第三章光学谐振腔与高斯光束
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激光原理第三章
r2 z exp ) 2 2 w z exp i kz (1 m n) arct an( w0 kr exp[i ] 2 R( z )
2
（3-1-24)
式中 cmn 中
是归一化常数。当m0,n=0时，上式退化为基模高斯光束的表达式（3-1-21），式
欲使该式对 x 和 y 的任何值都成立,要求x和y同次幂的系数之和分别等于零. 结果可 得下列两个简单的常微分方程:
2
2
dq( z ) 1 dz dP( z ) i q( z ) dz
由（3-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论 它的解及其含义。它的解很简单：
(3-1-6)
H
2x m w( z )
Hn
2y w( z )
和
分别为m阶和n阶厄米多项式。
1、垂直于光轴的横截面上的厄米－高斯分布 高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函 数的乘积决定：
r 2x 2y exp H [ ] H [ ] m n 2 w z w( z ) w( z )
与轴线交于z点的等相平面 上的光斑半径
z z wz w0 1 w2 w0 1 z 0 0
2
2
R ( z ) z (1
w
z0 2 ) z[1 ( ) ] z z
与轴线相交于z点的高斯光 束等相位面的曲率半径 基模光束腰 斑半径
kr 0 ( z 0) exp( ) exp[ip( z 0)] 2 z0
2
将（3-1-9）式代入 （3-1-4）式 , 并令 z=0, 得 z=0 处基模的振幅分布:
第三章 光学谐振腔
L R1 L 2 L R1 R2
f2
L R1 L R2 L R1 R2 L 2 L R1 R2 2
L Rห้องสมุดไป่ตู้2 R2 L W1 L R1 L R1 R2 L W2 W0
/ rad 0.564
0.564
共焦腔He Ne激光器，波长 0.6328 m，腔长L 3cm，计算其远场发散角。
/ rad 0.564
f
0.564
2 1.15 10 3 rad L
a.当z 0时，Rz ; 束腰处的等相位面为平 面，曲率中心在无穷远 处；
2 2 远场发散角： 2 0 2 W0 L
准直距离z f处：WS 2W0
3.2 共焦光学谐振腔中基模的分布
一、基模高斯光束的基本性质
r2 r2 A0 z E00 x , y , z e xp 2 e xp ik z i arctan W z f W z 2 R z
与几何光学不同面上的光斑尺寸为入射光束在透镜前焦其中尺寸为透镜后焦面上的光斑其中根据光线可逆性原理与入射光束的形式无关的大小有关的大小只与光束经过透镜变换后入射光束的远场发散角三高斯光束的聚焦0102越小聚焦效果越好越大作用就能实现一定的聚焦只要满足1
第三章 光学谐振腔
3.1 共焦腔中的光束特性 3.2 共焦光学谐振腔中基模的分布
2 2 2 dW z 2z W0 2 2 2 z dz W0
1 2
W z 2W0
例：共焦腔CO2激光器，波长 10.6m，腔长L 1m，计算其远场发散角。
光学谐振腔理论-第8节-高斯光束的传输
05 高斯光束的未来发展与应 用
高斯光束在光学通信中的应用
高速光通信
高斯光束在光学通信中具有较高的传输速度和较低的信号衰减，有助于实现高 速、大容量的光通信系统。
远程通信
高斯光束具有较好的光束质量和传输稳定性，适用于长距离的光纤通信，有助 于实现远程、稳定的通信连接。
高斯光束在光学传感中的应用
03 高斯光束的调制与控制
高斯光束的相位调制
01
相位调制是指通过改变高斯光束的相位分布来改变其波前的状 态。
02
常见的相位调制方法包括利用液晶空间光调制器、光栅或其他
光学元件对高斯光束进行相位调制。
相位调制在光学通信、光学传感和光学计算等领域有广泛应用，
03
可以实现光束的聚焦、散焦、波形转换等功能。
高斯光束的波前测量
波前测量概述
波前是描述光束相位变化的物理量，高斯光束的波前测量有助于 了解光束的传播特性和干涉、衍射等光学现象。
波前测量方法
常用的波前测量方法有干涉法、散斑法、剪切干涉法等，可以根据 高斯光束的特点和测量精度要求选择合适的方法。
测量误差来源
波前测量误差主要来源于光束的聚焦、光束截面分布、光学元件的 误差等因素。
高斯光束的聚焦特性
聚焦原理
高斯光束经过透镜聚焦后，其横截面 上的强度分布会发生变化，形成明暗 相间的干涉条纹。
干涉条纹
干涉条纹的形状取决于透镜的焦距和 光束的束腰半径。当透镜焦距一定时 ，束腰半径越小，干涉条纹越密集； 反之，则越稀疏。
02 高斯光束在光学谐振腔中 的应用
光学谐振腔对高斯光束的影响
偏振态调制是指通过改变高斯光 束的偏振状态来改变其电磁场分
布。
常见的偏振态调制方法包括利用 偏振片、电光晶体或液晶等对高
第3章_光学谐振腔
可见高斯光束在z=0处的波阵面是平面，但它 的E矢量振幅分布是高斯分布。
W0称为高斯光束的束腰（光斑）半径
高斯光束特性
E
高斯光束的束斑（光束半径）
Emax
场强分布
r0 E
