直线中的几类典型问题(学)

直线中的几类典型问题一．求倾斜角的范围1．直线x sin π7＋y cos π7＝0的倾斜角是( )A ．－π7B.π7C.5π7D.6π72．直线2x cos α－y －3＝0(α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3)的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π33．直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_______分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于θ的一个三角不等式即可．说明：解题易得出错误的结果⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．二．求直线的方程4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．5．直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是54，求直线l 的方程 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．6．求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类．说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．7.直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解． 说明：对本例，常见有以下两种误解：误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为01=-+y x或05=-+y x ．误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为1=+aya x ．由直线过点)2,3(，得123=+aa ，即5=a ，也即方程为05=-+y x ． 在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当1=k 时，直线01=--y x 的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．三、对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.1、点关于点的对称问题 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.练习：求点A （2,2）关于点（-1，5）的对称点坐标。

2、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：求点A （2,2）关于直线l :2x-4y+9=0的对称点B 坐标。

3、直线关于某点对称的问题 直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：求直线 y=2x+3关于点A （2,2）对称的直线方程。

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.4、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.练习：求直线 y=2x+3关于直线 y=2x-1对称的直线方程。

点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：求直线 y=2x+3关于直线 y=x-1对称的直线方程。

点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.四、光的反射问题1、镜面是坐标轴例6 光线由点P （－3,6）射到点Q （3,0）后被ｘ轴反射，求入射线和反射线所在的直线方程.例7 光线从点A （－3,4）射出，经ｘ轴上的B 点反射后交ｙ轴于C 点。

再经C 点从ｙ轴上反射，恰好经过点D （－1,6）. 求直线AB ，BC ，CD 的方程.2、镜面是非轴直线例8 一条光线从点P （5,3）射出，被直线ｌ：ｘ＋ｙ＝1反射，入射光线到ｌ的角为α，且tan α=2，求入射、反射光线所在的直线方程.解析 被非轴直线一次反射问题，根据已知条件有两种处理方法.例9 已知直线ｌ：ｘ－ｙ＋3＝0，一光线从点A （1,2）处射向ｘ轴上的一点B ，又从B 点反射到ｌ上的一点C ，最后从C 点反射回A 点.（1）试判断由此得到的△ABC 是有限个还是无限个？（2）依你的判断，认为是无限个时，求出所有这样的△ABC 中面积最小值；认为有限个时，求出所有这样的BC 线段的方程.五、最值问题）1. 转化为求二次函数的最值例10 某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层楼2．利用判别式求最值例11 已知直线l :y =4x 和点P(3,2)，点N 是l 上在第一象限内的点，直线NP 交x 轴的正半轴于点M ，则⊿OMN 的面积的最小值是 点评：比较两个三角函数值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角．最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．3. 数形结合求解最值例12已知点M （3，5），在直线：022=+-y x 和y 轴上各找一点P 和Q ，使MPQ ∆的周长最小.点评：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用.例13 直线0632=-+y x 交x 、y 轴于A 、B 两点，试在直线x y -=上求一点P 1， 使B P A P 11+最小，在y =x 上求一点P 2，使B P A P 22-最大，求出两最值及21P P 值. 点评：利用三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差为最大的问题. 练习：1.若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于________．2.经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝03.已知A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于________．4.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________． 5.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点 (2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．六、直线系方程1、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例14已知直线l ：10x y ++=，l ∥m ，直线n ：210x y -+=被l ，m 截得的线段长为m 的方程.点评：对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.本题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解. 2、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=. 例15已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.3、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）.例 16 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 4、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例17 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.5、求直线系方程过定点问题例18 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.七、直线方程的易错点1、因概念不清而致错例19 求过定点P （2，1）且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．误：设所求的直线方程为1x ya b +=． ∵直线过点(21)P ，，11a b2+=∴，即2a b ab +=，①又由已知，可得142ab =，即8ab =，②由①、②可得28a b ab ab +=⎧⎨=⎩，，，解得4a =，2b =．故所求直线方程为240x y +-=． 2、因忽视零截距而致错例20 求过定点(23)P ，，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．误：设直线在两坐标轴上的截距为a ，故所求的直线方程为1x ya a+=，即x y a +=．将点(23)P ，代入，得5a =． 故所求直线方程为5x y +=． 3、因忽视直线的斜率不存在而致错例21 求过点(42)P -，且与x 轴的交点到（1，0）的距离为5的直线方程． 误：设直线的斜率为k ，则其方程为2(4)y k x -=+． 则其与x 轴的交点为240k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．∴2415k ---=，解得15k =-． 故所求直线方程为560x y +-=． 4、因忽视题目的隐含条件而致错例22 如果直线2(2)(32)2m x m m y m ++++=+与y 轴平行，求m 的值．误：∵直线与y 轴平行，∴2320m m ++=． 解得1m =-或2m =-．∴当1m =-或2m =-时直线与y 轴平行．。