数学：7.5三角形的内角和(第2课时)同步练习(苏科版七年级下)
7.5三角形的内角和（2）
姓名________ 班级_________成绩_______ 1．n边形的内角和等于__________．
2．你会用设计哪些方案求n边形的内角和？列举其中一种加以说明．
3．（1）下列各角不是多边形的内角的是（）．
（Ａ）1800（B）5400（C）19000 （D）10800
（2）如果一个四边形的一组对角都是直角，那么另一组对角可以（）．（Ａ）都是锐角（B）都是钝角（C）是一个锐角和一个直角（D）是一个锐角和一个钝角
（3）如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（）．
（Ａ）增加90°（B）增加180°（C）增加360°（D）不变
（4）多边形内角和增加360°，则它的边数（）．
（Ａ）增加1 （B）增加2 （C）增加3 （D）不变
4．（1）五边形的内角和是__________，六边形的内角和是_________；
（2）一个十边形所有内角都相等，它的每一个内角等于；
（3）一个多边形的内角和是是2340°，则它的边数等于．
5．五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠CAD的度数．
6．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB
的度数．
7．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
4
3
2
1
O
D
C
B A
第6题图
C D
E
第5题图
第7题图
8．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数比是2：3：4，那么这三个内角的度数分别是多少？
9、小强把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在BCDE 内部时，他发现2∠A ＝∠1+∠2，你能帮他解释其中的原因吗？
图24
第7题图。
近年七年级数学下册 7.5 多边形的内角和与外角和例题精讲素材苏科版(2021年整理)
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《多边形的内角和与外角和》【重点难点】几何重点:1．四边形的基本概念：（1）四边形:平面内，四条线段首尾顺次相接，如果任何两条线段都不在同一直线上，所形成的图形叫做四边形．（2)各部分名称：边：组成四边形各边的线段顶点：相邻两边的公共点内角:从四边形内部看相邻两边所成的角,简称为角．对角线:连结四边形不相邻的两个顶点的线段．外角：四边形的一条边与相邻边延长线组成的角．（3）凸、凹四边形：考虑四边形经同一边所在的直线，四边形的其他各边都在这条直线同一侧时，这样的四边形叫做凸四边形，否则叫做凹四边形．2．四边形的内角和与外角和定理，四边形内角和与外角和都等于360°．3．多边形的内角和与外角和定理:（1)几边形：平面内n(n≥3）条线段首尾顺次相接，如果其中任何两条线段都不在同一直线上，所组成的图形叫做n边形．（2）多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）·180°,（n≥3，n为自然数）(3)多边形外角和定理:n边形外角和等于360°（n≥3，n为自然数)难点：1．多边形内角和，外角和定理证明的方法，递推．2．由已知角度求n边形边数的方法．【讲一讲】几何：例1 求证：6边形的内角和为720°分析：可以将6边形分割成几个三角形,求出三角形的内角和证明:连AC 、AD 、AE∵ △ABC ，△ADE ，△ACD 与△AE F 的内角和均为180°∴ 六边形ABCDE F 的内角和为4×180°＝720°例2 求证：n 边形的对角线有2)3(-n n 条．分析解答：先来看四边形，对角线如图2条，再看五边形，对角线有5条线如图，六边形对角线有9条,如图即从一个顶点,可以作（n －3）条对角线n －3是由于A 点与本身不能作对角线,与A 相邻的点即A 的边线为边不是对角线，因此只能作（n －3）条．又一个多边形有n 个顶点，因此可作n （n －3）条． 但又如，AC 与CA 是同一条对有线，故每条都重复了两次所以一个n 边形有2)3(-n n 条对角线．例3 一个正多边形，它的外角等于内角的32，求这个多边形的边数． 分析：利用多边形外角和与内角和定理，及一个外角与内角的关系，可求:由于此多边形为正多边形每个内角都相等，每个外角也都相等．解：设它的一个内角为α，则外角为α32 ∴ ︒=+18032αα ∴ ︒=108α ∴ 它的外角为︒=︒⨯=721083232α ∵ 多边形的外角和为360°这又是一个正多边形572360=︒÷︒=∠n∴ 这个多边形为5边形．例4 如果凸多边形的边数增加一条，则它的内角和增加多少? 外角和呢?请你证明你的结论分析及解答:由多边形内角和定理：n 边形的内角和为︒⨯-180)2(n（n ＋1）边形的内角和为︒⨯-+180)21(n∴ ︒⨯--︒⨯-+180)2(180)21(n n︒=︒⨯+--+=180180)221(n n∴ 它的内角和增加180°，而由于多边形外角和均为360°，所以当边数增加一条时外角和不变，仍为360°．【同步达纲练习】几何:1．若一个多边形的内角和是外角和的5倍,则它是几边形？有几条对角线？2．若一个多边形的每个外角都等于20°，则它是几边形？3．若一个多边形的每个内角都等于120°,则它是几边形？4．若一个多边形的内角都相等，它的一个内角与它相邻的外角的差为100°，求这个多边形的边数．5．一个17边形除了一个内角之外，其余各内角之和为2570°，求这一个角．6．若凸多边形的n 个内角与某一个外角之和是1125°，求n ．7．有两个多边形，如果它们都是各边相等，各内角相等的多边形，且这两个多边形的边数之比为1∶2．内角之比是3∶4，则这两个多边形的边数各是多少?8．如图，已知：四边形ABCD 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ．求证：AD ∥BC ．参考答案【同步达纲练习】1．(n －2）180°＝5×360°，n ＝12∴ 2)3(-n n ＝2)312(12-⨯＝54条2．n ＝360°÷20°＝18（边形）3．每个外角均为60°，则n ＝360°÷60°＝6(边形）4．设外角为 ,则内角为 ＋100 ∴ ＋＋100°＝180° ∴＝40° ∴ n ＝360°÷40°＝9（边形）5．17边形内角和为（n －2）×180°＝(17－2）×180°＝15×180°＝2700°∴ 这一内角为2700°－2570°＝130°6．设这个外角为 则（n －2）×180°＋ ＝1125°∴ （n －2）×180°＝1125°－∴ n －2＝︒-︒1801125α∴ n ＝︒-︒1801125α＋2＝21804562180451806+︒-︒+=+︒-︒+︒⨯αα∵ n 为整数 ∴ 为45° n ＝87．∵边数之比为1∶2 ∴ 1n ∶2n ＝1∶2 ∴ 2n ＝21n∵ 各内角之比为3∶4 即43180)2(180)2(2211=÷︒⨯-÷︒⨯-n n n n ，∴ 43)2()2(2112=--n n n n∴ )2(3)2(42112-=-n n n n∵ 122n n = ∴ )22(3)2(81111-=-n n n n∴ 6616811-=-n n ∴ 510211==n n∴ 102=n8．∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°又∠A ＝∠D ∠B ＝∠C∴ ∠A ＋∠B ＝180° ∴AD ∥BC ．。
苏科版七年级下册数学7.5三角形的内角和(2)课内练习
『学习目标』
了解多边形的外角和公式。
『例题精选』
