离散数学第四章
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《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
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3
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5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
屈婉玲离散数学第四章
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
10
4.2 一阶逻辑公式及解释
14
封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
15
公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念
18
§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词
谓词
量词
5
个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字
能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”
6
个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学第四章等价关系和偏序关系
20
偏序集的特定元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A)) 满足下面条件：
2 覆盖 1, 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
4 和 6 覆盖 2. 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下 界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 fห้องสมุดไป่ตู้ 最小上界为 d.
25
18
哈斯图实例
例4 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
19
哈斯图实例（续）
例5 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
偏序集的特定元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A)) 满足下面条件：
2 覆盖 1, 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
4 和 6 覆盖 2. 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下 界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 fห้องสมุดไป่ตู้ 最小上界为 d.
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哈斯图实例
例4 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
19
哈斯图实例（续）
例5 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
离散数学第四章
第四章
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
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2014-6-12
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*
例９ 设A={a,b,c,d}, *和是A上的两个二元运算. * a a d b a c a b a b b b c b c c c d c d c d a b c d a a b c d b b a d d c d c a b d c d b c
d a
b和d都是运算*的左单位元， a是运算的右单位元。
2014-6-12
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代数的由来
Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠詞，jabr之意为恢复或 还原，解方程式时将负项移至另一边，变成正项，也可说是还原， 也有接骨术的意思。
中国在1859年正式使用代数这个名称（李善兰在《代微积拾级》 一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同 的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书《九章算术》其实 是一本数书百科全书，代数问题分见于各章，特別是第八章方程， 主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249） 的《数书九章》中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数， 用现在的术语来说就是“设未知数为x"。
定义在集合A上的运算在A的子集上是否封闭呢？
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例５ 定义函数*:N2N，使*(n1,n2)=n1· n2, 令S1={2k|kN}={2,22,23,24,25,…} 显然S1N, 于是S12N2
若(n1,n2)S12，则(n1,n2)N2，*(n1,n2)=n1· n2N， *(n1,n2)是否属于S1？
{a} {a} {b} {b} {a,b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a}
{a,b} {b} {a}
{a,b}
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二、运算的封闭性
定义２ 设*是集合 A 上的一个二元运算，SA, 若对于 每一个序偶(ai,aj)S2,都有 *(ai,aj)S, 则称运 算*在S上是封闭的。 定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的。
第四章 代数系统
4.1 运算 4.2 代数系统
4.3 同态和同构
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本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复 杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元 素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、
满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程
中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数 关系结合在一起进行研究。
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例8 设S={|是集合A上的关系}，对于任意
1,2S，12仍是A上的关系，所以关系
的复合运算是S上的二元运算。 例10 在例8中，对任意关系S ，有 IA=IA=， 所以恒等关系IA是集合A上关系复合运算的 单位元。
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定理１ 设*是集合A上的二元运算， el和er分别是*的
。
求倒数的运算不能看作实数集R上的一元运算。
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例４ 集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集2U
上的二元运算。求补集的运算可看作是2U上的一元运算。 对任意Si,Sj2U,
(Si , S j ) Si S j
