高中数学模块综合测试卷 人教版A 必修五
高三数学新人教A版数学必修5综合测试
2020学年度第一学期鹤山市第二中学高二理科数学数学必修5综合测试姓名：_____________ 学号：_______一、选择题(每小题5分，满分40分)1. 已知等比数列｛a*｝的公比为正数，且a3 • a9=2a52, a?=1，则a i =( )A. -B.—2C. 2D.22 22. 等差数列｛a*｝的前n项和为S n，且S3 =6 , a i =4,则公差d等于( )5A. 1 B 5 C.- 2 D 333. 已知a n为等差数列，且a7—2 a4= 一1, a3= 0,则公差d=( )1 1(A)— 2 (B)—丄(C) 1(D) 22 24. 等比数列a n的前n项和为S n，且4a1, 2a?, a3成等差数列。
若a1=1，则S4=( )(A) 7 (B) 8 (C) 15 (D) 16所表示的平面区域的面积等于5.不等式组( )A. B.C.8. 在三角形ABC 中，AB 5, AC 3,BC 7,贝U BAC 的大小为( ) 25 3 A. — B. 5 C. 3D.-3 643二、选择题(每小题 5分，满分30分)9. 在厶ABC 中, a , b , c 分别是角A , B, C 所对的边，已知a J3, b 3,c 30 ,则A2x D.6.设x,y 满足 y y 2y 4 1,则z 2 (A )有最小值 (C )有最大值 2, 3, 最大值3 无最小值7.已知 ABC 中, A, B, (B )有最小值2,(D )既无最小值,C 的对边分别为a,b, c 若a无最大值 也无最大值 c ,6 .2 且 A 75o ，则 bA.2B . 4+ 2 .310. △ ABC的内角A B, C的对边分别为a, b, c，若c , 2, b ,6, B 120o，贝Ua ______________ .11. 不等式上2 > 2的解集是(x 1)12. 在数列｛a n｝在中，a n4n 5, a1 a? L a* an2 bn , n N* ,其中a,b为常数,2贝U ab __________13. 已知｛a n｝为等差数列，a s + a 8 = 22 , a e = 7，贝U a s = ______14. 不等式x2 3x 2 0的解集是___________________________三、选择题(每小题10分，满分30分)15. 在厶ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是a, b, c，已知c 2 , C -.3(I)若△ABC的面积等于，求a, b ;(U)若si nB 2s "人，求厶ABC的面积.(10分)16. 已知｛a n｝是整数组成的数列，a1 1,且点恳,务1)(n N*)在函数y x2 1的图像上: (1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足bl 1,b n 1 b n 2%，求证：0 02 ( 10 分)17. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800加，深为3M,如果池底每1M的造价为150元，池壁每1M I的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ ( 10分)参考答案：I. B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A9.30 ° 10. .2 1 II., U 1,3212. — 1 13.15 14. x1 x 215.本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力•满分 12分. 解：（1）由余弦定理得，a 2 b 2 ab 4 ,又因为△ ABC 的面积等于，所以labsinC 、、3，得ab 4 .............. ...............2a 2b 2 ab 4,,联立方程组解得a 2, b 2 ...................................................ab 4,（U ）由正弦定理，已知条件化为 b 2a , ......................................................联立方程组b ab 4解得a , b 耳. b 2a ,33所以△ ABC 的面积S 】absinC. ......................................................2316. 解：（1）由已知得：a n 1 a n 1 ,(2)由(1)知 b n 1 b n 2an 2nb n (b n b n 1) (b n 1 b n 2) (b 2bj b 12n12n 22n 32 11 2n2n 11 2b n b n 2b n12 (2n 1)(2n 2 1) (2n1 1)2 5 2n 4 2n 2n 0所以：b n b n 2 b n 1217. 297600所以数列是以1为首项，公差为 1的等差数列；即a n1 (n 1) 14分 6分 8分12分。
新整理高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a ,b ,c ∈R ,a>b ,则下列不等式成立的是( )A.1<1B.a2>b2 C.a 2>b 2 D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-12不成立,∴1a <1b 不成立.B.∵c 2+1≥1,a>b ,∴ac 2+1>bc 2+1,故B 正确. C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a 2>b 2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B .2.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为√32,则BC 的长为( )A.√3B.3C.√7D.7答案:A解析:S=12×AB ·AC sin 60°=12×2×√32AC=√32,所以AC=1.所以BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 60°=3. 所以BC=√3,故选A .3.若5,x ,y ,z ,21成等差数列,则x+y+z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52答案:C解析:因为5,x ,y ,z ,21构成等差数列,所以y 是x ,z 的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y ,5+21=2y ,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知b cos C+c cos B=2b ,则a等于( ) A.1 B.√2C.2D.√3答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b 化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B ,即sin(B+C )=2sin B.∵sin(B+C )=sin A ,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b ,故a b=2.5.已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n =0,得a n+1a n=-13.所以{a n }是以q=-13为公比的等比数列. 所以a 1=a 2·1q =-43×(-3)=4.所以S 10=4[1-(-13)10]1+13=3(1-3-10),故选C .6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x ,y 满足约束条件{x ≥1,x +y -4≤0,x -3y +4≤0,则目标函数z=3x-y 的最大值为( )A.-4B.0C.43D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-361a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)(-361a1)≥0⇒n≤643=2113,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足2+1=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2√2,+∞)C.[4√2,+∞)D.[3+2√2,+∞)答案:D解析:∵2a +1b=1,∴x=a+b=(a+b)(2a +1b)=2+1+2ba+ab≥3+2√2(当且仅当2ba=ab,即b=√2+1,a=2+√2时,等号成立).故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A ,B 为锐角, 所以tan(A+B )=tanA+tanB1-tanAtanB<0,则A+B ∈(π2,π),即C 为锐角, 所以△ABC 是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n }中,a 1=2,na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,则a 11=( ) A.36 B.38 C.40 D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n +2,n ∈N *,所以在等式的两边同时除以n (n+1),得a n+1n+1−a n n =2(1n -1n+1).所以a 1111=a 11+2[(110-111)+(19-110)+…+ (1-12)]=4211.所以a 11=42.故选D .11.(2015陕西高考,10)设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b2),r=12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q答案:C解析:∵f (x )=ln x ,∴p=f (√ab )=ln √ab =12(ln a+ln b )=r.又∵0<a<b ,∴a+b2>√ab .又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n },定义数列{a n+1-a n }为数列a n 的“差数列”,若a 1=1,{a n }的“差数列”的通项公式为3n ,则数列{a n }的通项公式a n =( ) A.3n -1B.3n+1+2C.3n -12D.3n+1-12答案:C解析:∵a 1=1,a n+1-a n =3n ,∴a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=3n-1+3n-2+…+31+1=1×(1-3n )1-3=3n -12.