最速降线问题的力学解法
最短路线和最速降线
最短路线和最速降线一.最短路线1.问题设一辆汽车停止于A处并垂直于4B方向，此汽车可转弯的最小圆半径为R,求不倒车时由4移到B的最短路线。
（1）讨论AB>2R的情形。
（2 ）简单讨论AB<2R的情形。
2.假设将汽车视为一个点，汽车行走的路线视为一条曲线。
3.建模（1）讨论AB>2R的情形。
以43为Y轴正向，作一半径为R的圆厂与X轴切于4点，问题就是要找一条最短曲线连结AB,在4点切于X轴正向，且任一点的曲率半径不小于R。
直观上不难猜测出最短路径。
从疗点向圆厂做切线BC,那么由A点沿圆弧AC移到C点，再沿直线移到B点，这就是最短路径（如图1所示）。
为了证明这一事实，作一条直线/通过圆r的中心o和c点。
假设汽车沿某一条曲线r\由4点移到B点，因4、疗分别在直线/两侧，r\与/必有一交点c; ,r\被分成弧Ac;和弧BC,两段。
因BC与/垂直，弧BC］的长度必不小于线段BC的长度（当且仅当弧与线段BC重合时才可能相等）。
设弧AC,的参数方程为兀=x(5), y =y(s)/(O) = 0, y(0) = 0 其中S为弧长。
在点（x（s）』G））处，曲线的切线与X轴的夹角记为/依条件有d0 1，，Ids R当$ = 0时，8 = 0,故赵 1/M, 从而0 <s/R.研究曲线上的点与直线/的距离（在/的右边为正J (s) = x(5)cos a - (y(j) - R) siii a、a=乙 BOC因为dx ° dy . —=cos 乩亠=sin 0 ds dsx(5)= £ cos O(t)dt, y(5)=£' sin O(t)dtJ (5) = cos a ・J*。
cos O(t)dt - sin sin O(dt) - R)=£ cos(8(/) + a)dt + Rsma当 r >0 时，有 |^(r)| < t/Ro 当 0 G 5 兀一 a)时,-—+a < 0(t) + a < 丄 + a<n R R故 cos(Q(/) + a)> cos(丄 + a) R故当 (龙一a)时，J (5) > £ cos (— + a)dt + Rsma = R sin(— + 6Z) > 0这就是说，当汽车移动距离不超过7?（龙-a ）（就是弧AC 的长度）时，它不可能越过 直线/。
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
最速降线方程公式
最速降线方程公式人类探索自然规律的脚步永不停歇，而最速降线方程公式则是其中一道解谜的关键。
这个公式可以帮助我们理解物体在重力作用下的运动轨迹，揭示了自然界中诸多现象的背后原理。
让我们来看看最速降线方程公式的基本形式：y = f(x)。
这里，y代表物体的高度，x代表时间或者水平方向的位移。
通过这个公式，我们可以追踪物体在某个时刻的位置，进而推断出它在整个运动过程中的轨迹。
然而，最速降线方程公式的美妙之处并不仅限于此。
它还能帮助我们研究自由落体、抛体运动等多种物理现象。
通过改变方程中的各个参数，我们可以模拟出不同条件下的运动轨迹，从而更好地理解自然世界的运动规律。
例如，在最速降线方程公式中加入一个参数a，我们可以研究物体在斜坡上滑动的情况。
当a大于0时，物体将滑下斜坡；当a等于0时，物体将保持静止；而当a小于0时，物体将向上滑动。
通过调整a的数值，我们可以观察到物体在不同斜度的斜坡上的运动方式有何不同。
除此之外，最速降线方程公式还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，当我们需要计算一个物体从山顶滑下到山脚所需的时间时，可以利用最速降线方程公式来得出准确的结果。
这个公式成为了我们解决实际问题的得力工具。
最速降线方程公式的研究还有助于培养我们的科学思维能力。
通过观察、实验和推理，我们能够更深入地理解这个公式背后的物理原理，进而探索更多有趣的现象和问题。
最速降线方程公式是人类智慧的结晶，它揭示了自然界中物体运动的奥秘。
通过研究和应用这个公式，我们能够更好地理解自然规律，解决实际问题，并培养自己的科学思维能力。
让我们继续探索，揭开更多自然规律的面纱，为人类的进步贡献一份力量。
最速降线 原理
最速降线原理
最速降线原理是物理学中的一个重要概念，也是人们普遍生活中都能体验到的物理现象。
其原理主要包括重力及惯性力在物体运动过程中的作用以及在无阻力情况下物体在垂直方向上运动的规律等。
最速降线原理主要指的是在无阻力作用下，物体从一定高度自由落下时，其所经过的路径是一条曲线，这条曲线被称为最速降线。
最速降线原理主要的物理原理是重力的作用和惯性力的作用。
重力是地球对于物体的吸引力，其作用方向始终指向地心，其大小与物体的质量成正比，与物体所处的高度成反比。
惯性力是物体在运动过程中所受的惯性作用力，其大小与物体的质量成正比，与其运动速度的平方成正比。
在最速降线原理中，无论物体从什么高度自由落下，其所经过的路径都是一条曲线，这条曲线被称为最速降线。
其最大特点在于，物体在沿着这条曲线运动过程中，其速度是不断变化的，但其总能量保持不变。
这是因为，物体的动能和势能之和始终保持为定值。
最速降线的路径可以通过各种数学方法进行求解，其中最著名的是布鲁诺的卡西尼椭圆曲线。
这条曲线被称为“最优曲线”，因为它是物体自由落体运动中总时间最短的路径。
最速降线原理在实际生活中具有广泛的应用价值。
如，它可用于设计roller coaster（过山车）等娱乐设施，以及计算高空跳伞过程中的跳伞速度和轨迹等等。
总之，最速降线原理是物理学中的一个重要概念，对于人们理解和掌握物体运动过程中的规律具有重要意义。
最速降线问题