1．一个多边形的每个内角是1440，求它的边数．
思路点拔：可以利用多边形的内角和公式来计算，也可以利用多边形外角和计算．．
2．如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
思路点拔：将多边形问题转化为三角形三角形问题．
第2题图
3．已知九边形中，除了一个内角外，其余各内角之和是1205°，求该内角。
思路点拔：多边形的内角和是1800的整数倍．
『随堂练习』
1．n边形的内角和等于__________．
2．如图，计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__________.
3．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，则∠AOB的_______________．
『课堂检测』
1．一个多边形，它的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是（）．
A． 3 B．4 C． 5 D． 6
2．下列各度数不是多边形的内角和的是（）．
A．1800 B． 5400 C． 19000 D． 10800
3．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数比是2：3：4，那么这三个内角的度数分别是多少？
4．小强把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在BCDE内部时，他发现2∠A＝∠1+∠2，你能帮
他解释其中的原因吗？
初中数学试卷。
7.5三角形内角和(2)教学案
7.5三角形的内角和（2）班级姓名学号等第学习目标1、了解多边形及有关概念；2、理解并掌握多边形内角和公式与外角和公式；3、会用多边形的内角和及外角和公式进行计算。
学习重点多边形的内角和与外角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算学习难点多边形的内角和定理的推导是难点学习过程一、探索新知1、多边形的有关概念（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
（2）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。
（3）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
（4）连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.。
从n边形的一个顶点可以引_______条对角线，从一个顶点出发引出的对角线将多边形分成_______•个三角形．从n边形一个顶点可引9条对角线，则此n边形的边数是_______．（5）如上图，两个多边形有什么不同？在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）多边形不都在直线BD一侧，我们称它为凹多边形。
注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．（6）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
2、探索多边形的内角和问题1：想一想：四边形的内角和是多少？能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？问题2：根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？学生可能有以上几种方法，五边形的内角和等于180°×3=540°问题3：我们不妨选择方法1求六边形、七边形、八边形……n边形的内角和，并完成下表：n边形的内角和为：（n-2）×180°3、探索多边形的外角和如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？六边形形的外角和为36001234ABCDEF56如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：n边形的外角和等于360°。
苏科版七年级数学下册三角形的内角和同步练习题
数学：7.5 三角形的内角和（2）同步练习（苏科版七年级下）【基础演练】一、选择题1.一个三角形的三个内角中，至少有（ ）A.一个锐角；B.两个锐角；C.一个钝角；D.一个直角.2.已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这多边形是（ ）A.三角形；B.四边形；C.五边形；D.六边形.3.若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( )A.9；B.8；C.7；D.6.4.锐角三角形的三个内角是∠A 、∠B 、∠C 。
如果∠α＝∠A+∠B ，∠β＝∠B+∠C ，A C ∠+∠=∠γ，则γβα∠∠∠、、这三个角中（ ）A.没有锐角；B.有1个锐角；C.有2个锐角；D.有3个锐角.5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )A.十三边形；B.十二边形；C.十一边形；D.十边形.二、填空题6.每个内角都为144°的多边形为_________边形.7.一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加，外角增加.8.多边形的内角中,最多有________个直角.9.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是边形.10.一个多边形的每一个外角等于40°，则此多边形是边形，它的内角和等于.三、解答题11.如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,∠DCE是四边形ABCD的一个外角,∠DCE与∠A相等吗?为什么?ABCDE 第11题图12.有两个各角都相等的多边形,它们的边数之比为1:2,且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°,求这两个多边形的边数.13.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数. ABC DE F第13题图【能力提升】14.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°；B.105°；C.130°；D.120°.15.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为7:2,则这个多边形的边数为_________.16.从n边形的一个顶点出发,最多可以引多少条条对角线?请你总结一下n边形共有多少条对角线.参考答案1.B.两个锐角；2.B；3.B；4.A；5.A.6.十；7.180度，0度；8.4；9.十；10.九，1260°.11.解：∠DCE=∠A.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,所以∠A+∠BCD=180°.因为∠DC E+∠BCD=180°，所以∠DCE=∠A.12.12和24.13.360°.14.C；15.9.16.提示：可以从四边形、五边形、六边形开始讨论，n-3，2)3(nn.专项训练二概率初步一、选择题1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )A．通常加热到100℃时，水沸腾B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是360°2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( )A．