最速降线问题(数学模型概述)

本章研究DE模型的建模方法： 涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人 口；体育；社会经济等。
§4-1几何问题
建立几何问题的数学模型方法： 1）找出反映该问题的几何关系 2）把几何量的表达式代入该关系式 3）得到DE即几何问题的数学模型
模型三、 最速降线问题
1.历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在 《教师报》上发表了一封公开信。信的内容是：请世界 上的数学家解决一个难题- “最速降线问题” 此问题的 提出一时轰动了欧洲。引起了数学家的极大兴趣。之后 此问题由Newton，Lebeniz，Bernoulli兄弟所解决，从而 产生了一门新的学科-变分学。
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Ch4. DE模型（ Ch5. 差分方程模型 Ch6. 工程系统中的模型）
在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、 工程及社会等领域中，有大量的系统是DE模型。建 模的方法可归纳为： （1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、 光学、生物学、药学、化学定律 （2）由微分法列方程：如微元法 dy f ( x)dx （3）模拟近似法：有些象生物，经济学科的实际问题， 规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟 实际现象，得到DE。求出解来与实际对比。看其能 否刻划某些实际现象。
A 3.2 模型假设 设想质点由A滑到B的路径， 使所需时间为最短（像光学一样） 依光学原理（史奈尔折射定律）得 sin c （常数）（1） v y
x
p( x, y)
B
3.3 模型建立。 据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其 到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关。该质 点质量为m，重力加速度为g，质点由A滑到点 p( x, y )的 速度为v.则 1 2 mv mgy或 v 2 gy （2） 由几何关系，有 2 1 1 1 （3） sin cos
6）依数学模型所用方法分为： ①初等模型 ② DE模型 ③优化模型 ④统计模 ⑤控制论模型⑥逻辑模型⑦扩散模型 7）依数学模型的领域分为： ①人口模型②交通模型③生态模型④生理模型 ⑤经济模型⑥社会模型⑦工程系统模型以及电力模型 8）依数学模型对象的了解程度分为： ①白箱模型 ②灰箱模型 ③黑箱模型. §1-4建模步骤和原则 1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。 2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握 必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语 言作出假设。(关键一步)
1）选取走私船逃跑 R(0, at ) y 的方向为y 轴方向； y-at D ( x, y ) 2）缉私舰在（c，0） 处发现走私船在（0，0）处。 3）船舰视为两个质点。 4）设发现船的t时刻时，走 o 私船到达R（0，at）点，缉私舰到达D（ x， y ）. 3. 模型建立 因为直线DR与路径相切，所以由几何关系，有
作业 ：习题四 .4.3
问题3: 建立导弹攻击目标的数学模型。 问题4: 建立潜水艇的导弹攻击目标的数学模型。
x1
1 ( y ' )2 dx
（9）
f ( y, y )
2 gy
由变分法知，（9）的解所满足的欧拉方程为
即
f y f c1 y 1 ( y ' )2 ( y ' )2 c2 y y 1 ( y ' )2
' 2 y 1 ( y ) c
此即为（4）.
问题1: 建立我国海上人员缉私的实际模型。 问题2: 外摆线齿轮与圆渐开线齿轮数学模型的 区别研究
模型四、追线问题（追击模型）
1.问题描述（模型准备） 我海上缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走 私船正以匀速a沿直线行驶.缉私舰立即以最 大速度b追赶，若用雷达进行跟踪。保持船的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。 2. 模型假设 （见下页图）
Ch1.数学模型概述
§数学模型分类 1）依数学模型功能分为：①定性的②定量的 2）依数学模型目的分为：①理论研究的②预知结果的 ③优化的. 3）依数学模型变量关系分为： ①代数的②几何的 ③积分的 4）依数学模型结构分为： ①分析的②非分析的 ③图论 5）依数学模型研究对象特征分为： ①确定的与随机的②静态的与动态的 ③连续的与离散的④线性的与非线性的
（14）
c 1 x k 1 1 x 1k ck y ( ) ( ) , 2 2 1 k c 1 k c 1 k ck abc y 2 , 2 2 当t=0时， 1 k b a
t a b a
2 2
abc 即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离为 , 2 2 b a y bc 所用的时间为：
.
