八年级下册数学矩形练习题
人教版八年级数学下册--18_2_1 矩形(第2课时 矩形的判定)练习】
第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：，使四边形DF AE是矩形．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一种情况即可）．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝°时，四边形AEDF是矩形．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．第十八章平行四边形18.2.1 矩形（第二课时矩形的判定）精选练习答案一．选择题（共10小题）1．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD【解答】解：需要添加的条件是AC＝BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．2．如图，要使▱ABCD为矩形，则可以添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60°D．AB＝BC【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，故选：B．3．已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；B、∠A＝∠C不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD 为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD 为矩形，故此选项符合题意；D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，对于下列条件：①∠1+∠3＝90°；②BC2+CD2＝AC2；③∠1＝∠2；④AC⊥BD．能判定四边形ABCD是矩形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵∠1+∠3＝90°，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故①正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵BC2+CD2＝AC2，∴BC2+AB2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故②正确；③∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故③正确；④∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故④错误；能判定四边形ABCD是矩形的个数有3个，故选：C．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠BC．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．7．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BCC．OA＝OB＝OC＝OD D．AC⊥BD【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；B．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；C．∵AO＝OB＝OC＝OD，∵AC＝BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；故选：D．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形ABCD为矩形的是（）A．AD＝AB B．AB⊥AD C．AB＝AC D．CA⊥BD【解答】解：A、∵平行四边形ABCD中，AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、平行四边形ABCD中，AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵平行四边形ABCD中，CA⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．9．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若再添加﹣个条件使▱ABCD成为矩形，则该条件不可以是（）A．AC＝BD B．AO＝BO C．∠BAD＝90°D．∠AOB＝90°【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：D．10．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量其中四边形的三个角都为直角C．测量一组对角是否都为直角D．测量两组对边是否分别相等【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故选项A不符合题意；B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故选项B符合题意；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状，故选项C不符合题意；D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．二．填空题（共5小题）11．如图，D、E、F是△ABC各边中点，请在△ABC中添加一个条件：∠A＝90°（答案不唯一），使四边形DF AE是矩形．【解答】解：添加条件：∠A＝90°；理由如下：∵E、D、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝AB，AF＝AC，∴DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．12．如图，请添加一个条件使平行四边形ABCD成为矩形，这个条件可以是AC＝BD或∠ABC＝90°（写出一种情况即可）．【解答】解：若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）∠ABC＝90°．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝45°时，【解答】解：当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形．∵DF∥AB，DE∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形．故答案为45．14．如图，已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED＝BE；（3）连接AD和DC．则四边形ABCD即为所求的矩形．理由是有一个角是直角的平行四边形为矩形．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵ED＝BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形．15．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD条件，才能保证【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG＝∠1，∠1＝∠2，∴∠2＝∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG＝90°，∴∠2＝90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．三．解答题（共2小题）16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE＝GF＝GC．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形．请说明理由．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠C，∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．（2）解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC+∠GFC+∠C＝180o，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC+2∠EFB＝180°，∴∠BFE+∠GFC＝90°．∴∠EFG＝90°．∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并给出证明．【解答】解：（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点，∴AE＝DE，BD＝CD，∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，在△AFE和△DCE中，∠AFE＝∠DCE，∠F AE＝∠CDE，AE＝DE∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD为平行四边形；（2）当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，证明：∵AB＝AC，D为BC中点，即AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∵四边形AFBD为平行四边形，∴四边形AFBD为矩形．。