25% B．50% C．75% D．85%3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )A.110B.15C.310D.254．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.345．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )A.12B.13C.14D.166．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )A.13B.16C.19D.1127．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )A.316B.38C.58D.1316第7题图 第8题图 8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )A.16B.π6C.π8D.π5二、填空题9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32，⎝⎛⎭⎪⎫－5，－15，从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝1x 图象上的概率是________．10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是________．11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．13．(重庆中考)点P 的坐标是(a ，b )，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P (a ，b )在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a ，那么，使关于x 的一次函数y ＝2x ＋a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为14，且使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤a ，1－x ≤2a有解的概率为________． 三、解答题15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．(1)先从袋子中取出m (m ＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A ，请完成下列表格：(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于45，求m的值．16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________；(3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．参考答案与解析1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C8．B 解析：∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∴AB 2＝BC 2＋AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径为12＋9－152＝3，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×12×9＝54，S 圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为9π54＝π6.9.12 10.12 11.15 12.35 13.15 14.13 15．解：(1)4 2或3(2)根据题意得6＋m 10＝45，解得m ＝2，所以m 的值为2.16．解：(1)14 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为14，所以锐锐通关的概率为14；(2)16 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为13，第二道题对的概率为12，所以锐锐能通关的概率为12×13＝16；(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A ，B 表示剩下的第一道单选题的2个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为16.17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为13；(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为59，乙获胜的概率为13.∵59＞13，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．2 3 5 2 2 2 3 2 5 2 3 2 3 3 3 5 3 52 53 55 518．解：(1)0.332 12＝16≠13，所以x不能取4；当x＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的概率是13.(2)当x为4时，数字和为9的概率为。
(苏教版)七年级下数学7.5三角形的内角和同步练习(含答案)(最新整理)
D.A.30ºB.40ºC.70ºD.80º1=100°，【能力提升】18.如图，D 是△ABC 的BA 边延长线上的一点，AE 是∠DAC 的平分线，AE//BC ，试说明∠B=∠C.19.如图1，已知三角形ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=180°证法1：如图2，延长BC 经过点D ，过点C 画CE ∥BA∵BA ∥CE （作图所知）∴∠A=∠1，∠B=∠2（两直线平行，内错角、同位角相等）又∵∠BCD ﹦∠BCA ﹢∠1﹢∠2﹦180°（平角的定义）∴∠A ﹢∠B ﹢∠ACB ﹦180°（等量代换）如图3，过BC 上任一点F ，画FH ∥CA ，FG ∥BA ，这种添加辅助线的方法能证明∠A ﹢∠B ﹢∠C ﹦180°吗？请你试一试．参考答案1.A ；2.A ；3.A ；4.C ；5.B.6.55º；7.80º；8.120°；9.480； 10.1500.11.解：设∠A=x º，则∠B=（50+x ）º，∠C=（85+x ）º，根据三角形的内角和第18题图ACE=40，根据三角形的内角和定理，得∵∠2=∠3，∴∠DFE=∠3+∠BCF，即∠DFE=ACB，∵∠BAC=70°，∠DFE=50°，∴在△ABC中，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-70°-50°=60°．18. 解∵AE是∠DAC的平分线，∴∠DAE=∠EAC，∵ AE∥BC∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）∠EAC=∠C （两直线平行，内错角相等），即∠B=∠C19.分析：通过作平行线，从而把∠1，∠2，∠3与∠A，∠B，∠C产生联系，利用平角定义∠1+∠2+∠3=180°解得．解答：证法：如图3，过BC上任一点F，做FG∥AB交AC于点G，过点F做FH∥AC，交AB于点H．∵GF∥AB，∴∠3=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠FHB（两直线平行，内错角相等）．∵FH∥AC，∴∠1=∠C（两直线平行，同位角相等．），∠BHF=∠A（两直线平行，同位角相等）．以上两式得到∠2=∠A，由平角定义∠1+∠2+∠3=180°，代入以上式子从而得到∠A+∠B+∠C=180°．。
