(精选)光学谐振腔理论
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第二章 光学谐振腔基本理论
第二章光学谐振腔基本概念 (1)2.1光学谐振腔 (1)2.2非稳定谐振腔及特点 (1)2.3光学谐振腔的损耗 (2)2.4减小无源稳定腔损耗的途径 (2)反射镜面的种类对损耗的影响 (2)腔的结构不同，损耗不同 (2)第二章光学谐振腔基本概念2.1光学谐振腔光学谐振腔是激光器的基本组成部分之一，是用来加强输出激光的亮度，调节和选定激光的波长和方向的装置。
光线在两镜间来回不断反射的腔叫光学谐振腔。
由平面镜、凹面镜、凸面镜的任何两块镜的组合，构成各类型光学谐振腔。
光学谐振腔的分类方式很多。
按照工作物质的状态可分为有源腔和无源腔。
虽有工作物质，但未被激发从而无放大作用的谐振腔称之为无源谐振腔；而有源腔则是指经过激发有放大作用的谐振腔。
2.2非稳定谐振腔及特点非稳定谐振腔的反射镜可以由两个球面镜构成也可由一个球面镜和一个平面镜组合而成。
若R1和R2为两反射镜曲率半径，L为两镜间距离，对于非稳腔则g1，g2：满足g1*g2<O或g1*g2>l 非稳腔中光在谐振腔内经有限次往返后就会逸出腔外，也就是存在着固有的光能量可以横向逸出而损耗掉，所以腔的损耗很大。
在高功率激光器中，为了获得尽可能大的模体积和好的横模鉴别能力，以实现高功率单模运转，稳定腔不能满足这些要求，而非稳腔是最合适的。
与稳定腔相比，非稳腔有如下几个突出优点：1．大的可控模体积在非稳腔中，基模在反射镜上的振幅分布式均匀的，它不仅充满反射镜，而且不可避免地要向外扩展。
非稳腔的损耗与镜的大小无关，这一点是重要的，因此，只要把反射镜扩大到所需的尺寸，总能使模大致充满激光工作物质。
这样即使在腔长很短时也可得到足够大的模体积，故特别适用于高功率激光器的腔型。
2．可控的衍射耦合输出一般稳定球面腔是用部分透射镜作为输出耦合镜使用的，但对非稳腔来说，以反射镜面边缘射出去的部分可作为有用损耗，即从腔中提取有用衍射输出。
3．容易鉴别和控制横模对于非稳腔系统，在几何光学近似下，腔内只存在一组球面波型或球面一平面波型，故可在腔的一端获得单一球面波型或单一平面波型(即基模)，从而可提高输出光束的定向性和亮度。
光学谐振腔
稳定性分析
重点： • 几何光学近似(近轴光线) • 传播矩阵 • 腔内光束的传播矩阵 • 腔稳定性条件 • 典型介稳腔 难点： • 光学元件与传播矩阵的等价 • 非稳腔的共轭像点
稳定性分析
一、光束的传播矩阵表示
旁轴光线满足
r(z1)
r'(z) dr(z) tan sin dz
c
2L
腔镜反射率高，损耗小，腔内光子寿命长，线宽R窄
光学谐振腔的描述参量
损耗描述参数
d vR
Q
R
R
Q
2
d di
i
1
1
Q i Qi
1
1
R i Ri
R
L'
dc
Q 2 L'
dC
vR
Q 2R
1 R 2 R
v Ri
研究谐振腔的目的正确设计和使用输出光束特性达到要求研究方法几何光学理论波动光学衍射理论场振幅相位分布谐振频率衍射损耗光腔稳定性条件本征积分方程光腔的模参数光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态从光子的观点来看腔内可能区分的光子状态腔的模式激光的模式光学谐振腔理论就是激光模式理论一构成和分类固体介质波导腔半导体光纤常用开放式谐振腔气体空心波导腔气体激光器平行平面腔fp腔两个共轴球面镜折叠腔环形腔复合腔等常用谐振腔激光器中常见的谐振腔形式平行平面腔双凹球面镜腔反哺维持振荡遗传前振荡特征1提供光学正反馈影响反馈的因素
q
相邻纵模的波长差还是常量吗？
光学谐振腔的描述参量
q
2 L
q
,
q
q
c
2 L
q
光学谐振腔理论
3
二、腔的模式
腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一 系列分立的本征态 腔内电磁场的本征态 因此： 腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态） 麦克斯韦方程组
腔的边界条件
4
模的基本特征主要包括： 1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的场分布 （横模）和纵向场分布（纵模）； 2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。 腔的参数唯一确定模的基本特征。
19
f2
薄透镜与球面反射镜等效
f1
r0 , 0
1
f2
2
f1
3 r1 , 1
f2
f1
f2
f1
L 往返周期 单位
R1 f1 2
R2 f2 2
r0 r1 11 0 1 L 11 0 1 L r0 A B r0 C D T 1 0 1 1 0 1 f2 0 0 1 f1 0
