沪科版八年级下册数学《16.1二次根式》
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八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式教案 (新版)沪科版.doc
①当a时， =－a；
②当a＞0时， =；当a＜0时， =；
③若 在实数范围内有意义，则a的取值范围是；
④若 = 在实数范围内有意义，则a的取值范围是。
课堂小结（2分钟）
1.二次根式 有意义，因为a2≥0，所以 ≥0。
因此， =∣a∣，其中a可以取任意实数。
2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成∣a∣的形式，再根据已知条件中字母的取值范围确定其结果。
布置作业：（6分钟）
讨论补充记录
学生自学。对不会的
问题要做好批注或随
笔，作为合作探究的
问题进行合作探究。
讨论补充记录
板书
设计
一、出示学习目标 四、当堂训练
二、出示自学提纲五、课堂小结
三、合作探究 六、布置作业
教 学 反 思
自学提纲：（10分钟左右）
自学本节内容，解决以下问题：
1.什么叫二次根式？被开方数受到什么限制？
2.我们知道， 是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有 =2.类似地，计算：
=， =， =。
3.例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
① ； ② 。
4.例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
教 学主备人：
时间
地点
八年级办公室
召集人
课题
16.1二次根式（2）
课时
第2课时
（总第2课时）
科任教师
教学
目标
知识与能力：初步掌握二次根式的性质，能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式。
过程与方法：进一步学会运用从特殊到一般的归纳方法。
情感态度价值观：认识通过观察、实践、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。
②当a＞0时， =；当a＜0时， =；
③若 在实数范围内有意义，则a的取值范围是；
④若 = 在实数范围内有意义，则a的取值范围是。
课堂小结（2分钟）
1.二次根式 有意义，因为a2≥0，所以 ≥0。
因此， =∣a∣，其中a可以取任意实数。
2.化简形如 的二次根式，首先可把 写成∣a∣的形式，再根据已知条件中字母的取值范围确定其结果。
布置作业：（6分钟）
讨论补充记录
学生自学。对不会的
问题要做好批注或随
笔，作为合作探究的
问题进行合作探究。
讨论补充记录
板书
设计
一、出示学习目标 四、当堂训练
二、出示自学提纲五、课堂小结
三、合作探究 六、布置作业
教 学 反 思
自学提纲：（10分钟左右）
自学本节内容，解决以下问题：
1.什么叫二次根式？被开方数受到什么限制？
2.我们知道， 是2的算术平方根，根据平方根的意义，应有 =2.类似地，计算：
=， =， =。
3.例1 x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
① ； ② 。
4.例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
教 学主备人：
时间
地点
八年级办公室
召集人
课题
16.1二次根式（2）
课时
第2课时
（总第2课时）
科任教师
教学
目标
知识与能力：初步掌握二次根式的性质，能利用上述性质化简被开方数是单项式或简单分式的二次根式。
过程与方法：进一步学会运用从特殊到一般的归纳方法。
情感态度价值观：认识通过观察、实践、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性。
沪科版初中数学八年级下册精品课件16.1 二次根式
属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5） 中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为 在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
最新沪科版八年级数学下16.1二次根式的概念ppt公开课优质课件
自主学习
如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是
b 3 .
b-3
b3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a 2500
2
s
表示一些正数的算术平方根．
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知识要点
二次根式的定 义 一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
①外貌特征：含有“ ”
0的算术平方根平方根是0.
用 a (a≥0)表示.
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3.平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根.
4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？
正数和0都有算术平方根； 负数没有算术平方根.
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.Fra bibliotek课堂小结
（1）二次根式的概念
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根 式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
（2）根号内字母的取值范围
抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
（3）二次根式的非负性
a 具有双重非负性.
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随堂训练
见本课时练习
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第16章 二次根式
16.1
第1课时
复习 引入 自主 学习
二次根式
二次根式的概念
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习引入
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是 a .
