数列的概念经典试题(含答案) 百度文库

一、数列的概念选择题

1．若数列的前4项分别是

1111,,,2345

--，则此数列的一个通项公式为（） A ．1(1)n n --

B ．(1)n n -

C ．1

(1)1

n n +-+

D ．(1)1

n n -+

2．已知数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（） A ．1007

B ．1008

C ．1009.5

D ．1010

3．已知数列{}n a 满足12a =，11

1n n

a a +=-，则2018a =（）. A ．2

B ．

12 C ．1-

D ．12

4．在数列{}n a 中，10a =

，1n a +，则2020a =（） A ．0

B ．1

．D

5．已知数列2233331131357135

1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n

，则该数列第2019项是（） A ．

1019892 B ．

2019

2 C ．

1989

2 D ．

2019

2 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（）

A ．2n a n =

B ．3,1

2,2n n a n n =?=?

≥?

C ．21n a n =+

D ．3n a n =

7．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n

n n a a n +=+?，则15a =（）

A ．151422?+

B ．141322?+

C ．151423?+

D ．151323?+

8．数列23451,,,,,3579

的一个通项公式n a 是（） A ．

21n

n + B ．

n + C ．

n - D ．

n - 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（）

A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.

B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.

C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥. 10．在数列{}n a 中，()11

11,1(2)n

n n a a n a --==+

≥，则5a 等于

A ．

B ．

53 C ．85

D ．

11．下列命题中错误的是（） A ．()(

)21f n n n N

=-∈是数列的一个通项公式

B ．数列通项公式是一个函数关系式

C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示

D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列

12．在数列{}n a 中，114a =-，1

11(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（） A ．

B ．14

C ．5

D ．以上都不对

13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1

n S n N n =∈，，则2a =（） A ．12

B ．16

C ．

D ．

14．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（） A ．45

B ．46

C ．47

D ．48

15．在数列{}n a 中，2

n n a n +=+，则{}n a （） A ．是常数列

B ．不是单调数列

C ．是递增数列

D ．是递减数列

16．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（）． A ．648

B ．722

C ．800

D ．882

17．已知数列{}n a 满足2122

1,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（） A ．92

B ．102

C ．

D ．112

18．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(

3n n N

≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，

若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

19．在数列{}n a 中，11

(1)1,2(2)n

n n a a n a --==+≥，则3a =（） A ．0

B ．

C ．

D ．3

20．数列{}n a 满足11

1n n

a a +=-，12a =，则2a 的值为（） A ．1

B ．-1

C ．

D ．13

二、多选题

21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

+= D ．222

2123202020202021a a a a a a ++++=

22．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

23．已知数列{}n a 满足()

*11

1n n

a n N a +=-∈，且12a =，则（） A ．31a =- B ．201912

a =

C ．332

S =

D ． 2 0192019

S =

24．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +??

-=+ ???

，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式

()22212n

a t a t a a n

<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4 B ．－2

C ．0

D ．2

25．若不等式1(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2

26．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的

数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =

C ．135********a a a a a +++

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 27．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（）

A ．数列{}n a 的公差d <0

B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10

C ．S 10>0

D ．S 11>0

28．(多选)在数列{}n a 中，若2

1(2,,n n a a p n n N p *

--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．

(){}1n

- 是等方差数列

C ．{}2

是等方差数列.

D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 29．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）

A ．1d =-

B ．413a a =

C ．n S 的最大值为8S

D ．使得0n S >的最大整数15n = 30．定义11222n n

n a a a H n

-++

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

31．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d <

C ．80a =

D ．n S 的最大值是8

S 或者9S

32．数列{}n a 满足11,121

n n a a a a +=

=+，则下列说法正确的是（）

A ．数列1n a ??

???

是等差数列 B ．数列1n a ???

???

的前n 项和2

n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列

33．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a >

B ．数列1n a ??

????

是递增数列

C ．0n S <时，n 的最小值为13

D ．数列n n S a ??

????

中最小项为第7项

34．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{

a n

是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列

35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <

D ．613S S =

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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式. 【详解】

设所求数列为{}n a ，可得出()11

111

+-=

+，()21

121

+-=

+，()31

131

+-=

+，()41

141

+-=

+，

因此，该数列的一个通项公式为()1

n n

a n +-=

故选：C. 【点睛】

本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.