A0 r2 E ( x, y,0) exp[ 2 ] W0 W0
A0
r
W0
Emax
r ( z)
E
z
E E0 exp{ i(wt k r )} E0 exp(ikz) exp(iwt ) 当振幅在空间不再是常数时，可写成一般形式
E ( x, y, z) exp(ikz) exp(iwt )
轴对称型电磁波，可写为
E (r , z ) exp(ikz) exp(iwt )
第三章
光学谐振腔
谐振腔
q 2
电磁波在一个空腔内被腔壁来回反射，最终在腔内形成一种稳定的驻波， 这种腔体就称为谐振腔 在一个封闭的腔内，有三个方向的驻波形式
2m 2n 2q , ky , kz L L L 每一个振荡模式所占的波矢空间为 kx
kx k y kz (2 L)3
谐振腔
0~K间波矢量包含的总的模式数为
K 空体积 4 K 3 / 3 ( KL)3 L3 2 3 8 3 L3 Nk 2＝ 3 3 2 2( ) 每模式所占体积 8 / L 3 2 3 3c3
单位体积、单位频率间隔内的模式数为模密度
1 dN K 8 n3 2 ( ) V d c3
高斯光束在z=0时
A0 r E ( x, y,0) exp[ 2 ] W0 W0
2
E
A0 W0
其中
r 2 x2 y 2
第三章 谐振腔和高斯光束
n n
0 n
22
一般双凹球面腔
R1 R2
d
一次往返矩阵
1 A B 2 M C D R1 0 1 d 1 2 1 0 1 R2 0 1 d 1 0 1
23
由此可得
Divergence angle 36
37
38
高斯光束的传播
39
The ABCD law of Gaussian beam
40
Focusing of Gaussian beam
41
共焦腔的衍射理论 横模
一、 谐振腔内的衍射现象
衍射理论认为腔内模式是与腔内光束经过多 次衍射后达到相对稳定的分布相对应的，即按 照不同强度分布和频率特性来具体区分不同的 模式，这是建立在惠更斯-菲涅耳原理基础上的 理论，数学上主要归结为对腔内衍射场自洽积 分方程的求解。
2d A 1 , R2 d B 2d 1 R , 2 4d 2 2 2 C , R1 R2 R1 R2 4d 2 4d 2d D 1. R1 R2 R1 R2
24
对称球面腔（R1＝R2＝R）的往返矩阵
2d 1 A B R Ms 4d 4 C D R2 R d 2d (1 ) R 2 4d 6d 1 2 R R
6
谐振腔的稳定条件
谐振腔的稳定性是衡量谐振腔的特性的首要因 素。特别是对于增益系数较小的介质，总希望 光束能在腔内更多来回传播，以便获得足够大 的增益。光束在腔内往返次数的多少又是由腔 体结构决定的，对于图3.1-2中由两面凸面镜 构成的腔体而言，光束在腔内很可能只经一次 反射就逸出腔外了。
0 n
22
一般双凹球面腔
R1 R2
d
一次往返矩阵
1 A B 2 M C D R1 0 1 d 1 2 1 0 1 R2 0 1 d 1 0 1
23
由此可得
Divergence angle 36
37
38
高斯光束的传播
39
The ABCD law of Gaussian beam
40
Focusing of Gaussian beam
41
共焦腔的衍射理论 横模
一、 谐振腔内的衍射现象
衍射理论认为腔内模式是与腔内光束经过多 次衍射后达到相对稳定的分布相对应的，即按 照不同强度分布和频率特性来具体区分不同的 模式，这是建立在惠更斯-菲涅耳原理基础上的 理论，数学上主要归结为对腔内衍射场自洽积 分方程的求解。
2d A 1 , R2 d B 2d 1 R , 2 4d 2 2 2 C , R1 R2 R1 R2 4d 2 4d 2d D 1. R1 R2 R1 R2
24
对称球面腔（R1＝R2＝R）的往返矩阵
2d 1 A B R Ms 4d 4 C D R2 R d 2d (1 ) R 2 4d 6d 1 2 R R
6
谐振腔的稳定条件
谐振腔的稳定性是衡量谐振腔的特性的首要因 素。特别是对于增益系数较小的介质，总希望 光束能在腔内更多来回传播，以便获得足够大 的增益。光束在腔内往返次数的多少又是由腔 体结构决定的，对于图3.1-2中由两面凸面镜 构成的腔体而言，光束在腔内很可能只经一次 反射就逸出腔外了。
光学谐振腔的基本知识
两点的线段AB，如图5.1.2所示。由AB线段所对应的坐标值范
围就可找到曲率半径的范围是： 。最大曲率半径可以取 ，
这是平行平面腔；最小取
，即共心腔。
三、稳定图的应用
举例
2) 给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的 曲率半径，确定其取值范围。
根据已有反射镜的数据，如R1=2L ，求出g1=1-L/R1=0.5 ， 在稳定图的g1 轴上找出相应的C点，如图5.1.3（a）所示，过C点 作一直线平行于 g2轴,此直线落在稳定区域内的线段CD，就是所 要求的另一块反射镜曲率半径的取值范围。由CD上任一点所对 应的 R2值都能与已有的反射镜配成稳定腔。R2可用凹面镜，也 可用凸面镜。 若用凹面镜，则取值范围为： 若用凸面镜，则取值范围为:
