第一讲 优选法 四、分数法
优选法的五种方法
优选法的五种方法
优选法是数学原理指导下的一种科学方法，用于合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案。
以下列举了五种优选法的具体方法：
1. 单因素优选法：如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题。
这个方法又细分为平分法、法（黄金分割法）、分数法、分批试验法等。
2. 多因素优选法：当涉及两个或更多因素时，可以采用降维法、爬山法、单纯形调优胜、随机试验法、试验设计法等。
3. 微分法：用于求解目标函数有明显的表达式的问题。
4. 变分法：一种用于求解泛函的极值的方法。
5. 极大值原理或动态规划等分析方法：适用于目标函数有明显的表达式的情况。
请注意，以上信息仅供参考，如需获取更多信息，建议查阅优选法的相关书籍或咨询该领域专业人士。
人教版高中数学 选修4-7 优选法试验设计初步 第一讲 优选法 第四节 分数法
在存优范围50~130ml内，用“加两头，减中间” 的方法求x1的对称点，得： X3=50+130-80=100, 所以第3个试点在100ml处，这个点相当于存 优范围重新进行编号后的F4/F5位置，而x1在存 验后，就能找到满意的结果.
针对上面的问题， 后来有人采用分数近似 数来代替黄金分割常数 来解决上面的问题，此 方法，后来被称为分数 法.
下面，我们就对分数法进行进一步的讲 解……
教学目标
1. 知识与技能
(1) 了解并掌握分数法的基本概念. (2) 了解什么是斐波那数列. (3) 学会使用斐波那数列来解决问题. (4) 能够使用分数法解决实际的优选问题. (5) 了解并掌握什么是分数法的最优性.
2.过程与方法
（１）教师案例引入分数法，通过演 示案例，指导学生观察分析，总结归纳. （２）学生积极思考认真学习，理解 分数法的概念，通过自己动手演算，进行 推导. （3）通过学生的自主学习，掌握分数 法的使用方法，并能通过分数法解决实际 的优选问题.
3.情感态度与价值观
（１）通过学生之间的讨论、交流与协 作探究，培养学生之间的团队合作精神. （２）让学生在探究过程中体验解决问 题的成功喜悦，增强学生的学习兴趣. （ 3 ）通过学生的自主探究学习，培养 学生的创新能力，开阔学生的思维空间.
下面计算这个无穷分数的前几项： 1 2 3 5 8 1， ， ，，， ， 2 3 5 8 13
(2)数列Fn ： 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89, 它的前两项为F0 1，F1 1，从第三项起 每一项是其相邻的前两项的和，即 1 1 5 n 1 5 n Fn ( ) ( ) 51， 2 2 F2 F1 F2，F3 F2 F ， 数列Fn 叫做斐波那契数列. Fn Fn 1 Fn 2 ,
优选法分数法原理
优选法分数法原理优选法分数法是一种常见的决策方法，它是基于评价对象之间的多维度和多标准的比较，以得出最终的优先级排序。
该方法通常用于解决复杂问题，如投资决策、供应商选择和市场调查等。
该方法的具体步骤为：1. 确定评价对象：定义评价对象，确定需要评估的特定方面。
例如，评价一家公司的商业模式可能涉及利润、销售渠道、客户满意度等方面。
2. 确定评价标准：确定评估每个对象的标准。
例如，在商业模式的例子中，评价标准可能包括收益、利润率、市场份额等。
3. 指定权重：根据评价对象和评价标准，分配权重，确定每个标准的重要性。
例如，有些标准可能比其他标准更重要。
4. 评价得分：对于每个评价对象和评价标准，给出得分。
例如，在商业模式的例子中，收益可能在10分到100分之间得到一个得分，而市场份额可以在1％到100％之间得到一个得分。
5. 计算得分：通过采用合适的公式计算每个评价对象的最终得分。
常用的公式是将得分乘以权重，并将所有标准的得分相加。
6. 排序评估结果：根据最终得分进行排序，确定评价对象的优先级排序。
优选法分数法相对其他方法的优势在于，它允许管理人员在许多因素中进行选择和判断，使得决策更加客观和全面。
例如，在投资决策中，对于不同类型的投资，可以通过比较预期的利润、风险和时间要求来选择最好的投资项目。
同样，在供应商选择中，可以通过比较价格、交货时间、质量等因素，选择最适合的供应商。
