抽象函数问题解法
抽象函数定义域三种题型及解法
抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}． 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。
抽象函数问题求解的常用方法
抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。
2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。
在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。
3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。
4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。
需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。
因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。
关于抽象函数问题的解法
抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
三类抽象函数问题的解法分析
解题宝典由于抽象函数没有具体的函数解析式，所以抽象函数问题一般具有较强的抽象性，解题时往往要仔细研究已知关系式和函数的性质，才能找到解题的突破口.下面结合实例，谈一谈三类抽象函数的解法.一、判断抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性主要是利用函数单调性的定义.可首先设x 1＞x 2，并将其代入已知关系式中，构造出f ()x 1-f ()x 2、f ()x 1f ()x 2，并确定f ()x 1-f ()x 2与0、f ()x 1f ()x 2与1之间的大小关系，以便根据函数单调性的定义判断出抽象函数的单调性.一般地，若f ()x 1>f ()x 2，则函数单调递增；若f ()x 1<f ()x 2，则函数单调递减.对于复合函数，需遵从“同增异减”原则进行判断.例1.已知f (x )的定义域为R ,f ()x +y +1=f ()x +f (y ),f æèöø12=0.当x >12时，f (x )<0.试判断f (x )的单调性.解：设x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，可得x 2-x 1>0，∴x 2-x 1+12>12，∴f (x 2-x 1+12)<0.f ()x 2-f ()x 1=f ()x 2-x 1-1=f ()x 2-x 1+f æèöø12-1=f (x 2-x 1+12)<0，∴f ()x 2<f ()x 1,即函数f (x )在R 上为减函数.解答本题主要运用了函数单调性的定义，设出x 1<x 2，并根据已知关系式判断出f ()x 2、f ()x 1的大小关系即可判断出函数的单调性.二、比较抽象函数值的大小由于抽象函数没有具体的解析式，因此要比较抽象函数值的大小，需灵活运用函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性.解题时，需先根据已知条件和关系式，将需要比较的函数值转化为类似于f ()x 0的形式，然后根据奇偶性、周期性、对称性将所要比较的函数值进行代换，使其自变量在同一个单调区间内，再根据函数的单调性来比较两个函数值的大小.例2.已知偶函数f ()x 在[]2,4上单调递减，请比较f æèçöø÷log 128与f æèçöø÷3log 3π2的大小.分析：先化简x 1=log 128、x 2=3log 3π2，然后根据函数f ()x 是偶函数，将x 1、x 2转化到已知区间[]2,4上，再根据函数的单调性进行比较.解：log 128=-3，3log3π2π24，∵f ()x 是偶函数，∴f ()x =f ()-x ，∴f ()3=f ()-3，∵3>π24，且在区间[]2,4上函数f ()x 单调递减，∴f ()3<f æèçöø÷π24，∴f æèçöø÷log 128<f æèçöø÷33π2.三、解抽象函数不等式抽象函数不等式问题具有较强的综合性.解答此类问题的关键是根据函数的性质和已知关系式将函数符号“f ”去掉，将抽象函数不等式转化为常规不等式来求解.在去掉函数符号“f ”的过程中，要灵活运用函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性.例3.已知f ()x 在()0,+∞上单调递增，解不等式f ()x >f (8(x -2)).解：根据题意可知，f ()x 在()0,+∞上单调递增，可得ìíîïïx >0，8()x -2>0，x >8()x -2，解得2<x <167，故不等式f ()x >f (8(x -2))的解集为{}x |2<x <167.在解答本题时，需将f ()x 、f (8(x -2))的自变量置于定义域内，然后根据函数的单调性去掉函数符号“f ”，从而得到不等式组,解该不等式组即可求得不等式的解.虽然抽象函数问题看起来比较难，但是我们只要根据已知关系式、已知条件以及单调性、周期性、奇偶性的定义明确函数性质，再通过转化、等量代换便能轻松求得问题的答案.（作者单位：41。
如何解答抽象函数问题
解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。
关于抽象函数有关问题的解法
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证明 ： ｘ Ｏ则 已知等式变为 ｆ ）ｆ ｙ ２（ ｆ） 令 ＝， （＋（ ） ｆ ）ｙ ｙ 一 ＝ ０ （……①
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’
．
在① 中令 ｙ ０ ２（） ２（ ＝ 则 ｆ －ｆ） Ｏ ｏ
学生数学思维素质。现将常见解 法及意义总结如下 ：
一
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．
ｘ＋ （ ） 三 ￣ｆ ｘ－ （ｘ＝一二 ： ……② ）ｇ一 ：二： ｘ （ ）ｇ ） － － ｔ Ｉ
显
＋ ②即可消去 ｇ ） （， ｘ 求出函数 ｆ ） （＝ ｘ
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例 ６ 设 ｘ的定义域为 自然数集 ， 满足条件 ｆ ＋ ） ｘ＋ ＋ ： ） 且 （ １ ） ｘ （
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， ） ・ｘ
２ １ 一 ＜１ ０＜ ＜１ —ｔ １ ｊ
抽象函数的常见解法
抽象函数的常见解法抽象函数的常见解法2019年3月抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数. 这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。
因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。
