数学方法之换元法篇
《高等数学换元法》课件
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# 高等数学换元法PPT课件大纲
引言
换元法是一种在高等数学中常用的求解方法，它通过引入一个新的变量来简 化问题的求解过程。 我们将学习为什么需要换元法以及它在实际问题中的应用。
基本概念
函数
了解什么是函数及其性质，是掌握换元法 的基础。
复合函数
学习如何构造和计算复合函数，为换元法 提供更多的方法。
应用换元法解决有理函数的 复合函数问题。
常见的换元方法
1 常见的换元方法介绍
2 第一类换元法：代换法
了解常用的换元方法及其适用范围，为 问题求解提供更多的思路。
介绍使用代换法进行问题求解的具体步 骤和技巧。
3 第二类换元法：三角函数换元法 4 第三类换元法：指数函数换元法
探索利用三角函数进行变量替换的换元 方法，提高求解的便利性。
学习如何利用指数函数进行变量替换， 解决涉及指数函数的问题。
实例演示
实例1
实例2
实例3
$y = rac{sqrt[3]{x-1}}{(x-1)^2}$ $y = rac{2x-1}{sqrt{x^2+x+1}}$ $y = sqrt{ rac{1-x}{1+x}}$
小结ห้องสมุดไป่ตู้
通过本课程，我们学习了高等数学换元法的基本概念、常见的换元方法以及其在实例中的应用。 希望你对换元法有了更深入的了解，并可以在实际问题中应用这一求解方法。
变量
认识变量的含义和作用，为后续的复合函 数和反函数打下基础。
反函数
研究反函数的特性和性质，掌握反函数换 元法的应用技巧。
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
整体换元法
整体换元法换元法上一篇讲到了因式解的四个基本方法，但有的时候碰到一些比较难的题目，基本方法用不上，这时候就要考虑进阶方法了，比如我们今天要讲的换元法。
换元法换元法又称变量替换法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
-----引自百度百科上面的文字看起来有点懵，我们通俗一点讲就是，把某个式子看成一个整体用一个变量（字母）去替代它，从而使问题简化，这就叫换元法。
换元法是整体思想的体现，是非常重要的数学思维，也是高中阶段常用的数学方法，希望大家能好好研究一下。
数学解题思想之整体思想，快看看你家孩子会不会一、整体换元例1：乍一看，好像能提公因式，但是当我们尝试后发现，提完公因式就没法继续下一步了，后面的括号里也不满足十字相乘法，所以，我们今天使用换元法。
整体换元法通常把相同的部分设为一个字母。
整体换元我们可以看到，在综合练习中，一般不会只使用一种方法就解分解完全，一定是几个方法来回不断地使用，所以我们一定要记住每一种方法，并养成检查的习惯。
二、均值换元顾名思义，均值换元法就是求出两个部分的平均值，然后把这个平均值设为字母。
例2：仔细观察，两个括号中式子相差2，很容易求出他们的平均值：所以，我们可以这样做：均值换元三、双换元有时候根据题目需要，我们可以用双换元法，把其中的两个部分，分别设为两个字母，然后再根据和差关系推导出另外的部分，再代入原式进行分解。
例3：很明显，c-a、a-b、b-c这三个式子是首尾相连的，很容易得到他们的关系。
双换元还有两种比较罕见的换元法，正常的考试中碰到这类题的机率很小了，但是可以做一个了解，增加一下自己的认知度。
四、倒数换元例4：倒数换元这个题目没有太多需要讲的，基本上是比较佛系的题了，随缘，能碰到对的思路就对了，碰不到，可能想破脑袋都难想出思路。
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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结束
例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中常用的一种解题方法，它是基于函数代换的思想，可以将复杂的函数表达式转化成较简单的形式，从而简化计算过程和提高求解效率。
在这篇文章中，我们将介绍换元法在高中数学解题中的应用，涉及等式变形、积分计算、初等函数的求导等多个领域。
一、等式变形在高中数学中，有时需要通过等式变形来求解方程或证明某个恒等式。
在这个过程中，用到的代换过程就是一种换元法。
下面是一个简单的例子：解方程：3x + 1 = 2x + 5解法：将3x + 1中的x替换成y，则原方程变为3y + 1 = 2y + 5，移项化简可得y = 4，代回原方程求得x = 3。
在这个例子中，我们通过用y替换x的方式将原方程化简，从而达到了解方程的目的。
这种换元法可以通用于各种类型的方程解法中。
二、积分计算在高中数学中，积分是一个比较重要的概念。
有时我们需要通过代换的方式将积分式子变得容易计算。
下面是一个例子：求$\int x\sqrt{1-x^2}dx$解法：令$u=1-x^2$，则$du=-2xdx$，原式变为$\int -\frac{1}{2}\sqrt{u}du$，解得$\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C$。