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征 傍轴光线 ：光传播方向与腔轴线夹角 非常小，此时可认为 sin tan
5
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
E0 E1 E2
E0-
:光波在腔内往返一次的相位 滞后 2kL :光波在腔内往返一次的电场变 化率（=12）
第二章 光学谐振腔理论
第一节 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔 最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片 平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔） 共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成 i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以认为没有 侧面边界 （气体激光器）
二、腔的模式
腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一 系列分立的本征态 腔内电磁场的本征态 因此： 腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态） 麦克斯韦方程组
腔的边界条件
4
模的基本特征主要包括： 1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的场分布 （横模）和纵向场分布（纵模）； 2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。 腔的参数唯一确定模的基本特征。
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f2
薄透镜与球面反射镜等效
f1
r0 , 0
1
f2
2
f1
3 r1 , 1
f2
f1
f2
f1
L 往返周期 单位
R1 f1 2
R2 f2 2
r0 r1 11 0 1 L 11 0 1 L r0 A B r0 C D T 1 0 1 1 0 1 f2 0 0 1 f1 0
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征 傍轴光线 ：光传播方向与腔轴线夹角 非常小，此时可认为 sin tan
5
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
E0 E1 E2
E0-
:光波在腔内往返一次的相位 滞后 2kL :光波在腔内往返一次的电场变 化率（=12）
第二章 光学谐振腔理论
第一节 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔 最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片 平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔） 共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成 i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以认为没有 侧面边界 （气体激光器）
第2章 光学谐振腔理论
/
I (z) I I1 I
0
0
e
z
e
2 l
吸 l
2.2.2、光子在腔内的平均寿命 • 光在腔内通过单位距离后光强衰减的百分数
dI Idz I1 I 0 I0 2L
/
L
/
• 在谐振腔内
dI Idt
dz c dt
/
c
L
/
c
L
/
⑵衍射损耗
a
2
L
取决于腔的菲涅耳数、腔的几何参数和横模阶次
⑶输出腔镜的透射损耗
取决于输出镜的透过率
⑷非激活吸收、散射等其他损耗
描述 单程损耗因子 • 定义:光在腔内单程渡越时光强的平均衰减百分数
2 I 0 I1 I0
I 0 I1 2I0
指数定义形式
I1 I 0e
0
I 1 I 0 r1 r2
/
1 2
ln
I
0
I1
r
1 2
ln r1 r2
当 r 1=1,T <<1(r2= r ≈1)
r
1 2 ln r 1 2 (1 r ) T 2
四、吸收损耗
介质对光的吸收作用
通过单位长度介质后光强衰减的百分数
dI
I I dI Idz
2
D D
2L 1 2m
L
2D
二、衍射损耗
平腔内的往返传播,等效孔阑传输线中的单向传播 当光波穿过第一个圆孔向第2个圆孔传播时,由于衍 射的作用一部分光将偏离原来的传播方向,射到第2 个圆孔之外,造成光能的损失 假设中央亮斑内的光强是均匀的 孔外面积与中央亮斑总面积的比