故选C . 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+1x -4,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+1x -4=x-4+1x -4+4≥2√(x -4)·1x -4+4=6.当且仅当x-4=1x -4即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且S nn=3n -1,则a 8b 8= .答案:43解析:2a 82b 8=a 1+a 15b 1+b 15=152(a 1+a 15)152(b 1+b 15)=S 15T 15=3×15-12×15+3=43.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2 015= . 答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a 2 015=a 1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,有下列结论:①若A>B ,则sin A>sin B ;②若c 2<a 2+b 2,则△ABC 为锐角三角形;③若a ,b ,c 成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C ); ④若a ,b ,c 成等比数列,则cos B 的最小值为12.其中结论正确的是 .(填上全部正确结论的序号) 答案:①③④解析:对于①,若A>B ,则a>b ,由正弦定理得sin A>sin B ,命题①正确;对于②,若c 2<a 2+b 2,则cos C=a 2+b 2-c 22ab >0,说明C 为锐角,但A ,B 不一定为锐角,△ABC 不一定是锐角三角形,命题②错误;对于③,若a ,b ,c 成等差数列,则a+c=2b ,结合正弦定理得:sin A+sin C=2sin B ,即sin A+sin C=2sin(A+C ),命题③正确;对于④,若a ,b ,c 成等比数列,则b 2=ac , 则cos B=a 2+c 2-b22ac=a 2+c 2-ac 2ac≥ac 2ac =12,命题④正确.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a=4,cos B=45. (1)若b=3,求sin A 的值;(2)若△ABC 的面积为12,求b 的值. 解:(1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =35.由正弦定理可得:asinA =bsinB . 又a=4,b=3,∴sin A=asinBb=4×353=45.(2)由面积公式,得S △ABC =12ac sin B ,∴12ac×35=12,可解得c=10.由余弦定理,b 2=a 2+c 2-2ac cos B=52,解得b=2√13.18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +cn (c 是常数,n=1,2,3,…),且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,c.所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n-1)2又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为√3.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为√3,∴1ac sin 60°=√3,即ac=4.2∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2√ac+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x 2-3ax+2a 2=0的两根. ∴{1+2=3a ,1×2=2a 2,解得a=1.②∵x 2-3ax+2a 2<0, ∴(x-a )(x-2a )<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a ,2a ),当a=0时,此不等式的解集为空集, 当a<0时,此不等式的解集为(2a ,a ).(2)由题意f (2)=4-2ab+2a 2>0在a ∈[1,2]上恒成立, 即b<a+2a 在a ∈[1,2]上恒成立. 又a+2a ≥2√a ·2a =2√2,当且仅当a=2a ,即a=√2时上式等号成立.∴b<2√2,实数b 的取值范围是(-∞,2√2).21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m .又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系:S 甲=0.1x+0.01x 2,S 乙=0.05x+0.005x 2. 问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x 2=12,即x 2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h . 甲车车速不会超过限速40 km/h . 对于乙车,有0.05x+0.005x 2>10, 即x 2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去). 这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{a n }中,a 1=1,a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ; (2)求数列{n 2a n }的前n 项和T n ;(3)若存在n ∈N *,使得a n ≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 解:(1)因为a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n+12a n+1(n ∈N *), 所以a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1=n 2a n (n ≥2). 两式相减得na n =n+12a n+1-n2a n , 所以(n+1)a n+1na n=3(n ≥2). 因此数列{na n }从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列, 所以na n=2·3n-2(n ≥2).故a n ={1,n =1,2n·3n -2,n ≥2. (2)由(1)可知当n ≥2时,n 2a n =2n ·3n-2, 当n ≥2时,T n =1+4·30+6·31+…+2n ·3n-2,∴3T n =3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n ·3n-1.两式相减得T n =12+(n -12)·3n-1(n ≥2). 又∵T 1=a 1=1也满足上式,∴T n =12+(n -12)·3n-1.(3)a n ≥(n+1)λ等价于λ≤a n, 由(1)可知当n ≥2时,an=2·3n -2, 设f (n )=n (n+1)2·3n -2(n ≥2,n ∈N *),则f (n+1)-f (n )=-(n+1)(n -1)3n -1<0,∴1f (n+1)≥1f (n ).又1f (2)=13及a 12=12,∴所求实数λ的取值范围为λ≤13.。
高中数学 模块综合测试 新人教A版必修5
模块综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：由正弦定理可知a sin A ＝b sin B ⇒1sin A ＝3sin120°，∴sin A ＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°. 答案：A2．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100° D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析：A 组不成三角形；对于B ，∵b sin30°＝22<1<2，∴B 有两解；C 组不成三角形，D 正确．答案：D3．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝( ) A.23 B.14 C ．－23D ．－14解析：由正弦定理知sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，得到a :b :c ＝3:2:4，令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝3k2＋2k 2－4k 22×3k ×2k＝－14，故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }中，a n ＝4n －3，则首项a 1和公差d 的值分别为( ) A ．1,3 B ．－3,4 C ．1,4D ．1,2解析：∵a n ＝4n －3，∴a 1＝4－3＝1，d ＝a n －a n －1＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项之积为T n ，若T 5＝1，则必有( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：∵T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝(a 3)5＝1， ∴a 3＝1. 答案：B6．若△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ， ∴sin A ＝2sin B ·cos C .∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C . ∴sin B ·cos C －cos B ·sin C ＝sin(B －C )＝0. ∴B ＝C ，故选A. 答案：A7．等比数列{a n }的公比为13，前n 项的和为S n ，n ∈N *如S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，则其公比为( )A ．(13)2B ．(13)6C.13D.23解析：∵S 4－S 2S 2＝a 4＋a 3a 2＋a 1＝q 2a 2＋a 1a 2＋a 1＝q 2＝(13)2.答案：A8．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：由题可知log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5，又因为在等比数列中a 5a 6＋a 2a 9＝18，所以a 5a 6＝9，代入求解得原式的值为10，故选B.答案：B9．