七年级数学下册 第7章 平面图形的认识(二)7.5 多边形的内角和与外角和作业设计 (新版)苏科版-
7.5 多边形的内角和与外角和一．选择题（共13小题）1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5°B．8°C．10°D．15°3．如图，将一X三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3比∠2大（）A．50°B．65°C．70°D．130°6．不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三角架D．矩形门框的斜拉条7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．2或8C．7或8或9D．8或9或108．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，49．下列语句正确的是（）A．线段AB是点A与点B的距离B．过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线C．各边相等的多边形是正多边形D．两点之间的所有连线中，直线最短10．下列结论正确的是（）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．多边形最多有三个外角是钝角D．连接平面上三点构成的图形是三角形11．如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G等于（）A．55°B．65°C．70°D．80°12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（）A．三角形B．菱形C．正六边形D．正七边形13．下列组合不能密铺平面的是（）A．正三角形、正方形和正六边形B．正三角形、正方形和正十二边形C．正三角形、正六边形和正十二边形D．正方形、正六边形和正十二边形二．填空题（共8小题）14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是．15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是．16．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为．17．正十边形一个内角度数为．18．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数°．19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝度．20．分别根据下列图1、图2、图3中已知角的度数，写出相应∠α的度数．（1）；（2）；（3）21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是．三．解答题（共5小题）22．如图所示，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC 的度数．23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACD的平分线相交于点E，∠EBD＝30°，∠ECD＝65°，求∠A的度数．24．如图，在折纸活动中，小明制作了一X△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．【解答】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k＝180°，解得k＝20°，所以，最大的角为4×20°＝80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．2．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）A．5°B．8°C．10°D．15°【分析】依据直角三角形，即可得到∠BCE＝40°，再根据∠A＝30°，CD平分∠ACB，即可得到∠BCD的度数，再根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE进行计算即可．【解答】解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．如图，将一X三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．4．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝（）A．130°B．120°C．110°D．100°【分析】延长BO，交AC于点D，可得∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，从而得出答案．【解答】解：延长BO，交AC于点D，∵∠BOC＝∠C+∠ODC，∠ODC＝∠A+∠B，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，∴∠BOC＝∠C+∠A+∠B＝20°+80°+30°＝130°．故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．星期天小明给在建筑工地的爸爸送工具，见一人字架，经测得∠1＝110°，则∠3比∠2大（）A．50°B．65°C．70°D．130°【分析】由三角形的外角性质知∠3＝∠4+∠2，又已知∠1＝110°，根据平角的定义易得∠4，从而计算出∠3比∠2大多少．【解答】解：∵∠1+∠4＝180°，∠1＝110°，∴∠4＝70°．∵∠3＝∠2+∠4∴∠3﹣∠2＝∠4＝70°．故选：C．【点评】本题考查了三角形外角与内角的关系、平角的定义．三角形的外角与内角间的关系：外角与相邻内角互补；外角等于不相邻的两个内角的和．6．不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三角架D．矩形门框的斜拉条【分析】利用三角形的稳定性进行解答．【解答】解：照相机的三角架不是利用其稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，故选：C．【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．2或8C．7或8或9D．8或9或10【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【解答】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是7或8或9．故选：C．【点评】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．8．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n ﹣2．【解答】解：对角线的数量＝6﹣3＝3条；分成的三角形的数量为n﹣2＝4个．故选：C．【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．9．下列语句正确的是（）A．线段AB是点A与点B的距离B．过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线C．