八年级数学下册矩形
八年级下册数学-矩形
第10讲矩形知识导航1.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，矩形是轴对称图形，又是中心对称图形；3.矩形的判定:有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形.【板块一】矩形的折叠问题方法技巧矩形的折叠图中，有较多的直角三角形，常运用相等的边、勾股定理计算边的长.题型一矩形折叠——勾股定理求边长【例1】已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，按下列要求折叠：(1)如图1，把矩形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F，求DF的长;(2)如图2,折叠矩形ABCD,使AD落在对角线BD上，求折痕DE的长；(3)如图3,折叠矩形ABCD,使点B与点D重合，求折痕EF的长.【例2】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G.(1)猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；(2)若AB=3,AD=4,求线段GC的长.题型二矩形折叠——求边的比值【例3】如图1,在□ABCD中,E是AD上一点，连接CE,F为CE的中点,DF=EF.(1)求证:四边形ABCD为矩形；(2)如图2,若AE=AB,过点B作BG丄CE,垂足为点G,连接AG.求∠AGB的度数。
针对练习11.如图，在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,求EF的长.2.如图,在正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF丄DE,与BC的延长线交于点,连接EF，与CD边交于点G,与对角线BD交于点H.(1)若BF=BD= 2求BE的长；(2)若∠ADE=2∠BFE,求证:FH=HE+HD.3. (1)【操作发现】如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后到△GBE，且点G 在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，小明认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.⑵【问题解决】保持⑴中的条件不变，若DC=2DF，求ADAB的值.(3)【类比探究】保持⑴中的条件不变，若DC=nDF，直接写出ADAB的值：.【板块二】矩形与等腰三角形方法技巧1.利用矩形的性质可证明线段相等或平分，角相等，两直线平行或垂直，还可以求角的度数；2.矩形的对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此矩形有关问题常常会用到等腰三角形的性质. 题型三矩形中的等腰三角形【例1】如图,在矩形ABCD中，AC，BD交于点0，P为AD上一点，PE丄BD于点E,PF丄AC于点F,AG ⊥BD于点G.(1)求证:PE+PF=AG;(2)若AB=4,AD=6,利用（1)的结论,求PE+PF的值.【例2】已知四边形ABCD是矩形，连接AC,点E是边CB的延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点。
八年级数学下册教学课件《矩形的性质》
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解：如图所示:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，∠ABC=90°.
∴OB=OC.
A
D
又∠BOC=120°,
O
∴∠ACB=30°.
120°
∴AB=1 AC= 4.
B
C
2
∴BC= AC 2 AB2 82 42 4 3 .
∴ S矩形ABCD AB BC 4 4 3 16 3.
2.如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
A
D
∴∠ABC=∠DCB=90°.AB=DC.
又BC=CB.
B
C
AB=DC
在△ABC与△DCB中， ∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=BD.
归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
察Rt△ABC,在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,BO
与AC有什么关系?
1.矩形ABCD的对角线AC把矩形分成了两个三角
形,在△ABC中∠ABC是什么角? A
D
O
∠ABC是直角
B
C
新知探究
直角三角形斜边上的中线性质
2. AO与CO有什么关系? BO与DO有
什么关系? AO=CO，BO=DO
课后作业
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于
点D,∠ACD=3∠BCD, E是斜边AB的中点.∠ECD是多
少度？为什么？【选自教材P61,习题18.2第9题】
BD
1
E
C
2
A
课后作业
∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°
八年级下册数学课件矩形的判定
课堂小结 矩形的判定
有三个角是直角 有一个角是直角 对角线相等
(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
(2)矩形的性质：①平行四边形所有的性质； ②对角线相等 ③四个角都是直角
知识点 1 矩形的判定定理1： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90° ∴平行四边形ABCD是矩形
知识点 2 矩形的判定定理2
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立.
问题2:四边形至少有几个角是直角就是矩形呢？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
已知：如图,在四边形ABCD中 ,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
D
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， B
∴ ∠ABC=∠DCB
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形 .
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
几何语言：
A
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD
D O
∴四边形ABCD是矩形.B
C
知识点3 矩形的判定定理3
问题1:前边我们学习了矩形的四个角，知道它们 都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形. A
D
证明:∵四边形 ABCD是平行四边形
B
C
∴ AB=DC
又∵ AC=DB，BC=CB
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
八年级数学下册 18.2.1《矩形》矩形的性质 (新版)新人教版
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60° 或120°, 则其中必有等边三角形.
小试牛刀
练习：
如图，在矩形ABCD中，找出 相等的线段与相等的角。
A
D
O
B
C
营中热身
矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( C )
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
符号语言:
∵在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴
BO=
1 2
AC
例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交
于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对
角线的长？
A
D
解：∵ 四边形ABCD是矩形
o
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
B
C
∵ ∠AOB=60°
A
D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ ∠A=90°
∵矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
B
C 又∠A +∠B + ∠C + ∠D = 360°
营中寻宝
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD是斜边
AC上的中线
A
(1)若BD=3㎝，则AC＝ 6 ㎝ ┓ B
D C
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 ㎝， BD＝ 5 ㎝.
