1-最速降线问题分解
最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法
f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1
2 x2
2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见 两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二 三 四
下 降 算 法
五
最速下降法 Newton法 共轭梯度法
多尺度法 （拟Newton法）
二、最速下降法 假设 f 连续可微，取 线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。 从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )
(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降 法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任 何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法
最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得
微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt
最速降线问题的力学解法
最速降线问题寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。
如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。
建立适当的坐标系，求曲线的方程。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。
在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为xy p d d =。
故小球的回复力21pmgp F +=。
由简谐运动的动力学定义设ks F =。
其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即x p s xd 102⎰+=。
于是得到方程x p k pmgp xd 11022⎰+=+。
作代换21pp u +=，得到22111u p -=+。
方程两边对x 求导得21d d uk x u mg-=。
该方程可以分离变量。
解方程得通解为C x mgku u u +=+-arcsin 211212。
由于点O 是平衡位置，则有00==x F，于是00==x u 。
这样可以确定0=C 。
为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ∈使得2sin θ=u 。
这样我们得到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=kmgx 。
引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2tan θ=p 。
为了求出)(θy 的表达式，由复合函数的求导法则知，θθd d d d d d x x y y ⋅=。
其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。
解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。
由00==x y 可以确定kmg C 4'=。
故y 方向上的参数方程为)cos 1(4θ-=kmgy 。
最速降线问题
解 且y(0)=0,y(p)=q 这样 其E-L方程为 由于 所以有 则可得 上式对θ求导，所以 根据曲线过原点(0,0)及(p,q)可求出x0=0及r，这样，所求曲线为
应用
最速降线无论在数学上还是物理上都进行过严格的证明,对工程来说,其物理原理为在同一高度滚下的两个球, 两球下滚的原因都是受重力分力的作用,沿直线下滚的球,下滑的加速度保持不变,速度稳定地增加。沿着旋轮线 下滑时,开始的一段的坡度非常大,使得下滑的球在非常短的时间内取得的下滑速度非常大。虽然,在下滑的后半 阶段,坡度逐渐变小、速度增加变缓,但此时的下滑速度已经变得很大。所以,沿着旋轮线下滑在整个下滑阶段的 平均速度很大。即使旋轮线的长度比直线的长度大,沿着旋轮线下滑的时间也比直线短。
求解
列出表达式
最终解答
图1设 O, A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m在重力作用下 从 O点沿一曲线降落至。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。
设曲线为 y=y(x)，坐标如图1所示，质点由 O点开始运动，它的速度 v与它的纵坐标有关系 式中， g是重力加速度。 在曲线上点 (x, y)处，质点的运动速度为 式中， s表示曲线的弧长， t表示时间，于是 由于点 O, A的横坐标分别是 0, p，则质点 m从 O点运动到 A点所需时间为 这样，质点由 O点运动到 A点所需时间 t是 y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件的 所有连续函数 y(x)中，求出一个函数 y使泛函式取最小值。 对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆 线（旋轮线）又称等时曲线。
最优化方法-最速下降法
计算步骤
设f (X )是可微函数，精度要求为
X f ( ) K 1
，
X 0 为初始点。
(1)计算梯度
f
(
X
)
k
，初始k=0；
(2)
Pk
f
(
X
)
k
(3)求解 k
min f ( X k Pk)
s.t. 0
设 k 是一维搜索的最优解；
(4)求下一个点
评价
由例题中可以发现两次迭代的搜索方向满足：
P P P P T 0, T 0,...,
01
12
即相邻两个搜索方向 PK 与 PK1 正交，这是最速下降
法的搜索方向的基本形质。因此，最速下降法的迭代
路线呈锯齿形，尤其是在极小点附近，锯齿现象尤为
严重，从而影响了迭代速度。
评价
锯齿现象
最优化技术
第三章 7节 最速下降法
主要内容
1原 理
2 计算步骤
3 例题分析 4评 价
原理
定义：用来求解无约束多元函数 min f（x）
极小化问题的一种迭代算法。
拓展：
最速下降法又称梯度法，是 1847 年由著名数学家
Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析 方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是 最优化方法的基础。
X
)
0
(1,1)T
3-最优步长
2
X P ( ) f 5
0
0 2
1
0
应用一维搜索技术，解得函数最小值点 0 =0.2
举例分析
4-下一搜索点
X1
最速下降法原理及例题实例
一、最速下降法基本原理
(一) 无约束问题的最优性条件
无约束问题的最优解所要满足的必要条件和充分条件是我们设计算法的依据， 为此我们有以下 几个定理。 定理 1 设 f : R → R 在点 x ∈ R 处可微。若存在 p ∈ R ，使
n 1 n n
∇f ( x )T p < 0
则向量 p 是 f 在点 x 处的下降方向。 定理 2 设 f : R n → R1 在点 x∗ ∈ R n 处可微。若 x∗ 是无约束问题的局部最优解，则
令 再求单变量极小化问题
p1 = −∇f ( X 1 ) min f ( X 1 + tp1 )
t ≥0
的最优解.略去计算步骤，由表 1-1 给出计算结果.由表 1-1 可以知道， ∇f ( X ) = 0.09 < ε ，所以
7
X 7 = (2.28,1.15)T 为近似最优解，原问题的近似最优值为 0.007 .
