张量分析基础

张量的性质
张量的定义
— 张量是与坐标系有联系的一组量，并满足一定的坐标变换规律。
张量的性质
— 任何两个张量相乘所得到的新张量的阶数等于原张量阶数之和； — 两个张量间的比例系数一般是一个张量，其阶数等于原张量阶 数之和； — 张量的变换规律与坐标乘积的变换规律相同； — 变换矩阵与二阶张量的区别
二阶对称张量
δ ij =
1 i = j 0 i ≠ j
[ ]
1 0 0 δ ij = 0 1 0 0 0 1
δ ij Pj = Pi δ ij Pi = Pj
δ ijT jl = Til δ ilT jl = T ji
i, j , k顺序轮换 i, j , k反序轮换 两个以上角标同
反对称三重积
ei × e j = ε ijk e j
傀标
Pi = Tij Q j
自由 下标
[A] + [B][C][D] = [E][F]
Aij + BikCkl Dlj = Eik Fkj
坐标变换
坐标轴变换
e1* a11 * e 2 = a 21 * e3 a 31 a12 a 22 a 32
*∧
X3’
X3
θ23
a13 e1 a 23 e 2 a 33 e3
x1* a11 * x 2 = a 21 * x 3 a 31
a12 a 22 a 32
a13 x1 a 23 x 2 a 33 x 3
Neuman原理
物质张量、场张量
— 物质张量是建立晶体在外场作用下的响应与外场之间关系的物理性 能，物质张量受到晶体对称性的制约，如弹性系数 — 场张量：外场张量及晶体对外场响应后所产生的新的物理量，不受 晶体对称性的制约，如应力、电场 — 晶体响应，受外场、物理性能和晶体对称性的共同影响，如应变
二阶张量的表示
P1 T11 P = T 2 21 P3 T31 T12 T22 T32 T13 Q1 T23 Q 2 T33 Q 3
傀标表示必须成对出现
爱因斯坦求和规则：傀标表示法
Pi =
∑T Q
j =1 ij
3
j
( i = 1, 2 ,3) ( i , j = 1, 2 ,3)
Neuman原理
— 一个晶体的任何物理性能的对称性必须包括晶体点群的对称性， 即 G物性G点群； — 例1：属于立方晶系的晶体的介电系数可以是各向同性的； — 例2：属于立方晶系的晶体的介电系数不可以只有一个四次对称轴。
晶体对称性对二阶对称张量的制约
立方晶系
— 只有1个独立系数
S 0 0
0 SБайду номын сангаас0
0 0 S
单轴晶系(三方、四方、六方)
— 有2个独立系数
S1 0 0
0 S1 0
0 0 S3
正交晶系
— 有3个独立系数
S1 0 0
0 S2 0
0 0 S3
单斜晶系
— 有4个独立系数
S 11 0 S 31
0 S 22 0
S 31 0 S 33
三斜晶系
—二次曲面方程系数与张量分量 具有相同的变换规律； —二次曲面方程称为张量S的示 性二次曲面； —示性二次曲面可描述具有二阶 对称张量性质的物理特性；
示性二次曲面的主轴
二次曲面的主轴方程
S x + S x + S x =1
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
P Q
张量分析基础
Fundamental of Tensor Analysis
Qing-Yu Zhang
State Key Laboratory for Materials Modification by Laser, Ion and Electron Beams
学习与思考
我的物理学家第一定律：“如果没有实验学 家的话，理论学家就倾向于漂浮。” 我的物理学家第二定律：“没有理论学家， 实验学家倾向于摇摆不定。” 李政道
对称张量的主轴化
坐标变换法
2 2 S11 x12 + S 22 x2 + S 33 x3 + 2 S 23 x2 x3 + 2 S 31 x3 x1 + 2 S12 x1 x2 = 1 * * * S1 x1 2 + S 2 x22 + S3 x32 = 1 * * *
特征方程法
S 11 λ S 21 S 31 S 12 S 22 λ S 32 S 13 S 23 S 33 λ =0
二阶对称张量的示性二次曲面
二次曲面方程
2 2 S11 x12 + S 22 x2 + S 33 x3 + 2 S 23 x2 x3 + 2 S 31 x3 x1 + 2 S12 x1 x2 = 1