优点：是可以连续地改变输出光的功率，在某些特 殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
3 非稳腔
区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际 意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔 外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小。 一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它 的优点是容易产生激光。
b) 平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成。 其中，凹面镜 ，它对应图中AC、AD 段。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
c）平凹凸稳定腔。由一个凹面镜和一个凸面镜组成。满足 条件:
图中5区
图中6区
d）共焦腔。R1=R2=L ，因而 g1=0，g2=0 ，它对应图中的 坐标原点。因为任意傍轴光线均可在共焦腔内无限往返而不 逸出腔外，所以它是一种稳定腔。但从稳区图上看，原点邻 近有非稳区，所以说它是一种很特殊的稳定腔。 e）半共焦腔。由一个平面镜和一个 R=2L的凹面镜组成的腔。 它对应图中E和F点。
3谐振腔部分-final
第三章光学谐振腔理论一、学习要求与重点难点学习要求1．了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。
2．理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。
3．掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。
4．理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。
5．掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。
6．了解非稳腔的模式理论。
重点1．谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系；2．传播矩阵分析方法；3．光学谐振腔的稳定条件；4．模自再现概念；5．自再现模积分本征方程的建立，及其近似；6．球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；7．谐振腔的横纵模式和光束特性；8．稳定谐振腔的等价共焦腔。
难点1．传播矩阵的近似；2．非稳腔；3．模自再现概念；4．自再现模积分本征方程的建立5．球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解；6．谐振腔的横纵模式和光束特性；二、知识点总结,,mnq TEM m n q ⇔⎧⎧⎫→−−−−→⎪⎪→⎪⎨⎬⎪→→→−−−−→⎪⎪⎨⎩⎭⎪⇔--⎪⎩→驻波条件自再现模分立的本征态有限范围的电磁场形成驻波纵模光的频率（振荡频率，空间分布）模式的形成反映腔内光场的分布谐振腔的作用腔和模的联系衍射筛选横模光场横向能量分布腔内存在的电磁场激光模式模式的表示方法：横模指数，纵模指数衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分，理论方法几何光学＋干涉仪理12121212()11)12()10101,1A D A D A D g g or g g L L g g R R ⎧⎨⎩+<+>⇒+±<<==⇒=-=-论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分－粗略但简单明了光腔的损耗－光子的平均寿命－无源腔的Q值－无源腔的线宽1-1<稳定腔2（非稳定腔适用任何形式的腔，只要列出往返矩阵就能判断其稳定与否1共轴球面腔的稳定条件：稳定判据＝临界腔2只使用于简单的共轴球面镜腔⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩（直腔）1． 谐振腔衍射积分方程推导⎧⎧⎫→−−−−−−→−−−−→→⎨⎬⎨⎩⎭⎩自再现模的概念求解方法引进复常数因子解析解：特殊腔（对称共焦腔）本征函数－振幅和相位分布（等相位面）菲涅尔基尔霍夫积分公式推广到谐振腔自再现模积分方程数值求解（数值迭代法）本征值－模的损耗、相移和谐振频率⎧⎧22/0000(1)(1)2(,)N 11[4(,1)(,1)]arg (1)2x y L mn mn om on mn mn mn x y c e NR C R C kL m n λπμδγπφγφ+-⎧⎪=⎪→→⎨⎪⎪⎩=-=-→→∆==-+++∆基模：角向长椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模不是很小时，厄密～高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面方形镜：对单程损耗：称本征值径向长椭球函数单程相移：共焦谐振频率：谐振条件2＝-腔的自再现模2/0000[2(1)]4(,)N arg (21)2mnq r L mn mn mn c q m n L x y c e kL m n λππνμπφγφ-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋅→=+++⎪⎪⎩⎩⎧⎪=⎪→→⎨⎪⎪⎩→∆==-+++∆q 2基模：超椭球函数；本征函数振幅和相位高阶横模不是很小时，拉盖尔～高斯函数相位分布：反射镜构成等相位面圆形镜：单程损耗：只有精确解能够给出。