各边相等的多边形是正多边形D．两点之间的所有连线中，直线最短【分析】利用线段的性质和多边形的性质与特征，逐一判定即可．【解答】解：A、应是线段AB的长度是点A与点B之间的距离，故错误；B、过n边形的每一个顶点有（n﹣3）条对角线，故正确；C、各角相等，各边相等的多边形是正多边形，故错误；D、连接两点的所有连线中，线段最短，故错误．故选：B．【点评】此题考查多边形的意义与性质以及线段的意义与性质的运用．10．下列结论正确的是（）A．两直线被第三条直线所截，同位角相等B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．多边形最多有三个外角是钝角D．连接平面上三点构成的图形是三角形【分析】根据平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，三角形的定义即可判断．【解答】解：A、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项错误；B、三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故选项错误；C、多边形的外角和是360°，若外角的个数超过3个，则外角的和就超过360°，因而最多有3个外角，正确；D、连接平面上不在一条直线上的三点构成的图形是三角形，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质定理，以及三角形的外角的性质定理，是一个基础题．11．如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G等于（）A．55°B．65°C．70°D．80°【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠DEF与∠AFE的度数和是多少，进而求出∠GEF与∠GFE的度数和是多少；然后在△GEF中，根据三角形的内角和定理，求出∠G等于多少即可．【解答】解：六边形ABCDEF的内角和是：（6﹣2）×180°＝4×180°＝720°∵∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∴∠DEF+∠AFE＝720°﹣500°＝220°，∵GE平分∠DEF，GF平分∠AFE，∴∠GEF+∠GFE＝（∠DEF+∠AFE）＝×220°＝110°，∴∠G＝180°﹣110°＝70°．故选：C．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．12．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（）A．三角形B．菱形C．正六边形D．正七边形【分析】分别求出三角形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【解答】解：A、三角形的内角和是180°，6个能密铺；B、菱形的内角和是360°，4个能密铺；C、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺；D、正七边形每个内角是：180°﹣360°÷°，不能整除360°，不能密铺．故选：D．【点评】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．13．下列组合不能密铺平面的是（）A．正三角形、正方形和正六边形B．正三角形、正方形和正十二边形C．正三角形、正六边形和正十二边形D．正方形、正六边形和正十二边形【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．二．填空题（共8小题）14．在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是正八边形．【分析】根据平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片．可求解．【解答】解：∵正三角形的内角为60°，正四边形的内角为90°，正六边形的内角为120°，正八边形的内角为135°∴＝6，＝4，＝3，＝2∴用相同的正多边形不能铺满地面的是正八边形故答案为正八边形【点评】本题考查了平面图形镶嵌，关键是利用平面图形镶嵌的定义解决问题．15．一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正六边形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是四．【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．【解答】解：由于正六边形和正十二边形内角分别为120°、150°，∵360﹣（150+120）＝90，又∵正方形内角为90°，∴第三个正多边形的边数是四．故答案为四．【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．16．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，则∠BPC的度数为110°．【分析】运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；【解答】解：∵∠A＝40°．∴∠ABC+∠ACB＝140°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．17．正十边形一个内角度数为144°．【分析】利用正十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．∴每个内角的度数为 180°﹣36°＝144°；故答案为：144°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角．18．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，则∠DAE的度数 6 °．【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC即可求解．【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣63°﹣51°＝66°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝33°，在直角△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣51°＝39°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣33°＝6°．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC是关键，此题难度不大．19．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝165 度．【分析】由题意得出∠CAD＝60°、∠B＝45°、∠CAB＝120°，根据∠1＝∠B+∠CAB可得答案．【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，∴∠CAB＝120°，∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，故答案为：165．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．20．分别根据下列图1、图2、图3中已知角的度数，写出相应∠α的度数．（1）50°；（2）27°；（3）50°【分析】（1）根据三角形的外角的性质，可得答案；（2）根据三角形的内角和，对顶角相等，可得答案；（3）根据多边形的外角和，可得答案．