第二章有理数复习(华师大版)

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了乘方运算，颠倒了运算顺序，因而造成错误。
计算 33 6 2 27 (3) 81 这是 6与2相除，实际上先做了除法运算，而没有 按照同级运算从左到右，颠倒了运算顺序，成错误。
（三）正确使用运算法则和运算律
在使用乘法分配律时，常出现符号错误。例如：
2 1 3 1 ( ) [( 2 ) ( ) (1 )] 3 4 8 2 2 9 3 3 ( ) [( ) ( ) ( )] 3 4 8 2 2 9 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 3 8 3 2 3 1 3 1 2 4 4
（二）数形结合思想 著名数学家华罗庚说：“数缺形而少直 觉，形少数而难入微”。指明研究数学问题 要注意数形结合。 数形结合就是把抽象的数学语言和直观 的图形结合起来，使抽象变直观，化繁为简 ，化难为易，启迪思维探求解题思路。 用数轴上点来表示有理数，就是最简单 的数形结合思想的体现。结合数轴，对于理 解有理数的绝对值、相反数等概念以及大小 比较等，更有直观性。
应考方略
1、填空题及其解法
一、常见题型介绍
填空题是初中数学的基本题型，这类题知识点覆盖 面大，对于考察基础知识、基本方法、基本技能、计算 的准确性和解题速度都有很大作用。 （1）直接法 从已知条件出发，运用定义、公式、定 理进行运算推理，直接得出结论。 [例1]如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小 的数，那么a+b= 。 解：最大的负整数是-1，a是-1的相反数，则a=1；绝 对值最小的数是0，所以a+b=1+0=1 （2）识记法 通过对定义、公式、定理的掌握与回忆， 把问题填补完整。 [例2] 和分数统称为有理数。 解：整数
作业
2 22 2 与 的区别又是什么？ 3 3
正数 非正有理数 零 正有理数 零 负有理数
非负有理数 零
（二）注意运算顺序
运算中很多错误来自颠倒了运算顺序。例如下面的计算。
3 2 计算(3) ( ) 8 9 (3) (2) 9 6 15 4 这是 8与4约分，实际上先做了乘法运算，而后做
3a 6b 6 b≠2/3，求代数式 的值。 2cd 3a
3a 6b 6 3a 6a 6 9a 6 3(3a 2) 3 2cd 3a 2 3a 3a 2 3a 2
规律总结：一些概念本身就隐含着许多等式，如互为 相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1， 绝对值为一正数的数有两个，且它们互为相反数。灵 活运用这些规律，可使问题较简单地得到解决。另外， 本题也体现了整体代入消元的思想。
2) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.
分类讨论一般按以下四个步骤：
1）确定分类讨论的对象； 2）进行合理的分类； 3）逐类进行讨论； 4）归纳分类结果，得出问题答案 所谓合理分类，是指分类时应按同一标 准进行，并做到不“重复”，不“遗漏”
（四）观察方法
在有理数这一章中的一些主要概念和性 质，例如：数轴、相反数、绝对值、有理数大 小比较、有理数的运算法则和运算律的研究都 离不开观察。
（3）特殊法 依据题目的条件及特征，选择恰当的数 值、特殊图形进行运计算或推理，求得正确结论。 [例3]已知0<a<1，则a 1/a。(填>、=或<) 解：可取符合条件的特殊数，取a=1/2时，1/a=2， ∵1/2<2，∴a<1/a，所以应填”<”号。 （4）数形结合法 把问题用图形表示出来，使得容易看 清条件与结论的关系，从而得到结论。 [例4]已知a>0，b<0，c<0，且|b|>|c|，化简 |c-a|+|c-b|+|b-a|= 。 解：由已知条件，a，b，c可在数轴上表示如下： 根据数轴上表示的两个
第二章
有理数
全章复习
一、知识网络
概念
有理数的分类 相反数 大小比较 绝对值 倒数
加法 减法 乘法 除法 乘方
数轴
有理数
运算
法
则
混合运算
科学记数法
交换律 运算律 结合律 分配律 近似数与有效数字
二、注意事项 （一）注意学好概念，深刻理解概念
不少同学对概念记得准，背得熟，但是遇到具体问题就混淆不 清，这是没有理解概念的缘故，因此学好概必须着重理解概念。 例如：(-3)2与-32的意义是什么？结果等于什么？经常混淆。
很多与字母相关的题都可以用此法
（4）图示法 是运用数形结合的思想来解答选择题的 方法。它是根据题目所给条件，作出相应的图形，然 后借助图形，应用条件进行分析、运算、推理，推出 错误答案，选择正确结论。 [例4] 若a<c<0，b>0，b+c<0， 化简|a+c-b|+|a-b-c|的结果是（ ） A.2a-2b B.2c C. 2b-2c D.2b-2a
