二次函数在实际中的应用
二次函数总结
二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。
一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。
另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。
对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。
当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。
图像的形状还与常数b和c的取值相关。
常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。
通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。
三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。
二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。
解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。
这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。
方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。
四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。
当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
二次函数在生活中的实际应用
二次函数在生活中的实际运用
在暑假，我参加了中考体育训练，其中有一个项目是投实心球，可是我发现不管我如何用力就是投不远，对此我感到十分头疼。
这时，我的体育老师走了过来，我赶忙上前去问到底如何投才是最远的。
他告诉我要往30度角投，我半信半疑不太相信按一定角度投会远一些，于是我朝30度角投了试试，发现好像真的比刚才要远一些。
回到家，我思索起了这个问题并动手验证，一个球在相同力度的情况下，球飞行的路线是一条抛物线，设顶点到地面的距离为1m。
当角度为30度时，根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：
90度所对的角=1：√3：2。
求得OB=√3m，
则OC=2OB=2√3m。
当角度为45度时，根据等腰三角形
中45度所对的角：45度角所对的角：90
度所对的角=1：1：√2。
求得OB=1m，
则OC=2OB=2m。
当角度为60度时，根据根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：90
度所对的角=1：√3：2。
求得OB=1̸3√3m，
则OC=2OB=2̸3√3m。
因为2√3m>2m>2̸3√3m，所以物体以30度角抛出去时最远。
通过自身的运算，让我牢记这个道理。
著名数学家华罗庚曾说:任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早要离开学校的！行路，还是要靠行路人自己。
天马学校九（四）班胡一帆
指导老师：宣淑嫒。
二次函数在实际生活中的应用及建模应用
二次函数的建模 知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
(1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米）， 根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x-）（米），根据题意，得：x x x x y 2521)250(2+-=-=； 又∵500,02500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)21(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。
生活中的数学(十一)—生活中的二次函数
生活中的数学（十一）—生活中的二次函数二次函数在中学数学中占据重要的地位，同时也是进行数学研究的一个重要的工具，它贯穿整个中学数学的数与学。
从最浅显的直观的利用图象解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题，再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不体现二次函数的重要性和它独特的魅力。
在中考中，二次函数的实际应用同样是一个考察的重难点，而很多学生在考试中暴露出一个问题：用数学解决实际问题的能力不足。
所以，我们需要进一步研究二次函数在实际生活中的应用和对实际生活的影响，从而培养学生解决实际问题的能力。
1.在桥梁建筑方面的应用抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。
在实际生活中，由于各种不同的需要，大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质，将其形状设计为抛物线的形式。
所以，我们在现实生活中能够找到很多具有抛物线特征的建筑物，如下图所示：图1-1 图1-2同时，在现实生活中也存在许多与建筑、设计有关的二次函数的数学问题。
下面，我们用以下几个例子来进行说明。
例1.一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为m 8，宽为m 2，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面m 6，建立如图1-3所示的坐标系。
（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高m 4，宽m 2，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道如图1-4所示，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？图1-3 图1-4解 （1）由题意可知抛物线经过点)(2,0A ，()6,4P ，()2,8B 。
设抛物线的方程为c ax ++=bx y 2，将A 、P 、D 三点的坐标代入抛物线方程。
解得抛物线方程为：2241y 2++-=x x . （2）令4=y ，则有422x 41-2=++x , 解得224x 224x 21-=+=，,而224x 12>=-x ,所以货车可以通过。
（3）由（2）可知222x 2112>=-x ,所以货车可以通过。
二次函数在生活中的运用
二次函数在生活中的运用
二次函数是一种常见的数学函数，在生活中有很多实际应用。
它的形式为 y = ax + bx + c，其中 a、b、c 是常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。
以下是二次函数在生活中的几个实际应用：