递减的等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 5＝S 10，则欲使S n 取最大值，n 的值为( ) A ．10 B ．7 C ．9D ．7或8解析：∵S 5＝S 10，∴a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0，∴a 8＝0.由于数列递减，故数列前7项为正，从第9项开始为负， ∴S n 取最大值时，n ＝7或8. 答案：D10．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋sb＝2sab a ＋b s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab .又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案：A11．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D.14解析：因为3a·3b＝3. 所以a ＋b ＝1. 1a ＋1b＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当b a ＝a b 即a ＝b ＝12时“＝”成立，故选B.答案：B2 4 12xyz12.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝1＋58＋38＝2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．不等式1x≤x 的解集是________．解析：1x ≤x 等价于x －1x ≥0⇒x 2－1x≥0，所以不等式的解集为{x |－1≤x <0，或x ≥1}．答案：{x |－1≤x <0，或x ≥1}14．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是________．解析：当k ＝0时满足条件；当k ≠0时满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×－38<0，解得－3<k ≤0.答案：－3<k ≤015．已知在△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么边BC 的长为________．解析：设方程3x 2－27x ＋32＝0的两根分别为b ，c 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝9bc ＝323，由余弦定理可知BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos60° ＝(b ＋c )2－3bc ＝81－32＝49， ∴BC ＝7. 答案：716．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项之和，且S 6<S 7，S 7>S 8，则①此数列的公差d <0；②S 9一定小于S 6；③a 7是各项中最大的一项；④S 7一定是S n 中的最大值．其中正确的是________．(填入你认为正确的所有序号)解析：由题S 6<S 7，S 7>S 8可知a 7>0，a 8<0，等差数列为递减数列，故①正确，且④也正确，由等差数列的前n 项和为关于n 的二次式可知，其单调性为先增再减，而S 9离对称轴的距离比S 6离对称轴的距离要远，因此对应的函数值要小，故②正确．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10. (3)S ＝12ab sin C ＝32.18．(12分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 3，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1·a 13即(1＋2d )2＝1＋12d ，得d ＝2或d ＝0(舍去)．故d ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝2a n ＝22n －1，所以数列{b n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n1－4＝23(4n－1)． 19．(12分)(2012·中山高二检测)如下图，从气球A 测得正前方的河流上的桥梁两端B ，C 的俯角α，β，如果这时气球的高度是h ，求桥梁BC 的长度．解：过A 作垂线AD 交CB 于D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝α，AB ＝hsin α.又在△ABC 中，∠C ＝β，∠BAC ＝α－β， 由正弦定理，得BC sin α－β＝ABsin β，∴BC ＝AB ·sin α－βsin β＝h ·sin α－βsin α·sin β.20．(12分)已知下列不等式①x 2－4x ＋3<0；②x 2－6x ＋8<0；③2x 2－9x ＋a <0.要使①②成立的x 也满足③，请你找一个这样的a 值．解：解①x 2－4x ＋3<0， 即(x －1)(x －3)<0，∴1<x <3.解②x 2－6x ＋8<0，即(x －2)(x －4)<0， ∴2<x <4，∴①②同时成立的x 的范围是2<x <3.2x 2－9x ＋a <0对应的二次方程为2x 2－9x ＋a ＝0，对应的二次函数f (x )＝2x 2－9x ＋a 的对称轴为x ＝94∈(2,3)．∵3－94>94－2，∴f (3)>f (2)，∴只须f (3)≤0即可．即2×32－9×3＋a ≤0，∴a ≤9.这样a 的值可取小于等于9中任一个，不妨取a ＝9. 21．(12分)等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2nS n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ； (2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2nS n＝4， 得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n 1＋2n －12＝n 2.(2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n－1＝21－2n1－2－(2n －1)·2n－1.所以T n ＝(2n －1)·2n＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n＋3.22．(12分)电视台某广告公司特约播放两部片集，其中片集甲每片播放时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每片播放时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(含广告时间)．(1)问电视台每周应播放两部片集各多少集，才能使收视观众最多；(2)在获得最多收视观众的情况下，片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a 和b (万元)的效益，若广告公司本周共获得1万元的效益，记S ＝1a ＋1b为效益调和指数，求效益调和指数的最小值．(取2＝1.41)解：(1)设片集甲、乙分别播放x ，y 集，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，21x ＋11y ≤86，x ，y ∈N .要使收视观众最多，则只要z ＝60x ＋20y 最大即可． 如图作出可行域，易知满足题意的最优解为(2,4)，z max ＝60×2＋20×4＝200，故电视台每周片集甲播出2集，片集乙播出4集，其收视观众最多．(2)由题意得：2a ＋4b ＝1，S ＝1a ＋1b ＝(1a ＋1b)(2a ＋4b ) ＝6＋2a b ＋4b a ≥6＋42＝11.64(万元)，当且仅当a ＝2－12，b ＝2－24时，取等号．所以效益调和指数的最小值为11.64万元．。
高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版必修5
高中数学模块综合检测（含解析）新人教A 版必修5模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17D ．20解析：选A.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，符合， 所以a n ＝4n －5， 令n ＝4，得a 4＝11.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．1或4解析：选C.在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去)．故a 的值为4.3．下列命题中，一定正确的是( ) A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0B ．若a >b ，b ≠0，则a b>1 C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >d D ．若a >b 且ac >bd ，则c >d解析：选A.A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．4C ．7D ．8解析：选C.画出可行域如图(阴影部分)．目标函数为z ＝2x ＋y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2解得A (3，1)，当目标函数过A (3，1)时取得最大值， 所以z max ＝2×3＋1＝7.5．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b的最小值是( )A ．1B ．2C ．4D ．2 2解析：选B.因为lg a 和lg b 的等差中项是0， 所以lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1，又a >0，b >0， 所以1a ＋1b ≥21ab＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，因此1a ＋1b的最小值是2.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( ) A.32 B.54 C.94D ．4解析：选C.设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2，a 1＝1，得d ＝2，所以S 4＝16，S 6＝36，所以S 6S 4＝94.7．当x ＞0时，不等式x 2－mx ＋9＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，6] C ．[6，＋∞)D ．(6，＋∞)解析：选A.