【解答】解：（1）α＝140°﹣90°，解得α＝50°．（2）180°﹣（α+30°）＝180°﹣（21°+36°），解得α＝27°．（3）n边形外角和为360°，如图，∵∠1+∠α+120°+120°＝360°，∴120°+120°+（180°﹣110°）+α＝360°，解得α＝50°，故答案为：50°，27°，50°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和、外角和是解题关键．21．如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是540°或360°或180°．【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4﹣1﹣2）×180°＝180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°．【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键．三．解答题（共5小题）22．如图所示，在四边形ABCD中，点E在BC上，AB∥DE，∠B＝78°，∠C＝60°，求∠EDC 的度数．【分析】由AB∥DE可得∠B＝∠DEC＝78°，已知∠C＝60°，根据三角形内角和定理即可得∠EDC的度数．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC＝78°，∵∠C＝60°，∴∠EDC＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣78°﹣60°＝42°．故∠EDC的度数为42°．【点评】本题主要考查了平行线的性质及三角形内角和定理，比较简单．23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠C的外角∠ACD的平分线相交于点E，∠EBD＝30°，∠ECD＝65°，求∠A的度数．【分析】根据∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，想办法求出∠ABC，∠ACB即可．【解答】解：∵CE是∠ACD的角平分线，∴∠ACD＝2∠ECD＝130°，∴∠ACB＝50°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠EBC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°．【点评】本题考查三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．如图，在折纸活动中，小明制作了一X△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝75°，求∠1+∠2的度数．【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°，∴∠AED+∠ADE＝∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣75°＝105°，∴∠1+∠2＝360°﹣2×105°＝150°．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．25．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形每一个内角的度数和它的边数．【分析】已知关系为：一个外角＝一个内角×，隐含关系为：一个外角+一个内角＝180°，由此即可解决问题．【解答】解：设这个多边形的每一个内角为x°，由题意，得：180﹣x＝x，解得：x＝140，∴边数为360÷（180﹣140）＝9，答：这个多边形的每一个内角的度数为140°，它的边数为9．【点评】本题主要考查多边形内角与外角，用到的知识点为：各个内角相等的多边形的边数可利用外角来求，边数＝360÷一个外角的度数．26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42 种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【分析】探究四：同理可得：P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝3P6＝42（种）；【结论】根据四边形、五边形、六边形、七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律可得：P n＝P n﹣1；【应用】利用规律求得P8的值即可．【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．【点评】此题主要考查了多边形的对角线，图形变化类，研究了多边形对角线分割三角形的关系，关键是能够得到规律，有难度，注意利用数形结合的思想．。
苏科初中数学七下-751
课题 7．5三角形的内角和（1） 备课时间第2周 主备人 蒋晓娟 审核人陈峰执教人【课前预习】1、在小学里，学生就会用拼图的方法得出三角形内角和等于 度（如图1）2、如图2，在在△ABC 中，把∠A 撕下，然后把点A 与点C 重合在同一点，摆成如图所示的位置。
那么∠B=∠2吗？理由是3、如图3，其它拼图验证方法（如集中在A 点）图1 图2 图3由此可得：三角形内角和定理：4、议一议：如图7-33，3根木条相交成∠1，∠2，若木条a 与木条b 平行，则∠1+∠2=1800 操作：把木条a 绕点A 转动，使它与木条b 相交于点C ， 根据图（2），你能说明“三角形内角和等于1800”吗？试着证明看看：【课堂巩固】1．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）．（Ａ）直角三角形 （Ｂ）锐角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 2．在△ABC 中，（1）∠C = 90º,∠B =30º, 则 ∠A = º； （2）∠A = 100º,∠B =∠C , 则 ∠B = º；（3）若△ABC 中的三个内角度数之比为2：3：4，则三角形中最小角的度数为 。
（4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角． 3．如图所示，在△ABC 中，∠B =440，∠C =720，AD 是△ABC 的角平分线， （1）求∠BAC 的度数；（2）求∠ADC 的度数．等第 教师简评ABCD第3题图A B a b (2)1221(1)b aC B A【课后巩固】1、（1）三角形的3个内角和等于； （2）直角三角形的两个锐角 ；（3）三角形的一个外角等于 ． 2、若△ABC 中的三个内角度数之比为2：3：4，则相应外角之比为 ． 3、如图，在△ABC 中，外角∠DBA ＝78º，∠A ＝36º，求∠C 和∠ABC 的大小．4．如图，在△ABC 中，BE 、CD 相交于点E ．（1）∠1是哪一个三角形的外角？ ∠2是哪一个三角形的外角？ （2）如果∠A ＝2∠ACD ＝76º，∠2＝143º．试求∠1和∠DBE 的度数．5． 如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ， (1)若∠ABC =60°，∠ACB =80°，求∠BOC 的度数； (2) 若∠A =70°, 求∠BOC 的度数． (3)若∠BOC =120°, 求∠A 的度数．6、(选做题)．已知：如图，△ABC 中，∠B 的平分线和△ABC 的外角平分线交于点D ，∠A =90°．求∠D 的度数．等第 教师简评第3题图21ABCD E 第4题图第5题OCBA第6题图DEC B A。