1. 物体的运动轨迹
当物体受到恒定的重力作用时，它的运动轨迹通常是一个二次函数。
这个函数的自变量可以是物体的时间或者位置，而因变量则是物体的高度或者速度。
通过分析这个函数，人们可以预测物体的落地时间和落点位置，为实际生活中的运动问题提供了重要的帮助。
2. 投资收益的计算
在投资领域，人们通常使用复利计算来估算投资收益。
而复利计算的公式可以转化为一个二次函数，其中自变量是投资时间，因变量是投资收益。
通过这个函数，人们可以预测不同投资方案的收益情况，为投资决策提供了参考依据。
3. 地址编码的设计
在物流配送领域，地址编码是非常重要的一环。
通过设计合适的地址编码，可以提高配送效率，减少误送和漏送的问题。
而地址编码通常采用的是二进制编码，其中每个位都是一个二次函数。
通过对这些二次函数的分析，人们可以设计出高效而准确的地址编码方案。
综上所述，二次函数在生活中有着广泛的应用。
人们可以通过学习和掌握二次函数的相关知识，更好地理解和应用这个数学概念，为
实际生活中的问题提供更加精准和科学的解决方案。
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等．例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系并求出绿地面积的最大值@变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式当x为多长时，花园面积最大·例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为x元，(0＜x≤元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）@（4）所获利润可以表示为__________________；（5）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。
~变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有哪些变量其中自变量是_______,因变量是___________.（2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结_________个橙子.（3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
二次函数的实际问题
二次函数的实际问题二次函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
通过二次函数可以描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、金融领域的利润分析等。
本文将通过几个不同的实际问题，来说明二次函数在各个领域中的应用。
问题一：投掷运动考虑一个常见的物理问题，即投掷运动。
假设有一个物体从地面上以初始速度v₀竖直向上抛出，受到重力的作用下落。
我们希望能够描述物体的运动轨迹，并找到物体在空中的最高点和落地点。
首先，我们可以建立一个二次函数来表示物体的高度y与时间t之间的关系。
假设物体的初始高度为h₀，则物体的高度可以表示为：y(t) = -gt² + v₀t + h₀其中g表示重力加速度。
通过这个二次函数，我们可以计算出物体的运动轨迹，以及物体在空中的最高点和落地点的时间和高度。
问题二：利润分析在金融领域中，我们经常需要对企业的利润进行分析和预测。
假设一个企业的销售额与广告投入之间存在某种关系，我们可以建立一个二次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。
假设销售额为P，广告投入为x，则二次函数可以表示为：P(x) = ax² + bx + c其中a、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析销售额与广告投入之间的关系，并找到使得利润最大化的最优广告投入额。
问题三：物质衰变在化学领域中，物质的衰变速率也可以用二次函数来描述。
假设一个物质的衰变速率与时间的关系可以用二次函数表示：R(t) = -kt² + bt + c其中k、b、c为常数。
通过这个二次函数，我们可以分析物质的衰变速率与时间之间的关系，并预测物质的衰变情况。
总结：通过以上三个实际问题的例子，我们可以看到二次函数在不同领域中的应用之广泛。
二次函数可以方便地描述并解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、企业的利润分析以及物质的衰变情况等。
掌握二次函数的概念和应用，对我们理解和解决实际问题具有重要意义。
本文通过具体的实际问题，说明了二次函数的应用。
二次函数的应用
二次函数的应用二次函数是数学中一种常见的函数形式，其方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数在许多实际问题中都有广泛的应用，本文将介绍二次函数在几个不同领域的具体应用案例。
一、物理学领域中的应用1. 自由落体问题当物体在重力作用下自由落体时，其高度与时间之间的关系可以用二次函数来描述。
假设物体从初始高度h0下落，时间t与高度h之间的关系可以表示为：h = -gt^2 + h0其中g为重力加速度，取9.8m/s^2。
通过解二次方程可以求解物体落地的时间以及落地时的位置。
2. 弹射物体的运动考虑一个弹射物体，如抛射出的炮弹或投射物，其路径可以用一个抛物线来表示。
弹射物体的运动轨迹可以通过二次函数得到，可以利用二次函数的顶点坐标来确定最远射程或最高点。
二、经济学领域中的应用1. 成本和收入关系在经济学中，企业的成本和收入通常与产量相关。
通常情况下，成本和收入之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以确定最大利润产量或最低成本产量。
2. 售价和需求关系在市场经济中，产品的售价通常与需求量相关。
通常情况下，售价和需求量之间存在二次函数关系。
通过分析二次函数的图像，可以找到最佳定价，以达到利润最大化。
三、工程学领域中的应用1. 抛物线拱桥在建筑和结构工程中，抛物线是通常用来设计拱桥的形状。
由于抛物线具有均匀承重特性，因此可以最大程度地减少桥墩的数量，提高桥梁的承载能力。
2. 抛物面反射器在光学和声学工程中，抛物面被广泛应用于反射器的设计。
由于抛物面具有焦点特性，因此可以实现光或声波的聚焦效果，提高反射效率。
四、生物学领域中的应用1. 生长模型植物和动物的生长通常可以使用二次函数模型来描述。
二次函数可以帮助分析生物在不同生长阶段的生长速率，并预测未来的生长趋势。
2. 群体增长生态学中，群体增长通常可以使用二次函数模型来描述。
例如，一种昆虫群体的数量随时间的变化可以通过二次函数来表示，通过分析二次函数的图像，可以预测种群数量的变化趋势。
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二次函数在实际中的应用
法国著名数学家的卡尔说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一种模式，用于解决其它问题”.本文用二次函数的模式，解答生产、生活、体育等实际中的问题，达到触类旁通的目的.