人教版八年级下册数学 矩形 同步检测
18.2.1矩形同步检测一、选择题1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD ＝4，则AC的长是( )A. 4B. 8C. 43D. 832．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C 与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（）A. 5B. 3C. 365D. 1853．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对边平行B. 对边相等C. 对角线互相平分D. 对角线相等4．如图所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1，则∠1的度数为（）．A. 22．5°B. 45°C. 30°D. 60°5．E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB=AE=4，BC=2，则∠BEC 是（）．A. 15°B. 30°C. 60°D. 75°6．一个矩形和一个平行四边形的边分别相等，若矩形面积为这个平行四边形的面积的2倍，则平行四边形的锐角的度数为（）．A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°7．已知E、F分别是矩形ABCD的对边BC和AD上的点，且BE=1BC，3 AD，连结AC、EF，那么（）．AF=23A. AC平分EF，但EF不平分ACB. AC与EF互相平分C. EF平分AC，但AC不平分EFD. AC与EF不会互相平分8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E 是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A. 2aB. 22aC. 3aD. 43a39．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB=8，AC=6，则△DEF的周长为（）A. 12B. 13C. 14D. 1510．如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD平分∠ABC ,P点是BD的中点,若AD=6, 则CP的长为( )A. 3.5B. 3C. 4D. 4.5二、填空题11．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB=8，AC=6，则四边形AEDF的周长为．12．如图，90∆中，5,6∆的顶∠=︒，已知ABCMON===, ABCAC BC AB点,A B分别在边,OM ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，ABC∆的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为____________.13．如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为____________．14．如图，矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，过O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为_____．15．如图，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，使AD=ED=EC，若∠ADE=20°，则∠AEC=____.16．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC 上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2=________°.三、解答题17．已知：如图，在△ABC中，AD BC⊥，⊥，垂足为点D，BE AC垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ．（1）猜想△MED 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，30DBE ∠=︒，求△MED 的面积．18．如图，已知矩形ABCD 的周长为20，AB ＝4，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且AE ⊥EF ，AE ＝EF ．求CF 的长．19．如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE=DC ，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．20．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使BC=CE，连接DE．求证：DE=AC．21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F 分别是AO、AD的中点，若AB=60cm，BC=80cm，则△AEF的周长是多少？22．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=C，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．参考答案1．B【解析】因为∠AOD＝60°，AD＝4,，矩形ABCD，AC=BD, ,∠BDA=60°，所以AO=DO=AD所以AC=8.故选B.2．D【解析】过点G作GH⊥AD于点H，由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8﹣AF）2=AF2，解得AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，∴△BAF≌△GAE，∴AE=AF=5，ED=GE=3，∵S△GAE=12AG•GE=12AE•GH∴GH=125，∴S△GED= 12ED•GH= 12×3×125= 185，故选D．3．D【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选D．4．B【解析】∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠2+∠ABD=∠ADB+∠ABD =∠EAD+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠2，∠1+∠OAD+∠ADB=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADB=∠2，∴∠1+2∠2=90°，∵∠1：∠2=2：1，∴2∠2=∠1，∴2∠1=90°，∴∠1=45°，故选B.5．D【解析】∵在Rt△ADE中，AD=2，AE=4，∴∠AED=30°，∵AB∥CD，∴∠EAB=∠AED=30°，∵AB=AE，∴∠AEB=75°，∴∠BEC=180°-∠AED-∠AEB=180°-30°-75°=75°．故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形等，熟记矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.6．B【解析】如图，矩形ABCD与平行四边形BCFG中，BG=AB，过点G作GH⊥BC，垂足为H，∵S矩形ABCD=BC·AB=2S平行四边形BCFG=2BC·GH，∴BG=2GH，∵△BGH是Rt△，∠BHG=90°，∴∠GBH=30°，故选B.【点睛】本题考查了矩形的面积、平行四边形的面积以及直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的运用，根据已知条件推导出平行四边形的高与一边的关系是解题的关键.7．