最速下降路线的确定--实验报告
最速降线最简单证明
最速降线最简单证明最速降线问题是数学中一个经典的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个点，使得从该点触底后，到目标点的时间最短。
为了解决这个问题，我们可以设定一个二维坐标系，其中起始点为原点O (0, 0)，目标点为P (x, y)。
同时，我们假设点P的横坐标x大于0，即目标点在原点的右侧。
我们需要找到这样一个点Q，使得从原点O出发经过Q点最短时间。
设点Q的横坐标为α，根据问题的对称性，我们可以假设点Q的纵坐标为0。
因此，点Q的坐标为(α, 0)。
我们假设点Q点处的切线，与横坐标轴的夹角为θ。
则根据三角函数的性质，我们可以得到：tanθ = y/α这表示切线的斜率为y/α。
我们知道，从点Q到点P所需的时间为t = √(α^2 + y^2) / V，其中V为垂直速度。
点Q处的切线斜率与速度向量的斜率相等。
假设速度向量的斜率为k，则有：k = tanθ = y/α由此可得：α = y/k将α的值代入到时间的表达式中，我们可以得到一个只涉及到k 和y的时间表达式：t = √(y^2+(y/k)^2) / V = √(y^2+k^2y^2)/Vk = y√(1+k^2) / Vk我们需要最小化时间t，即求极小值。
为了方便计算，我们可以对时间t取平方，即t^2。
由于t^2关于y的函数形式简单，我们可以通过求导数将其转化为极值的问题。
计算t^2的导数，我们可以得到：2t * dt/dy = 2y * √(1+k^2) / Vk + y * (1+k^2)^(-1/2) * 2k * dk/dy / Vk化简上式，我们可以得到：√(1+k^2) / k - k * (1+k^2)^(-1/2) * dk/dy = 0将上式中的k代入到之前的k = y/α中，我们可以得到：√(1+(y/α)^2) / y - (y/α) * (1+(y/α)^2)^(-1/2) * (1/α) * dy/dα = 0化简上式，我们可以得到：√(α^2+y^2)/α = 1/α * dy/dα移项并化简，我们可以得到：(α^2+y^2) / α^2 = dy/dα由于α = y/k，我们可以进一步化简上式，得到：(k^2y^2+y^2) / (y^2/k^2) = dy/dα化简上式，我们可以得到：(k^2+1) / k^2 = dy/dα上式左边是常数，因此dy/dα也是常数。
最优化方法实验报告(2)
最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。
（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。
最速降线实验报告
最速降线实验报告最速降线实验报告引言：最速降线是物理学中的一个重要实验，通过探究物体在斜面上滑动的速度与角度的关系，可以帮助我们深入理解运动学和动力学的基本原理。
本实验旨在通过测量不同角度下物体滑动的时间和距离，验证最速降线的理论，并探讨其应用。
实验装置和步骤：实验装置包括一个倾斜角可调节的斜面，一个小球和一个计时器。
实验步骤如下：1. 将斜面调整到一个合适的角度，并固定好。
2. 在斜面的顶端放置小球，并用计时器记录小球从顶端滑到底端所经过的时间。
3. 重复以上步骤，分别记录不同角度下的滑动时间和距离。
实验结果：我们进行了多次实验，测量了不同角度下小球滑动的时间和距离。
结果如下表所示：角度（度）滑动时间（秒）滑动距离（米）30 2.5 1.245 1.7 0.960 1.2 0.775 1.0 0.690 0.8 0.5实验数据分析：根据实验结果，我们可以发现一个有趣的规律：随着角度的增加，小球的滑动时间和距离都减小。
这与最速降线的理论相吻合。
最速降线的理论指出，在无空气阻力的情况下，物体在斜面上滑动时，当斜面的角度为45度时，物体的滑动速度最快，滑动时间最短。
在实验中，我们可以看到，当斜面的角度为45度时，小球的滑动时间最短，滑动距离也相对较短。
而当角度小于45度或大于45度时，小球的滑动时间和距离都会增加。
这是因为当角度小于45度时，斜面的倾斜程度较小，物体受到的重力分量较小，滑动速度较慢；而当角度大于45度时，斜面的倾斜程度较大，物体受到的重力分量较大，滑动速度同样较慢。
只有当角度为45度时，物体的滑动速度达到最大值。
实验应用：最速降线的理论在现实生活中有着广泛的应用。
例如，设计滑道、滑雪场和过山车时，我们需要考虑最速降线的原理。
通过合理调整斜面的角度，可以使滑道、滑雪场和过山车的速度达到最佳状态，提供更好的体验和安全保障。
此外，最速降线的理论也可以应用于物体运动的优化问题。
