔与激光模式

2L 1 3 2m 1 D
D m 2 L
1 L 2m 2D
例：
对于一个口径D 1cm,腔长L 1


2D L
2
2 10 rad
-6
（2）衍射损耗
即
r1
1
r1
r2
r2
2
z
r2 Ar1 B1 z1 z2 2 Cr1 D1 A B 矩阵 C D 就是该光学系统的光线 变换矩阵 , 描述
光学系统
入射光线经过光学系统 后引起的坐标变化。
1) 均匀介质层的光线变换 矩阵 r1 r2 设光线 传输距离L后，成为光线 1 2
t
R
I (t ) n(t )h
dn(t ) n0 exp( t
n(t ) n0 exp(
t
R
)
R
R
)dt
1 t dn(t ) t n0

1 n0 t t exp( )dt t R n0 0 R R
3.3.3 无源腔的品质因数——Q值
I m I 0e2m
t m 2L c
L 其中： R c
m次往返所需时间t：
2mL t c
t
I t I 0 e
当t=τR时，
R
I t I 0e1
τR为光子在腔内的平均寿命

设t时刻腔内光子数密度为n(t)，n0表示t=0时 刻光子数密度
I t I 0 e
2L

2
2L

2 q
2 L 谐振波长： q q
c c q 谐振频率： vq q 2 L 2L
3.2.2 纵模
q通常非常大（纵模的序数）
c c 两个相邻纵模频率差： vq vq 1 vq 2 L 2L
Δvq与q无关，对一定的腔为一常数
看P36例题
3.2.3 横模
总结：
（1）纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只 有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布； （2）不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但 不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率 的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易 从光斑图形来区分。
问题1：什么是稳定腔？ 光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸出腔外的
谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。
问题2：什么是非稳腔？ 光线在谐振腔内往返有限次即横向逸出腔外的谐振腔 称为非稳定谐振腔，简称非稳腔。
3.4.1 腔内光线往返传播的矩阵表示
1.光线矩阵
一条近轴光线可以用r、 两个参数表示： 其中 r：光线离轴线的距离
3.3 光学谐振腔的损耗
光腔损耗大小决定了激光振荡阈值，达到稳定振荡状态腔内光腔，以及 激光输出能量
3.3.1 光腔的损耗 1、损耗的种类
（1）几何损耗
选择性损耗
与模式有关
（2）衍射损耗
（3）射出腔镜的透射损耗
非选择性损耗 与模式无关
（4）非激活吸收损耗、散射损耗
2、平均单程损耗因子
I1
I1 I 0 e
得：
L L L2 0 1 1 R1 R2 R1R2 L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
L g1 1 R 1 g2 1 L R2
1 1 T r ln r 1 r 2 2 2
（4）吸收损耗
吸收系数： a
dI Idz
I z I 0 e
I1 I 0 e 2al
az
光在腔内往返一次：
单程损耗因子：
吸 al
3.3.2 光子在腔内的平均寿命
I1 I 0e
2
m次往返

入射角 反射角
1 2
1
2

（r2 , 2 )
r1 2 2 1 2 1 R 0 1 TR 2 1 R
R
符号规则：凹面镜R取 凸面镜R取
3）薄透镜的光线变换矩阵Tf
由
r2 r1 r1 2 1 f
L 2L 2L(1 ) 1 R2 r5 R2 r1 2 2 2 L 2 L 2 L 2 L 5 [ (1 )] [ (1 )(1 )] 1 R R R R R R 1 2 1 1 1 2
2
I0
δ为单程损耗因子：
1 I0 ln 2 I1
如果是多因素引起的损耗：

i
i
1 2 3
I1 I 0e21 e2 2 e23 I 0e2
3、损耗举例
（1）腔镜倾斜引起的几何损耗
L 2 L 6 L 22m 1 D
2）腔给定，模式确定
3.2.1 驻波与谐振频率
形成稳定振荡条件：入射光与反射光满足相长干涉 两束光的相位差：
2q
q为整数
2
2 L

