中考数学压轴题精编-安徽篇(试题及答案)

2014中考数学压轴题精编----安徽篇1．（安徽省）如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．1．解（1）证：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k （k ＞1），∴1a a＝k ，∴a ＝ka 1 又∵c ＝a 1，∴a ＝kc ·················································································· 3分 （2）解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2 ······························ 8分此时1a a ＝1b b ＝1c c＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1 ····································· 10分注：本题也是开放型的，只要给出的△ABC 和△A 1B 1C 1符合要求就相应赋分． （3）解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1．理由如下： 若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c∴b ＝2c ································································································· 12分 ∴b ＋c ＝2c ＋c ＝3c ＜4c ＝a ，而b ＋c ＞a故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2． ··········································· 14分注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下k ＝2的情况不可能即可．2．（安徽省B 卷）如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE ＝BF ； （3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1 b 1c 1 A C B F D EO G2．解：（1）猜想：OG ⊥CD ．证明：如图，连结OC 、OD ，则OC ＝OD ．∵G 是CD 的中点∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ． ················· 2分（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．而∠CAE ＝∠CBF （同弧所对的圆周角相等）． 在Rt △ACE 和Rt △BCF 中∵∠ACE ＝∠BCF ＝90°，AC ＝BC ，∠CAE ＝∠CBF ∴Rt △ACE ≌Rt △BCF ．（ASA ）∴AE ＝BF ． ············································································ 6分（3）解：如图，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点．∴OH ＝21AD ，即AD ＝2OH ． 又∠CAD ＝∠BAD ，∴CD ＝∠BD ，∴OH ＝OG ． 在Rt △BDE 和Rt △ADB 中∵∠DBE ＝∠DAC ＝∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ． ∴AD BD ＝DBDE，即BD 2＝AD ·DE ． ∴BD 2＝AD ·DE ＝2OG ·DE ＝6(2－2)． ······································ 8分 又BD ＝FD ，∴BF ＝2BD ．∴BF 2＝4BD 2＝24(2－2)．……………………………………①． ······· 9分 设AC ＝x ，则BC ＝x ，AB ＝2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠F AD ＝∠BAD ． 在Rt △ABD 和Rt △AFD 中∵∠ADB ＝∠ADF ＝90°，AD ＝AD ，∠F AD ＝∠BAD ∴Rt △ABD ≌Rt △AFD ．（ASA ） ∴AF ＝AB ＝2x ，BD ＝FD ．∴CF ＝AF －AC ＝2x －x ＝(2－1)x ． 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得BF 2＝BC 2＋CF 2＝x2＋[(2－1)x ]2＝2(2－2)x2．…………②． ······ 10分由①、②，得2(2－2)x2＝24(2－2)．∴x2＝12，∴x ＝32或32－（舍去）．∴AB ＝2x ＝2·32＝62．∴⊙O 的半径长为6． ····························································· 11分 ∴S ⊙O ＝π·(6)2＝6π． ·························································· 12分3．（安徽省B 卷）已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）．ACBF D E HO G（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．3．解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧2 0 391 2－－－－＋＝＝＝c c b a a b································································· 2分解得a ＝32，b ＝34，c ＝－2．