由题意得：当x ＞0时，mx ＜x 2＋9，即m ＜x ＋9x 恒成立．设函数f (x )＝x ＋9x(x ＞0)，则有x ＋9x≥2x ·9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，则实数m 的取值范围是m ＜6.8．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0，n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．10n －2B ．10n －1C ．102n －1D ．22n －1解析：选D.因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n >0，n ∈N *)，所以log 2 a n ＋1＝2log 2a n ， 即log 2 a n ＋1log 2 a n＝2. 又a 1＝2，所以log 2a 1＝log 2 2＝1.故数列{log 2a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 所以log 2a n ＝2n －1，即a n ＝22n －1.故选D.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C 等于 ( )A ．1B ．－22C.22D.32解析：选C.因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ．又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(不合题意，舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ＝22(sin C ＋cos C )＝22.10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q n （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.11．如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测A ，B 分别在D 处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为( )A ．20 6 海里B ．40 6 海里C ．20(1＋3) 海里D ．40海里解析：选A.连接AB ，由题意可知CD ＝40，∠ADC ＝105°，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°，∠ACD ＝30°，所以∠CAD ＝45°，∠ADB ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理得ADsin 30°＝40sin 45°，所以AD ＝202， 在Rt △BCD 中，因为∠BDC ＝45°，∠BCD ＝90°， 所以BD ＝2CD ＝40 2. 在△ABD 中，由余弦定理得AB ＝800＋3 200－2×202×402×cos 60°＝20 6.12．已知不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪ (x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，则x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为( )A.32 B ．0 C ．2D ．－32解析：选B.因为不等式x 2－ax ＋a －2＞0的解集为(－∞，x 1)∪ (x 2，＋∞)，其中x 1＜0＜x 2，所以x 1x 2＝a －2＜0，x 1＋x 2＝a .所以x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2＝(x 1＋x 2)＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝a ＋2a a －2＝a ＋2a －4＋4a －2＝a ＋2＋4a －2＝(a －2)＋4a －2＋4； 又a －2＜0，所以－(a －2)＞0， 所以－(a －2)－4a －2≥2－（a －2）×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a －2＝4，当且仅当－(a －2)＝－4a －2， 即a ＝0时，取“＝”； 所以(a －2)＋4a －2＋4≤－4＋4＝0，即x 1＋x 2＋2x 1＋2x 2的最大值为0.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．不等式(2－x )(2x ＋1)＞0的解集为________． 解析：原不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0，解得－12＜x ＜2， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________．解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， 所以a n ＝2n，所以2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3·2n －1，所以S 6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.答案：18915．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k＝________．解析：约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中点A (4，4)，B (0，2)，C (2，0)．当－k ≤12，即k ≥－12时，目标函数z＝kx ＋y 在点A (4，4)处取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k ＞12，即k ＜－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0，2)处取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解．综上所述，k ＝2.答案：216．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且4S n ＝(a n ＋1)2，则下列说法正确的是________(填序号)．①数列{a n }是等差数列；②数列{a n }是等差数列或等比数列； ③数列{a n }是等比数列；④数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列．解析：因为4S n ＝(a n ＋1)2，所以4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，所以a n ＋1＝a n ＋2或a n ＋1＋a n ＝0.因为4a 1＝(a 1＋1)2，所以a 1＝1.由a n ＋1＝a n ＋2得a n ＋1－a n ＝2，从而数列{a n }是等差数列；由a n ＋1＋a n ＝0得a n ＋1a n＝－1，从而数列{a n }是等比数列．故数列{a n }是等差数列或等比数列． 答案：②三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 7＝49，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝（a n ＋1）·2n －1n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，7a 1＋7×62d ＝49， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)b n ＝（a n ＋1）·2n －1n＝（2n －1＋1）·2n －1n＝2n，即{b n }是b 1＝2，q ＝2的等比数列，所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2(n ∈N *)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a ＞0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，所以12≤x ≤2，即所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，a ＞0，且方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝1a，所以当1a＞a ，即0＜a ＜1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ；当1a＜a ，即a ＞1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ；当1a＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为{1}．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2. (1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝3＋4－2×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝9，所以AC ＝3.又sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－362＝336，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，所以sin C ＝AB AC ·sin B ＝116.(2)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ， 所以3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ， 即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0 ①，由题意得关于AC 的一元二次方程①有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，解得cos C ≥12 或cos C ≤－12，。
人教A版高中数学必修五必修五 综合测试题 (第三套).docx
必修五 综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个 第2个 第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。