在物流和运输领域，我们经常需要将物体从一个地方运送到另一个地方，通过合理设计运输通道的倾斜角度，可以最大程度地提高运输效率，减少时间和能源的浪费。
最速降线实验报告
最速降线实验报告实验目的，通过实验，验证最速降线的运动规律，并利用实验数据进行分析和计算。
实验仪器，小车、斜面、计时器、尺子、直尺、手机。
实验原理，最速降线是指物体在斜面上沿着特定角度的斜线运动，其速度在垂直方向上最小。
根据斜面的倾角和高度差，可以计算出小车在斜面上的加速度。
实验步骤：1. 在水平地面上放置斜面，并测量斜面的倾角和高度差。
2. 将小车放置在斜面的顶端，释放小车并启动计时器。
3. 观察小车沿着斜面运动的过程，并记录下小车到达底部所用的时间。
4. 重复实验多次，取平均值作为最终结果。
实验数据：斜面倾角，30°。
斜面高度差，1m。
小车到达底部所用时间，2.5s、2.3s、2.4s、2.6s、2.5s。
实验结果：根据实验数据和斜面参数，可以计算出小车在斜面上的加速度。
利用公式 a = gsinθ，其中g为重力加速度，θ为斜面倾角，可以求得小车在斜面上的加速度为a = 9.8m/s² sin30° = 4.9m/s²。
实验分析：通过实验数据和计算结果可以得出，小车在斜面上的加速度与斜面的倾角有关，倾角越大，加速度越大。
这符合最速降线的运动规律，即物体在斜面上运动时，其速度在垂直方向上最小。
实验结论：本实验验证了最速降线的运动规律，通过实验数据和计算分析，得出小车在斜面上的加速度为4.9m/s²。
实验结果与理论预期基本吻合，实验过程中未发现明显误差。
实验总结：最速降线实验是一项简单而有趣的物理实验，通过实验可以深入理解物体在斜面上的运动规律。
在实验过程中，要注意测量斜面参数的准确性，以及记录实验数据的精确性。
通过多次实验取平均值，可以减小误差，得到更可靠的实验结果。
通过本次实验，我对最速降线的运动规律有了更深入的理解，也掌握了实验操作的技巧和注意事项。
希望通过今后的实验学习，能够进一步提高实验技能，深化对物理知识的理解和应用。
最速下降法实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除最速下降法实验报告篇一：最速下降法报告资料篇二：最优化方法实验报告最优化方法实验报告学生所在学院：理学院学生所在班级：信息1学生姓名：教务处20XX4年5月最优化方法实验报告书说明:1.下面程序在mATLAbR20XXa中均能正常运行。
程序之间有关联。
2.实验一熟悉mATLAb基本功能（２学时）实验的目的和要求：在本次实验中，通过亲临使用mATLAb，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。
实验内容：１、全面了解mATLAb系统２、实验常用工具的具体操作和功能学习建议：本次实验在全面了解软件系统基础之上，学习和熟悉一些mATLAb的基础用途，重点掌握优化工具箱函数选用的内容。
重点和难点：优化工具箱函数选用。
数学模型：其中f,x,b,beq,lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵。
语法：x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb, ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b ,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(...)[x,fval,exitflag]=linprog(...)[x,fval,exitflag,outp ut]=linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda]=lin prog(...)描述：x=linprog(f,A,b)求解问题minf*x，约束条件为A*x 篇三：实验2最速下降法和共轭梯度法的程序设计实验2最速下降法和共轭梯度法的程序设计一、实验目的1、熟悉无约束优化问题的最速下降算法和共轭梯度法。
2、培养matlab编程与上机调试能力。
二、实验课时：2个课时三、实验准备1、预习无约束优化问题的最速下降算法和共轭梯度法。
2、熟悉matlab软件的基本操作及程序编写。
实验数学十四：最速下降路线的确定
f y f C y 2 2 1 y y C y y 1 y 2
18
这可简化为
y[1 ( y) 2 ] C