T T
α1 =
因此
22 1 = 2 3× 2 3
X ( 2) = X (1) + α1d (1) = [0, 0] +
T
1 2 T ,0 [ 2, 0] = 3 3
T
再计算第二轮循环，表 1-2 列出了各次迭代的计算结果。共计算了 9 个点， ∇f ( X
(9)
) = 0.025 <
表 1-1 迭代次 数k
Xk (0.00,3.00)T (2.70,1.51)T (2.52,1.20)T (2.43,1.25)T (2.37,1.16)T (2.33,1.18)T (2.30,1.14)T (2.28,1.15)T
f (X k ) 52.00
第二章 泛函极值及变分法(补充内容)
第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。
例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。
图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。
设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。
图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。
因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。
回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
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k
认为质点在每层内的速度不
变，于是依辅助结论知
sin k sin k1
k 1
B
vk
vk 1
y
由于上式对任何k成立，
故导出
sin k C (常数)
vk
令平行线的间距趋于零，我们就得到在曲线 上任何一点
sin C (常数)
v
其中α为该点切线与铅垂线的夹角。
A
cx
α
B
y
据能量守恒原理，质点在一高度处的速度，完全由 其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经路线
最速降线问题
确定连接两定点 A，B 的曲线，使质点 在这曲线上用最短的时间由 A 滑至 B 点 （忽略摩擦力和阻力）。
•A
•B
约翰.伯努利（John Bernoulli 1667-1748） 原来错选了职业，他起先学医，并在1694年获得巴塞尔 大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱 上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力 学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在 他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学 家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一 个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿 着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极 小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、 莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
显然在l一侧质点应走直线，因此关键是质点
何时越过l ？
如图，若A1,A2到l 的垂足分 A1
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
1
Dl
为a, b, OD =c, 质点经过l于C
O
C
2
OC=x 那么质点由A1到A2需时
A2
间:
x2 a2 (c x)2 b2
t
v1
v2
dt
x
cx
dx v1 x2 a2 v2 (c x)2 b2
1.模型分析：
也许有人认为速降线应是连接A和B的直线段，其
实不然。牛顿做过实验：在铅锤平面内，取同样的
两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B，另一个沿直线
从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到B。伽利略也
研究过该问题，他认为速降线是圆弧线。
A
x
o
B
y
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2，质点速度在l 的 上侧为v1，下侧为v2，则质点如何运动才最省时？
无关，设质点质量为m，重力加速度为 g ，质点从
A下滑至 Px, y 点时速度为 v ，则
1 mv2 mgy 2
或
v
2gy
从这里的几何关系得
sin cos 1 1
sec 1 y2
sin cos 1 1
sec 1 y2
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
y[1 y2] c
2
x a sin
y
a
1
cos
这是摆线的标准参数方程，这种曲线是半径为 a 的圆
周上一点沿 x 轴滚动产生的。见图。
y
o x, y
2a
x
4. 结论： 需指出，使上图中摆线第一拱通过B点的 a 值只有一 个，因若让 a 从0增到 ，这一拱弧就逐渐膨大，扫过 整个第一象限，因而若适当选取 a，就能使它通过B。
惟一驻点满足
x
cx
v1 x2 a2 v2 (c x)2 b2
也即
sin 1 sin 2
v1
v2
A1
1
Dl
O
C
2
A2
这就是光学中的Snell折射定律
2. 建立数学模型
分析：如图建坐标系，若用与x 轴平行的直线将
AB 分割成小段, 考虑在第k
层与k+1层质点在曲线上的 A
cx
下滑，依能量守恒律，可近似
雅可布伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）著名数学家。 约翰.伯努利的哥哥，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分， 并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了 无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在 tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。 雅可布在《学艺》上发表了一系列重要的论文，微分方程中的 “伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极 坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提 出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问 题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。 雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结 果还是对数螺线。
y
0
0
这就是最速降线的微分方程数学模型。
3. 模型求解：
我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782） 起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
x c 2t sin 2t
而
2
y c sin2 t c 1 cos 2t
2
x c 2t sin 2t
2
y c sin2 t c 1 cos 2t
2
若令 a c , 2t ，则联立上两式得
Ref：尤明庆，最速降线求解和摩擦力影响的研究，河南理工大学学报，2005，24（1）
5. 模型评价：
约翰·伯努利对速降线问题的解法，非常奇妙，表现出 惊人的想象能力。速降线问题除内在的价值外，还有 巨大的意义。它是变分法的历史根源，变分法是近代 分析的极有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里 隐藏的简单性。