03 第二章

非中心差分
显式
隐式
X (t) X(t)X(tt) t t X (t) X(tt) X(t) t t
四 湍流扩散系数K
800 700 600 500 800 700 600 500
NOUCM SIM UCM SIM
Z/M
400 300 200 100 0 -100 -1 0 1 2 3 4
2 2
三 方程的数值求解
q q q q q q q u v w (Kx ) (K y ) (Kz ) Q t x y z x x y y z z
解析解：采取各种近似简化条件
数值解：考虑风场、湍流场、源强的时 空分布，考虑干湿沉积过程及 化学反应
2 y 2
2

0
T
t
0
RL ( )d dt
定常均匀的湍流场中，粒子的湍流扩散范围取 决于湍流脉动速度方差和拉格朗日相关性。
2.泰勒公式的另一种形式（自学）
y (T ) 2v
2 2
R ( )d dt 2v
2 0 0 L
T
t
T
0
(T ) RL ( )d
小结
排放源强
x2
Q



qx 2 dx qdx

2 Kt
离源距离

x2 y2 z 2 q(r ) exp 2 3 2 2 2 x 2 y 2 z (2 ) 2 x y z
扩散 参数
2 无风连续点源
第二章
空气污染物 散步的基本 理论处理
主要内容

梯度输送理论 湍流统计理论
相似理论
§2.1 空气污染物散布 的一般性描述
1 描述的基本途径
空气污染物扩散过程由湍流运动和气
流平均速度差决定
常用两种方法描述：
欧拉方法 拉格朗日方法
欧拉方法：相对固定坐标系描述污染
物的输送和扩散。采用雷诺平均的扩 散方程，存在不闭合问题（技术难点）
注：采样时间不同，污染物浓度不同，要说明采样 时间
§2.2 梯度输送理论的基 本处理
梯度输送理论－欧拉途径
由湍流运动引起的 局地质量通量与该 地被扩散物质的平 均浓度梯度成正比， 方向相反，称为梯 度输送理论,又称K 理论
q u q K x x q vq K y y q wq K z z
化 学 反 应
分子扩散项 忽略不计
拉格朗日方法
考虑一微粒 t 位于 x ，随后，其轨迹由X ( x, t , t )描述
设粒子于t时间在一体积元的机率为
( x1, x2 , x3 , t )dx1dx2dx3 ( x, t )d x
( x, t )为时间t，粒子位置的概率密度函数，并有
微粒从一点迁移到另一 点的概率密度
q( x, t )
Q( x, t, t0 ) q( x0 , t0 ) d x0 t Q( x, t , t ') S ( x ', t ')dt ' d x '
梯度输送理论
dq q q q (Kx ) (K y ) (Kz ) dt x x y y z z
二 方程的简化与求解
1 无风瞬时点源
假定大气的静止的，湍流扩散系数为常数， 各向同性，则
Q 1 2 q ( x, y , z , t ) exp[ (r )] 3/2 8( Kt ) 4 Kt

当浓度在y轴分布为正态（高斯）分布时， 可得 y2
q q0e

2 y

2 2 y
qy q
2
表征污染物浓度与 平均值的偏离程度， 与大气扩散能力密 切相关，称为扩散 参数
利用烟流半宽定义有 2 y0 4.3 y
Z轴也有相似的 z，z0 。
y 和 z 称为扩散参数。具有如下性质：
水平方向离散化
altitude
沿经纬和垂直方向 划分离散化网格
垂直方向离散化
大气上界
200 h hPa
800 hPa
地表
时间离散