最速降线问题“想象一个小球，仅受重力，从点 A 出发沿着一条没有摩擦的斜坡滚至点 B。
怎样设计这条斜坡，才能让小球在最短的时间内到达点 B？”这个在数学史上被称为“最速降线”的知名问题，最早是由著名的意大利科学家伽利略（Galileo Galilei）于 1630 年提出来的。
他在研究后认为最速降线应该是圆弧，但可惜的是这个答案并不是正确的。
时间又过了 60 多年，1696 年 6 月，来自瑞士巴塞尔（Barsel，这座城市不仅是数学世家伯努利的故乡，也是欧拉的故乡，有一个由欧拉解决的著名数论问题就是以这座城市命名的）的约翰・伯努利（Johann Bernoulli）在《教师学报》（Acta Eruditorum）上又重新提出这个问题，并向全欧洲的数学家提出公开挑战。
这个别出心裁却又十分容易理解的问题吸引了当时全欧洲的数学家，而最后给出了正确解答的人也都是数学史上赫赫有名的巨人。
这也让这次挑战成为了数学史上最激动人心的一场公开挑战。
数学家之间公开挑战的传统要追溯到 16 世纪在意大利的博洛尼亚（Bologna）。
16 世纪初的博洛尼亚曾是欧洲数学思想的大熔炉，全欧洲的学生都会来到博洛尼亚大学。
他们甚至还“发明”了一项新的观赏运动——数学比赛。
这听起来有些匪夷所思，但在当时确实有大批的观众从各地涌来，围观数学家们互相之间用数学斗法。
其中最有名的一次，是在塔塔里亚（Tartaglia）和费奥（Fior）间上演的，是一场关于求出一元三次方程通解的世纪智力大战。
言归正传，在约翰・伯努利发出挑战后的半年里，他收到的唯一一份答案来自《教师学报》的主编，他的老师莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz）。
在莱布尼茨的要求下，他将接受答案的最后期限推迟到 1697 年的复活节，以便有更多的数学家能参与到这场挑战中来。
我们都知道，过两点的直线段是两点间的最短路径。
但使质点的运动时间最短的运动轨迹，却不是那么的显而易见。
最速降线问题的力学解法
最速降线问题寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。
如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。
建立适当的坐标系，求曲线的方程。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。
在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为xy p d d =。
故小球的回复力21pmgp F +=。
由简谐运动的动力学定义设ks F =。
其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即x p s xd 102⎰+=。
于是得到方程x p k pmgp xd 11022⎰+=+。
作代换21pp u +=，得到22111u p -=+。
方程两边对x 求导得21d d uk x u mg-=。
该方程可以分离变量。
解方程得通解为C x mgku u u +=+-arcsin 211212。
由于点O 是平衡位置，则有00==x F，于是00==x u 。
这样可以确定0=C 。
为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ∈使得2sin θ=u 。
这样我们得到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=kmgx 。
引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2tan θ=p 。
为了求出)(θy 的表达式，由复合函数的求导法则知，θθd d d d d d x x y y ⋅=。
其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。
解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。
由00==x y 可以确定kmg C 4'=。
故y 方向上的参数方程为)cos 1(4θ-=kmgy 。
实验数学十四：最速下降路线的确定
f y f C y 2 2 1 y y C y y 1 y 2
18
这可简化为
y[1 ( y) 2 ] C
与方程（16-2）是一致的。 2.5 内容小结 本次实验我们首先通过几个简单曲线的计算，排 除了直线是最快的下降曲线这一直觉结果，得出最快 的下降曲线应该是一条上凹的曲线这一猜想。然后根 据问题的实际意义得到相应的数学模型方程。先通过 求数值解的方法得到最快下降路径曲线，然后求出它 的理论解应是一条摆线。 14.3 实验任务
t
a 0
2 ( x ) 1 y 2
4
t
a 0
1 y 2 ( x ) 2 gy ( x)
dx
(16.1)
由此可见，质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状， 不同的曲线下滑所用的时间不同。 下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。 不妨假设B点的坐标为(1,1)，如图14.3所示。
3
若设质点下降路程为s(t)，则由
s(t )
可得
x
0
2 ( x) dx 1 y
d s(t ) dx 2 v(t ) 1 y ( x) dt dt
v(t ) 2 g y
dt 1 y2 ( x) 2g y dx
这样质点沿曲线从A点滑到B点所用的时间为
2