2020高二数学人教A必修5 模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)知识点分布表一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2015江西吉安联考,1)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A. B.C.a2>b2D.a|c|>b|c|答案:B解析:A.∵当1>-2时,1<-不成立,∴不成立.B.∵c2+1≥1,a>b,∴,故B正确.C.∵当1>-2时,1>4不成立,∴a2>b2不成立.D.当c=0时,0=a|c|>b|c|=0,不成立.故选B.2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为()A. B.3 C. D.7答案:A解析:S=×AB·AC sin 60°=×2×AC=,所以AC=1.所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC cos 60°=3.所以BC=,故选A.3.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为()A.26B.29C.39D.52答案:C解析:因为5,x,y,z,21构成等差数列,所以y是x,z的等差中项,也是5,21的等差中项,所以x+z=2y,5+21=2y,所以y=13,x+z=26,所以x+y+z=39.4.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知b cos C+c cos B=2b,则等于()A.1B.C.2D.答案:C解析:利用正弦定理,将b cos C+c cos B=2b化为sin B cos C+sin C cos B=2sin B, 即sin(B+C)=2sin B.∵sin(B+C)=sin A,∴sin A=2sin B.利用正弦定理可得a=2b,故=2.5.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=-,则{a n}的前10项和等于()A.-6(1-3-10)B.(1-3-10)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C解析:由3a n+1+a n=0,得=-.所以{a n}是以q=-为公比的等比数列.所以a1=a2·=-×(-3)=4.所以S10=--=3(1-3-10),故选C.则目标6.(2015河北邯郸三校联考,6)设变量x,y满足约束条件--函数z=3x-y的最大值为() A.-4 B.0 C. D.4答案:D解析:画出不等式组表示的平面区域,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为6-2=4.故选D.7.已知等差数列{a n}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和S n取最大值时,n的值为()A.20B.21C.22D.23答案:B解析:由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d)⇒d=-a1,由a n=a1+(n-1)d=a1+(n-1)-≥0⇒n≤=21,所以数列{a n}前21项都是正数,以后各项都是负数,故S n取最大值时,n的值为21,选B.8.(2015福建宁德五校联考,8)已知正实数a,b满足=1,x=a+b,则实数x的取值范围是()A.[6,+∞)B.(2,+∞)C.[4,+∞)D.[3+2,+∞)答案:D解析:∵=1,∴x=a+b=(a+b)=2+1+≥3+2当且仅当即时等号成立.故选D.9.(2015河南南阳高二期中,7)在△ABC中,若tan A tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案:A解析:因为A和B都为三角形中的内角,由tan A tan B>1,得到1-tan A tan B<0,且得到tan A>0,tan B>0,即A,B为锐角,<0,所以tan(A+B)=-则A+B∈ππ,即C为锐角,所以△ABC是锐角三角形.10.(2015山东潍坊四县联考,10)已知数列{a n}中,a1=2,na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,则a11=()A.36B.38C.40D.42答案:D解析:因为na n+1=(n+1)a n+2,n∈N*,所以在等式的两边同时除以n(n+1),得=2-.所以+2--…-.所以a11=42.故选D.11.(2015陕西高考,10)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案:C解析:∵f(x)=ln x,∴p=f()=ln(ln a+ln b)=r.又∵0<a<b,∴.又∵y=ln x为递增函数,∴ln>ln,即q>r,综上p=r<q.12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列a n的“差数列”,若a1=1,{a n}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{a n}的通项公式a n=()A.3n-1B.3n+1+2C.-D.-答案:C解析:∵a1=1,a n+1-a n=3n,∴a n=(a n-a n-)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a11=3n-1+3n-2+…+31+1-.故选C.=--二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+-,当x= 时,函数有最小值为 . 答案:5 6解析:∵x>4,∴x-4>0.∴y=x+ - =x-4+- +4≥2 - ·-+4=6.当且仅当x-4=-即x=5时等号成立.14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且- ,则= .答案:解析:-.15.设数列{a n }满足:a 1=1,a 2=4,a 3=9,a n =a n-1+a n-2-a n-3(n=4,5,…),则a 2015= .答案:8 057解析:由a n =a n-1+a n-2-a n-3,得a n+1=a n +a n-1-a n-2,两式作和得:a n+1=2a n-1-a n-3, 即a n+1+a n-3=2a n-1(n=4,5,…).∴数列{a n }的奇数项和偶数项均构成等差数列. ∵a 1=1,a 3=9,∴奇数项构成的等差数列的公差为8.则a2 015=a1+8(1 008-1)=1+8×1 007=8 057.故答案为8 057.三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)17.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cos B=.(1)若b=3,求sin A的值;(2)若△ABC的面积为12,求b的值.解:(1)∵cos B=,0<B<π,∴sin B=-.由正弦定理可得:.又a=4,b=3,∴sin A=.(2)由面积公式,得S△ABC=ac sin B,∴ac×=12,可解得c=10.由余弦定理,b2=a2+c2-2ac cos B=52,解得b=2.18.数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(1)求c的值;(2)求{a n}的通项公式.解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,a n-a n-1=(n-1)c,所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=- c.又a1=2,c=2,故a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).当n=1时,上式也成立.所以a n=n2-n+2(n=1,2,…).19△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC 的面积为.(1)求证:a,2,c成等比数列;(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.又△ABC的面积为,∴ac sin 60°=,即ac=4.∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos 60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.∴△ABC周长的最小值为6.∵a=c,B=60°,∴此时△ABC为等边三角形.20已知f(x)=x2-abx+2a2.(1)当b=3时,①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;②求不等式f(x)<0的解集.(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.∴解得a=1.②∵x2-3ax+2a2<0,∴(x-a)(x-2a)<0.∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a),当a=0时,此不等式的解集为空集,当a<0时,此不等式的解集为(2a,a).(2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,即b<a+在a∈[1,2]上恒成立.又a+≥2·=2,当且仅当a=,即a=时上式等号成立.∴b<2,实数b的取值范围是(-∞,2).21.汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1 200=0,解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).这表明甲车的车速为30 km/h.甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2 000>0,解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40 km/h,超过规定限速.。
最新精编高中人教A版必修五高中数学模块综合测评1(1)和答案