八年级下册数学矩形讲解
八年级下册数学矩形讲解【矩形的概念】矩形（Rectangle）是几何中的一种图形，它的特点是由两个相等的直角构成，其他的角均为钝角，四边等长。
在数学上，矩形是一种平行四边形，是棱角数为4，棱边数为4、每个内角均为90度的四边形。
因此，矩形就是一个拥有4条边并且4个棱角，每个棱角均为90度的四边形。
【矩形的性质】1.矩形的两个对角线互相垂直，并且相等。
2.矩形的四条边均为直线，且是等长的。
3.矩形的四个内角均为钝角，即每个独个角的度数都等于90度。
4.矩形的面积等于其长度与宽度的乘积。
【矩形的特殊情形】1.空心矩形：边框和背景完全分离，构成只有边框的空心矩形。
2.平行四边形：平行四边形是指存在一对平行边的四边形，它的四个角度为90度，所以，平行四边形也可以称之为矩形。
3.正方形：正方形是特殊的矩形，它的四条边等长，四个内角的角度均为90度，正方形的面积等于其边长的平方。
4.菱形：菱形也是一种特殊的矩形，它的四个角的角度都为90度，但是它的四条边不是等长的，只有两条边相等，面积也不是等长的，菱形的面积等于其两条等长边乘上中间那条不等长边的一半。
【矩形的应用】1.计算机图形学：矩形对于计算机图形学来说，是最常用的几何形状之一，它可以用来绘制二维图形，并且能够十分轻松的绘制复杂的图形。
2.幕布的布局：幕布的布局经常使用矩形来排列，这样可以使幕布尽可能的利用好空间，达到最佳的活动效果。
3.家庭建筑：家庭建筑中，矩形也是常见的形状，它可以用来表示各种框架形式的建筑，如楼房、桥梁等。
4.城市规划：城市规划中，矩形也有着广泛的应用，例如用矩形绘制地图，城市区域的划分也是用矩形来标识的。
八年级数学下册教学课件《矩形的判定》
H
(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两
条直角边与窗框无缝隙时, 如图④, 说明窗框合格, 这时窗框是 矩形 ,
根据的数学道理是 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 ．
概念可以判定矩形,比照平行四边形的判定,那矩形性质的逆命题是
不是也可以用于矩形的判定呢? 我们来看下.
探索新知
∴四边形 ABCD 是矩形
对应训练
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF，
DE分别是△BDC,△ADC的角平分线. 求证：四边形DECF是
矩形. 证明:∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
A
∴AD=CD=BD.
E
D
∵DE是△ADC的角平分线， ∴DE⊥AC.
∴∠DEC=90°. 同理得∠CFD=90°. C
D F
②
③
④
G
H
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB＝CD , EF＝GH ; (2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是 平行四边形 , 根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ;
情境导入
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：
A
B
①C E
D F
②
③
④
G
A
m
hm
Bn
nC
课后作业
解：能拼成三种平行四边形. （1）如图①的矩形，其对角线长为m. （2）如图②的平行四边形. 其两条对角线长分别为n, 4h2 n2 （3）如图③的平行四边形， 其对角线长分别为h， 4n2 h2
Байду номын сангаас
m n
h ① mn
人教版数学八年级下册：18.2.1矩形(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的实际问题，如计算矩形的周长和面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和量角器来绘制矩形，并验证其对角线相等且互相平分的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
-举例：给出具体的长和宽，让学生计算矩形的周长和面积，巩固公式运用。
2.教学难点
-矩形性质的理解：学生对矩形性质的深入理解可能存在困难，需要通过实例和操作活动帮助学生消化吸收。
-难点举例：对角线互相平分且相等这一性质，学生可能难以理解。可以通过实际操作，如折叠矩形纸张，观察对角线的关系，使其更直观。
-矩形判定方法的应用：在实际问题中，学生可能难以灵活运用判定方法识别矩形。
-难点举例：当四边形的形状较为复杂时，学生可能不知道从哪个角度进行判定。可以通过对比不同四边形的例子，引导学生逐步分析，找出适用的判定方法。
-解决实际问题中的矩形问题：将矩形知识应用于实际问题时，学生可能会遇到困难。
-难点举例：在解决矩形花园或矩形桌面等实际问题时，学生可能不清楚如何将问题转化为数学模型。可以通过设置情境，引导学生将实际问题抽象成数学问题，并运用所学知识解决。
2.在小组讨论环节，可以设置更多具有挑战性的问题，引导学生深入思考，提高讨论质量。
3.注意关注学生的个体差异，针对不同学生的需求进行分层教学，使每个学生都能在课堂上获得收获。
4.加强课堂反馈，及时了解学生的学习情况，以便调整教学策略，提高教学效果。
在总结回顾环节，学生对本节课的知识点掌握程度总体较好，但仍有个别学生对某些部分存在疑问。我需要在课后及时关注这些学生，为他们提供个性化的辅导，确保他们能够跟上教学进度。
人教版初中八年级下册数学课件 《矩形》平行四边形(第2课时矩形的判定)
矩形 第二课时矩形的判定
课标解读
1.理解矩形的定义，能够利用矩形的定义判定四边形是矩形。 2.掌握矩形的判定定理，并能灵活运用这些判定定理解决问题。 3.通过探索矩形的判定定理，进一步培养视图能力，以及推理论证 能力。
知识梳理 矩形的判定 1.定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形
4
4.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花 摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来 多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
解：还需要从花房运来38盆“红花”. 因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且 不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的 交点没有摆花盆. 如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩 形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花 盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
3.已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等 边三角形，AB=4cm. (1)这个平行四边形是矩形吗？说明你的理由; (2)求这个平行四边形的面积.