B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，AD//BC ，∴∠DAC=∠ACB ，∵BE=13BC ，AF=23AD ，∴AF=CE ， 又∵∠AOF=∠COE ，∴△AOF ≌△COE ，∴AO=CO ，FO=EO ，即AC 与EF 互相平分，故选B.8．B【解析】CD ⊥AB ,CD ＝DE ＝a,所以222a a a +=点E 是AB 的中点,CE=1,2AB 所以2故选B.9．A【解析】试题解析：在ABC 中，由勾股定理可得：22226810.BC AB AC +=+= AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，则：1115,4, 3.222EF BC DE AB DF AC ======DEF 的周长为：45312.DE EF DF ++=++= 点睛：直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.10．B【解析】试题分析：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，∴∠A ＝∠ABD ，∴BD ＝AD ＝6，∵在Rt △BCD 中，P 点是BD 的中点，∴CP ＝12BD ＝3．故选B ．11．14【解析】试题解析：∵AD 是高，90ADB ADC ∴∠=∠=，∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，11,22ED EB AB DF FC AC ∴====， ∵AB=8，AC=6，∴AE+ED=8，AF+DF=6，∴四边形AEDF 的周长为8+6=14，故答案为：14.12．7【解析】试题解析：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．∵AC=BC=5，AB=6．∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=3，∴CD=2222=53BC BD--=4；连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=3，∴OD+CD=3+4=7，即OC=7．13．10【解析】∵AE=ME,AB=MN,BF=NF,∴ME+DE+MN+CD+CF+NF=AE+DE+AB+CD+CF+BF=AD+AB+CD+BC=2+3+2+3=10.点睛：本题主要考查了折叠问题以及矩形的性质的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．14．5【解析】如图，连接CE ，∵点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，EF ⊥AC ，∴AE=CE ，AO=12AC=222242255AB BC +=+==.设AE=x ，则CE=x ，BE=4x -，在Rt △BCE 中，由勾股定理可得：CE2=BE2+BC2，即()22242x x =-+， 解得： 2.5x =，即AE=2.5，∴在Rt △AOE 中，OE=()222252.552AE AO -=-=， ∵点O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，∴点O 是矩形的对称中心，∴EF=2OE=5.点睛：由矩形是关于对角线中点成中心对称的可得：EF=2OE ，AO=12AC ，从而把求EF 的长转化为求OE 的长，进一步转化为求AE 的长，连接CE ，由已知得到CE=AE ，就可把问题转化到Rt △CEB 中求CE 的长，这样利用勾股定理建立方程即可解得AE ，从而求得EF.15．120°（180°【解析】在△ADE中，∵∠ADE=20°，AD=ED，∴∠AED=12-20°）=80°，∵四边形ABCD是矩形，∠ADE=20°，∴∠EDC=90°-20°=70°，在△DEC中，∵ED=EC，∴∠DEC=180°-70°×2=40°，∴∠AEC=∠AED+∠DEC=80°+40°=120.16．30【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠AEB=180°−90°−45°=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB−∠EAC=45°−15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB−∠AEB=30°，故答案为：30.点睛:本题考查了矩形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质的综合应用,能求出∠OEB和∠AEB的度数是解此题的关键. 17．（1）等腰三角形；（2【解析】试题分析：（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=1AB，2所以△MED为等腰三角形；（2）由条件知∠EMD=2∠DAC=60°，从而可得等腰三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．试题解析：（1）猜测△MED 为等腰三角形，理由如下．由题意可得，DM 是RT △ABD 斜边上的中线， ∴1DM AB BM 2==，EM 是Rt ABE 斜边上的中线， ∴1EM AB BM 2==，∴DM EM =，∴MED 为等腰三角形．（2）由（1）中可得：DM BM =，EM BM =，∴MBD MDB ∠∠=，MBE MEB ∠∠=，∴AMD MBD MDB 2MDB ∠∠∠∠=+=，AME MBE MEB 2MBE ∠∠∠∠=+=， ∴()EMB AMD AME 2MBD MBE 2DBE ∠∠∠∠∠∠=-=-=，∴在等腰MED 中，EMD 2DBE 60∠∠==︒，∴MED 是等边三角形，边长为AB DM BM 22===， ∴DEM S =点睛：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好.18．2cm【解析】试题分析：根据已知条件易证△ABE ≌△ECF ，根据全等三角形的性质可得CE=AB=4cm ，根据矩形的周长为20cm 可得2（4+4+BE ）=20，B E=2cm ，再由全等三角形的性质可得CF=BE=2cm.试题解析：∵AE⊥EF，∴∠AFE=90°，∴∠AEB+∠BAE =90°，而∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，又∠ABE=∠ECF=90°，AE=EF，∴Rt△ABE≌Rt△ECF，∴CE=AB=4cm又∵矩形ABCD周长为20cm∴2（4+4+BE）=20∴BE=2cm∴CF=BE=2cm19．详见解析.【解析】由已知条件易得：∠DEA=∠ABF=90°，∠DAE=∠AFB，DE=DC=AB，从而可得：△ABF≌△DEA．试题解析：图中：△ABF≌△DEA，证明如下：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°，AB=DC．∵DE⊥AG于E，DE=DC，∴∠AED=90°=∠B，AB=DE．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥CB．∴∠DAE=∠AFB．，∴△ABF≌△DEA（AAS）．20．证明见解析【解析】试题分析：证明CD是线段BE的垂直平分线，得到DB=DE，又因为DB=AC，则得证.试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠BCD=90°，∵BC=CE，∴DC是BE的中垂线，∴BD=DE，∴DE=AC．21．△AEF的周长是90cm．【解析】试题分析：先根据勾股定理求出AC的长，由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得BD=AC，即可得OD的长，在△AOD中，根据E、F分别是AO、AD在中点，分别求出AE、EF、AF的长，即可得△AEF的周长.试题解析：在Rt△ABC中，=100cm，在矩形ABCD中BD=AC=100cm，AD=BC=80cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF=12OD=14BD=25，AF=12AD=12BC=40cm，AE=12AO=14AC=25，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=90cm．22．（1）证明见解析；（2）a，b，c三者存在的关系是a+b>c,理由见解析.【解析】（1）首先根据题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接着根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明B′E=BF；（2）解答此类题目时要仔细读题，根据三角形三边关系求解分类讨论解答，要提高全等三角形的判定结合勾股定理解答．