然而，优选法分数法也存在着一些限制。
例如，它可能会受到权重安排的缺陷和评价标准的准确性和可靠性等因素的影响。
此外，该方法在不同的场景中可能需要不同的适配和修改。
在实践中，优选法分数法是一种非常有指导意义的方法。
在使用该方法之前，我们需要清楚地了解评价对象和标准，确定各项标准之间的重要程度，并选择合适的计算方法。
此外，还需要精心设计评价系统，以确保可重复性、透明性和一致性。
使用优选法分数法是一个动态的过程，需要结合实践不断完善和改进。
探寻最佳化学实验条件的方法
探寻最佳化学实验条件的方法对化学实验条件进行控制的目的，就是要探寻最佳化学实验条件。
所谓最佳化学实验条件，是指那些能产生最佳化学实验效果的实验条件。
它具有相对性，实验目的不同，实验环境不同，最佳实验条件也不尽相同。
那么，如何探寻最佳化学实验条件呢？一般来说，主要有以下四种方法。
（1）全面比较法在科学实验中，通常将影响实验结果的实验条件称为因素，一般用A ，B ，C …表示；将实验条件的变化等级称为水平，一般用1．2．3…表示。
全面比较法是对影响实验的各种因素的所有水平进行全面搭配比较的一种实验方法。
例如，碳粉还原氧化铜实验。
影响该实验的主要因素有：A －加热方式；B －碳粉与氧化铜的质量比；A 取2种水平：1A －酒精灯；2A －酒精喷灯；B 取10种水平：1B －1︰1，2B －1︰2……10B －1︰10。
所谓全面搭配，就是将1A ，2A 分别与1B ，2B ……10B 进行搭配，即做如下20次试验：11B A ，21B A ……101B A ，12B A ，22B A ……102B A 。
从这全部20次试验中选出最佳实验效果的因素组合如32B A ，即为最佳化学实验条件。
全面比较法的优点是能够发现实验条件对实验结果影响的全貌，并且通过全面比较可以找到最佳实验条件。
缺点是试验次数太多，特别是当实验因素较多，且每个因素的水平数又较大时，实验工作量是惊人的。
（2）优选法优选法是指在单因素实验中，如果不需要考查因素对实验结果影响的全貌，而只需找出最佳实验条件，则可在因素所取水平的范围内，按照黄金分割法来确定试验点（在0.618和0.382的比例位置上）进行实验的一种方法。
例如，用优选法来探寻碳粉与氧化铜的最佳质量比。
首先将1︰1、1︰2……1︰10依次编为1号、2号……10号；然后按0.618和0.382乘以总个数之值取号进行实验，即可找出最佳实验条件。
10×0.618＝6.18 取第6号进行实验 10×0.382＝3.82 取第4号进行实验实验后发现第4号的实验效果比第6号的好，那么第二次则去掉7号－10号，在1号～6号中按照0.618和0.382乘以总个数之值取号进行实验，即： 6×0.618＝3.7 取第4号（实验已做过） 6×0.382＝2.2 取第2号进行实验实验后发现第2号的实验效果比第4号好，那么第三次则去掉5号－6号，在1号～4号中按照0.618和0.382乘以总个数之值取号进行实验，即： 4×0.618＝2.5 取第3号进行实验4×0.382＝1.5 取第2号（实验已做过）实验后发现第3号实验效果比第2号好，那么，第3号即1︰3为碳粉与氧化铜的最佳质量比。
2017-2018版高中数学 第1讲 优选法 四 分数法(一)练习 新人教A版选修4-7
四 分数法（一）一、基础达标1.有一种叫做“喷嚏麦”的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝从旧枝长出来，老枝和新枝条每层树叶片数如图所示，则最上层“？”处的树叶数为()A.12B.13C.14D.15解析 符合斐波那契数列，利用逆推关系可知“？”处为13，所以答案为B. 答案BA.512B.1219C.1033D.1解析13＋13＋13＝1033，所以答案为C. 答案 C3.用斐波那契数列{F n }：F 0＝1，F 1＝1，F 2＝2，…表示黄金分割常数ω＝5－12的渐近分数中的分子和分母，即F nF n ＋1，则ω的第8个渐近分数是( ) A.813B.1321C.2134D.3435解析 第8个渐近分数为F 7F 8＝2134.答案 C4.记ω是黄金分割常数，则下列各式不正确的是( )解析 D 选项⇒ω2－ω－1＝0⇒ω＝1±52≠－1＋52.答案 D答案 26.