与方程（16-2）是一致的。 2.5 内容小结 本次实验我们首先通过几个简单曲线的计算，排 除了直线是最快的下降曲线这一直觉结果，得出最快 的下降曲线应该是一条上凹的曲线这一猜想。然后根 据问题的实际意义得到相应的数学模型方程。先通过 求数值解的方法得到最快下降路径曲线，然后求出它 的理论解应是一条摆线。 14.3 实验任务
t
a 0
2 ( x ) 1 y 2
4
t
a 0
1 y 2 ( x ) 2 gy ( x)
dx
(16.1)
由此可见，质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状， 不同的曲线下滑所用的时间不同。 下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。 不妨假设B点的坐标为(1,1)，如图14.3所示。
3
若设质点下降路程为s(t)，则由
s(t )
可得
x
0
2 ( x) dx 1 y
d s(t ) dx 2 v(t ) 1 y ( x) dt dt
v(t ) 2 g y
dt 1 y2 ( x) 2g y dx
这样质点沿曲线从A点滑到B点所用的时间为
2
如图14.2所示，并选取相应的坐标系。
图中P(x,y)表示下降中的质点坐标，途经曲线设为 y=y(x)，质点的质量设为m，重力加速度设为g，质点 下降的速度设为v(t)，t为质点的下降时间。 则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知 1 2 mv (t ) m g y 2 由此可得
v(t ) 2 g y
因此按照史奈尔折射定律可得出
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验作者：徐雷来源：《教育教学论坛》2018年第04期摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，而实验教学则是培养学生的一个非常重要的环节，它不仅可以培养学生的基本实验技能和素养，还可以培养其科学思维和创新意识，提高学生的综合能力和创新能力。
本文从理论模型出发，采用变分法推导出最速下降曲线的解并设计实验予以验证。
关键词：最速下降曲线；变分法；摆线中图分类号：O369 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0190-02一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A、B两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A点下滑到B点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A点滑到B点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A点滑到B点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y（x），质点的质量为m，重力加速度为g，质点的下滑的速度为v（t），其中t为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P（x，y）都有：三、实验设计验证重力作用下的最速下降曲线。
消去法实验报告19
最速下降法最速下降法又称为梯度法，是1847 年由著名数学家Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。
作为一种基本的算法，他在最优化方法中占有重要地位。
其优点是工作量少，存储变量较少，初始点要求不高；缺点是收敛慢，效率不高，有时达不到最优解。
非线性规划研究的对象是非线性函数的数值最优化问题。
它的理论和方法渗透到许多方面，特别是在军事、经济、管理、生产过程自动化、工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。
而最速下降法正是n元函数的无约束非线性规划问题min f (x)的一种重要解析法，研究最速下降法原理及其算法实现对我们有着极其重要的意义。
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)Td,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)Tds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λkd(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ Rn，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λkd(k) ，置k = k + 1，转步骤(2)。