如图14.2所示，并选取相应的坐标系。
图中P(x,y)表示下降中的质点坐标，途经曲线设为 y=y(x)，质点的质量设为m，重力加速度设为g，质点 下降的速度设为v(t)，t为质点的下降时间。 则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知 1 2 mv (t ) m g y 2 由此可得
v(t ) 2 g y
因此按照史奈尔折射定律可得出
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线一、引言在物理学和工程学中，我们经常需要研究物体在重力场中的运动规律。
而在研究物体在重力场中的运动问题时，经常需要求解最速降线的问题。
那么，如何使用拉格朗日乘数法来计算最速降线呢？接下来，我们将通过深入的探讨和分析，来揭示这一问题的解决方法。
二、什么是最速降线？最速降线是指在给定两点之间，一条曲线上一点到另一点的时间最短。
在重力场中，物体遵循最速降线原理，也就是物体在重力场中自由运动时，路径为最速降线。
对于给定两点之间的最速降线问题，我们需要找到一条曲线，使得物体从起点到终点所需的时间达到最小值。
三、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法。
它的基本思想是将原问题转化为一个无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来构建一个拉格朗日函数，然后求解该函数的驻点。
在最速降线问题中，我们需要将最速降线的约束条件转化为拉格朗日乘数形式，然后应用拉格朗日乘数法来求解。
四、使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤1. 建立参数方程我们需要建立最速降线的参数方程。
设最速降线为y=f(x)，起点为(x1,y1)，终点为(x2,y2)，则我们可以建立参数方程：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b其中，参数t的范围为[a,b]。
2. 构建拉格朗日函数接下来，我们需要构建拉格朗日函数。
根据最速降线的约束条件，即起点和终点确定，我们可以建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-k)其中，λ为拉格朗日乘子，g(x,y)为约束条件函数，k为约束条件的常数值。
3. 求解拉格朗日函数的偏导数我们需要求解拉格朗日函数关于x、y和λ的偏导数，并令其等于0，得到方程组：∂L/∂x=0∂L/∂y=0∂L/∂λ=0通过求解上述方程组，我们可以得到参数方程x=x(t)，y=y(t)的解。
4. 求解最速降线方程通过将参数方程带入原函数f(x,y)，我们可以求解出最速降线的方程，从而得到最速降线的数学表达式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最速降线问题
寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。
如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。
建立适当的坐标系，求曲线的方程。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。
在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为
x
y p d d =。
故小球的回复力2
1p
mgp F +=。
由简谐运动的动力学定义设ks F =。
其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即
x p s x
d 10
2⎰
+=。
于是得到方程
x p k p
mgp x
d 110
22
⎰
+=+。
作代换2
1p
p u +=
，得到
2
2111u p -=
+。
方程两边对x 求导得21d d u
k x u mg
-=。
该方程可以分离变量。
解方程得通解为
C x mg
k
u u u +=+-arcsin 211212。
由于点O 是平衡位置，则有00
==x F
，于是00==x u 。
这样可以确定0=C 。
为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ
∈使得2
sin θ
=u 。
这样我们得
到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=
k
mg
x 。
引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2
tan θ
=p 。
为了求出)(θy 的表达式，由
复合函数的求导法则知，
θθd d d d d d x x y y ⋅=。
其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。
解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。
由00==x y 可以确定k
mg C 4'=。
故y 方向上的参数方
程为)cos 1(4θ-=
k
mg
y 。
综合上述讨论，我们可以得出所求曲线是参数曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)cos 1(4)sin (4θθθk mg y k
mg x （θ为参数）
的一部分。
不难得出它应该是一条摆线。