数值分析课件 第五章2

1 b a ba f ( xk ) f ( xk ) 2 n k 0 n k 1
n1 n
f ( x )dx (n )
a
b
复化梯形公式是稳定的 其中定积分与 区间分法和 k 的取法无关

b a
f ( x )dx lim f (k )xk
0 k 1
n
ba 将积分区间 [a , b] n等分: 分点 xk a kh, h n 在区间[ xk , xk 1 ], k 0,1, , n 1 上采用Simpson
公式
二、复化Simpson公式： /*Compound Simpon Formula */
I ( f ) f ( x )dx
问题： 用复化Simpson公式计算 0 e ,dx 要求误差不超 过 10 ,6 利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。
x 1
4
复化Simpson公式的收敛性
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2 b f ( x ) C [a , b] f ( x )dx (n )
注意事项：
（1）使用复化梯形公式、Simpson公式，首先要确定步长 h ； （2）而步长要根据余项确定，这就涉及到高阶导数的估计； （3）高阶导数的估计一般比较困难，且估计值往往偏大； （4）计算机上实现起来不方便，通常采用“事后估计法”。
三、积分步长的自动选取： 基本思想：
将积分区间逐次分半 前后两次近似值的误差小于已知精度
上述条件满足，程序终止；否则，继续分半计算。
对于复化梯形公式
1 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1
对于复化Simpson公式、Cotes公式可以类似得到
1 I S2 n 2 ( S2 n Sn ) 4 1 1 I C 2 n 3 (C 2 n C n ) 4 1
n 1 n 1 h S n ( f ) f ( a ) 4 f ( x 1 ) 2 f ( x k ) f ( b ) k 6 k 0 k 1 2
复化Simpson公式的几何意义
小抛物面积之和近似
y f ( x)
复化Simpson公式的余项
n 1
复化梯形公式
h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
n1
复化梯形公式的几何意义
y f ( x)
小梯形面积之和近似
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
n 1
h3 Rn ( f ) I Tn ( f ) f (k ) k 0 12
1 5 3 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 0.945692 2 8 4 8
复化Simpson公式(n=4)
h 1
1 3 5 7 1 S4 ( f ) f ( 0) 4 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 6 4 8 8 8 8 1 3 1 2 f ( ) f ( ) f ( ) f (1) 2 4 4
6/8 7/8 1
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式(n=8)
h 1
1 1 3 1 T8 ( f ) f ( 0) 2 f ( ) f ( ) f ( ) 28 4 8 8
8 0.946083070367
4
b a h ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f ( ) 180 2
( 4) M max | f ( x ) | ，则 设 4 a xb
ba h | Rn ( f ) | M4 180 2 4 复化Simpson公式是收敛的，误差阶是O( h ) ， 可以通过 M 4 求出 n 。
1 ba h Tn f ( x 1 ) f ( x 1 ) f ( xk ) k k 2 2n k 0 2 2 2
n 1
ba 1、首先将区间 [a , b] n等分： h n
3、终止条件：
由复化梯形公式的余项知
f ( x ) 变化不大时
ba ba 2 I Tn ( ) f (1 ) I Tn 12 n 4 ba ba 2 I T 2n I T2 n ( ) f (2 ) 12 2n 1 由此得到近似关系式 I T2 n (T2 n Tn ) 4 1 1 误差控制条件 (T2 n Tn ) 4 1
课后习 题
a
类似地可以得到复化Cotes公式
n 1 n 1 h C n ( f ) 7 f (a ) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) k k 90 k 0 k 0 4 2 n 1 n 1 32 f ( x 3 ) 14 f ( xk ) 7 f (b ) k k 0 k 1 4
复化梯形公式的余项
设 f ( x ) C 2 [a, b]
ba 2 Rn ( f ) I Tn ( f ) h f ( ), [a , b] 12
| f ( x ) |，则 设 M 2 max x[ a , b ]
ba 2 | Rn ( f ) | h M2 12
终止法则：
I 2n I n
具体过程（以复化梯形公式为例）
n1
h Tn f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1 h 2、再将区间[a , b] 2n等分，即步长减半： h 1 2 n 1 n 1 h1 T2 n f (a ) 2 f ( xk ) 2 f ( x 1 ) f (b) k 2 k 1 k 0 2
b a
k 0
n 1
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
h f ( xk ) 4 f ( x 1 ) f ( xk 1 ) Rn ( f ) k 6 k 0 2
h 其中 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2 2
复化Simpson公式
4
0.9460832
复化Simpson公式的算法
n n1 h Sn ( f ) f (a ) 4 f ( x2i 1 ) 2 f ( x2i ) f (b) 3 i 1 i 1
ba 其中 h 2n
1. 输入积分区间a,b,等分数n; Y1: 端点的值 2. 令 h=(b-a)/2n; Y2: 半点值 3. 令 Y1=f(a)+f(b),Y2=0,Y3=0; Y3: 内部整节点值 4. 对 i=1,2,...2n-1 令 x=a+ih; 如果 i 为偶数，则 Y3=Y3+f(x); 如果 i 为奇数，则 Y2=Y2+f(x); 5. 令 S=h(Y1+4Y2+2Y3)/3.
4
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
1 2 1 2