第5章光学谐振腔的基本理论
B sin n
sin
D sin n sin (n 1)
sin
arccos
1 2
(A
D)
1、值是实数（-1<cos<1）时, Tn各元素有界谐
振腔为稳定腔。 2、值有虚部时（-1>cos或者cos>1），旁轴 光线往返有限次后便会逸出谐振腔，谐振腔为非
稳腔。
3、值等于0或者π(cos=±1)，Tn各项元素的值
38
§3 谐振腔的衍射理论基础
激光器中所使用的谐振腔是一种开腔， 在这种没有侧面边界的区域内是否存在电磁 场的本征态，即不随时间而变化的稳态场分 布?如何求出这种场分布?这些问题需要用谐 振腔的衍射理论来解决。本节首先给出理想 开腔的模型——孔阑传输线，在此基础上引 入稳态场分布——自再现模的概念。
T
2 R1
10
1 0
L 1
1 2
R2
10
1 0
L 1
1 L 1 L
2 R1
1
2L R1
2 R2
1
2L R2
2L
1 R2
2 R1
2 R2
4L R1R2
2L2
2L R1
2L R2
(1 2L )(1 R1
2L R2
)
=
A C
B
D
15
A
1
2L R2
2(1
L R2
)
1
2g2
1
2L2
L
B 2L R2 2L(1 R2 ) 2Lg2
4L 2 2 2 L L 2L2
C
( )
R1R2 R1 R2
L R1 R2 R1R2
2 光学谐振腔理论
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、
Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时，
谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
I1 I 0r1r2e
因此：
2a
I 0e
2
(2.2.12)
(2.2.13)
1 当r11,r2 1时有： a 2 1 r1 1 r2
1 a ln r1r2 2
2. 腔内光子平均寿命 R
I (t ) I 0e
t R
N (t )hv
D sin n sinn 1
B sin n
n次往返后的光 线坐标有
1 arccos A D 2
(2.2.4)
rn1 An r1 Bn1
n1 Cn r1 Dn1
(2.2.2)
2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而
(2.2.1)
• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论 • n次往返矩阵
An Tn Cn
Bn Dn
(2.2.3)
1 A sin n sinn 1 C sin n sin
1 I0 i r d t ln 2 I1
光学谐振腔
4
Emax 2E0
E0
(b) 驻波频率等于原平面波的频率，都是 ，可以连续取值
2.平平腔中的驻波
镜面为驻波节点，其面上有一个相位的突变
et
,
z
2E0
s
in
2z
c
os2
t
当 sin 2z 0
2L q
Lq
2
q
c 2nL
q
驻波频率
q
c 2nL
开腔模的一般物理概念
在经过足够多次的渡越以后，能形成这样一种稳态场：其 分布不再受衍射的影响，它在腔内往返一次后能够再现出 发时的场分布。
将在开腔镜面上的，经一次往返能再现的稳态场分布称为 开腔的自再现模或横模。其特点是： 场的形状再现（一次渡越后分布状态相同） 振幅相差一固定因子 有一固定的相位差
4. 激光纵模的频率漂移问题
频率漂移：振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象
q
q
c 2nL
dq
qc 2
1 L
dn n2
1 n
dL
L2
dq dL dn
q
Ln
§3.3 平行平面腔模的迭代法
衍射对开腔场分布的影响
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射 将起主要作用。衍射效应是决定开腔模式形成的主 要因素。
ch03 光学谐振腔-1
光学谐振腔的模式理论
1、几何理论 2、波动光学理论 3、菲涅尔-基尔霍夫衍共轴球面腔的稳定性条件
一 、稳定性条件
双周期透镜波导
0
1
L 2 f1
1
Emax 2E0
E0
(b) 驻波频率等于原平面波的频率，都是 ，可以连续取值
2.平平腔中的驻波
镜面为驻波节点，其面上有一个相位的突变
et
,
z
2E0
s
in
2z
c
os2
t
当 sin 2z 0
2L q
Lq
2
q
c 2nL
q
驻波频率
q
c 2nL
开腔模的一般物理概念
在经过足够多次的渡越以后，能形成这样一种稳态场：其 分布不再受衍射的影响，它在腔内往返一次后能够再现出 发时的场分布。