∴这条抛物线的函数表达式为y ＝32x2＋34x －2 ·································· 4分（2）如图，连结AC 、B C ．由于BC 的长度一定，要使△PBC 的周长最小，必须使PB ＋PC 最小． 点B 关于对称轴的对称点是点A ，AC 与对称轴x ＝－1的交点即为所求的点P ． 设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧203－－＋ ＝＝b b k ················································· 6分 解得k ＝－32，b ＝－2． ∴直线AC 的表达式为y ＝－32x －2 ······························把x ＝－1代入上式，得y ＝－32×(－1)－2＝－34． ∴点P 的坐标为（－1，－34） ························································· 8分 （3）S 存在最大值，理由如下：∵DE ∥PC ，即DE ∥AC ，∴△OED ∽△OAC ．∴OD OE ＝OC OA ，即m OE －2＝23，∴OE ＝3－23m ，∴AE ＝23m ．方法一： 连结OPS ＝S △POE ＋S △POD －S △OED＝21×(3－23m )×34＋21×(2－m )×1－21×(3－23m )×(2－m ) ＝－43m2＋23m ········································································· 10分 ∵－43＜0，∴S 存在最大值． ······················································· 11分 ∵S ＝－43m2＋23m ＝－43(m －1)2＋43 ∴当m ＝1时，S 最大＝43． ··························································· 12分 方法二：S ＝S △OAC－S △OED－S △P AE－S △PCD＝21×3×2－21×(3－23m )×(2－m )－21×23m ×34－21×m ×1 ＝－43m2＋23m ········································································· 10分 以下同方法一．4．（安徽省芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧上一点，过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）若BD ＝4，P A ＝23AO ，过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C4．解：（1）证明：连接OM ··································· 1分∵MP 是⊙O 的切线，∴OM ⊥MP ∴∠OMD ＋∠DMP ＝90°∵OA ⊥OB ，∴∠OND ＋∠ODM ＝90° 又∵∠MNP ＝∠OND ，∠ODM ＝∠OMD ∴∠DMP ＝∠MNP ，∴PM ＝PN ··············· 4分 （2）解：设BC 交OM 于点E ，∵BD ＝4，∴OA ＝OB ＝21BD ＝2 ∴P A ＝23AO ＝3，∴PO ＝5 ································································· 5分 ∵BC ∥MP ，OM ⊥MP ，∴OM ⊥BC ，∴BE ＝21BC ··································· 7分 ∵∠BOM ＋∠MOP ＝90°，在Rt △OMP 中，∠MPO ＋∠MOP ＝90° ∴∠BOM ＝∠MPO ，又∵∠BEO ＝∠OMP ＝90° ∴△OMP ∽△BEO ，∴OP OM ＝BOBE······················································· 10分得：52＝2BE ，∴BE ＝54，∴BC ＝58··················································· 12分 5．（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．5．解：（1）由于折痕所在直线EF 过E （－3，1）、F （－334，0） ∴tan ∠EFO ＝3，直线EF 的倾斜角为60° ∴直线EF 的解析式为：y －＝tan60°[x －(－3)]化简得：y ＝3x ＋4． ············································································ 3分 （2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为B ′（x 1，y 1），C ′（x 2，y 2） 过B ′作B ′A ′⊥AE 交AE 所在直线于A ′点∵B ′E ＝BE ＝32，∠B ′EF ＝∠BEF ＝60° ∴∠B ′EA ′＝60°，∴A ′E ＝3，B ′A ′＝3∴A 与A ′重合，B ′在y 轴上，∴x 1＝0，y 1＝－2，即B ′（0，－2）【此时需说明B ′（x 1，y 1）在y 轴上】 ························································ 6分 设二次函数的解析式为：y ＝ax2＋bx ＋c∵抛物线经过B （－33，1）、E （－3，1）、B ′（0，－2）∴⎩⎨⎧27a －33b ＋c ＝13a －3b ＋c ＝1c ＝－2解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧233431－－－ ＝＝＝c b a∴该二次函数解析式为：y ＝－31x2－334x －2 ·············································· 9分 （3）能，可以在直线EF 上找到P 点，连接B ′C 交EF 于P 点，再连接BP 由于B ′P ＝BP ，此时点P 与C 、B ′在一条直线上，故BP ＋PC ＝B ′P ＋PC 的和最小由于为BC 定长所以满足△PBC 周长最小． ················································ 10分 设直线B ′C 的解析式为：y ＝kx ＋b 则⎪⎩⎪⎨⎧b k b ＋＝＝－－3302 解得⎪⎩⎪⎨⎧2932－－＝＝b k ∴直线B ′C 的解析式为：y ＝－932x －2 ········································· 12分又∵点P 为直线B ′C 与直线EF 的交点∴⎪⎩⎪⎨⎧43 2932＋＝＝－－x x y y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1110 31118－－＝＝y x ∴点P 的坐标为（－31118，－1110） ························································· 14分 6．（安徽省合肥一中自主招生）已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N 两地同时出发相向而行，其中甲到达N 地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象．（1）试求线段AB 所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29h ，求乙车的速度； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．6．解：（1）设线段AB 所对应的函数关系式为y ＝kx ＋b把（3，300），（427，0）代入得⎩⎪⎨⎪⎧300＝3k ＋b 0＝427k ＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－80b ＝540yh 图1y h图2∴线段AB 所对应的函数关系式为y 甲＝－80x ＋540 ···························· 5分 自变量x 的取值范围是3＜x ≤427（或3≤x ≤427，下同） ··················· 7分 （2）∵x ＝29在3＜x ≤427中，∴把x ＝29代入y 甲＝－80x ＋540中得y 甲＝180 ∴乙车的速度为29180＝40（km/h ） ·················································· 12分 （3）由题意知有两次相遇方法一：①当0≤x ≤3时，100x ＋40x ＝300，解得：x ＝715 ····························· 16分 ②当3＜x ≤427时，(540－80x )＋40x ＝300，解得：x ＝6 ···················· 20分 综上所述，当它们行驶了715小时或6小时时，两车相遇 方法二：设经过x 1小时两车首次相遇 则40x 1＋100x 1＝300，解得：x 1＝715··············································· 16分 设经过x 2小时两车第二次相遇则80(x 2－3)＝40x 2，解得：x 2＝6 ·················································· 20分7．（安徽省合肥一中自主招生）如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”． （1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； （3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．7．解：（1）图略，作线段AC 的中垂线BD 即可 ················································· 2分 （2）不能如图1，若直线CD 平分△ABC 的面积 那么S △ADC＝S △DBC∴21AD ·CE ＝21BD ·CE ∴AD ＝BD ····································· 5分A BC图1DEA B C 图2 A B C 图1∵AC ≠BC ，∴AD ＋AC ≠BD ＋BC∴过点C 不能画出一条“等分积周线” ············································ 7分 （3）①若直线经过顶点，则AC 边上的中垂线即为所求线段 ························ 8分②若直线不过顶点，可分以下三种情况： （a ）直线与BC 、AC 分别交于E 、F ，如图2所示过点E 作EH ⊥AC 于点H ，过点B 作BG ⊥AC 于点G 易求得BG ＝4，AG ＝CG ＝3 设CF ＝x ，则CE ＝8－x 由△CEH ∽△CBG ，可得EH ＝54(8－x ) 根据面积相等，可得21·x ·54(8－x )＝6 ················ 10分 ∴x ＝3（舍去，即为①）或x ＝5∴CF ＝5，CE ＝3，直线EF 即为所求直线 ······································ 12分 （b ）直线与AB 、AC 分别交于M 、N ，如图3所示由（a ）可得AM ＝3，AN ＝5，直线MN 即为所求直线 （仿照上面给分） ·············································· 15分 （c ）直线与AB 、BC 分别交于P 、Q ，如图4所示过点A 作AY ⊥BC 于点Y ，过点P 作PX ⊥BC 于点X由面积法可得AY ＝524设BP ＝x ，则BQ ＝8－x 由相似，可得PX ＝2524x据面积相等，可得21·2524x ·(8－x )＝6 ·················· 17分 ∴x ＝2148+＞5（舍去）或x ＝2148- 而当BP ＝2148-时，BQ ＝2148+＞5，舍去∴此种情况不存在 ····································································· 19分 综上所述，符合条件的直线共有三条 ············································· 20分 （注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）8．