在这个例子中，我们将积分的被积函数用代换的方式转化成了常见的积分形式，进而利用求导的性质直接求解积分。
三、复合函数的求导在高中数学中，我们经常需要求解一些复合函数的导数，例如$f(x)=\sin(2x^2+3x+1)$。
这个问题可以通过换元法来简化计算过程，下面是具体的解法：设$u=2x^2+3x+1$，则$f(x)=\sin u$，利用复合函数求导法则可得：$f'(x)=\cos u\cdot (2x^2+3x+1)'=\cos u\cdot (4x+3)$最终的导数可以表示成$x$和$u$的函数形式，这样就简化了计算过程，提高了求解效率。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中一种重要的解题方法，在解决各类函数的求导、定积分以及一些简单的微分方程中都有广泛的应用。
它是一种通过合理的变量替换来简化问题、降低难度的数学技巧，能够极大地提高解题的效率，因此在高中数学的学习中至关重要。
一、换元法的概念与基本思想换元法是一种将复杂的算术计算问题转化为简单的计算问题的数学方法，它通过构造适当的变量替换来简化原问题。
换元的基本思想是通过替换自变量，使问题的解能够进行简化或者直接得到。
对于一个给定的函数，我们可以对其进行合适的变换，从而使函数的形式更加简单。
这种变换可以通过引入一个新的变量来实现，这个新的变量通常被称为“中间变量”或者“代换变量”。
通过代入变量替换原函数，我们可以得到一个形式更加简单的函数。
换元法的核心是将问题转化为新的问题求解，通过合适的代换使问题变得更简单。
二、换元法的主要应用换元法在高中数学中的应用很广泛，主要包括以下几个方面：1.函数的求导换元法在函数求导的计算中有重要的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过引入合适的变量替换来简化计算过程。
对于含有根号的函数，可以通过引入一个新的变量来简化计算。
具体而言，如果要计算函数y=f(x)的导数，我们可以令y=g(u)，其中u是一个函数，然后通过计算导数du/dx和函数关系g(u)得到dy/dx。
这样，我们可以通过导数的链式法则将原函数的导数表示为新变量的导数和链式法则的乘积。
2.定积分3.微分方程在求解一些简单的微分方程中，换元法也有重要的应用。
通过引入恰当的变量替换，我们可以将微分方程转化为更简单的形式，从而使求解过程更加容易。
具体而言，我们可以将微分方程中的变量替换为新变量，并根据新变量的定义和微分方程的关系来求解新变量。
通过求解新变量，我们可以得到原微分方程的解。
三、换元法的常用方法在使用换元法求解问题时，我们需要根据具体问题选择合适的代换方法。
常见的代换方法主要有以下几种：1.代换叠加法对于一些含有多项的复杂函数，我们可以通过分别代换每一项来简化计算。
初中数学—换元法
知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。
【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。
【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。
求abc 的值。
【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。
有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。
所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。
因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。
第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。
解得12x +=（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。
关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。
显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。
设1y x x=-，则有220y ay b +++=。
248a b ∆=--。
⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。
代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。
⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
换元法用法
换元法用法篇一：标题:换元法用法(创建与标题相符的正文并拓展)正文:换元法是一种数学方法,用于解决某些微积分问题。
它的核心思想是将原问题中的未知数替换成另一个未知数,从而得到一个新的问题。
在数学中,换元法通常用于求解微积分中的最值问题、极值问题和微分方程组等问题。