将在开腔镜面上的，经一次往返能再现的稳态场分布称为 开腔的自再现模或横模。其特点是： 场的形状再现（一次渡越后分布状态相同） 振幅相差一固定因子 有一固定的相位差
4. 激光纵模的频率漂移问题
频率漂移：振荡频率随外界环境变化而发生缓慢变化的现象
q
q
c 2nL
dq
qc 2
1 L
dn n2
1 n
dL
L2
dq dL dn
q
Ln
§3.3 平行平面腔模的迭代法
衍射对开腔场分布的影响
在决定开腔中激光振荡能量的空间分布方面，衍射 将起主要作用。衍射效应是决定开腔模式形成的主 要因素。
ch03 光学谐振腔-1
光学谐振腔的模式理论
1、几何理论 2、波动光学理论 3、菲涅尔-基尔霍夫衍共轴球面腔的稳定性条件
一 、稳定性条件
双周期透镜波导
0
1
L 2 f1
1
光学谐振腔理论
光学谐振腔理论
目录
• 光学谐振腔的基本概念 • 光学谐振腔的原理 • 光学谐振腔的设计与优化 • 光学谐振腔的实验研究 • 光学谐振腔的发展趋势与展望
01 光学谐振腔的基本概念
定义与特性
定义
光学谐振腔是由两个反射镜或一个反 射镜和一个半透镜构成的封闭空间， 用于限制光波的传播方向和模式。
特性
具有高反射率和低损耗的特性，能够 使光波在腔内多次反射并形成共振， 从而增强光波的强度和相干性。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到 障碍物时，光波发生弯曲绕过障碍物 的现象。
光学谐振腔的共振条件
光学谐振腔是一种具有特定边界条件的封闭空间，光波在其中传播时会形成共振 现象。
光学谐振腔的共振条件是光波在腔内传播的相位差为2π的整数倍，即光波在腔内来 回反射的相位相同。
光学谐振腔的品质因数
品质因数（Q值）是衡量光学谐振腔性能的重要参数，表示 光波在腔内振荡的次数与能量损耗的比值。
振动稳定性分析
分析谐振腔在振动情况下的稳定性，确保其性能不受 振动影响。
老化稳定性分析
评估光学谐振腔在使用过程中的性能变化，确保其长 期稳定性。
04 光学谐振腔的实验研究
实验设备与环境
高精度光学元件
如反射镜、透镜、分束器等，用于构建光学谐振腔。
激光器
作为光源，提供单色光束。
光谱仪和探测器
用于测量光束的波长和强度。
实验得到的共振光谱与理论预测相符， 验证了理论模型的正确性。
品质因子
通过实验测量了光学谐振腔的品质因 子，与理论计算值进行比较。
腔损耗
实验分析了光学谐振腔的腔损耗，包 括反射镜的反射率、透镜的透射率等 因素。
稳定性分析
实验研究了光学谐振腔在不同环境条 件下的稳定性，如温度、振动等。
目录
• 光学谐振腔的基本概念 • 光学谐振腔的原理 • 光学谐振腔的设计与优化 • 光学谐振腔的实验研究 • 光学谐振腔的发展趋势与展望
01 光学谐振腔的基本概念
定义与特性
定义
光学谐振腔是由两个反射镜或一个反 射镜和一个半透镜构成的封闭空间， 用于限制光波的传播方向和模式。
特性
具有高反射率和低损耗的特性，能够 使光波在腔内多次反射并形成共振， 从而增强光波的强度和相干性。
光的衍射是指光波在传播过程中遇到 障碍物时，光波发生弯曲绕过障碍物 的现象。
光学谐振腔的共振条件
光学谐振腔是一种具有特定边界条件的封闭空间，光波在其中传播时会形成共振 现象。
光学谐振腔的共振条件是光波在腔内传播的相位差为2π的整数倍，即光波在腔内来 回反射的相位相同。
光学谐振腔的品质因数
品质因数（Q值）是衡量光学谐振腔性能的重要参数，表示 光波在腔内振荡的次数与能量损耗的比值。
振动稳定性分析
分析谐振腔在振动情况下的稳定性，确保其性能不受 振动影响。
老化稳定性分析
评估光学谐振腔在使用过程中的性能变化，确保其长 期稳定性。
04 光学谐振腔的实验研究
实验设备与环境
高精度光学元件
如反射镜、透镜、分束器等，用于构建光学谐振腔。
激光器
作为光源，提供单色光束。
光谱仪和探测器
用于测量光束的波长和强度。
实验得到的共振光谱与理论预测相符， 验证了理论模型的正确性。
品质因子
通过实验测量了光学谐振腔的品质因 子，与理论计算值进行比较。
腔损耗
实验分析了光学谐振腔的腔损耗，包 括反射镜的反射率、透镜的透射率等 因素。
稳定性分析
实验研究了光学谐振腔在不同环境条 件下的稳定性，如温度、振动等。
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(2.2.4) (2.2.2)
8
2 .2.2 光学谐振腔的 稳定性条件
• 如果光线在共轴球面谐振腔内能够往返任意次而 不横向逸出腔外，这样的谐振腔我们就称为稳定 谐振腔，简称稳定腔。否则就称为非稳腔。
• 只要n次往返矩阵Tn的元素An、Bn、Cn、Dn对于
任意大的n值均保持为有限大小．就可以认为这样 的谐振腔就是稳定腔。
5
r1
•
设光线从M1反射镜出发，坐标为1
L T1
r2
2
r2 r1 T1
M2反射
r3