卡那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为(37±1) ℃，培养时间在16 h 以上.某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29～50 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法安排试验，则第一试点在__________处，第二试点在__________处. 解析 x 1＝29＋1321×(50－29)＝42(℃)，x 2＝29＋50－42＝37(℃)所以答案为45 ℃，37 ℃. 答案 45 ℃，37 ℃ 二、能力提升7.在斐波那契数列{F n }中，F 0＝1，F 1＝1，F n ＋2＝F n ＋1＋F n (n ≥0，n ∈N *)，则F 10＝__________.解析 利用递推公式可得.F 2＝2，F 3＝3，F 4＝5，F 5＝8，F 6＝13，F 7＝21，F 8＝34，F 9＝55，F 10＝89. 答案 899.“椰子果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐在沸水中进行杀菌，为了优化这道工序，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，试验范围为5 min到39 min，如何安排前二次的试验？解因为试验数据范围是[5，39]，等分为34段，分点为6，7，…，37，38，第一个试验点选在5＋21/34×(39－5)＝26(min)，第二个试验点选在5＋39－26＝18(min).三、探究与创新。
2017-2018版高中数学 第一讲 优选法 一 什么叫优选法学案 新人教A版选修4-7
003,…，直至猜中为止，对这种方法如果价格较低(如不超过 1 010)还是比较好,但如果价格 较高（如价格是 1 800），则猜的次数很多。按此方法报的次数最多的价格是 1 999 元，报了 999 次. （2)若先取 k＝100,即报价按 1 100，1 200，…，确定价格的百位,如报到 1 500 时,说“高 了”,则易知价格在 1 400 至 1 500 之间；然后取 k＝10,即报价按 1 410，1 420，…，确定 价格的十位；再取 k＝2，确定个位。以此类推猜得价格.按此方法报的次数最多的价格是 1 999 元，报了 23 次. (以上仅列举了两种方法,答案不唯一） 三、探究与创新 10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩。经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工 程费用为（2＋错误!）x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素。 记余下工程的费用为 y 万元. (1）试写出 y 关于 x 的函数关系式; （2）当 m＝640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解 （1)设需新建 n 个桥墩,则(n＋1)x＝m，即 n＝错误!－1, ∴y＝f（x）＝256n＋（n＋1)(2＋错误!）x＝256错误!＋错误!（2＋错误!）x＝错误!m＋m错误!＋ 2m－256. (2）由(1）知，f′(x)＝－错误!＋错误!mx－错误! ＝错误!(x错误!－512）. 令 f′(x)＝0，得 x错误!＝512，所以 x＝64。 当 0＜x＜64 时，f′（x)＜0，f（x)在区间（0，64）内为减函数； 当 64＜x＜640 时,f′(x)＞0，f(x）在区间（64，640）内为增函数.
2。下列各试验中，与优选方法无关的是( ）
高中数学 第一讲 优选法章末归纳提升课件 新人教A版选修47
新课标 ·数学 选修4-7
在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经 验表明，加入量小于 50 mL 或大于 130 mL 肯定不好．用 150 mL 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为 15 格，每格 代表 10 mL
(1)用分数法进行优选时，第一试点和第二试点分别是多 少 mL?