（安徽省合肥一中自主招生）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时，求t 的值；②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．A BC图2E FG HABC图3 MNAB C图4PQ X Y（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．8．解：（1）①如图1，当PQ ∥AB 时，有AC PC＝CBCQ ·············· 2分 即3433t＝4t ，解得：t ＝2 ∴当t ＝2秒时，PQ ∥AB ································ 5分 ②解法1：如图2，当t ＝2秒时，PQ ∥AB ，此时PQ 为△ACB 的中位线，PQ ＝25······························· 6分取PQ 的中点M ，则以PQ 为直径的圆的圆心为M ， 半径为21PQ ················································ 8分 过点M 、C 向AB 作垂线，垂足分别为N 、H 则CH ＝512，MN ＝21CH ＝56·························· 10分 ∵MN ＜21PQ ，∴直线AB 与以PQ 为直径的圆相交 ··············································· 12分解法2：如图3，当t ＝2秒时，PQ ∥AB ，此时PQ 为 △ACB 的中位线，取PQ 的中点M ，分别过点M 、C 向 AB 作垂线，垂足分别为N 、H ，CH 交PQ 于点G ，连接CM∵MN ＝21CH ，即MN ＝GH ＝CG在Rt △CGM 中，GC ＜MC ，∴MN ＜MC∴直线AB 与以PQ 为直径的圆相交 ················ 12分 解法3：如图4，当t ＝2秒时，PQ ∥AB ，此时PQ 为△ACB 的中位线，过点Q 向AB 作垂线，垂足为N ， 则Rt △BNQ ∽Rt △BCA ，∴AB BQ ＝AC NQ ，即52＝3NQ ， ∴NQ ＝56AC BPQ 图1AC B PQ 图3M HNACBPQ 图4MNAC BPQ 图2 M HNA CB PAC B 备用图由平行线间的距离处处相等可知，点M 到AB 的距离为56，小于21PQ ∴直线AB 与以PQ 为直径的圆相交 ·············································· 12分 （2）解法1：如图5，取PQ 的中点M ，作MN ⊥AB 、PG ⊥AB 、QH ⊥AB ，垂足分别为N 、G 、H则由Rt △APG ∽Rt △ABC ，得PG ＝54t ············ 14分 由Rt △BHQ ∽Rt △BCA ，得HQ ＝53(4－t) ········· 16分 此时MN 是梯形PGHQ 的中位线，∴MN ＝56＋10t ··············································· 20分当PQ 2＝4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3－t)2＋t2＝4(56＋10t)2···························· 26分解得：t 1＝3，t 2＝4927 ··································································· 30分 解法2：如图6，取PQ 的中点M ，作MH ⊥AB 、MG ⊥AC 、MN ⊥BC ，垂足分别为H 、G 、N 连接AM 、BM 、CM由S △ABC＝S △ACM＋S △BCM ＋S △ABM 可得：21×3×2t ＋21×4×21(3－t)＋21×5×MH ＝21×3×4 解得：MH ＝56＋10t当PQ 2＝4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3－t)2＋t2＝4(56＋10t)2···························· 26分解得：t 1＝3，t 2＝4927 ····································· 30分 解法3：如图7，取PQ 的中点M ，作MH ⊥AB 、MN ⊥BC ，垂足分别为H 、N ，延长NM 交AB 于点G ，则MN ＝21PC ＝21(3－t)，NQ ＝21CQ ＝2t ，∴NB ＝4－2t 由Rt △BGN ∽Rt △BAC ，得GN ＝3－83t ，∴GM ＝3－83t －21(3－t)＝23＋81t又∵Rt △GMH ∽Rt △ABC ，∴BC MH ＝AB GM ，即4MH ＝58123t解得：MH ＝56＋10t当PQ 2＝4MN 2时，以PQ 为直径的圆与直线AB 相切即(3－t)2＋t2＝4(56＋10t)2···························· 26分解得：t 1＝3，t 2＝4927 ····································· 30分B图7图5图69．（安徽省蚌埠二中自主招生）青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。