T2
r2
T2T1
r1
2 1 T2 3 2
1 6
第2章谐振腔理论
2.1 光学谐振腔本征模式的概念 2.1.1 本征模式与自再现变换
•本征模式是所研究谐振腔中能够存在的、不随时间改 变的、具有特定的场振幅分布的电磁场。
•不同的谐振腔有不同的本征模式。
•相位条件：驻波条件（往返一周其相位的增加为2π的 整数倍）
•振幅条件：本征模式的场振幅分布不变（往返渡越后
仍能再现的稳态光场分布为自再现模）。
1
• 本征模式在腔内往返一周所受到的作用，是自再 现变换
• 讨论的谐振腔是开腔。 • 几何理论：是以光学变换矩阵为基础，讨论谐振
腔的稳定性条件； • 衍射理论的主要内容则是从菲涅耳—基尔霍夫衍
射积分公式出发，建立起谐振腔自再现模所满足 的积分方程、通过求解积分方程讨论各类谐振腔 的模式特点。
样一来，傍轴光线在腔内往返有限次后便可逸出腔外。
10
• 由上述分析可知，φ值为实数且不等于0或π时， 谐振腔为稳定腔。φ值有虚部时，谐振腔为非稳 腔。φ等于0或π时，谐振腔是临界腔。由φ的计 算公式(2.2.4)不难得出上述结论的数学描述：
稳定腔
1 1 A D1
2
(2.2.5)
非稳定腔
1 A D 1或 1 A D 1
2
2
临界腔
1 A D 1或 1 A D 1
2
2
11
为了得到稳定性条件 的更为简明的形式， 引入谐振腔的下述几 何参数
g1 g2
1 1
L
R1 L
R2
凹面R取正， 凸面R取负
(2.2.8)
9
一、稳定性条件
• φ值为实数。cosφ的值随n的增大只能在+1与-1之间变
化，从而使An、Bn、Cn、Dn的数值以及rn+1与θn+1的
数值随n的增大也只能发生振荡式的变化. • 只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证近轴
光线能在腔内往返无限多次而不会从侧面横向逸出。
• 反之，若φ值不是实数，由于有虚部，必然导致An、 Bn、Cn、Dn以及rn+1与θn+1的值都随n增大而增大。这
• (2.2.1)式给出的A、B、C、D表达式是光线由M1从 出发往返一周而计算出来的。如果令光线由M2出 发往返一周，则T矩阵的各元素具体表达形式将有 所不同。
• 但可以证明，对于一定几何结构的共轴球面腔来说， (A十D)则是一个不变量，与光线的往返行进次序无 关。因此，上述讨论的共轴球面腔各稳定性条件都 是普遍适用的。
B
2 L1
L R2
C
4L R1R2
2
1 R1
1 R2
(2.2.1)
D
1
2L R1
1
2L R2
2L R1
7
• 如果光线在球面谐振腔内往返n次，则它的光学变 换短阵就应该是往返矩阵T的n次方，按照矩阵理 论
• 光线在腔内往返一周的总的变换矩阵应是
1
T
T4T3T2T1
2
R1
10 10
L
1
1 2 R210 10源自L 1 A B
C D
式中 Rl、R2分 别为M1与M2的 曲率半径。
A 1 2L R2
共轴球面谐振腔的稳定性条件可叙述如下，当
稳定腔 0 g1g2 1
非稳定腔 g1g2 1或g1g2 0
(2.2.7)
临界腔 g1g2 1或g1g2 0
12
• 从上边的稳定性条件推导过程可以看出，往返矩阵 T和n次往返矩阵Tn均与光线的初始坐标参数无关， 但可能与光线的往返行进次序有关。
q
c
2L
（2.1.6)
相邻横模的频率 间隔为：
ml
c
2
L
arctan
z2 z0
arctan z1 z0
（2.1.8)4
2.2 谐振腔的特点
2.2.1 谐振腔往返一周的变换矩阵
• 球面反射镜的光学变换矩阵为：
1 0
2
1
R
对凸面镜．只要R取负即可。对平面反射 镜，R取∞。
2kL 2m l
1 arctan
z2 z0
arctan
z1 z0
2q
k 2 2
c
（2.1.3)
3
mlq
q
c
2L
c
2 L
m l
1 arctan
z2 z0
arctan
z1 z0
（2.1.5)
• 与正整数q有关的模式称为谐振腔的纵模。 • 与正整数m、l有关的模式称为谐振腔的横模。 • 相邻纵模的频率间隔为：
• n次往返矩阵
T
n
An
Bn
(2.2.3)
Cn Dn
1
sin
Asin n
C
sinn
sin n
1
B sin n
D sin n sinn 1
n次往返后的光 线坐标有
arccos 1 A D
2
rn1 Anr1 Bn1 n1 Cnr1 Dn1
2
2.1.2 稳定谐振腔本征模式的 横模与纵模
E
E0
0 z
H
m
2x z
H
l
2y
z
i e
[
kz
kr2
2qz
m
l
1arctan
z z0
]
（2.1.1)
• 为在腔内形成稳定的振荡，要求光波因干涉而得到 加强，即光波在腔内往返一周的总相移应等于2的 整数倍
13
稳区图
• 1—平行平面腔； • 2—半共焦腔； • 3—半共心腔 • 4—对称共焦腔 • 5—对称共心腔