第二章 光学谐振腔

He-Ne激光器，其谐振腔的长度l=60cm,反 0 射镜对波长6328 A 的反射率为R=0.98。
光子在腔 内的寿命 纵模间距
l 60 7 tc 1 10 s 10 (1 R)c (1 0.98) 3 10
c 3 1010 c 250106 Hz 2l 2 60
8 2 N总 PmV 3 V c
2 28 | 8 1020 8 6 10 10 10 9 Pm 3 10 1 P 10 3 10 | m 3 1030 33 1030
获得单模振荡
| 该腔激起的模巨大，多模
§2.2 开放式谐振腔的模间距及带宽
由于光谱自然加宽 0 1 Q 20tc 2tc Q值越高，单色性越好！ 当增益=损耗，即光在谐振腔中渡越一 次的损耗百分比 f 1 R 0
Q ,....... 0
实际上

c 2L
q,...... 0
2、谐振腔衍射损耗和菲涅耳数N的关系
x n (1) x0 n n (1) 0
n
• 只要开始时 轴心附近光束的方向 特别稳定 ！！
a 0 R
2、一般情况下谐振腔的稳定条件 谐振腔两面反射镜的曲率半径各为R1 及R2，镜的距离为d。几何光学的分析 表明，R1、R2、d三者必须满足下述关 系式，光束才能在腔内往返传播，亦即 激光振荡才有可能。 d d 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2 d d J1 1 , J 2 1 ,.....0 J1 J 2 1 R1 R2
(1 R)c (1 0.98) 3 1010 c 1.6 106 Hz 2l 2 60
无源腔带宽
§2.3 谐振腔的稳定条件
稳定要求：光在腔内 ？ 来回反射得到 足够大的放大形成激光 1、几个特例谐振腔的稳定性分析 （1）平行平面镜 x-z平面 P0(x0,0) P’ (x0+θl, l) Pn(xn, 0)
第二章: 光学谐振腔
§2.1 闭合腔中的振荡模
1、敞开腔:比如太空中，电磁波以任意波长 传播→单色性差 2、良导体（如金属）闭合空腔：电磁波碰到 腔壁时受到反射，和入射的波相互干涉而 形成为驻波。稳定驻波的腔壁是波节。 3、闭合谐振腔中的每一个稳定的驻波就是腔 的一个振荡模。 模的特征：一定的传播方向, 一定的频
q
2

2
l z ,......... ......q 1,2, ,3,....整数.......... ...(1 2.3)
2 k k z kq q 2l z
类似
m

2
lx
n

2
ly
（2）一个振荡模用一组（m,n,q）描述
k x, y, z
2 2 2 m ,n ,q k m, n , q 2l x 2l y 2l z
a2 f r (反射损耗) d (衍射损耗),....N L
（1）孔径为2a的圆形平行平面镜谐振腔，有
d 0.207 (
L
a
2
)
1.4
1 0.207 1.4 N
d 2.5 r 令dQ/dL=0，求极值可得：在
时，Q达到极大值。
(2)共焦腔
2
2
V lxl ylz ...... 实空间体积
( 4 )模密度（K空间）
8l xl y l z 1 8V 3 3 模体积 (2 ) (2 )
（5）振荡模总数
km , kn , kq 0
1 N 模 2 （球体积） k空间的模密度 8
因子2：每一个模有两个相互垂直偏振方向
率（或波长）以及一定的偏振。
4、模参数的 描述：
长方形闭合腔体 积 V l l l
x y z
无源腔：无工作 物质 有源腔：有工作 物质
沿Z方向传播的平面波
Az Aoz sin(t kz ) Aoz sin( 2t 2