证明：（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，在矩形ABCD中，AD ∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B'EF，∴B′F=BE，∴B′E=BF；解：（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．证明：连接BE，则BE=B′E，由（1）知B′E=BF=c，∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，∵AE=a，AB=b，∴a2+b2=c2；（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．证明：连接BE，则BE=B′E．由（1）知B′E=BF=c，∴BE=c，在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c．“点睛”此题以证明和探究结论形式来考查矩形的翻折、等角对等边、三角形全等、勾股定理等知识．第一，较好考查学生表述数学推理和论证能力，第（1）问重点考查了学生逻辑推理的能力，主要利用等角对等边、翻折等知识来证明；第二，试题呈现显示了浓郁的探索过程，试题设计的起点低，图形也很直观，也可通过自已动手操作，寻找几何元素之间的对应关系，形成较为常规的方法解决问题，第（2）问既考查了学生对勾股定理掌握的程度又考查学生的数学猜想和探索能力，这对于培养学生创新意识和创新精神十分有益；第三，解题策略多样化在本题中得到了充分的体现．。
(完整版)八年级数学《矩形》练习题
(完整版)八年级数学《矩形》练习题一、选择题1. 矩形的四个角都是：A. 直角B. 锐角C. 钝角D. 无角2. 矩形的对角线之间的关系是：A. 相等且垂直B. 相等且平行C. 相等但不垂直D. 不相等但垂直3. 若矩形的长为12cm，宽为8cm，那么它的面积是：A. 20cm²B. 48cm²C. 80cm²D. 96cm²4. 若矩形的周长为30cm，宽为4cm，那么它的长是：A. 8cmB. 9cmC. 10cmD. 11cm二、填空题1. 矩形的对边是_______。
2. 矩形的并联边是_______。
3. 矩形的一个维数称为_______。
4. 矩形的面积公式是_______。
5. 矩形的周长公式是_______。
三、解答题1. 若矩形的面积是45cm²，且长是5cm，求宽。
解：设矩形的宽为x，则根据面积公式，有5x = 45。
对上述等式两边同时除以5，得到x = 9。
所以矩形的宽为9cm。
2. 若矩形的长为12cm，宽为6cm，求其周长和对角线之间的角的大小。
解：矩形的周长为2(长 + 宽)，代入数值得周长为2(12 + 6) = 36cm。
对角线之间的角都是直角，大小为90°。
3. 画出一个矩形，并标注其长、宽、对边和对角线。
[示意图]四、应用题1. 一个矩形的面积是30cm²，且长比宽多2cm，求矩形的长和宽。
解：设矩形的宽为x，根据面积的条件，有x(x+2) = 30。
展开得x² + 2x - 30 = 0。
左侧为二次方程，可以因式分解为(x+6)(x-5) = 0。
因为长比宽多2cm，所以宽为5cm，长为7cm。
2. 一个矩形的周长为28cm，长和宽的比值为5:3，求矩形的长和宽。
解：设矩形的长为5x，宽为3x，根据周长的条件，有2(5x+3x) = 28。
化简得8x = 28，解得x = 3.5。
2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.1矩形 同步练习 (含解析)
18.2.1矩形同步练习一．选择题1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D2．如图，矩形ABCD的长BC＝20cm，宽AB＝15cm，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AE、ED的长分别为（）A．15cm和5cm B．10cm和5cm C．9cm和6cm D．8cm和7cm3．取一张长方形纸片，过长方形的任意一个顶点将纸片折叠（只折一次），那么折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．不确定4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE ＝EO，则AD的长是（）A．6B．2C．3D．25．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED ＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.210．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为．12．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F都在CD上，点P在AD上，连接PE，若EF＝PE，∠FBP＝∠ABP，2∠APB+∠DPE＝180°，则线段AP的长为．14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，△CEF为等腰直角三角形，CE＝EF，∠CEF＝90°，∠BAD的平分线交CF于点H，连接BH．若BH＝，AF＝，则△ABH的面积为．15．如图，矩形ABCD，O为对角线交点，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB 于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．参考答案一．选择题1．解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝20cm，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝15cm，∴DE＝AD﹣AE＝5cm，故选：A．3．解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD＝90°，∵AE是任意一条折痕，∴∠BAE+∠DAE＝90°，即折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是互余；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，故选：B．5．解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴MD长为5．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∴α+β+γ＝90°，∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∴2α+β＝90°，∴α+β+γ＝2α+β，∴α＝γ，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，∴OF＝tan30°×BO＝1，∴CF＝1，故选：A．8．解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．9．解：如图，设A′B′交AC于点E，tan∠DAC＝＝，设AA′＝x，A′D＝2﹣x，∵AD＝2，DC＝3，∴＝，∴A′E＝x，∵两个三角形重叠部分的面积是S＝AE×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，解当x＝1时，阴影部分的面积最大，AA′＝1，故选：A．10．解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．∴在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝BE．①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a．∴DH＝DC．根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED＝∠CED 正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°．又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD．∠HEB＝∠FDH＝45°，又BE＝DH＝a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH＝HF，③正确；④由△BHE≌△HFD得到HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝，则CF＝a﹣（）＝2a﹣，∴，即CF＝DF，∴④错误；⑤BC＝a，CF＝2a﹣，HE＝，∴BC﹣CF＝2HE，∴⑤正确；综上所述，正确的是①②③⑤共4个．故选：B．二．