离散数学第四章
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《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学第四章
第四章
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
17
第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
18
第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
离散数学 第四章
∴函数的复合运算不满足交换律。
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
离散数学第四章课件
8
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
11
A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
22
关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
5元关系的实例—数据库实体模型
员工号 301 302 303 304 … 姓名 张 林 王晓云 李鹏宇 赵 辉 … 年龄 50 43 47 21 … 性别 男 女 男 男 … 工资 1600 1250 1500 900 …
5元组： <301,张林,50,男,1600>，<302,王晓云,43,女,1250>
11
A上重要关系的实例（续）
小于等于关系LA, 整除关系DA, 包含关系R定义如下： 定义4.7 LA={<x,y>| x,y∈A∧ x≤y}, 这里AR，R为实数集合 DB={<x,y>| x,y∈B∧ x整除y}, BZ*, Z*为非0整数集 R={<x,y>| x,y∈A∧ xy}, 这里A是集合族. 例如 A={1,2,3}, B={a,b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是 R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
22
关系运算的性质（补）
•设R1是从A到B的关系，R2和R3是从B到C的关系， R4是从C到D的关系，则： （1）R1(R2R3)=R1R2R1R3 （2）R1(R2R3)R1R2R1R3 （3）(R2R3)R4=R2R4R3R4 （4）(R2R3)R4R2R4R3R4
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2019/3/14
5
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某 一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根）， 以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影 响。抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高 层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结 论, 再把它们应用到那些系统中去。由于代数结构中运算个数以及 对运算要求的性质的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就 形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环 和域, 这也是离散数学课程抽象代数部分的重要研究内容 。
2019/3/14 6
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
2019/3/14 7
Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.
2019/3/14
This is taken from a French stamp
{a} {b} {a,b} si {a} {b} si {a,b} {b} {a}
{a} {a} {b} {b} {a,b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a}
2019/3/14
9
例２ 设有函数g:I2I，对于任意(i1,i2) I2 ，g(i1,i2)=i1-i2
g(5,3)=2, g(3,5)=-2, g(-3, 9)=-12 ,
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
1 例3 定义函数~:R-{0} R-{0} 为 ~ (r ) r 8 3 1 ~ ( ) 例如 ~ ( ) 2 ， 3 8 2
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代数的由来
Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠詞，jabr之意为恢复或 还原，解方程式时将负项移至另一边，变成正项，也可说是还原， 也有接骨术的意思。
中国在1859年正式使用代数这个名称（李善兰在《代微积拾级》 一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同 的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书《九章算术》其实 是一本数书百科全书，代数问题分见于各章，特別是第八章方程， 主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249） 的《数书九章》中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数， 用现在的术语来说就是“设未知数为x"。
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什么是代数？
爱因斯坦小時候曾好奇地问他的叔叔：「代数是什么？」（那时 候他只学过算术）他的叔叔回答得很妙：「代数是一种懒惰人的 算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想 办法去寻找他们。」道理一经点破，就好像「哥伦布立蛋」的故 事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解題方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫 做广义算术(generalized arithmetic) 或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。
。
求倒数的运算不能看作实数集R上的一元运算。
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例４ 集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集2U
上的二元运算。求补集的运算可看作是2U上的一元运算。 对任意Si,Sj2U,
(Si , S j ) Si S j
(Si , S j ) Si S j
对任意Si2U ， ( Si ) Si
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4.1 运算
定义1 设有非空集合A，函数f：An→A称为A上的一
个 n 元运算。特别，函数 f：A2 →A称为A上 的二元运算， f：A →A 称为A上的一元运算 。 例１ 设有函数 f：N2 →N ，对于任意 (n1, n2)N2, f(n1,n2)=n1+n2 f(5,3)=8, f(3,5)=8, f(3,9)=12
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~双射
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一、一元运算和二元运算的表示方法
表达式： x1x2=y ~ x =y 表达方法： 解析表达式 运算表
ai a1 ~ (ai )
a1 (a1 , a1 )
a2
an
~ (a1 ) ~ (a 2 ) ~ (a n )
a1 a2 an
第四章 代数系统
4.1 运算 4.2 代数系统
4.3 同态和同构
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本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复 杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元 素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、
满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程
中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数 关系结合在一起进行研究。
(a1 , a2 ) (a1 , an )
a2 an
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(a2 , a1 ) (a2 , a2 ) (a2 , an ) (an , a1 ) (an , a2 ) (an , an )
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例如 设A={a,b},2A上的一元运算'和二元运算用运算 表定义如下：
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代数（ Algebra ）是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数 学和抽象代数学两部分。 高斯在十八世纪证明了代数基本定理；挪威数学家阿贝尔 （ 1802-1829 ）在十九世纪初（ 1824 ）证明了不能用根式 求解一般五次方程；法国数学家伽罗瓦（ 1811-1832 ）在 1832年运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可 能性问题。他是第一个提出“群”的思想的数学家，一般称他为 近世代数的创始人。他使代数学由作为解方程的科学转变为研究 代数运算结构的科学。即把代数学由初等代数时期推向抽象代数 即近世代数时期。