坐标变换
Sij xi x j = 1
* xi = aki xk
x j = alj xl*
* * * Sij aki alj xk xl* = S kl xk xl* = 1 * S kl = aki alj Sij
二次曲面
— S1>0、S2>0、S3>0：椭球面
— S1、S2、 S3其中之一<0：单叶双曲面 — S1、S2、 S3其中之一>0：双叶双曲面
r S=1/r2
示性二次曲面的性质
— 示性二次曲面上的任意一条径矢长度r等于张量S在该径矢方向上的 量值平方根的倒数。S=1/r2 — 若Pi=SijQj，则对于给定的Q，P平行于Q在示性曲面交点的法向方向
ε ijk
1 = 1 0
二阶张量的变换
P* P → Q Q* P * = AP P = TQ Q = AQ* Pi * = aik Pk Pk = Tkl Ql Ql = a jl Q * j
P * = AT AQ* Pi* = aik Tkl a jl Q* j P * = T*Q* T* = AT A Pi* = Tij*Q * j Tij* = aik Tkl a jl
X2’ X2
θ21 θ22 X1 X1’
a ij = cos( ei e j )
矢量变换
[P
* 1
P2*
e1* * P3* e 2 = P1* * e3
]
[
P2*
a11 P3* a 21 a 31
]
a12 a 22 a 32
a13 e1 a 23 e 2 = P1 a 33 e3
— 有6个独立系数
S 11 S 12 S 31
S 12 S 22 S 23
S 31 S 23 S 33
对称变换与对称张量
矩阵法
— 四次轴：C4//Z — S=ASA-1
0 A = 1 0 1 0 0 0 0 1 S 11 S = S 12 S 31 S 12 S 22 S 23 S 31 S 23 S 33 S11 S12 S13 S22 S21 S23 S11 0 0 S S22 S23 = S12 S11 S13 = 0 S11 0 21 S31 S32 S33 S32 S31 S33 0 0 S33 1 A = 0 0 0 1 0 0 0 1
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
P = PA = AP = AP P=P P * = AP
*
P1* a11 * P2 = a 21 P3* a 31
a13 P1 a 23 P2 a 33 P3
置换矩阵
置换矩阵
ei e j = δ ij
[
P2
e1 P3 e 2 e3
]
P = P A
*
P = PA
*
1
线性变换
线性变换：矢量长度不变3个独立矩阵元
P * P * = PA PA = PA A P = P P AA = I A = A 1 AA = I a 11 A = ± 1 a 21 a 31
1
a12 a 22 a 32
二阶张量 三阶张量
Tij* = aik a jlTkl * Tijk = ail a jmaknTlmn
* Tij = akialjTkl * Tijk = ali amjankTlmn
* * 四阶张量 Tijkl = aima jnakoalpTmnop Tijkl = amianjaok aplTmnop
变换公式法
— d’ijk=aimajnakodmno
— 例：具有对称中心的晶体无压电效应 — d’ijk=-dijk 所以dijk=0
坐标乘积变换法 变换下标法
对称张量：Tij=Tji
— 对称张量有6个对立分量
1 6 5
6 2 4
5 4 3
— 简约表示：11→1、 22→2、 33→3、 23→4、 13→5、 12→6
反对称张量：Tij=-Tji
— 反对称张量有3个对立分量 — 简约表示：23→-α、 13→ β 、 12→ -γ
0 γ β γ 0 α β α 0
标量、矢量和二阶张量
标量：与方向无关，如密度、质量、温度等； 矢量：既有大小又有方向，如力、速度、电场强度等； 二阶张量：例—欧姆定律
—各向同性：
j = σE
σ 12 σ 22 σ 32
E
j
j1 σ 11 —各向异性： j = σ 2 21 j3 σ 31
σ 13 E1 σ 23 E 2 σ 33 E 3
矢量变换
a13 a11 a 23 a12 a 33 a13
a 21 a 22 a 23