填空题11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案为：4．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．13．解：分别延长PE、BF，交于点G，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∵2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠APB＝∠GPB．在△P AB和△PGB中，，∴△P AB≌△PGB（ASA），∴PG＝P A，∠A＝∠G＝90°，在△DPG和△EFG中，，∴△DPE≌△GFE（AAS），∴DP＝DG，∴PE+GE＝DE+EF，即PG＝DF，∴PG＝DF＝P A，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴GF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣GF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP＝．故答案为：．14．解：如图，连接EH，延长AH交DC的延长线于N，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（SAS），∴AE＝CD，DE＝AF＝，∴AE＝CD＝AB，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠DAN＝∠N＝45°，∴AD＝DN，∴AF＝CN，在△AFH和△NCH中，，∴△AFH≌△NCH（AAS），∴FH＝HC，又∵∠ABC＝90°，∴BH＝FH＝HC＝，∴CF＝2，设BF＝x，则AB＝+x，∴AD＝2+x＝BC，∵CF2＝BF2+BC2，∴40＝x2+（2+x）2，∴x＝2，（负值舍去），∴BF＝2，BC＝4，∴BF＝2AF，∴S△AFH＝S△BFH，∵S△BFC＝×BF×BC＝×2×4＝8，∴S△BFH＝4，S△AFH＝2，∴S△ABH＝2+4＝6，故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABC1O是平行四边形，∴S△ABO＝S矩形ABCD，S△ABO＝S，∴S＝S矩形ABCD＝，同理可得：平行四边形ABC2O1的面积＝，平行四边形ABC3O2的面积＝，…∴平行四边形ABC2020O2019的面积＝．故答案为：．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．。
华师大版数学八年级下册_《矩形的判定》拓展训练
《矩形的判定》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC2．（4分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD3．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD 为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形5．（4分）如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．2C．3D．36．（4分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2D．AC⊥BD7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.89．（4分）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB ＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME ⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．12．（4分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件时，四边形PEMF为矩形．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，秒后四边形ABPD是矩形．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q 在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s 和1cm/s，则经过s后，四边形ABPQ成为矩形．15．（4分）如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF ＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．17．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．18．（8分）如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝DF ＝DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系时，四边形AEFD是矩形．20．（8分）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD （1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．《矩形的判定》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．（4分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD【分析】由AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等即可得出A正确；由AO＝CO，BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出B正确；由∠B+∠C＝180°，得出AB∥DC，再证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形ABCD是菱形，C不正确；由∠A+∠B＝180°，得出AD∥BC，由HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC＝AD，证出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出D正确．【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴A正确；∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴B正确；∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥DC，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴C不正确；∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，如图所示：在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴D正确；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．3．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD 为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能根据矩形的性质推出0A＝OB是解此题的关键．4．（4分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故以上答案都正确．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D 正确．故选：C．【点评】本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．5．（4分）如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．2C．3D．3【分析】先证明△BCF是等边三角形，得出CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，求出CD，再证明四边形BCDE是矩形，即可求出面积．