(Si , S j ) Si S j
对任意Si2U ， ( Si ) Si
左单位元和右单位元，则el=er=e ，且e是*的 唯一的单位元。
证明
因为el和er分别是*的左、右单位元，
因此，el*er=el=er， 令e=el=er，则e是*的单位元。 设e也是*的单位元，则e*e=e=e 因此e是*的唯一的单位元。
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2． 零元
定义5 设*是集合A上的二元运算，若存在一元素 zlA，使得对于任意的aA,有zl*a=zl，则 称zl是A中运算*的左零元；若存在一元素 zrA ，使得对于任意的aA, 有a*zr=zr,则称 zr是A中运算*的右零元，若存在一元素zA， 使得对于任意的aA, z*a=a*z=z,则称z是A中 运算*的零元。
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例２ 设有函数g:I2I，对于任意(i1,i2) I2 ，g(i1,i2)=i1-i2
g(5,3)=2, g(3,5)=-2, g(-3, 9)=-12 ,
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
1 例3 定义函数~:R-{0} R-{0} 为 ~ (r ) r 8 3 1 ~ ( ) 例如 ~ ( ) 2 ， 3 8 2
(3) 若对于任意的a,b,cA,有
a*(bc)=(a*b)(a*c) (bc)*a =(b*a)(c*a) 则称运算*对运算是可分配的。
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例６ 实数集R上的二元运算*定义为: r1 r2 r1 r2 r1r2
因为 r1 r2 r1 r2 r1r2 r2 r1 r2 r1 r2 r1 所以*满足交换律。
但20 S22
因此*运算在的子集S22上不封闭。
2014-6-12 17Байду номын сангаас
三、二元运算的一些常见的性质
定义３ 设A是非空集合，*和 是A上的二元运算。 (1) 若对于任意a,bA ，有a*b=b*a，则称*在 A 上是
可交换的。
(2) 若对于任意a,b,cA，有a*(b*c)=(a*b)*c,则 称*在A上是可结合。
对于任意(2i,2j)S12， 2i2j=2i+j , i+jN，2i+jS1 , 这意味着正整数集 N 上的运算 * 在 N 的子集 S1 上 也是封闭的.
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令S2={1,2,3,…,10} ，显然S2N，S22 N2，
任取(i,j)S22，且*是N上的二元运算，因此 *(i,j)=ijN ，但*(i,j)是否属于S2呢？ 我们取(4,5)S22，则(4,5)N2， *(4,5)=45=20N,
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~双射
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一、一元运算和二元运算的表示方法
表达式： x1x2=y ~x=y 表达方法： 解析表达式 运算表
ai a1 ~ (ai )
a1 (a1 , a1 )
a2
an
~ (a1 ) ~ (a 2 ) ~ (a n )
a1 a2 an
(a1 , a2 ) (a1 , an )
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四、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素
１．单位元
定义４ 设*是集合A上的二元运算，若存在一元素elA， 使得对于任意的aA，有el*a=a,则称el是A中运算 *的左单位元； 若存在一元素erA，使得对于任意aA ，有a*er=a， 则称er是A中运算*的右单位元； 若存在一元素eA ，使得对于任意aA， 有e*a=a*e=a， 则称e是A中运算*的单位元。
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定理２ 设*是A上的二元运算，zl和 zr 分别 是 *的左零元和右零元，则zl=zr=z,且 z 是* 唯一的零元。
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Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
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Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.
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This is taken from a French stamp
r1 (r2 r3 r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 )
r1 r2 r3 r2r3 r1r2 r1r3 r1r2r3 所以 r1 (r2 r3 ) (r1 r2 ) r3 , 满足结合律。
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(r1 r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 ) r3
(r1 r2 r1r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 )r3 r1 r2 r3 r1r2 r1r3 r2r3 r1r2r3
r1 (r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 )
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4.1 运算
定义1 设有非空集合A，函数f：An→A称为A上的一
个 n 元运算。特别，函数 f：A2 →A称为A上 的二元运算， f：A →A 称为A上的一元运算 。 例１ 设有函数 f：N2 →N ，对于任意 (n1, n2)N2, f(n1,n2)=n1+n2 f(5,3)=8, f(3,5)=8, f(3,9)=12
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初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某 一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根）， 以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影 响。抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高 层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结 论, 再把它们应用到那些系统中去。由于代数结构中运算个数以及 对运算要求的性质的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就 形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环 和域, 这也是离散数学课程抽象代数部分的重要研究内容 。
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什么是代数？
爱因斯坦小時候曾好奇地问他的叔叔：「代数是什么？」（那时 候他只学过算术）他的叔叔回答得很妙：「代数是一种懒惰人的 算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想 办法去寻找他们。」道理一经点破，就好像「哥伦布立蛋」的故 事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解題方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫 做广义算术(generalized arithmetic) 或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。