(苏教版)七年级下数学7.5三角形的内角和 同步练习(含答案)
（苏教版）七年级下数学7.5三角形的内角和同步练习(60分钟，满分100分)一、填空题(6题，每题3分，共18分)1．△ABC中，∠A=40o，∠B=60o，则与∠C相邻外角的度数是______．2．三角形三个内角的比为2：3：4，则最大的内角是_______度．3．如果△ABC扣，∠A+∠B=∠C—10o，则△ABC是________三角形．4．一个五边形的4个内角都是100o，则第五个内角的度数是_______．5．一个n边形的内角和与外角和的比为2：1，则n=________．6．三角形三个外角的比为2：3：4，则三个内角的比为_______．二、选择题(6题，每题3分，共18分)7．一个多边形的每个内角都等于156o，则此多边形是( )A．十五边形B．十六边形C．十七边形D．十八边形8．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )A．∠A+∠B=∠C B．∠A—∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C9．一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为( )A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为( )A．2 7πR2B．47πR2C．πR2D．不能确定11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带( )A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块12．如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜舳和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠l=∠6，∠5=∠3，∠2=∠4．若已知∠l=55o，∠3=75o，那么∠2等于( )A．50o B．55 o C．66 o D 65 o三、解答题(8题，共64分)13．(本题6分)如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．14．(本题6分)已知：在△ABC中，∠A+∠B=2∠C，∠A—∠B=20o，求三角形三个内角的度数．15．(本题8分)如图，∠A=65o，∠ABD=30o，∠ACB=72o，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．16．(本题8分)如果一个n边形的内角都相等，且它的每一个外角与内角的比为2：3，求这个多边形的内角和．17．本题8分)如果一个多边形的每个内角都相等，每个内角与每个外角的差是90o，求这个多边形的内角和．18．(本题8分)如图，在∆ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O．(1)若∠A=50o，求∠BOC的度数．(2)设∠A=n o(n为已知数)，求∠BOC的度数．(3)当∠A为多少度时，∠BOC=3∠A?19．(本题10分)一个同学在进行多边形的内角和计算时，所得的内角和为1125o，当发现错了以后，重新检测发现少了一个内角，问这个内角是多少度，他所求的是几边形的内角和?20．(本题10分)连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图(1)，AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题：(1)如图(2)n边形A1，A2，A3…A n中，过顶点A1可以画______条对角线，它们分别是________；过顶点A2可以画________条对角线，过顶点A3可以画条对角线．(2)过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗?过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线有相同的吗?(3)在此基础上，你能发现竹边形的对角线条数的规律吗?（4）在此基础上，推导出n边形的内角和．参考答案一、填空题1．100o 2．80o 3．钝角4．140o 5．66．5: 3: 1二、选择题7．A 8．D 9．C10．C 11．B12．D三、解答题13．设AF ，DE交点为O，连接AD，∵∠DOF=∠E+∠F=∠OAD+∠ODA，(三角形一个外角等于两个不相邻的内角和)∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F =360o14．∠A=70o、∠B=50 o、∠C=60 o15．∠BEC=131o16．解：设每一个外角2X每一个内角3X5X=180X=36内角108°外角72°正五边形540o17．1080o18．(1) ∠BOC=115o(2) ∠BOC=90o+12n o(3) ∠A=36o19．(n-2)x180>1125n-2>6.25n>8.25所以所求的是九边形的内角和这个角的度数是（9-2）x180-1125=135o20．(1)）过顶点A1可以画（n-3）条对角线；它别是n-3 、A1A3、A l A4、A1A5、…或A1A n-1（n＞3）；过顶点A2可以画（n-3）条对角线，过顶点A3可以画（n-3）条对角线；（2）过点A1的和过点A2的没有重复的，但和过点A3的有重复的（A1A3和A3A1重复）；（3）n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n-3）条，共有n个顶点，应为n（n-3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．即n（4）过一点有（n-3n-2）个三角形，故n边形的内角和为180°•（n-2）．。
数学：7.5三角形的内角和(第1课时) 同步练习(苏科版七年级下)
7.5三角形的内角和（1）姓名________ 班级_________成绩_______1．（1）三角形的3个内角和等于 ； （2）直角三角形的两个锐角 ；（3）三角形的一个外角等于 ． 2．在一个三角形，若︒=∠=∠40B A ，则ABC ∆是（ ）．（Ａ）直角三角形 （Ｂ）锐角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 3．在△ABC 中，（1）∠C = 90º,∠B =30º, 则 ∠A = º；（2）∠A = 100º,∠B =∠C , 则 ∠B = º； （3）若△ABC 中的三个内角度数之比为2：3：4，则相应外角之比为 ． （4）三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角．4．如图所示，在△ABC 中，∠B =440，∠C =720，AD 是△ABC 的角平分线， （1）求∠BAC 的度数；（2）求∠ADC 的度数．5．如图，在△ABC 中，外角∠DBA ＝78º，∠A ＝36º，求∠C 和∠ABC 的大小．6．如图，在△ABC 中，BE 、CD 相交于点E ． （1）∠1和∠2分别是哪一个三角形的外角？（2）如果∠A ＝2∠ACD ＝76º，∠2＝143º．试求∠1和∠DBE 的度数．7． 如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ， (1)若∠ABC =60°，∠ACB =80°，求∠BOC 的度数； (2) 若∠A =70°, 求∠BOC 的度数． (3)若∠BOC =120°, 求∠A 的度数．ABCD第4题图第5题图B第6题图第7题图OCBA8(选做题)．已知：如图，△ABC中，∠B的平分线和△ABC的外角平分线交于点D，∠A=90°．求∠D的度数．第8题图DE CBA。