第三章激光原理光学谐振腔理论(ABCD矩阵)
第三章 光学谐振腔理论
第一节 光腔理论的一般问题 一、光学谐振腔 最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片 平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔） 共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成 i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以 认为没有侧面边界 （气体激光器） 根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔
2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
腔的参数 唯一确定 模的基本特征。
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征
傍轴光线 (paraxial ray) ：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时 可认为sin tan
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
I 0e 2
i 1 2 3
损耗因子也可以用 ' 来定义
当损耗很小时，两种定义方式是一致的
2 ' I0 I1
I0
2 ' I0 I1 I0 I0e2 I0 I0 (1 2 ) 2
I0
I0
I0
损耗举例
反射镜反射不完全损耗：
cos A D
2
rm a x,
rs
n次往的返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin
n sinn 1
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
非选择损耗 （无 选模作用）
第一节 光腔理论的一般问题 一、光学谐振腔 最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片 平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔） 共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成 i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以 认为没有侧面边界 （气体激光器） 根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔
2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
腔的参数 唯一确定 模的基本特征。
开腔 傍轴 传播模式的纵模特征
傍轴光线 (paraxial ray) ：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时 可认为sin tan
开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波)
I 0e 2
i 1 2 3
损耗因子也可以用 ' 来定义
当损耗很小时，两种定义方式是一致的
2 ' I0 I1
I0
2 ' I0 I1 I0 I0e2 I0 I0 (1 2 ) 2
I0
I0
I0
损耗举例
反射镜反射不完全损耗：
cos A D
2
rm a x,
rs
n次往的返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin
n sinn 1
C sin n
其中
arccos
1 2
A
D
D
sin
B sin n
n sinn
1
可求得rn,n
例： L 3
R2 4
g1
1
非选择损耗 （无 选模作用）
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• The distinction between “longitudinal” and “transverse” modes in the resonator is also much sharper in optical than in microwave resonators.