0 b a c 解：由条件可画出图 观察图形可知a+c-b<0，a-b-c<0 ∴ |a+c-b|+|a-b-c|=-a-c+b-a+b+c=2b-2a， 故选D。
方法1：数形结合法
二、解题方法与技巧
[例1]已知数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且 |a|>|b|，则|a|-|a+b|-|b-a|化简后得（ ） A.2b+a B.2b-a C.a D.b
a 0 b
解：从数轴上看出，a<0，b>0，且|a|>|b|， ∴ |a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a，故选C 规律总结：充分利用数形结合思想，借助数轴这个桥 梁来理解相反数、绝对值的概念。此知识点常以填空、 选择形式在中考中出现。
方法2：充分利用概念法
[例2]已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且
方法4：逆向应用法
规律总结：非负数的基本性质：几个非负数之和为0， 则这几个非负数均为0。注意：使用这一性质必须满足 几个非负数的和为0，否则不适用。
[例2] 计算82008×0.1252008
解： 82008×0.252008=(8×0.25)2008=12008=1
规律总结：乘法分配律的逆向应用也要熟悉。灵活应用公式、 法则，正向应用要熟练，逆向应用有时能使运算更简单，从而 不断提高逆向思维能力。
（三）分类讨论思想 当被研究的问题包含多种可能情况，不 能一概而论时，必须按可能出现的所有情况 来分别讨论，得出各种情况下相应的结论， 这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想 如：下面研究数a的绝对值 若a＞0，则︱a︱= a ; 1） 若a＜0，则︱a︱=-a ; 若a =0，则︱a︱= 0 ;
正确算法你知道吗？
赠 语
弄清概念，对比理解，正 确使用运算法则及运算律是避 免错误的重要一环，千万不可 用盲目做题来达到学好数学的 目的。
三、思想方法
（一）转化思想
转化思想是一种最基本的数学思想，将 所要研究或解决的问题转化为已经学过的问 题来处理的数学思想称为转化思想。 如：在相反数及加法法则的基础上，利 用减法法则，将减法运算转化为加法运算。 又如利用倒数的概念得到除法法则将除法转 化为乘法运算。利用绝对值概念将有理数运 算转化为算术运算。
b c 0 a
数，右边的数总比左边的数大。 |c-a|+|c-b|+|b-a|=a-c+c-b+a-b=2a-2b
2、选择题及其解法
选择题是标准化试题的主要形式，选择题一般由 “解题指令”、“题干”、“答案”三部分构成。初中 数学的选择题一般指明在备选答案中只有一个正确，大 都属于单项选择题。下面介绍几中常用方法。 （1）直接法 从题干给出的条件出发，联想有关的基 础知识，通过推理、计算得到结论，从而确定选择支 是正确的。此法为常用方法。 [例1]下列说法中，正确的是（ ） A.在有理数中，0的意义仅表示没有 B.正有理数和负有理数组成全体有理数 C.0.7不是正数，也不是分数，因此它不是有理数 D.零既不是正数，也不是负数 解：直接判断后，选择D
（3）特殊值法 也叫做特例法，对于界定某一个范围的 选择题，可以通过选择符合题干条件的特殊情况（特 殊值、特殊图形、特殊关系等）进行计算和推理，排 除错误答案，验证正确结论。这种解法的思路是把抽 象问题具体化，一般问题特殊化。 [例3] 相反数是a+b，则原数是（ ） A.a-b B.b-a C. –a+b D.-(a+b) 解：取特殊值a=3，b=5，则a+b=8，而答案中 A.-2，B.2，C.2，D.-8，显然原数-8是正确的，故 本题应选D。
（2）排除法 也叫做筛选法，是间接解选择题的方法 之一。因为指令中指明了备选答案只有一个正确，所 以当用直接法受到限制时，可以根据已知条件及选择 支提供的信息，筛选排除其中三个答案，则剩下的一 个就是需要选择的答案了。 解：举反例排除 [例2] 下列判断正确的是（ ） A。反例：取m A.m表示有理数，则-m表示负数 的值为-4，则-m B.m表示有理数，则m的相反数是-m =4；举反例排除 C.m表示有理数，则-m的绝对值是m C，当 m=-6时， D.m表示有理数，则m倒数是1/m -m的绝对值是-m，而不是m；举反例排除D，当 m=0时，m没有倒数，故应选B。
解：∵ a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴ a=-b，cd=1
方法3：利用非负数的性质
[例2]已知(a-1)2+|b-3|=0，求a2-2ab+2b2的值。
解：∵ (a-1)2≥0，|b-3|≥0，且(a-1)2+|b-3|=0 ∴ a-1=0且b-3=0，即a=1，b=3 当a=1，b=3时，原式=12-2×1×3+2×32=13