中心差分
蛙跳 半显式
X (t) X(tt) X(tt) t 2t 1 X (tt) X (t) X(tt)X(t) 2 t t t
从研究个别微团（粒子）的运动 途径入手，通过研究湍流脉动场的统 计性质（如相关，湍强，湍谱）来描 述流场中扩散物质的散布规律。
个别粒子的随机运动无法描述，大量 粒子的集合趋向一个稳定的统计分布。 解决问题关键：确定粒子游走随机函 数y（t）的概率分布。
对于概率相同的无规则行走问题， 当步数充分大时，有： 1 所走距离的概率分布接近正态分布 2 其位移均方根（标准差）与行走时间 的平方根成正比
(2)
2 中性层结的平均位移
中性层结，风廓线为
z u ln( ) z0
u*
代入（1）和（2），并积分得
近 地 层 相 似 理 论
z0 Z cZ X [ln 1 (1 ln c )] b z0 Z
Ellison,取b=k=0.4
卡曼常数，取0.4左右
3 非中性层结的平均位移
扩散问题统计处理的根本目标是找出描述粒
子位移的概率分布，即上述扩散粒子散布方 差，再找出概率分布函数的具体形式。其难 点在于湍流场的非定常，非均一性。
泰勒公式是理想状况下导出的，在下垫面平
坦，气流稳定的小尺度扩散适用，超出这样 的范围需作一定的修订。
§2.4 相似理论的 基本处理
Monin(1959),Batchelor(1959,1964),Gifford( 1962)发展的相似理论，在近地层大气湍流中 占有重要地位。 拉格朗日相似假设：近地层中，流体质点的统 计特征完全可用确定的欧拉特征的参量来确定。



( x, t )d x 1
概率密 度函数
( x, t )

M个粒子，则在 x 点的平均浓度为
m q( x,t ) i ( x, t ) i 1


Q( x, t , t ) ( x, t )d x
中性大气：参量 u* 非中性大气： 和
u*
HT
。
1 基本数学处理
用量纲分析的方法可得到：
垂直风速
式中b和 为待定的普适常数和普适函数，中性时， 1 进一步假设相应的水平位移的增长率等于在 Z 高度处的 平均风速，表示为
dZ Z bu* ( ) dt L
(1)
水平风速
dX u (cZ ) dt
一 湍流扩散的拉格朗日描述与特征
若统计量 u 2
不随时间变化，则湍流场
是平稳场 协方差 u(t )u(t ) 反映湍流空间大小和 寿命长短 根据相关系数概念 R(t , t ) u (t )u (t )
1 R( ) 1
u2
若为平稳湍流，则统计量与湍流起始
湍流 扩散 系数
注：仅只是方程中湍流通量项求解、即方程闭合求解的一种方法， 比较简单实用，但是还存在理论基础上的缺陷，还有其他的闭合方 法，例如高阶闭合、大涡闭合等等，见边界层理论
一 湍流扩散方程
(qu) (qv) (qw) dq dt y z x
q 2 q 2 q u K( 2 2 ) x y z
4 有风连续点源－贴近实际
有风连续点源解为：
Q y z q( x, y, z, t ) exp[( )] 2 2 2 y 2 z 2 u y z
此式称为斐克扩散解,讨论如下: ⑴ 污染浓度与源强成正比; ⑵ 离源距离越远,浓度越低; ⑶ 扩散系数越大,浓度越低; ⑷ 污染物在横风向及垂直向符合正态分布

对于不同的求解计算途径： 解析解：简单实用，广泛应用于环评工作领域， 适用于均匀定常大气状况，有一定局限 数值解：考虑风场、湍流场、源强的时空分布， 考虑干湿沉积过程及化学反应，物理过程全面， 计算复杂，通常在大气科学相关研究领域进行研 究

§2.3 湍流统计理论的 基本处理
湍流统计理论－拉格朗日途径
非中性层结，风廓线为 z0 u* z u [ f ( ) f ( )] L L 代入（1）和（2），并积分得
Z/M
400 300 200 100 0 -0.02
0
0.02
0.04
0.06
垂直扩散系数
垂直扩散系数
14:00
02:00
小结
对于梯度输送理论本身： 通量与梯度之间的线性关系只是一种假定 K不是流体的物理属性而是运动属性 当前，中小尺度数值模式大多采用高阶 闭合，大尺度区域的扩散输送问题仍然采 用K闭合。
1 随着距离x加长，扩散参数变大 2 随着大气稳定度变化 3 相同气象条件，地表粗糙度大，扩散参数大

大量实验及观测事实表明：
yx g z x
?
p

轴线浓度
q
1
y z
家庭作业： 思考
采样时间对平均浓度影响（书上P23图）

湍流运动尺度广 瞬时：烟道窄，不规则，随方向摆动，浓度高 长时间：烟道宽，规则，趋于平均，浓度低


x j
i 2


欧拉方法－污染物平流扩散方程
qi qi qi qi (u ' qi ') (v ' qi ') (w ' qi ') u v w t x y z x y z