模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )A.1a>1b B.ba>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】 D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3.∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】 A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A．3∶2∶1 B.3∶2∶1C.3∶2∶1 D．2∶3∶1【解析】∵A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，∴A＝90°，B＝60°，C＝30°.∴a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶32∶12＝2∶3∶1.【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2B.32C.322D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，1.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－＝32. 【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC的面积为3，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．(2016·龙岩高二检测)等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋nn －2d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝( )A．189 B．186 C．180 D．192【解析】由a n＋1＝2a n，知{a n}为等比数列，∴a n＝2n.∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】 A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c b＋aabc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】 B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝3，则c＝( )A．2 3 B．2 C. 2 D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A ＝32.又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．由勾股定理得c ＝12＋32＝2.【答案】 B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项【解析】 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n－2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4，两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n 1·qn n －2＝64，即(a 21qn －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，当△ABC 的面积等于32时，sin C ＝________.【导学号：05920086】【解析】 由三角形的面积公式，得S ＝12AB ·BC sin π3＝32，易求得AB ＝1，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3，得AC ＝3，再由三角形的面积公式，得S ＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12.【答案】 1214．(2015·湖北高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3，12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝________. 【解析】 分n 为奇数、偶数两种情况． 第n 个等式为12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n2＋2n －2＝－n n ＋2.当n 为奇数时，第n 个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －2)2－(n －1)2]＋n 2＝－n n －2＋n 2＝n n ＋2.综上，第n 个等式为 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2 ＝(－1)n ＋1n n ＋2.【答案】 (－1)n ＋1n n ＋2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(a 2＋c 2－b 2，－3a )，n ＝(tan B ，c )，且m ⊥n ，求∠B 的值．【解】 由m ⊥n 得(a 2＋c 2－b 2)·ta n B －3a ·c ＝0，即(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，得a 2＋c 2－b 2＝3actan B，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32tan B，即tan B cos B ＝32，即sin B ＝32，所以∠B ＝π3或∠B ＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6. 【导学号：05920087】【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32. ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【导学号：05920088】【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.(1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞. 20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝1.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)(2016·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．22．(本小题满分12分)某厂用甲、乙两种原料生产A ，B 两种产品，制造1 tA,1 t B 产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：(2)每吨B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解有何变化？【解】 (1)生产A ，B 两种产品分别为x t ，y t ，则利润z ＝5x ＋3y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤14，x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图：当直线5x ＋3y ＝z 过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫245，225时，z 取最大值3715，即生产A 产品245 t ，B 产品225t 时，可得最大利润． (2)设每吨B 产品利润为m 万元，则目标函数是z ＝5x ＋my ，直线斜率k ＝－5m ，又k AB ＝－2，k CB ＝－13，要使最优解仍为B 点， 则－2≤－5m ≤－13，解得52≤m ≤15， 则B 产品的利润在52万元/t 与15万元/t 之间时，原最优解仍为生产A 产品245t ，B 产品225t ，若B 产品的利润超过15万元/t ，则最优解为C (0,6)，即只生产B 产品6 t ，若B 产品利润低于52万元/t ，则最优解为A (7,0)，即只生产A 产品7 t.。
高中数学 模块综合检测(一)新人教A版必修5
模块综合检测（一）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则有( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2D ．a 1＝3，d ＝－2解析：选A ∵a 1＋a 2＋a 3＝3且2a 2＝a 1＋a 3， ∴a 2＝1.又∵a 5＝a 2＋3d ＝1＋3d ＝10， ∴d ＝3，∴a 1＝a 2－d ＝1－3＝－2.2．若a <1，b >1，那么下列命题中正确的是( ) A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b解析：选D 利用特值法，令a ＝－2，b ＝2. 则1a <1b ，A 错；b a<0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由不等式组作出可行域如图所示，由图可知：当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－1,1)时，z 取得最小值为－1.4．已知△ABC 的三个内角之比为A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a ∶b ∶c 等于( )A ．3∶2∶1 B.3∶2∶1 C.3∶2∶1D ．2∶3∶1解析：选D ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 5．已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D 由题意可得B ＝60°，再由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ， 又三边a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，上式即为a 2＋c 2－2ac ＝(a －c )2＝0， 则a ＝c ，所以△ABC 是等边三角形．6．等比数列{a n }的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n }的首项为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C S 4－(a 2＋a 4)＝60⇒a 1＋a 3＝60. ∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，a 1＝6. 7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：选D 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.8．关于x 的不等式x 2－ax －6a ＜0的解集是{x |m ＜x ＜n }，且n －m ≤5，则实数a 的取值范围是( )A ．[－25，－24)B ．(0,1]C ．(－25，－24)∪(0,1)D ．