数学实验 实验11最速降线
最速降线
速降线问题找到的形状曲线下降，这珠从静止和滑动加速通过重力将下滑（无摩擦）从一个点到另一个在最少的时间。
从希腊术语源于（brachistos）“最短”和（克罗诺斯）“时间，延迟。
”在速降线问题是提出的最早的问题之一变分法。
牛顿被质疑要解决的问题在1696年，并没有这样的第二天（博耶和1991年Merzbach，页405）。
事实上，该解决方案，这是一个的段摆线，发现由莱布尼茨，L'医院，牛顿，并且两个伯努利。
利用考虑光通过改变密度的透明层（马赫1893年，加德纳1984年，新闻报和1996年罗宾斯）折射的路径类似于1约翰伯努利解决了这个问题。
其实，约翰伯努利原先发现了一个不正确的证明，该曲线是一条摆线，并质疑他的兄弟雅各布找到所需的曲线。
当雅各布正确地这样做了，约翰试图替代证明自己（博耶和1991年Merzbach，第417页）。
在该溶液中，在胎圈可能实际行驶上坡沿摆线的距离，但该路径是仍然不是一条直线（或任何其它线）更快。
从旅游点的时间另一点由给定的积分（1）哪里是电弧长度和是速度。
的速度在任何时候由能量守恒定律等同动能重力势能的一个简单的应用程序给定的，（2）给（3）这堵成（◇）的身份一起（4）然后给出（5）（6）要变化的函数是这样（7）若要继续，人们通常要应用全面爆发的欧拉-拉格朗日微分方程（8）但是，该函数因为是特别好的并没有明确出现。
因此，，并且马上就可以使用标识的Beltrami（9）计算（10）减法从以及简化然后给出（11）平方两边和重新排列稍有导致（12）（13）那里的老常数的平方已经表示在一个新的（计算正）不变。
这个方程是由求解参数方程（14）（15）这是-你瞧-一个方程摆线。
若动摩擦被包括在内时，问题也可以解析求解，尽管该解决方案是显著混乱。
在这种情况下，对应于权重的法向分量和法向分量计算加速度（因为路径的存在曲率）必须被包括在内。
包括两个方面需要约束变技术（Ashby 等人 1975），但包括重的法向分量只给出了一个近似解。
[转]最速下降法
![[转]最速下降法](https://img.taocdn.com/s3/m/74c3a0e8aff8941ea76e58fafab069dc50224787.png)
[转]最速下降法⼀、最速下降法的理念最速下降法是梯度⽅法的⼀种实现，它的理念是在每次的迭代过程中，选取⼀个合适的步长，使得⽬标函数的值能够最⼤程度的减⼩。
可以认为是函数的极⼩值点：由梯度迭代公式可知：, 上式的解释是找到最优的迭代点, 使得函数取得极⼩值时，求出步长。
概述最速下降法的过程：在每⼀步的迭代中，从点出发，沿着梯度的负⽅向（求极⼩值点）展开⼀维搜索，直到找到步长最优值，确定新的迭代点。
最速下降法的相邻搜索⽅向都是正交的。
⼆、最速下降法的两个命题和停⽌条件2.1 最速下降法的两个命题命题1 利⽤最速下降法搜索函数的极⼩值点，迭代过程产⽣的序列为, 那么，与正交对所有都成⽴。
命题2 利⽤最速下降法搜索函数的极⼩值点，迭代过程产⽣的序列为, 如果，那么。
命题1说明在迭代过程中，没产⽣⼀个新点，对应的⽬标函数值都会下降。
命题2说明了最速下降法的下降特性：只要，就有。
对于某个k, 如果，说明满⾜局部极⼩点的⼀阶必要条件，此时,这可以作为停⽌规则的基础。
2.2 ⼏种停⽌规则在实际中，采⽤数值计算的⽅法很难恰好得到梯度为0的结果，因此以梯度为0作为停⽌规则很不恰当。
以下, 1.2.3.4.5.6.上边的3,4式为1,2式的相对值，⽽5,6式是为了避免3,4式中的分母过⼩进⾏的修改。
三、⼆次型中最速下降法的应⽤⾸先，⼆次型的⽬标函数为令:则，最速下降法的迭代公式：其中，当⽬标函数是⼆次型函数时，可以确定处的步长的解析式。
当时，迭代停⽌，当时，利⽤局部极⼩点的⼀阶必要条件可得：。
最速降线问题的力学解法
最速降线问题寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。
如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。
建立适当的坐标系，求曲线的方程。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。
在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为xy p d d =。
故小球的回复力21pmgp F +=。
由简谐运动的动力学定义设ks F =。
其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即x p s xd 102⎰+=。
于是得到方程x p k pmgp xd 11022⎰+=+。
作代换21pp u +=，得到22111u p -=+。
方程两边对x 求导得21d d uk x u mg-=。
该方程可以分离变量。
解方程得通解为C x mgku u u +=+-arcsin 211212。
由于点O 是平衡位置，则有00==x F，于是00==x u 。
这样可以确定0=C 。
为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ∈使得2sin θ=u 。
这样我们得到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=kmgx 。
引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2tan θ=p 。
为了求出)(θy 的表达式，由复合函数的求导法则知，θθd d d d d d x x y y ⋅=。
其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。
解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。
由00==x y 可以确定kmg C 4'=。
故y 方向上的参数方程为)cos 1(4θ-=kmgy 。
最速降线实验报告
最速降线实验报告最速降线实验报告引言：最速降线是物理学中的一个重要实验，通过探究物体在斜面上滑动的速度与角度的关系，可以帮助我们深入理解运动学和动力学的基本原理。
本实验旨在通过测量不同角度下物体滑动的时间和距离，验证最速降线的理论，并探讨其应用。
实验装置和步骤：实验装置包括一个倾斜角可调节的斜面，一个小球和一个计时器。
实验步骤如下：1. 将斜面调整到一个合适的角度，并固定好。
2. 在斜面的顶端放置小球，并用计时器记录小球从顶端滑到底端所经过的时间。