一 谐振腔的作用
• 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。 同一模式内的光子，具有完全相同的状态 （如频率、偏振等）。
• 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔 的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构， 则其中振荡模的特征也就随之确定下来-----腔与模的一般联系。
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)
谐振腔可以按不同的方法分类：
• 稳定腔、非稳腔、临界腔 • 球面腔与非球面腔 • 驻波腔与行波腔 • 两镜腔与多镜腔 • 简单腔与复合腔 • 端面反馈腔与分布反馈腔
本章仅讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
六 无源谐振腔的模式
模的概念 纵模和谐振频率 激光的横模
模的概念——腔与模的一般联系
• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可 能存在的电磁波的本征态称为腔的模式。
模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。
• m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模 称作高阶模。
• 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而 且沿纵向形成驻波（驻波型谐振腔）。横模 与纵模体现了电磁场模式的两个方面，一个 模式同时属于一个横模和一个纵模。
纵模和谐振频率
• Optical resonators are also usually described in scalar or quasi plane-wave terms, with emphasis on the diffraction effects at apertures and mirrors edges, rather than in vector terms with emphasis on matching boundary conditions.
• 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在 振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条 件；激活介质对场的空间分布和振荡频率 的影响是次要的，不会使模式发生本质的 变化
三 采用的理论
• 几何光学理论--推导腔的稳定性条件（不能 得到腔的衍射损耗）
• 衍射光学理论--深入了解模式特性
四 开放式光腔
• 激光器中使用的谐振腔通常是开放式的，即 侧面没有光学边界（理想化的处理方法）， 称为开式光学谐振腔，简称开腔。
• 气体激光器是采用开腔的典型例子。 • 对固体激光器，如果棒的直径远大于激光波
长，棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。
• 半导体激光器采用介质波导腔，光纤激光器 的光谐振腔也属介质波导腔。
五 开腔的分类
• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定 腔、非稳腔和临界腔。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• Optical resonators first of all usually have open sides, and hence always have diffraction losses because of energy leaking out the sides of the resonator to infinity.
• 模的基本特征包括： 每一个模的电磁场分布，特别是在腔的横截
面内的场分布； 模的谐振频率；
每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损 耗；
与每一个模相对应的激光束的发散角
• 原则上，只要知道了腔的参数，就可以唯一 地确定模的基本特征。
• 开腔中的振荡模式以TEMmnq表征。TEM表示
纵向电场为零的横电磁波，m、n、q为正整 数，其中q为纵模指数， m、n为横模指数。
• 模式选择。束的特性
（直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、 谐振频率及光束发散角等）
提供轴向光波模的反馈
二 无源谐振腔
• 不考虑腔内激活介质的影响 • 无源腔模式可以作为具有激活介质腔（有
源腔）的激光模式的良好近似
§2.1 概述－光腔理论的一般问题
谐振腔的作用 无源谐振腔 理论依据 开放式光腔 开腔的分类 无源谐振腔的模式 光腔的损耗
• Laser cavities differ in several significant ways from the closed microwave cavities that are commonly treated in electromagnetic theory textbooks.