L L
L dL z dz
L 0
有多种介质
L i Li
i
非均匀分布的介质
2
衍射光斑的第一极小值： 1.22

2a
0.61

a
L a 2 a 2 2L 2L 0.61 1.22 L d 2 2 2 a a a a / L a L a
d d
L
a
2
a2 设： N L
1 得： d N
N为腔的菲涅耳数：从一面镜子的中心看到另一面镜 子上可划分的菲涅耳半波带数。
（3）透射损耗
I1 I 0 r1r2 I 0 e
1 r ln r1 r2 2
当r1≈1，r2≈1时
2 r
1 r 1 r1 1 r2 2
对于实际激光器而言，r1=1，r2=r≈1，即T<<1，所以
则有 r2 r1 L1 2 1 光线变换矩阵为 1 TL 0 L 1
(r2 , 2 ) (r1,1 )
2
1
r1
L
r2
2) 球面反射镜的光线变换 矩阵 TR r1 r2 设光线 经过球面反射镜反射后 的光线为 1 2 则有 r2 r1 （r1,1 )
可得薄透镜对傍轴光线的 变换矩阵为
0 1 Tf 1 f 1
符号规则：会聚 f 取
发散 f 取
3.光线在腔内往返传播的矩阵
r2 1 L r1 0 1 ＝ 1 2
r4 1 L r3 0 1 ＝ 3 4
若光线在腔内经n次往返，其参数的变换关系：
r rn r1 n 1 ＝ TTT T T 1 1 n n个T
由薛尔凡斯特定理可知
A B n T C D Bsinn 1 A sin n sin(n 1) C sin n Dsinn sin(n 1) sin An Bn C D n n 1 式中 arccos ( A D) 2

：光线与光轴的夹角
符号规则：出射方向在光轴上方取
出射方向在光轴下方取
r
r符号规则：在光轴上方取 在光轴下方取
r 一条近轴光线可以用列 矩阵表示，为 ＃说明： 近轴满足 sin tg
2.光线变换矩阵
若一条入射光线 r1 ,1 ，经过一个光学系统后 ，变成 A B 出射光线 r2 , 2 ，则可用矩阵 C D 描述光学系统对光线 的变换作用 r2 A B r1 C D 1 2
Q 2

P
：储存在腔内的总能量； P：单位时间内损耗的能量
nhV
d P dt
n(t ) n0 exp( t
L Q 2 R 2 c
)
R
腔的品质因数表示光腔的储能与损耗的特征。Q值大，表示光腔 的储能好，损耗小，腔内光子寿命长。
请看书上的例题！
3.4 光学谐振腔的稳定性条件
0 1 r2 r3 ＝ 2 1 3 R 2 1
0 1 r4 r5 ＝ 2 1 5 R 4 1
光线在腔内往返传播一 次后： 0 0 1 1 1 L 1 L r1 r5 0 1 2 1 0 1 ＝ 2 1 R 1 5 R 2 1
第3章 光学谐振腔与激光模式
研究方法：
1. 几何光学分析方法；
2、矩阵光学分析方法；
3、波动光学分析方法
1. 几何光学分析方法； 出 发 点：将光看成光线用几何光学方法来处理 应用条件：几何损耗远大于衍射损耗 优 点：简便、直观 缺 点：得不到腔的衍射损耗；不能深入分析腔模特性 2、矩阵光学分析方法； 出 发 点：使用矩阵代数的方法研究光学问题，将几何光线和激光 束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写。 应用范围：推导出谐振腔的稳定性条件 优 点：处理问题简明、规范，易于用计算机求解 3、波动光学分析方法 出 发 点：波动光学的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分理论，建立一个描 述光学谐振腔模式特性的本征积分方程 应用范围：求任意光腔的模式，得到场的振幅、相位分布，谐振频率 以及衍射损耗等腔模特性 优 点：是一种比较普遍和严格的理论