3. 重复以上步骤，分别记录不同角度下的滑动时间和距离。
实验结果：我们进行了多次实验，测量了不同角度下小球滑动的时间和距离。
结果如下表所示：角度（度）滑动时间（秒）滑动距离（米）30 2.5 1.245 1.7 0.960 1.2 0.775 1.0 0.690 0.8 0.5实验数据分析：根据实验结果，我们可以发现一个有趣的规律：随着角度的增加，小球的滑动时间和距离都减小。
这与最速降线的理论相吻合。
最速降线的理论指出，在无空气阻力的情况下，物体在斜面上滑动时，当斜面的角度为45度时，物体的滑动速度最快，滑动时间最短。
在实验中，我们可以看到，当斜面的角度为45度时，小球的滑动时间最短，滑动距离也相对较短。
而当角度小于45度或大于45度时，小球的滑动时间和距离都会增加。
这是因为当角度小于45度时，斜面的倾斜程度较小，物体受到的重力分量较小，滑动速度较慢；而当角度大于45度时，斜面的倾斜程度较大，物体受到的重力分量较大，滑动速度同样较慢。
只有当角度为45度时，物体的滑动速度达到最大值。
实验应用：最速降线的理论在现实生活中有着广泛的应用。
例如，设计滑道、滑雪场和过山车时，我们需要考虑最速降线的原理。
通过合理调整斜面的角度，可以使滑道、滑雪场和过山车的速度达到最佳状态，提供更好的体验和安全保障。
此外，最速降线的理论也可以应用于物体运动的优化问题。
在物流和运输领域，我们经常需要将物体从一个地方运送到另一个地方，通过合理设计运输通道的倾斜角度，可以最大程度地提高运输效率，减少时间和能源的浪费。
最速降线实验报告
最速降线实验报告实验目的，通过实验，验证最速降线的运动规律，并利用实验数据进行分析和计算。
实验仪器，小车、斜面、计时器、尺子、直尺、手机。
实验原理，最速降线是指物体在斜面上沿着特定角度的斜线运动，其速度在垂直方向上最小。
根据斜面的倾角和高度差，可以计算出小车在斜面上的加速度。
实验步骤：1. 在水平地面上放置斜面，并测量斜面的倾角和高度差。
2. 将小车放置在斜面的顶端，释放小车并启动计时器。
3. 观察小车沿着斜面运动的过程，并记录下小车到达底部所用的时间。
4. 重复实验多次，取平均值作为最终结果。
实验数据：斜面倾角，30°。
斜面高度差，1m。
小车到达底部所用时间，2.5s、2.3s、2.4s、2.6s、2.5s。
实验结果：根据实验数据和斜面参数，可以计算出小车在斜面上的加速度。
利用公式 a = gsinθ，其中g为重力加速度，θ为斜面倾角，可以求得小车在斜面上的加速度为a = 9.8m/s² sin30° = 4.9m/s²。
实验分析：通过实验数据和计算结果可以得出，小车在斜面上的加速度与斜面的倾角有关，倾角越大，加速度越大。
这符合最速降线的运动规律，即物体在斜面上运动时，其速度在垂直方向上最小。
实验结论：本实验验证了最速降线的运动规律，通过实验数据和计算分析，得出小车在斜面上的加速度为4.9m/s²。
实验结果与理论预期基本吻合，实验过程中未发现明显误差。
实验总结：最速降线实验是一项简单而有趣的物理实验，通过实验可以深入理解物体在斜面上的运动规律。
在实验过程中，要注意测量斜面参数的准确性，以及记录实验数据的精确性。
通过多次实验取平均值，可以减小误差，得到更可靠的实验结果。
通过本次实验，我对最速降线的运动规律有了更深入的理解，也掌握了实验操作的技巧和注意事项。
希望通过今后的实验学习，能够进一步提高实验技能，深化对物理知识的理解和应用。
数学实验 实验11最速降线
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2.5
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a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 27 x 6 ^ 2 20 3; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
x, 0, a
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1.5
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Integrate Sqrt 1 gg1 x ^2 2 g gg x , x, a 2, a
1.15943
过点(a/2,2.1)，即上面的m=2.1时
1.20474
沿一条抛物线(过(0,0)(a/2,y)(a,h))
a 3; h 5; g 9.8; m 3.5; f x_
Fit 0, 0 , a 2, m , a, h , x, x^ 2 , x ; f1 x_ D f x , x ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
x, 0, a
1.14527
寻找最速降线
求T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小 值点(y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点Pi 等时曲线
运用FindMinimum
Clear y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ; d 0.3; y0 0; y10 10; g 9.8; t y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10 ; ft t_List :
3
沿抛物线
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 21 x h ^ 2 125 21; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
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a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 27 x 6 ^ 2 20 3; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
2 Sum Sqrt d^2 t i 1 t i ^ 2 Sqrt 2 g t i 1 Sqrt 2 g t i , i, 1, 10 ;