[－25，－24)∪(0,1]解析：选D 由题意知，方程x 2－ax －6a ＝0有两根分别为m 和n ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2＋24a ＞0⇒a ＜－24或a ＞0，m ＋n ＝a ，mn ＝－6a .又0＜n －m ≤5，∴(n －m )2＝(n ＋m )2－4nm ＝a 2＋24a ≤25， 即a 2＋24a －25≤0，解得－25≤a ≤1. ∴－25≤a ＜－24或0＜a ≤1.故实数a 的取值范围是[－25，－24)∪(0,1]．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1 ，x －y ≤0，若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实数a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D.32解析：选A 由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分，当z ＝x ＋y 过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a )时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若内角A ，B ，C 依次成等差数列，且不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |a <x <c }，则S △ABC 等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B 由于不等式－x 2＋6x －8>0的解集为{x |2<x <4}， ∴a ＝2，c ＝4.又角A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×4×sin π3＝2 3.11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B 设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1qn －3，a 1qn －2，a 1qn－1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4，两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1·q (-)12n n ＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642，所以n ＝12.12．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：选A ∵x ＞1， ∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中的横线上)13．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪211x <2的解集是________．解析：由已知可得1<2x －1<2，解得1<x <32，所以所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x <32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1<x <3214．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，设S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 6＝________.解析：由a n ＋1＝2a n ，{a n }为等比数列， ∴a n ＝2n. ∴2b n ＝2n＋2n ＋1，即b n ＝3×2n －1，∴S 6＝3×1＋3×2＋…＋3×25＝189. 答案：18915．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB ＝40°＋80°＝120°，AB ＝3 km ，AC ＝2 km.设BC ＝a km.由余弦定理的推论，得cos 120°＝a 2＋4－94a，解得a ＝6－1或a ＝－6－1(舍去)， 即B 到C 的距离为(6－1) km. 答案：(6－1)16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意得k ＋1＋k ＜3，即(k ＋2)(k －1)＜0，且k ＞0，因此k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值； (2)若S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 解：(1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12·2·c ·45＝4. ∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图象过点(0,1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1， ∴m ＝3.(2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)． 由x 2－4x ＋3>0，得x <1或x >3，∴函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)． ∵log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数， ∴0<x 2－4x ＋3≤3， ∴0≤x <1或3<x ≤4，∴不等式的解集为{x |0≤x <1或3＜x ≤4}．19．(陕西高考)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B. ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n＝13[(6n －5)4n＋5]． ∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．21．(本小题满分12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？请求最小面积．解：(1)设AN ＝x (x >2)米，则ND ＝x －2，因为ND DC ＝AN AM，所以x －23＝x AM， 所以AM ＝3x x －2. 所以3xx －2·x >32， 所以3x 2－32x ＋64>0， 所以(3x －8)(x －8)>0， 所以2<x <83或x >8.即2<AN <83或AN >8.(2)S 矩形AMPN ＝3x2x －2＝3 x －2 2＋12 x －2 ＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥236＋12＝24， 当且仅当x ＝4时取等号．所以当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小面积为24平方米．22．(本小题满分12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解：(1)由x >0，y >0,3n －nx ≥y ，得0<x <3. 则D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2， 则y 1＝2n ，y 2＝n ，∴a n ＝3n (n ∈N *)． (2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3n n ＋12， ∴T n ＝n n ＋12n.令T n ＋1T n ＝n ＋22n>1，解得n <2， ∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，即T n 的最大值为32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。
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高中数学模块综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( )A.21)1(+-n B.cos 2πnC.cos2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得.答案：D2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( ) A.41 B.43 C.42 D.32 解析:∵a、b 、c 成等比数列, ∴b 2=ac. 又∵c=2a, ∴b 2=2a 2.∴cosB=ac b c a 2222-+=2222424aa a a -+=43. 答案：B3.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a≠0),a 19+a 20=b,则a 99+a 100等于( )A.89a b B.(a b )9 C.910ab D.(a b )10解析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10)(q 为公比)， ∴q 10=1092019a a a a ++=ab.又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(a b )8·b=89ab .答案：A4.首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n,N 的值分别是( ) A.n=2,N=6 B.n=2,N=8 C.n=3,N=6 D.n=3,N ＞6 解析：∵S N -S n-1=720，∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720.将选项代入知N=6,n=3适合上述方程. 答案：C5.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k 为( ) A.2 B.4 C.±4 D.±2解析：α+β=2，αβ=k 2,又(α+β)2=αβ，∴4=k 2. ∴k=±2. 答案：D6.等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n+r ，则r 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.3 解析：当n=1时，a 1=3+r ；当n≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1,要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1. 答案：A7.