下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点, 从而使问题得以解决。
这类问题经常出现, 要认真理解其解题的要领和方法。
例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y 恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。
分析:当令y=1时, 可得f(x＋1)=f(x)＋x ＋1, 这相似于数列中的递推关系, 再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。
解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +nn(n+1)各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = 2∴ f(x) = x(x+1) 2例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x ∈R,y ∈R, 且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。
分析: 当令 x=y=0时, 可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。
证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)1求证：当x > 0时, f( ) = －f(x) x1分析:当令x=y=1时, 可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x· )可求得。
抽象函数问题有关解法
抽象函数问题有关解法（7）一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
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抽象函数问题解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。
这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。
本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。
一、利用函数性质的解题思想
函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。
1.利用对称性，数形结合
例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。
又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。
2. 利用奇偶性分析函数特征
例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。
策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。
3. 利用单调性等价转化
例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。
分析：根据x的任意性，判断函数的周期。
略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。
∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是以6为周期的周期函数，
∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。
注：对这一类抽象函数求值问题，利用周期性研究其特征求解。
二、研究抽象函数的背景，利用具体模型函数求解
大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得的，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，进行分析、类比，确定具体的函数模型，据此求解。
例5：已知函数f（x）对任意实数x、y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
简析：由题设可知，可确定函数y=kx，（k≠0）为模型函数。
解：设x1０，∵当x>0时，f（x）>0，∴f（x2－x１）>0，
∵f（x2）＝f［（x2－x１）＋x１）］＝f（x2－x１）＋f（x１），
∴f（x2）－f（x１）＝f（x2－x１）>0，即f（x2）>f（x１），∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则f（0）=f（x）+f（－x），再令x＝y ＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f （x）为奇函数，
∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。
例6：设函数y=f（x）定义在r上，对于任意实数x、y，有f （x＋y）＝f（x）f（y），且当x>0时，01；②求证：f（x）在r
上递减。
简析：由题设可猜测f（x）的解析式，可确定指数函数y=ax为模型函数，从而猜想f（0）＝1，且f（x）＞0。
当x>0时，0证明：①f（0）=f（0+0）=f（0），得f（0）=1或0。
有f（1）=f（1+0）=f（1）·f（0）>0，∴f（0）≠0，∴f（0）=1。
f（0）=f（x－x）＝f（x）·f（-x），∴f（-x）=1/f（x）。
当x>0时，-x0时，01，∴当x1。
②从已知和以上证明得f（x）＞0，
设x10，∵当x>0时，0f（x2-x1）>０，
0 f（x2），
∴ f（x）在r上递减。
三、利用特殊化的方法求解
利用一些特殊化数学思想求解，有时会收到事半功倍的效果。
例7：已知定义域为(0，+∞)的函数f（x），对于任意的x>0、y>0时，恒有f（xy）=f（x）+f（y）。
(1)求证：当x>0时，f（）=-f（x）；
(2)若x>1时，恒有f（x）0时，f（）=-f（x）。
(2)设x1>0、x2>0，且x11，∴f（）<0，
在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=x2，y=，
∴f（x2·）=f（x2）+f（），由(1)得，f（）=f（x１），
∴f（）=f（x2）-f（x１） <0，∴f（x2）<f（x1），
∴f（x）在(0，+∞)上单调递减，故f（x）必有反函数。
注：根据题设条件挖掘函数性质，合理赋值，可使这类抽象函数问题迅速获解。
分析题设条件，推断函数的性质和特征，综合运用几种方法，获得解题思路，解决抽象函数问题。
通过对抽象型函数问题的解题思想的探求，可以提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生数学思维的水平，培养学生的创新能力。
【责编郭晓莉】。