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式教学课件
第十四页，共二十二页。
例1 计算(jìsuàn)：
(1)( 1 ) 2 2
(2)( 2 5 )2 3
解：(1)( 1 )2 1 22
例1（2）用到了 （ab）2=a2b2这个(zhège) 结论.
(2 )(25)2(2)2 (5)24 52 0
33
99
第十五页，共二十二页。
例2.（1）若
则a-b+c=___ .
第十三页，共二十二页。
归纳(guīnà)
一般(yībān)地， 有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
(1) 32, (2)6, (3) 12, (4)-m (m≤0）, (5) xy (x,y 异，号)
(6) a2 1 , (7) 3 5.
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属a 2于
“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）
根指数不是2，是3.（3）不是，因为(yīn wèi)在实数范围内，
负数没有平方根.
第八页，共二十二页。
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1.
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 x 1的值.
当x=9时， x 19 182 . 2
思考：当x是怎样(zěnyàng)的实数时，x 2
x 3 呢？
(4) 7 2 .
例1 计算(jìsuàn)：
(1)( 1 ) 2 2
(2)( 2 5 )2 3
解：(1)( 1 )2 1 22
例1（2）用到了 （ab）2=a2b2这个(zhège) 结论.
(2 )(25)2(2)2 (5)24 52 0
33
99
第十五页，共二十二页。
例2.（1）若
则a-b+c=___ .
第十三页，共二十二页。
归纳(guīnà)
一般(yībān)地， 有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
(1) 32, (2)6, (3) 12, (4)-m (m≤0）, (5) xy (x,y 异，号)
(6) a2 1 , (7) 3 5.
解： （1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属a 2于
“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5）中xy<0,（7）
根指数不是2，是3.（3）不是，因为(yīn wèi)在实数范围内，
负数没有平方根.
第八页，共二十二页。
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义?
解：由x-1≥0，得 x≥1.
当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义.
试求当x=9时，二次根式 x 1的值.
当x=9时， x 19 182 . 2
思考：当x是怎样(zěnyàng)的实数时，x 2
x 3 呢？
(4) 7 2 .
沪科版八年级数学下册 16.1《二次根式》课件(共19张PPT)
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
1 5 2 4 b b 0
指出下列哪些是二次根式？
3
5
9
a 1a 2
3
3
3
21
2
6
a b ab
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
掌握二次根式有意义的条件
a ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
2
(3) x
( 4)
1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
掌握并应用二次根式的基本性质
你如何理解“二次根式”？ •它们都带有 • 根号里的被开方数都是非负数 •
a 本身是一个非负数
a与 a 会区分
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
个非负数，是
a 表示a的算术平方根，它永远是一
a 中正的那个
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
1.二次根式的定义: 2.二次根式 a 有 意义的条件:
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
沪科版八年级数学下16.1二次根式(包含两个课时)
表示非负数a的算术平方根
复习 1、如果 x 4 ，那么 x ±2
2
；
；
x 3 2、如果 x 3 ，那么
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
a
2
a
(a 0)
a ( a 0) 2 a a 0 (a 0) a (a 0)
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 1)
1.由于 2 是2的算术平方根，根据 2 平方根的意义，应有（－2） =2 . 类似地，计算：
5 0 _____; 0 5 _____;
2
2
7 7 _____. 5 5
2
?
一般地,二次根式有下面的性质:
根号a”
请你区别（a≥0）
a,
a , a , 分别表示什么意义？
a 的平方根
a
49 . 1 100
a 的负平方根
的算术平方根 例2 先说出下列各式的意义，再计算。
2
9 225. 3 . 4
议一议
平方根与算术平方根有什么区别和联系？
联系 (1) 平方根包含算术平方根 (2) 被开方数都为非负数 (3) 0的平方根和算术平方根都是0 （4）平方根和算术平方根都是开平方运算
2
2
=√ （
x- ）
2
当 x =4时，| x - |=|4- |=4- .
∴当 x =4时，
√
x - 2 x +
2
2
=4- .
1 当x取何值时， 在实数范围内有意义。 x5