具体来说,换元法的步骤如下:1. 选择一个合适的未知数,并将其表示为一个新的变量。
2. 将原问题的表达式分解成关于该未知数的表达式。
3. 将原问题中的未知数用新变量表示,并代入新的表达式中。
4. 解出未知数的值,并得到原问题的解。
在实际应用中,换元法可以用于求解许多问题,例如求解函数的极值、求导、求解方程等等。
它的优点是简单易懂,能够快速地找到问题的关键部分,从而快速地得到答案。
除了数学应用外,换元法还可以在其他领域中得到应用,例如物理学、工程学、经济学等等。
在这些方法中,通常会将原问题中的变量抽象成符号或方程,从而得到一个新的问题,这种方法被称为符号计算或代数计算。
拓展:换元法不仅可以用于求解微积分问题,还可以用于其他领域的问题。
例如,在物理学中,换元法可以用于求解加速度和速度的关系,以及求解机械振动的周期等问题。
在工程学中,换元法可以用于求解电路中的电流和电压的关系,以及求解电磁波的传播速度等问题。
在经济学中,换元法可以用于求解市场供需关系的变化,以及求解最优价格和最优策略等问题。
换元法是一种简单而又有效的数学方法,它在各个领域中都有广泛的应用。
通过使用换元法,我们可以快速找到问题的关键部分,从而快速地得到答案。
篇二：标题:换元法用法(创建与标题相符的正文并拓展)正文:换元法是数学中的一个基本方法,用于解决一些线性方程组和不等式问题。
换元法的基本思想是将原方程组或不等式中的某些变量或式子进行更换,从而得到一个新的方程组或不等式,进而求解或验证原问题的解决方案。
以下是换元法的一些常见应用:1. 解线性方程组:将未知系数中的一个变量或式子进行更换,可以得到一个新的线性方程组,进而求解未知数。
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数学方法之换元法篇
通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.
一、整体换元
例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设
••
t x x •y x x t .21
cos sin ),22(cos sin 2-=•≤≤-+=则
•
t t t y .1)1(2
12122-+=+-=故 当.22
1
,2max
+==
••y
•t 时
二、三角换元
例2：求函数2
5x x y -+=的值域. 解析：令••••x ],2
,2[,sin 5π
πθθ-
∈=
).
4
sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π
θθθθθ+=+=+•=y 则 因为
2
2
π
θπ
≤
≤-
，所以
.4
34
4
π
π
θπ
≤
+
≤-
所以1)4
sin(22≤+≤-
πθ，得
10
)4
sin(105≤+
≤-π
θ
所以函数的值域为[10
,5•-
]. 三、平均数换元法
例3：
已知
正
数
.4
25
)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x•求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2
1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2
1）, 则
.4
11625
23)
1)(1()1)(1(22422θθθ-+
+=
++=++xy
y x y y x x 显然分子
的值大于等于1625
，
分母的值大于0小于等于4
1，从而得证. 四、比值换元
例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3
2
21-=
+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最
小值
解析：由比例可以设t z y x =-=+=-32
2111，则 222z y x ++2
2)12()1(-++=t t +.
61014)
23(22
++=+t t t 当14
5
-=t 时，即149=x ，712-=y ，2
22
,14
13
z y ••x
z ++=时达到最小
值.
五、根式换元
例5：求函数y =2x +x
21-的值域.
解析：设t =x
21-≥0，则x =2
12
t -，f
(t )=)
0(2
1
2
12
≥++-t t t
，由二次函数的图象可以知
f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••
∞- 六、不等量换元
例6：求证：4
7)
1(113121112
2
3
2
2
<
++++++n n Λ.
证明：对通项公式进行变形
)1
111(21)1)(1(111122+--•=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…
n ，n +1
，则
47)2111211(211)1(113121112
2322<
+-+-++<++++++n n n n Λ.。