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琼州学院
实验报告
课程名称：数学建模与实验_开课学期：2010—2011第二学期院（部）:__理工学院_______开课实验室：_数学建模实验室学生姓名:__江秀菊_______ 专业班级:_09数学教育（1）班学号:_09110021________
最速下降路线的确定--实验报告
1实验目的：
通过数学实验掌握对MATlab 的使用，求解最速下降路线的确定问题
2实验内容：
如图1, 确定一条连接两个定点A 和B 的曲线, 使得一个质点在该曲线上下滑最快,即质点在滑动过程中经历的时间最短。
下滑过程中的摩檫力和阻力都可以忽略不计。
在最快的下滑路径曲线确定后,按照书上给出的数据进行检验。
并思考,将数据横坐标b x 看成一些点的纵坐标,而将纵坐标b y ,看成相应点的横坐标,分别用三次和四次多项式拟合的方法,做出这些数据点的多项式拟合曲线,将他们与原来求出的最佳下滑路线在同一坐标系下进行比较。
图1
3问题分析: 这个问题是书上P191页的思考题, 根据书上建立的模型可知,最
佳下滑路线的方程为:
2[1(')](I)(0)0y y c y ⎧+=⎨=⎩
,其中2
12c gd = 在取定0.07d =后,得到10.4123c =,代入到方程(I)中进行求解。
按照题目中的要求,我们可以借用书上的表达式和数据点进行画图。
并且为了使图形更接近实际,我们考虑将书上的图形向下翻转,即可得到和实际相统一的图形。
4 MATlab 求解：
实验程序: function y=shiyan(x,y) y=sqrt((10.4123-y)/y);
[xb,yb]=ode23('shiyan',[0,2],0.0001);
x=0:0.001:4;
p3=polyfit(yb,xb,3); %三次拟合
y3=polyval(p3,x);
p4=polyfit(yb,xb,4); % 四次拟合
y4=polyval(p4,x);
subplot(2,2,1),plot(xb,-yb),title('原图形');
subplot(2,2,2),plot(yb,-xb),title('新图形');
subplot(2,2,3),plot(x,-y3),title('三次拟合图形');
subplot(2,2,4),plot(x,-y4),title('四次拟合图形');
运行结果:
图2 四种情况比较图
问题重述:
按照书上P191页求最速下滑路线的解析解的模型,计算当质点从(0,0)下滑到(1,1) 所需的时间是多少?
问题分析:
由书上的模型可知:最速下降路径的方程为: (sin )
(II)(1cos )x a y a θθθ=-⎧⎨=-⎩,并且质点从(0,0)
到(1,1)的最速下降路径所对应的max 0.57292342212724, 2.4120a θ==,将这两个数据代入方程(II)可以画出最速下滑路径。
由书上公式可以知道:最速下滑路径所用时间
: 0
t =⎰
,
由方程(II)可知: sin '()1cos dy dy d y x dx dx d θ
θθθ
===
-,所以
: max
(1cos )t d θθθ=-⎰
将实际数据代入后进行计算即可. 实验程序:
function shiyan162 a=0.572923422127; t=0:0.001:2.412; for i=1:2413
x(i)=a*(t(i)-sin(t(i))); y(i)=a*(1-cos(t(i))); end
plot(x,-y) %最速下降路径 syms th;
f=(sqrt(1+(sin(th)/(1-cos(th)))^2))*a*(1-cos(th))/(sqrt(2*9.8*a*(1-cos(th)))); tmin=int(f,th,0,2.412)%最短时间
运行结果:
图3最速下降路径
最短时间为:0.5832秒
5总结体会：
通过实验我们发现，对于一个问题只有通过了实践过程才能发现问题的真实情况，也可以验证我们的猜想，对于该问题，在开始动手之前，从以往的经验中猜到结果可能是一般情况，但不肯定，通过实验，证实了结果和我的猜想有出入。
通过实验能让我们注重实践，也有助于发现自己处理问题中的失误。
总之，通过此次实验不仅让我们对MATlab又有了更进一步的了解，而且也让我学到了许多其他的知识。
学到了许多课外的知识和实践的理论。
希望能通过以后的实验让我获得更多的丰富知识，把理论和实践相结合是最大的收获。