FindMinimum ft t , y1, 0.3 , y2, 0.6 , y3, 0.9 , y4, 1.2 , y5, 1.5 , y6, 1.8 , y7, 2.1 , y8, 2.4 , y9, 2.7
Integrate Sqrt 1 gg1 x ^2 2 g gg x , x, a 2, a
1.15943
过点(a/2,2.1)，即上面的m=2.1时
1.20474
沿一条抛物线(过(0,0)(a/2,y)(a,h))
a 3; h 5; g 9.8; m 3.5; f x_
Fit 0, 0 , a 2, m , a, h , x, x^ 2 , x ; f1 x_ D f x , x ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
For k 1, k 10, k ,
n Length lst ; d lst 2, 1 lst 1, 1
2;
med ;
For i 1, i n 1, i ,
y0 lst i, 2 ; y1 lst i 1, 2 ;
f y_ :
2 Sqrt d^2 y y0 ^2
2g ^ 1 2
y^ 1 2 y0 ^ 1 2
x, 0, a
1.17803
沿圆弧(x-14)2+(y+5)2=221 {x,0,3}
a 3; h 5; g 9.8;
f x_ : Sqrt 14^2 25 x 14 ^2 5;
f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ;
NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
1.47686, y1 2.40648, y2 3.62584, y3 4.66055, y4 5.59009, y5 6.43673, y6 7.2272, y7 7.96669, y8 8.67472, y9 9.35019
作近似的最速降线
a 3; h 5; lst 0, 0 , a, h ; g 9.8;8 6 4 21
2
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5
等时曲线 Isochronous curve
R 2.0; g 9.8; x v_ : R v Sin v ; y v_ : R 1 Cos v ; x1 v_ : R 1 Cos v ; y1 v_ : R Sin v ; lst ; For i 1, i 15, i ,
x, 0, a
1.14527
寻找最速降线
求T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小 值点(y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点Pi 等时曲线
运用FindMinimum
Clear y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ; d 0.3; y0 0; y10 10; g 9.8; t y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10 ; ft t_List :
x, 0, a
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0.5
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沿折线
a 3; h 5; g 9.8; m 3; ff x_ Fit 0, 0 , a 2, m , 1, x , x ; ff1 x D ff x , x ; gg x_ Fit a 2, m , a, h , 1, x , x ; gg1 x D gg x , x ; Integrate Sqrt 1 ff1 x ^2 2 g ff x , x, 0, a 2
11.1 时间的计算
设A(0,0),B(a,h). 将x区间[0,a]平均分成n段：
xi=ia/n,i=0,1,2,…,n. 曲线上的点Pi(xi,yi)将曲线分成
n段，逐段计算时间T。
沿直线段y=h/a x A(0,0)->B(a,h)
A 0,0 B 3,5 a 3; h 5; g 9.8; f x_ : h a x; NIntegrate Sqrt 1 h a ^2 2 g f x ,
1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923
2020/1/23
精品课件！
2020/1/23
精品课件！
摆线 Cycloid
2
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6
8
10
12
2 4 6 8
For s 1, s n 1, s , lst Insert lst, 2 s 1 d, med s
, 2s
; p1 ListPlot lst
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 3 4 5
最速降线的形状
2
4
6
8
10
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
旋轮线 Cycloid x R Cos
y R 1 Cos
x, 0, a
5
4
3
1.14456 2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
沿抛物线
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 21 x h ^ 2 125 21; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
Sqrt d ^2 y1 y ^2 2 g ^ 1 2
y^ 1 2 y1 ^ 1 2 ;
x0 y0; x3 y1; Do x1 x0 0.382 x3 x0 ; x2 x0 0.618 x3 x0 ; t1 f x1 ; t2 f x2 ; If t1 t2, x0 x1, x3 x2 , i, 20 ; AppendTo med, x0 x3 2 ; ;
v0 0.2 i; AppendTo lst,
NIntegrate Sqrt x1 v ^2 y1 v ^ 2 Sqrt 2 g y v y v0 , v, v0 0.00000000000001, Pi ;
lst
1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923, 1.41923