【解答】解：连接CF，如图所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∠CDE＝90°，∴∠ACF＝∠A＝30°，∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，∵AF＝BF，∴CF＝BF，∴△BCF是等边三角形，∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，∴CD＝CF•cos30°＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，∵BE⊥DF，∴∠E＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴四边形BCDE的面积＝BC•CD＝2×＝2；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键．6．（4分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2D．AC⊥BD【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC【分析】添加AD＝BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF 是平行四边形，再根据∠ACB＝90°，得出四边形DECF成为矩形．【解答】解：添加AD＝BD，∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD＝BD，∴ED∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.8【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴PC的最小值为：．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．9．（4分）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB ＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE＝CF，故①正确，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB＝DC，故②正确，∵BE∥CF，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝DC，∴S△ABE＝S△DCF，故③正确，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四边形ABCD是矩形，故④正确，故选：D．【点评】本题考查矩形的判断、平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质和平行线的性质解答．10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME ⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP．BC＝AB．AC，∴AP．BC＝AB．AC．∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．12．（4分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件AB＝BC时，四边形PEMF为矩形．【分析】根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时能满足∠BMC＝90°的条件．【解答】解：AB＝BC时，四边形PEMF是矩形．∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB＝BC，∴AB＝DC＝AM＝MD，∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠MCD＝45°，∴∠BMC＝90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM＝∠PEM＝90°，∴四边形PEMF是矩形．【点评】此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，3秒后四边形ABPD是矩形．【分析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，此时：AB＝DP＝4，CD＝5，在Rt△DPC中，CP＝，所以3秒后四边形ABPD是矩形，故答案为：3【点评】此题考查矩形的判定，关键是利用勾股定理解答．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q 在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s 和1cm/s，则经过5s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝20cm，∴AD＝BC＝20cm，要使四边形ABPQ是矩形，必须AQ＝BP，即20﹣t＝3t，解得；t＝5，故答案为；5．【点评】本题考查了矩形的性质和解一元一次方程，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．15．（4分）如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵点D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．故答案为矩形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF ＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠F AB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠F AB＝∠DF A，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，在Rt△ADE中，DE＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×8＝32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，BF＝BC ＝2，CF＝2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC，∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝90°，即∠AGB＝90°，同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得，∠BAG＝∠BAD＝30°，∵AB＝6，∴BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，∵BC＝4，∠BCF＝∠BCD＝30°，∴BF＝BC＝2，CF＝2，∴EF＝3﹣2＝，GF＝3﹣2＝1，∴矩形EFGH的面积＝EF×GF＝．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（8分）如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．【分析】（1）根据EC＝BD，EC∥BD即可证明；（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BEA＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴AE＝EC，∵DB＝AE，∴EC＝BD又∵DB∥AC，∴四边形DECB是平行四边形．（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形理由如下：∵DB＝AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，题目难度不大，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及平行四边形与矩形的联系是解题的关键．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝DF ＝DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形．【分析】（1）想办法证明∠DFC＝∠B，推出DF∥AB，即可解决问题；（2）当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形，想办法证明∠DFE＝90°【解答】（1）证明：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠C，∵∠B＝∠C∴∠DFC＝∠B，∴AE∥DF，∵AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：结论：当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形；∵2∠DFC+∠FDC＝180°，∠FDC＝2∠EFB，∴2∠DFC+2∠EFB＝180°，∴∠DFC+∠EFB＝90°，∴∠DFE＝180°﹣90°＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形．故答案为：∠FDC＝2∠EFB．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分．20．（8分）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD （1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD ＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中。