苏科版数学七年级下册同步课时训练751三角形的内角和word版含答案
7.5 第1课时三角形的内角和1.如图,因为DE∥BC,所以∠DAB=∠,∠EAC=∠.又因为∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,所以∠+∠+∠=180°.2.在△ABC中,若∠A=20°,∠B=70°,则∠C的度数是()A.70°B.90°C.20°D.110°3.(2021镇江京口区模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=20°,延长线段BA至点D,则∠DAC的度数为()A.45°B.60°C.65°D.115°4.如图,AB∥CD,∠DEC=100°,∠C=40°,则∠B的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°5.在△ABC中,若∠A=∠B=1∠C,则∠A= °.36.(2021淮安洪泽区模拟)如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,若∠A=68°,∠BCD=31°,则∠B= °.7.在△ABC中.(1)∠A=52°,∠B=118°,求∠C的度数;(2)∠C=90°,∠A=4∠B,求∠B的度数;(3)∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶7,求∠A,∠B和∠C的度数.8.如图,在△ABC中,∠B=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,点E在AD的延长线上,且EC⊥AC.若∠E=50°,则∠ADC的度数是.9.如图,将一块三角尺DEF放置在锐角三角形ABC上,使得该三角尺的两条直角边DE,DF恰好分别经过点B,C.若∠A=50°,则∠ABD+∠ACD= °.10.(教材例2变式)(2021兴化月考)如图,△ABC的角平分线BD,CE交于点P.(1)若∠ABC=60°,∠ACB=80°,求∠BPC的度数;(2)若∠A=α,求∠BPC的度数(用含α的代数式表示).11.(2021徐州期末改编)如图①,在△ABC中,∠C=70°,D,E分别是AC,BC边上的点,P是AB 边上一动点.(1)试探究∠α,∠1,∠2间的数量关系,并说明理由.(2)如图②,若点P在边AB的延长线上,则(1)中结论是否改变?为什么?12、如图,把△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,BC∥DE,若∠A+∠B=105°,则∠FEC= °.13、如图,把△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处,BC∥DE,若∠A+∠B=65°,则∠FEC= °.14、如图,在△ABC中,∠A=80°,∠B=70°,D是AC边上一点,过点D将△ABC折叠,使点C落在BC下方的点C'处,折痕DE与BC交于点E,当AB与∠C'的一边平行时,∠DEC'的度数为.7.5 第1课时 三角形的内角和1.B C B BAC C2.B3.C ∠DAC=180°-∠CAB=180°-(180°-∠C-∠B )=∠C+∠B=45°+20°=65°.4.B 依据三角形内角和是180°,可得∠D=40°,再根据平行线的性质,即可得到∠B=∠D=40°.5.36 设∠A=∠B=x ,则∠C=3x.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以x+x+3x=180°,解得x=36°,即∠A=36°.6.50 由CD 平分∠ACB ,得∠ACB=2∠BCD=62°,则∠B=180°-∠A-∠ACB=50°.7.解:(1)∠C=180°-∠A-∠B=10°.(2)因为∠C=90°,所以∠A+∠B=180°-∠C=90°.因为∠A=4∠B ,所以4∠B+∠B=90°,所以∠B=18°.(3)设∠A=x ,则∠B=x ,∠C=7x.根据题意,得x+x+7x=180°,解得x=20°, 所以∠A=20°,∠B=20°,∠C=140°.8.100° 因为EC ⊥AC ,∠E=50°,所以∠DAC=40°.因为AD 平分∠BAC ,所以∠BAD=∠DAC=40°.因为∠B=60°,所以∠ADB=180°-40°-60°=80°,所以∠ADC=100°. 9.40 在△ABC 中,因为∠A=50°,所以∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°. 在△DBC 中,因为∠BDC=90°,所以∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°,所以∠ABD+∠ACD=130°-90°=40°.10.解:(1)由BD ,CE 为△ABC 的角平分线,∠ABC=60°,∠ACB=80°,得∠PBC=12∠ABC=30°,∠PCB=12∠ACB=40°, 则∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=110°.(2)由BD ,CE 为△ABC 的角平分线,得∠PBC=12∠ABC ,∠PCB=12∠ACB ,而∠ABC+∠ACB=180°-∠A ,则12∠ABC+12∠ACB=12(180°-∠A )=90°-12∠A ,即∠PBC+∠PCB=90°-12∠A. 又∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,所以∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB )=180°-90°-12∠A =90°+12∠A=90°+12α. 11.解:(1)∠1+∠2=70°+∠α.理由如下:如图,连接PC.在△DPC 中,由∠1=180°-∠CDP ,∠DCP+∠DPC=180°-∠CDP ,得∠1=∠DCP+∠DPC.同理可得∠2=∠ECP+∠CPE ,则∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α.而∠ACB=70°,于是∠1+∠2=70°+∠α.(2)改变.理由如下:在△CDF 中,由∠1=180°-∠CDF ,∠C+∠DFC=180°-∠CDF ,得∠1=∠C+∠CFD ,同理可得∠CFD=∠2+∠α,则有∠1=∠C+∠2+∠α.即∠1-∠2=70°+∠α.12、 30 由∠A+∠B=105°,得∠C=180°-(∠A+∠B )=75°.因为BC ∥DE ,所以∠AED=∠C=75°.又△DEF 由△DEA 沿线段DE 折叠而得,则∠DEF=∠AED=75°.可得∠FEC=180°-∠AED-∠DEF=30°.13、 50 由∠A+∠B=65°,得∠C=180°-(∠A+∠B )=115°.因为BC ∥DE ,所以∠AED=∠C=115°.又△DEF 由△DEA 沿线段DE 折叠而得,则∠DEF=∠AED=115°.可得∠DEC=180°-∠AED=65°.从而∠FEC=∠DEF-∠DEC=50°.14、 110°或125° 由∠A=80°,∠B=70°,得∠C=180°-∠A-∠B=30°.①当AB∥C'D时,∠CDC'=∠A=80°,∠CDC'=40°,∠C=∠C'=30°, 由折叠的性质得∠CDE=∠C'DE=12则∠DEC'=180°-∠C'DE-∠C'=110°.②当AB∥C'E时,∠B=∠BEC'=70°,由折叠的性质得∠CED=∠C'ED,设∠CED=∠C'ED=x,则x+x-70°=180°,解得x=125°,则∠DEC'=125°.。