(2)最多几次便可找出试验的最佳点？
新课标 ·数学 选修4-7
其他几种常用的优选法包括对分法、盲人爬山法和分批 试验法，且每种优选法都有各自的优、缺点，学习过程中应 明确这几种优选法的思想，并能借助他们解决相应的优选问 题．
新课标 ·数学 选修4-7
设有一优选问题，其因素范围为(2,4)，每批安 排 2 个试验．若用均匀分批试验法优选，则第一批试验的两 个试点是________和________；若用比例分批试验法优选， 则第一批试验的两个试点是________和________．
新课标 ·数学 选修4-7
【解析】 若用均匀分批试验法优选，则先把试验范围 (2,4)三等分，如图所示：
显然第一批试验的两个试点分别是83，130. 若用比例分批试验法，每批安排 2 个试验，应首先把试 验范围 7 等分，如图所示：
则第一批试验的两个试点分别是270和272.
【答案选修4-7
新课标 ·数学 选修4-7
1.优选法 优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学 原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的 科学试验方法．
新课标 ·数学 选修4-7
2．单峰函数 如果函数 f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大值点(或最小 值点)C，而在最大值点(或最小值点)C 的左侧，函数单调增加 (减少)；在点 C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数 为区间[a，b]上的单峰函数． 我们规定，区间[a，b]上的单调函数也是单峰函数．
人教A版高中数学选修4-7第一讲优选法六多因素方法上课课件
教学重难点
重点
(1) 理解并掌握纵横对折法、从好 点出发法以及平行线法的概念.
(2)能够通过实际问题，对各种方 法进行分析、学习.
(3)能够运用各种方法解决实际的 优选问题.
努力
难点
(1)学生能够通过自主学习掌握多因 素优选问题的解决方法.
“除草醚”配方实验中，所用原料为硝基氯 化苯，2.4一二氯苯酚和碱,实验目的是寻找2.4 一二氯苯酚和碱的最佳配比，使其质量稳定、 产量高.
碱的变化范围：1.1~1.6(克分子比)； 酚的变化范围：1.1~1.42(克分子比).
酚
第一固定酚的用量
1.30(即0.618处)， 1.42
对碱用量进行优选，
知识回顾
（1）了解并掌握对分法、盲人爬山法、 分批实验法、多峰的情形等几种常用的优 选法. （2）了解每种优选法应该在何种情况下 使用. （3）通过具体例子介绍对分法、盲人爬 山法、分批实验法、多峰的情形等优选法 的具体操作.
新课导入
在炮弹射程的案例中，我 们是环绕其某一个因素进行单独 讲授的，然而，在现实中，我们 也会面临多因素的优选问题，例 如：在生产药品时，他的产量受 三个因素影响——转化温度、投 料量和真空度，那么，面对这样 的问题，我们又该如何解决呢？
双因素盲人爬山法
什么是双因素盲人 爬山法？
像盲人一样，在双因素解决问题时，边 探索边前进，直到找到最佳点为止，这就是 双因素问题的盲人爬山法.
案例3：
对某种物品镀银时，要选择氯化银和氰化钠 的用量，使得镀银速度快，质量好.
分析
氯化银
为此采用爬山法选择 80
最佳点.
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第一讲 优选法 四、分数法
知识与技能：
本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示. 情感、态度与价值：
通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化. 一、复习
黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.
用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ
二、新课
案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.
斐波那契数列和黄金分割
每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1
这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列.
, , ,138
,85 ,53 ,32 ,211
+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.
我们看到，
10=11=2
2=3
3=54=85=13
6=F
10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用6
5
138
F F =
来代替0.618，那么我们有80)0130(13
8
01=-⨯+
=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x
在存优范围50~130ml 内：
继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.
如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.
案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?
如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：
为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用8
5 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.
(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的
n
n n n F F
F F 21
--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数.
.
.328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，
续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤
来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，
单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素n
n n
n n n F F
F F
F F ---=分数法的最优性
在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.
在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +1
4F 5
F 6
F 50
2=x 80
1=x 130
00
3F 4F 6F 1003=x 801=x 130500
－1)个试点中找出最佳点.
综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.
课后作业
1.阅读教材P. 11-P.17；
2.《学案》.。