解：（1）是.∵△AOB是等边三角形，
∴AO=BO
1
1
又∵AO=2 AC，BO2= BD.
∴AC=BD.
∴ ABCD是矩形.
（2）S 1 ABCD= 2 3 4 4 16 3 2
已知：如图，∠A=∠B=∠C=90°.
A
D
求证：四边形ABCD是矩形
证明：∵∠A=∠B=∠C=90° ∴∠D=90°
B
C
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形 ， ∵∠A=90°
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D 分析：由ED＝５，EC=3得DC＝４
4
5
4
在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，得
4
B
△ABE为等腰直角三角形。
3
E
C ∴BE＝AB=CD＝４，BC＝７
必 1.矩形具有一般平行四边形而不具有的性质是 (
)
做 A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
1
则有：AO= 2BD
A┛
O
D
B
C
推论 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例：我们教室的多媒体一体机屏幕短边的长是
32.5寸，两条对角线的一个夹角是 60 ，你能帮
我算一算教室一体机的尺寸（对角线长）吗？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
学生分析 A
D
∴AC与BD相等且互相平分
1. 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目 标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A
D
O
B
C
公平,因为OA=OC=OB=OD
2.已知Rt△ABC中,∠ABC=900 ，BD是斜边AC上的中线。若BD=3㎝,
则AC＝6 ㎝,
A
３.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于
32.5寸，两条对角线的一个夹角是 60 ，你能
帮我算一算教室一体机的尺寸（对角线长）吗？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
∴AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB
A
D
∵ ∠AOB=60° ∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=32.5
o
B
C
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=65
追问：你能帮我算一算教室一体机屏幕的较长边的长度吗？
找一找：我们身边的矩形
平行四边形
矩形
A
D
A
D
有一个角是直角
B
C
B
C
矩形又有哪些性质呢？请大家按平面图形的一般探究方式， 以小组为单位展开讨论，写出你们的猜想
小组探 究视频
矩形特殊性质探究、证明
A
D
命题1：矩形的四个角都是直角．
B
C
命题2：矩形的两条对角线相等．
几何画板演示
证一证
命性题质11：矩形的四个角都是直角．
∴ OA=OB
o
∵ ∠AOB=60°
B
C
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=32.5 ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=65
方法总结: (1) 矩形问题可以转化成等腰三角
形的问题去解决. (2)如果矩形两对角线的夹角是
即一体机的尺寸为65寸
60°或120°,则其中必有等边三角形.
例：我们教室的多媒体一体机屏幕短边的长是
BC AC 2 AB 2 65 3 2
谈谈这节课你有哪些收获？
1.
边
角
对角线
平行四边形 对边平行且相等
对角相等 邻角互补
矩 形 对边平行且相等 四个角都是直角
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 矩形问题 转化三角形问题
对角线互相 平分
对角线互相平 分且相等
3. 经历了观察、猜想、论证的学习过程，学会了类比的数学思想方法
题
2 .矩形的被子和床单反复对折后仍然是矩形，
你知道其中蕴含的数学道理吗？请你用一张
矩形纸片试试看。
选 如图，在矩形ABCD中，AE∥BD，
做 且交BC延长线于点E， 题 求证：∠EAB＝∠CAB
E
A
D
O
B
C
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° A
D
B
C
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
证一证
命性题质2：2 矩形的两条对角线相等． A
D
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
B
C
数学语言
∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD
画一画，剪一剪 : 你能得到直角三角形的什么性质？
18.2.1 矩形（1）
矩形的性质
平行四边形有哪些性质呢？
A
D
边
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等；
B
C
ABCD
角 平行四边形的对角相等、邻角互补；
对角线 平行四边形的对角线互相平分；
动一动：在推动平行四边形活动框架的变化过程中，你还 发现了哪种图形呢？
D
C
D
C
D
C
A
B
A
B
A
B
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形