②若
ab
即
k 1 则由（14）可得：
（15）
1 x2 c2 x y c ln 2 2c c
③若 a b, 即 k 1, 显然，此时缉私舰也不可能追上 走私船。 1. 设飞机在半径为 a 的圆周上以等速v运动，导弹从 圆心出发追踪，当 t 0 时，飞机在 r , 0 ，导弹在圆 心，若导弹速度也是v，而且圆心、导弹、飞机总是在 一条直线上，证明当飞机飞行至 0, r 时，导弹正好追 上它。
ds 1 ( y)
所以
1 ( y ' ) 2 dx dd ds dt v 2 gy 2 gy
③整个下降时间是
dt
ds
的积分.故，需取最小值的积分
t y ( x) 是 ： 0 2 gy 此为求泛函 t y( x) 的极小值问题。 2 令 1 ( y ) ④
y y (c y ) c
2
（5）
y sin t
y c sin t ,
2
dy 2c sin t cos tdt
所以dx tan tdy 积分得： c
2c sin tdt c(1 2cos t ) d t
2
x
因为曲线过（0，0），所以当t=0时，有x=y=0.于是 c1 c =0.所以 （6） x 2t sin 2t 2 而 c 2 （7） y c sin t (1 cos 2t ) 若令
作业: 习题四4.1 1.如图所示，沿 y 轴及直线 是河的两岸，河水以 匀速 a 朝 y 轴方向流动， 小船从 (c, 0) 处入河相对 于河水的速度b直接朝原点行驶. 求船行路线，并确定a 与b须满足 什么条件才能使小船到达彼岸， 船在何处登岸？
xc
y
0

(c, 0)
y
( x, y )
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
• 2.问题：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点
•
在这曲线上用最短的时间由A滑向B点(介质的摩擦力 与空气阻力忽略不计）。 有人指出：连结A，B的直线段即为速度线。回答是 否定的。在1630年Newton实验：在铅垂平面内，取 两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B。（先到达B） 另一个沿直线从A滑到B。（晚到达B） Galilei认为速降线是圆弧线（错了）。 3.建模 3.1 模型准备 选取直角坐标系 参看下页图
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Ch2建模的常用方法
（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法 （4）数据分析法（5）人工假设法（6）物理系统建模法 请作习题二，2.5 MP MO MS
M准备 M假设
M建立
M应用
分析 检验
M求解
MAP
MAN，MT
MF
• 简单方法建立问题的数学模型： • 1.代数法 • 此方法涉及到以下四个例题: • 1）例3.1.1 生小兔问题（Fabonacci问题） • 2）例3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题） • 3）例3.1.3 雨中行走问题 • 4）例3.1.4 动物形体问题 • 2.图解法 • 1）例3.1 实物交换问题 • 2）例3.2.2 导弹核武器危机
2
2t sin 2t c1
c a , 2
2
2t
（8）
则(6)(7)变为
x a( sin 2t ) y a(1 cos 2t )
此为旋轮线（圆滚线，外摆线）的参数方程.（外摆线为齿轮线） 3.5 模型分析 3.6 模型检验 注1 只要适当选a，可使摆线过B点。 3.7 模型应用 a 注2 速降线的深远意义： （x,y） 1，由此产生了变分法——近代分析的一重要分支； 2，揭示了物理世界的心脏中包含着简单性. 注3 应用变分法。可同样得到模型（4）. ds ①设s为 AP 的弧长，则有 v 2 gy dt ②又由弧微分有 2
s
(c, 0)
x
dy y at dy tan t 或x y at dx x dx
两端对x求导，有 代入
（10） （11）
ds b, dt
d2 y dt x 2 a dx dx
（最大速度为b（缉私舰））
得到
dt dt ds 1 1 dy dx dx ds dx b
Ch3.初等模型
• 3.量纲分析法
• 1）单摆运动 • 2）开普勒第三定律 • 4.初等概率法 • 1）例3.4.1 Buffon问题（投针问题） • 2）例3.4.2 下赌注问题 • 3）例3.4.3 Banach火柴盒问题 • 4）例3.4.4生男生女问题 • 5）例3.4.5供电问题 • 另外还有 递推法 人狗鸡米渡河问题 • 夫妻过河问题 • 图形法 市场平衡问题
则上式可化为
所以
dx k 又 2 x 1 p
2
dp
p c 0
x k ln( p 1 p ) ln( ) c
所以 先确定k. ①若 a b,从而 k 1. 积分（14），有：
dy 1 x k c k p ( ) ( ) , y(c) 0. dx 2 c x