• 利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播 模式的谐振条件
• 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传 播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波 和反射波将会发生干涉，多次往复反射时 就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成 稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。
• 发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。
一 谐振腔的作用
• 腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。 同一模式内的光子，具有完全相同的状态 （如频率、偏振等）。
• 腔内电磁场的本征态由麦克斯韦方程组及腔 的边界条件决定。一旦给定了腔的具体结构， 则其中振荡模的特征也就随之确定下来-----腔与模的一般联系。
• 目的：弄清楚激光模式的基本特征及其与腔 的结构之间的具体依赖关系。
• 非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往 返就逸出腔外，具有较高的几何损耗
• 临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间， 只有少数特定光线能在腔内往返传播
• Optical resonators can usually be divided into either “geometrically stable” or “geometrically unstable” categories (where these terms refer to ray stability within the resonators, and have nothing to do with whether or not the laser is or is not stable against laser oscillation)
谐振腔可以按不同的方法分类：
• 稳定腔、非稳腔、临界腔 • 球面腔与非球面腔 • 驻波腔与行波腔 • 两镜腔与多镜腔 • 简单腔与复合腔 • 端面反馈腔与分布反馈腔
本章仅讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
六 无源谐振腔的模式
模的概念 纵模和谐振频率 激光的横模
模的概念——腔与模的一般联系
• 在激光技术术语中，通常将光学谐振腔内可 能存在的电磁波的本征态称为腔的模式。
模的纵向电磁场分布由纵模指数表征，横向 电磁场分布与横模指数有关。
• m与n为零的模称作基模，m>=1或n>=1的模 称作高阶模。
• 一个完整的模式不但有确定的横向分布，而 且沿纵向形成驻波（驻波型谐振腔）。横模 与纵模体现了电磁场模式的两个方面，一个 模式同时属于一个横模和一个纵模。
纵模和谐振频率
• Optical resonators are also usually described in scalar or quasi plane-wave terms, with emphasis on the diffraction effects at apertures and mirrors edges, rather than in vector terms with emphasis on matching boundary conditions.
• 激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在 振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条 件；激活介质对场的空间分布和振荡频率 的影响是次要的，不会使模式发生本质的 变化
三 采用的理论
• 几何光学理论--推导腔的稳定性条件（不能 得到腔的衍射损耗）
• 衍射光学理论--深入了解模式特性
四 开放式光腔
• 激光器中使用的谐振腔通常是开放式的，即 侧面没有光学边界（理想化的处理方法）， 称为开式光学谐振腔，简称开腔。
• 气体激光器是采用开腔的典型例子。 • 对固体激光器，如果棒的直径远大于激光波
长，棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。
• 半导体激光器采用介质波导腔，光纤激光器 的光谐振腔也属介质波导腔。
五 开腔的分类
• 根据光束几何逸出损耗的高低，分为稳定 腔、非稳腔和临界腔。
• 稳定腔：旁轴（傍轴）光线在腔内多次往 返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗
• Optical resonators first of all usually have open sides, and hence always have diffraction losses because of energy leaking out the sides of the resonator to infinity.
• 模的基本特征包括： 每一个模的电磁场分布，特别是在腔的横截
面内的场分布； 模的谐振频率；
每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损 耗；
与每一个模相对应的激光束的发散角
• 原则上，只要知道了腔的参数，就可以唯一 地确定模的基本特征。
• 开腔中的振荡模式以TEMmnq表征。TEM表示
纵向电场为零的横电磁波，m、n、q为正整 数，其中q为纵模指数， m、n为横模指数。
• 模式选择。束的特性
（直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、 谐振频率及光束发散角等）
提供轴向光波模的反馈
二 无源谐振腔
• 不考虑腔内激活介质的影响 • 无源腔模式可以作为具有激活介质腔（有
源腔）的激光模式的良好近似
§2.1 概述－光腔理论的一般问题
谐振腔的作用 无源谐振腔 理论依据 开放式光腔 开腔的分类 无源谐振腔的模式 光腔的损耗
• Laser cavities differ in several significant ways from the closed microwave cavities that are commonly treated in electromagnetic theory textbooks.
• 利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播 模式的谐振条件
• 考察均匀平面波在腔中沿轴线方向往返传 播的情形。当波在腔镜上反射时，入射波 和反射波将会发生干涉，多次往复反射时 就会发生多光束干涉。为了能在腔内形成 稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。
• 发生相长干涉的条件是：波从某一点出发， 经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初 始出发波同相（即相差是2的整数倍）。