人教版八年级数学下册第02课 矩形的性质与判定 同步练习题
初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
人教版 八年级数学下册 18.2.1 矩形 培优练习(含答案)
人教版 八年级数学下册 18.2.1 矩形 培优练习（含答案）1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB =60°，AD =2，则AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．432.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB=BC 时，它是菱形B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形D ．当AC=BD 时，它是正方形3.下列命题是假命题的是（ ） A.不在同一直线上的三点确定一个圆 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.正六边形的内角和是720° D.角平分线上的点到角两边的距离相等4.矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）cm ． A.12 B.10 C.7.5 D.55.如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB 。
添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A.AB=BEB.BE ⊥DCC.∠ADB=90°D.CE ⊥DE 6.下列命题是假命题的是（ ）A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形 7.以下四个命题正确的是（ ） A. 任意三点可以确定一个圆 B. 菱形对角线相等C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 平行四边形的四条边相等8.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=6cm ，BC=8cm ，把矩形沿直线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F ，连接AE.下列结论中结论正确的个数有 ( ) ①△FBD 是等腰三角形； ②四边形ABDE 是等腰梯形； ③图中有6对全等三角形；BC O DAOD C B A A B C DEF EDA④四边形BCDF的周长为532；⑤AE的长为145cm.A．2个B．3个 C.4个D．5个9.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8 B．5 C．6 D．7.2二、填空题（共有7道小题）10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=4，则AC的长为。
人教版初二数学下册矩形性质练习
矩形的性质练习一、选择——基础知识运用1．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm2．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD等于（）A．5 B．6 C．7 D．83．Rt△ABC中，∠C=90°，锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是（）A．5cm B．15cm C．10cm D．2.5cm4．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．275．如图，在矩形ABCD中，AF⊥BD于E，AF交BC于点F，连接DF，则图中面积相等但不全等的三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为（）A．（0， B．（0， C．（0， D．（0，二、解答——知识提高运用7．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是。
8．长方形ABCD面积为12，周长为14，则对角线AC的长为。
9．如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的大小。
10．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的。
11．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF。
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矩形练习题
一、基础练习
1．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 2．四边形ABCD 的对角线相交于O ，OA ＝OB ＝OC ＝ OD ，则它是 形，若∠AOB＝60°，
那么AB∶AC＝
【变形题】：矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和是15cm ，则对角线长为 ，短边长为
3．如图，矩形的周长为24cm ，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边长为
4．平行四边形没有而矩形具有的性质是（
） A 、对角线相等 B 、对角线互相垂直
C 、对角线互相平分
D 、对角相等
5．下列叙述错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分。
B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角为90º的平行四边形是矩形
6．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 7．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）
A 、5cm
B 、7.5cm
C 、10cm
D 、12.5cm
8．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A 、平行四边形
B 、等边三角形
C 、矩形
D 、直角三角形 9．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O 点，AE⊥BD，垂足为
E ，若∠DAE＝4∠BAE， 则∠EAC＝
10．已知，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时， 点P 的坐标为 二、解答题
1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
2．如图，□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点，
求证：四边形EFGH 的矩形。
D
A
C
B
H
G
F E A
B
O
C
D
3题图
9 题图 y
x
P D C
B
A
O
10 题图
3. 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形． 4．如图，矩形ABCD 中，,,EB EF EB EF =⊥矩形ABCD 周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。
5． 如图，矩形ABCD 中，DE=AB ，DE CF ⊥，求证：EF=EB 。
6．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD AE ⊥，垂足为E ，已知AB=3，AD=4， 求AEO ∆的面积。
A
E
B
C
D
F H
G O
F
E
D
C
B A
A
B
C
E
D F A
B
C D
E O。