2
)dt
2 f ( x ) t cos txdt t cos( tx )dt 0 0 2 1 k ( k ) k 由归纳法知 f ( x ) t cos( tx )dt 0 2 1 1 k 1 (k ) k k f ( x ) t cos(tx ) dt t dt 0 0 2 k 1
2
复化梯形公式是收敛的，误差阶是O( h 以通过 M 2 求出 n 。
1
) ，可
,
x e dx 问题： 若用复化梯形公式计算 , 要求误差不超过 0 6 利用余项公式估计，至少用多少个求积节点。 10
复化梯形公式的收敛性
设 f ( x ) C [a , b]
n1 h Tn ( f ) f (a ) 2 f ( xk ) f (b) 2 k 1
0.5 S2 ( f ) f (0) 2 f (0.5) 4 f (0.25) f (0.75) 6 f (1) 0.1116
例3：分别利用复化梯形公式、复化Simpson公式计算
sin x 积分I 的近似值，要求按复化 Simpson公 dx 0 x 6
设 f ( x ) C [a, b]
4
h h 4 ( 4) Rn ( f ) I Sn ( f ) f (k ) k 0 180 2
n 1 1 ( 4) ( 4) ( 4) m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 ( 4) 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 4 b a h ( 4) 余项估计式R ( f ) I S ( f ) f ( ) n n 180 2
( 4)
n 1
复化Simpson公式的余项
设 f ( x ) C 4 [a, b]
例2：选取5个等距节点，分别利用复化梯形公式、复化
x dx Simpson公式计算积分 I 的近似值，要 2 0 4 x
1
求小数点后保留4位 。
x h 0.25 ,令 f ( x ) 解：将区间[0,1]4等分， 2 4 x
计算各节点的函数值为：
xi
f ( xi )
0 0
0.25
0.5
0.75
1 0.2
0.0615 0.1176 0.1644
复化梯形公式(n=4,h=0.25)
0.111571775657
0.25 T4 ( f ) f (0) 2 f (0.25) f (0.5) f (0.75) 2 f (1) 0.1109
复化Simpson公式(n=2,h=0.5)
1 1 1 1 6 Rn ( f ) M4 0.5 10 180 2n 900 2n
解不等式得
4
4
n4
0 1/8 1/4 3/8
将区间 [0,1 8] 等分，分别采用复化Simpson、梯形公式
xi
f ( xi )
1/2
1ห้องสมุดไป่ตู้
5/8
0.997398 0.989688 0.976727
1 n1 m min f ( x ) f (k ) max f ( x ) M a xb a xb n k 0
1 n1 由介值定理 [a , b] f ( ) f (k ) n k 0 ba 2 余项估计式 Rn ( f ) I Tn ( f ) h f ( ) 12
1
式计算时误差不超过
0.5 10
。
解： 补充定义：在 x 0 处,
b a 1 首先来确定步长 h n n
复化Simpson公式的余项：
4
sin x 1 x
其中 M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
b a h ( 4) ba h Rn ( f ) f ( ) M4 180 2 180 2