一、借助二次函数解答桥梁问题
例1、（2006吉林省）如图1，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m ．
⑴ 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
⑵ 现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km （桥长忽略不计）．货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？
解：（1）设抛物线的解析式为2y ax =，桥拱最高点O 到水面CD 的距离为h 米，则D （5，h -），B （10，3h --）．
∴25100 3.a h a h =-⎧⎨=--⎩，解得1251a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
，∴抛物线的解析式为2125y x =-． （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为：1÷0.25 = 4（小时），
货车按原来速度行驶的路程为：40×1＋40×4 = 200＜280，
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥，设货车速度提高到x 千米/小时，
当4401280x +⨯=时，解得60x = ，
∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米小时．
二、应用二次函数剖析撞车问题
例2、（2006苏州市）司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．之后还会继续行驶一段距离．我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”，如图2．
已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m ／s)之同有如下关系：s=tv+kv 2其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=O.7s
图1
(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m ／s ，则该汽车的刹车距离为＿＿＿＿m(精确到0.1m)
(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m ／s 的速度驾车行驶，测得刹车距离为
46m ．假如该志愿者当初是以11m ／s 的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到O.1m)
(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m ／s 至17m ／s 的速度行驶，且与前方车辆的车
距保持在40m 至50m 之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”。
则你的反应时间应不超过多少秒?(精确到0. O1s)
解 （1）直接把t=0.7,v=11,k=0.08代入s=tv+kv 2,得s=0.7×11+0.08×112≈17.4(m);
（2）先求饮酒后的反应时间t ，把s=46,v=17,k=o.o8代入s=tv+kv 2，
得 46=17t+0.08×172. 解之,得t≈1.35
当v=11时，s=tv+kv 2=1.35×11+0.08×112≈24.5, 24.5-17.4=7.1
因此，酒后刹车距离比未饮酒时增加7.1m.
(3) 设反应的时间为t 秒,由于在其它条件不变的情况下,速度越快,刹车距离越大,为了确保安全,假设速度为17m/s,则依据题意,得17t+0.08×172＜40,解得t ＜0.99.因此,反应的时间不能超过0.99s.
三、建立二次函数判断发球问题
例3、在济南大学举行的一场排球赛中，队员黄娟站在边线发球，发球点与地面的
距离为1.8米，发球的方向与边线垂直，球飞行的路线为抛物线，当球飞行距离为8米时，达到最高高度为5.2米，已知球场的长18
解： 建立如图3所示的坐标系，根据坐标系可知球
出手点
C 的坐标
(0．1.8)，抛物线的最高点的坐标是
D(8，5.2)，设抛物线的关系式为y =a (x -h )2+k ，将条件
代入，得h =8，k =5.2，a =-
32017，所以抛物线关系式 为：y =-32017
(x -8)2+5.2 当x =18时，y =-0.113米，所以球没有落到球场的对方边界外．
五、列出二次函数决策营销问题
例5、（2007山东省青岛市）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：
（1）求y 与x 的关系式；
（2）当x 取何值时，y 的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
解：⑴ y ＝(x －50)∙ w
＝(x －50) ∙ (－2x ＋240)
＝－2x 2＋340x －12000，
图3
图2
∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000．
⑵ y＝－2x2＋340x－12000
＝－2 (x－85) 2＋2450，
∴当x＝85时，y的值最大．
⑶当y＝2250时，可得方程－2 (x－85 )2 ＋2450＝2250．
解这个方程，得x1＝75，x2＝95．
根据题意，x2＝95不合题意应舍去．
∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．
应用二次函数的模式解决实际中的问题还很多，也是近年中考的热点，相信经过上数类型的阅读与思考，一定会应用二次函数这个模式，解答一些实际问题.。