z )......... ..(2.1)
2 k .......... ........( 2.2) c c （1）入射与反射波干涉形成驻波的条件：波 节处总振幅恒为零，波腹处振幅在正极大 值与负极大值之间瞬时改变。形成稳定驻 波的要求是：在线度 l 为之内能容纳半 z 波长的整数倍，
• 其中 • 要求
xn x0 2nl
2 n l a
max
a 2nl
• 设n=100，红宝石激光器l=10cm;2a≈1cm.
max
0.5 2.5 10 4 弧度 50 2 100 10
0.1 1 10 5 弧度 2 2 100 50
• He-Ne气体激光器，d≈50cm;2a≈0.2cm
max
结论：平行度要求很高 问题: 平行平面腔通常用于固体激光器还是气体 激光器
(2)半球面腔
• 一次反射
x0 1 0 2 0 2 R
• 经过 n次来回反射后，光束与Z轴方向的夹 角将为 2n x0 n 0 R • 稳定条件 R a或 2n x0 a
n 0
R
R
• 对始发于原点（x0=0） max a (弧度)
R
• 比平行平面腔要求松很多
(3)共焦腔 谐振腔的两凹面镜曲率半径相同， 即 R1 R2 R ， 且镜距d=R，则称为共 焦腔。因为凹面镜的焦距f=R/2，故两个凹 镜的焦点共同落在两镜心联线的中点。
• 经n次来回反射后，有
dI 其中 f I
t tc
I I 0e
fc t l
I 0e
l 其中tc 光子在腔内的寿命，也 称腔的时间常数 fc
若只考虑反射损耗R,则 f=1-R l
tc (1 R )c
例如： l=100cm,
R 0.98....... tc 100 0.02 31010 1.7 107
（3）模体积（k空间中单个模的体积）
km km1,n,q km,n,q 2 2l x
2 k n k m,n1,q k m,n,q 2l y 2 k q k m,n,q 1 k m,n,q 2l z
(2 ) (2 ) km kn kq 8lxl y lz 8V
l tc (1 R)c
1 (1 R)c (1 R)c c 2t c 2l l
R越大，带宽 越窄。 三种情况： R≈0；R<1； R≈1。
(4)谐振腔的品质因素Q 0 l Q 2 0tc 2l 0 (1 R)c c c(1 R)
dW (1 R)W c(1 R)W dt Lc L
积分有
W W0 e
c (1 R ) t L
t t0 ,W W0
• 谐振腔的时间常数为能量减少到 W0 e 时所 经历的时间 L L tc c(1 R) cf
W L Q c(1 R) W L c(1 R) 2 2L tc 20tc ctc .... f 1 R f W
§2.4 谐振腔的特性
1、谐振腔的Q值（品质因素） W 定义
Q

W：储蓄在谐振腔内的能量；ω为角频率； ρ：每秒钟损失的能量；

• 反射镜的反射率为R，镜间距离为L。设最 初的光量为1，那么经过一次反射后，回到 谐振腔的光量为R，损失的光量等于(1-R)。 光在谐振腔内传播距离L所需的时间是L/c 秒(c是激光物质中的光速）
1、在光频区采用敞开式反射镜谐振器 （在微波区采用闭合腔） 一对平行平面（球面）反射镜
2、其他方向开放导致损耗，限制了模数 （包括扩散、衍射、镜面非完全反射、工 作物质吸收等） 纵模：只有沿轴方向传播的模才能维持 振荡， ...(折射率 1, m, n 0) 满足 q 2 l..........
?1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
(3) 谐振腔产生的带宽 在原子光谱学中，研究谱线轮廓与宽度时， 我们知道发光粒子的寿命t与谱线的宽度有 着如下关系 1 2t
在一个谐振腔中，当光子寿命为 时，由于反射损耗R而产生的带宽为
波矢k k0,0,q ,......... ...v vq
He-Ne：λ=6328埃， q 2l 2 100 8 3 10 6 6328 10 腔长为l=100cm时， 横模：凡是m,n不等于零的模叫横模。
3、限制和减少模数的方法
敞开腔模数N 开 镜对轴中点立体角 d 闭合腔模数N 合 闭合腔立体角 4
c c q c q 1 q [(q 1) q] 2l 2l
M1
A
M2
m=1 m=2
Relative intensity 1
f
R ~ 0.8 R ~ 0.4
m
B L
(a)
m=8
(b)
m - 1
m
(c)
m + 1

Schematic illustration of the Fabry-Perot optical cavity and its properties. (a) Reflected waves interfere. (b) Only standing EM waves,modes, of certain wavelengths are allowed in the cavity. (c) Intensity vs. frequency for various modes.R is mirror reflectance and lower R means higher loss from the cavity.