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞) 解析:设A ＞B ＞C,则B=3π,A+C=32π,0＜C ＜6π,于是m=c a =CAsin sin =C CC C C sin sin 21cos 23sin )32sin(+=-π=23cotC+21,∵3＜cotC,∴m＞2.答案：B8.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是( )A.0B.37C.100D.-37解析：设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1,b n =b 1+(n-1)d 2. ∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2). ∴{a n +b n }也是等差数列.又a 1+b 1=100,a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列.故a 37+b 37=100. 答案：C9.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0),若x 1＜x 2，x 1+x 2=0，则( ) A.f(x 1)＜f(x 2) B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a ＞0, ∴x 1+x 2=0,x 1与x 2的中点为0，x 1＜x 2.∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离. ∴f(x 1)＜f(x 2). 答案：A10.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n +2a n+3(n∈N *)，则公比q 的取值范围是( )A.0＜q ＜221+ B.0＜q ＜251+ C.0＜q ＜221+- D.0＜q ＜251+- 解析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3＞a 3a 4，∴a 1a 2+a 1a 2q ＞a 1a 2q 2.∵a 1a 2＞0,∴1+q＞q 2. 解得0＜q ＜251+. 答案：B11.在△ABC 中，tanAsin 2B=tanBsin 2A,那么△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形 解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B 或A+B=2π. 答案：D12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( )A.a(1+r)5B.r a ［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.ra ［(1+r)6-(1+r)］解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)；2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)；2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a ［(1+r)2+(1+r)］+a ｝(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］， ∴2006年1月1日可取回的钱数为a×)1(1])1(1)[1(4r r r +-+-+=r a ［(1+r)5-(1+r)］.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________. 解析：由5x 2-7x-6=0,得x 1=-53, x 2=2(舍去),∴cosθ=-53,sinθ=54. ∴S=21×3×5×54=6 (cm 2).答案：6 cm 214.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________. 解析：∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2. 由⎩⎨⎧≤=>=0,49-1)-2(n a 0,49-2n a 1-n n解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小. 答案：2415.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是_______________.解析：由题意知，首项为41，则第四项为43，则另两根应为41+61=125,41+61×2=127. ∴a=41×43=163,b=125×127=14435.∴a+b=163+14435=7231.答案：723116.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________. 解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km ，则⎩⎨⎧+<>+19),8(x 12)-9(x 200,219)8(x 解之,得 256＜x ＜260. 答案：256＜x ＜260三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)在△ABC 中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA ＞tanB,tanB=31，求角C 的大小及△ABC 最短边的长. 解：由已知得A+B=4π,C=43π.又tanA ＞tanB,∴B 是△ABC 的最小内角.又tanB=31,∴sinB=1010.∵B b sin =C c sin ,∴b=C c sin ·sinB=55. ∴C=43π,其最短边长为55. 18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2 563是否为数列中的一项.解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1).令13+n(n+1)=2 563，则n 2+n-2 550=0， 解得n=50或n=-51(舍). ∴2 563是该数列的第50项.19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC 中,∠B=45°,AC=10,cosC=552， (1)求BC 边的长;(2)记AB 的中点为D,求中线CD 的长. 解：(1)由cosC=552得sinC=55,sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC-sinC)=1010. 由正弦定理知BC=B AC sin ·sinA=2210·1010=2. (2)AB=B AC sin ·sinC=2210·55=2. BD=21AB=1. 由余弦定理知CD=B BC BD BC BD cos 222∙∙-+=13222312181=⨯⨯⨯-+. 20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)，证明 (1)数列{nS n}是等比数列； (2)S n+1=4a n .证明：(1)a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ).整理得nS n+1=2(n+1)S n ,∴11++n S n =2nSn . 故{nS n}是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =411--n Sn (n≥2). 于是S n+1=4(n+1)11--n S n =4a n (n≥2). 又S 1=a 1=1,a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4=4a 1.因此对于任意整数n≥1，都有S n+1=4a n .21.(12分)一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项. (1)求{a n }各项的和S ； (2)记{b n }的末项不大于2S，求{b n }项数的最值N ； (3)记{a n }前n 项和为S n ，{b n }前N 项和为T n ，问是否存在自然数m ，使S m =T n . 解：设{a n }公差为d ，a 1=5,a 4=5+3d,a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项,∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍). (1)S=100×5+299100⨯×5=25 250. (2)∵b 1=a 1=5,b 3=a 4=20，∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍),b n =5·2n-1. 令5·2n-1≤225250， ∴2n≤5 050.又212＜5 050＜213，即n ＜13,且212=4 096＜5 050, ∴n 的最大值N=12. (3)设有S m =T n ,即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)，整理得m 2+m-8 190=0， ∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S 90=T 12.22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ；每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过3 00 t,B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t .甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1 t)解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,y 0,x 360,9y 4x 200,4y 5x 300,4y 10xz=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域.作直线l ：600x+1 000y=0,即作直线l ：3x+5y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过平行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+360,9y 4x 200,4y 5x 得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.5. 答：应生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨，能使利润总额达到最大。