2．D

解析：D 【分析】

根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且313

2122

S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】

由题意，数列{}n a 满足: 12a =，11

1n n

a a +=-，可得23411

1,121,1(1)2,22

a a a =-

==-=-=--=，

可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122

S =+-= 所以20173

672210102

S =?+=. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

3．B

解析：B 【分析】

利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】在数列{}n a 中，

1n n

a a +=-，且12a =， 211112

a a ∴=-

=， 32

1121a a =-=-=- ， ()413

1112a a a =-

=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，

201867232=?+，

201821

a a ∴==.

故选：B 【点睛】

本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.

4．A

解析：A 【分析】

写出数列的前几项，找寻规律，求出数列的周期，问题即可解. 【详解】

10a =

，1n a +1n =

时，2a 2n =

时，3a 3n =

时，4a ； ∴ 数列{}n a 的周期是3

20206733110a a a ?+∴===

故选：A. 【点睛】

本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时，周期数列的解题方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和.

5．C

解析：C 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号

里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????

? ??? ?????????

，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，

故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为

2m -，

所以第12个括号里的第995项是11

1989

2. 故选：C. 【点睛】

本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.

6．B

解析：B 【分析】

根据11,1

,2n n

S n a S S n -=?=?-≥?计算可得；

【详解】

解：因为2

1n S n n =++①，

当1n =时，2

11113S =++=，即13a =

当2n ≥时，()()2

1111n S n n -=-+-+②，

①减②得，()()2

11112n n n n n n a ??++--+-+=?

所以3,1

2,2n n a n n =?=?≥?

故选：B 【点睛】

本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.

7．D

解析：D 【分析】

在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减

法求15a . 【详解】

12n n n a a n +=+?， 12n n n a a n +-=?，

12112a a ∴-=?， 23222a a -=?，

34332a a -=?

11(1)2n n n a a n ---=-?，

以上1n -个等式，累加得123

11122232(1)2n n a a n --=?+?+?++-?①

又

2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=?+?+?++-?+-?②

①- ②得23

112222(1)2n n n a a n --=++++--?

12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--?=-?--，

(2)23n n a n ∴=-?+ ，

151515(152)231323a ∴=-?+=?+，

故选：D 【点睛】

本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.

8．D

解析：D 【分析】

根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】

由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为21

n n

a n =-. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.

9．A

解析：A 【分析】

运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】

数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，

121n n n n a a a a +++∴≥--，

设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，

∴数列{}n d 是递减数列.

对于A ，由11a =，20192019a =，则201911220182019a a d d d =+++=，

所以1220182018d d d ++

+=，又1232018d d d d ≥≥≥

≥，

所以1122018201820182018d d d d d ≥++

+≥，

故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，

02019N ?=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++

≤++++=

即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；

结合A ，故B 不正确；

对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列，则n a 无最大值，故C 不正确；

对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确；故选：A 【点睛】

本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.

10．D

解析：D 【解析】

分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．详解：已知1a 逐一求解234512

2323

a a a a ==

==，，，．故选D 点睛：对于含有()1n

-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．

11．C

解析：C 【分析】

根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】

数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，

故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，

它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，

至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的；根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C.

本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.

12．A

解析：A 【分析】

根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值【详解】

由114

a =-，111(1)n n a n a -=->知 211

15a a =-= 321415

a a =-

= 41311

a a a =-

=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴201934

a a == 故选：A 【点睛】

本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题

13．A

解析：A 【分析】

令1n =得11a =，令2n =得2121

S a a =+=可解得2a . 【详解】因为1n S n =

，所以111

a S ===，因为21212S a a =+=，所以211

122

a =-=-. 故选：A

14．C

解析：C 【分析】

利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解

当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C

15．D

解析：D 【分析】

由21

111

n n a n n +=

=+++，利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】

在数列{}n a 中，21

111

n n a n n +=

=+++，由反比例函数的性质得：{}n a 是*n N ∈时单调递减数列，故选：D

16．C

解析：C 【分析】

由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：2

22n a n =，即可得

出．【详解】

由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：2

22n a n =．

则此数列第40项为2220800?=．故选：C

17．B

解析：B 【分析】

本题先根据递推公式进行转化得到21

112n n n n a a a a +++=．然后令1n n n

a b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322n

n n a a +??

= ???

．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列{}n a 的最大项．【详解】

解：由题意，可知： 21

112n n n n

a a a a +++=．

令1n n n a b a +=，则11

n n b b +=． 2

16a b a =

=， ∴数列{}n b 是以16为首项，

为公比的等比数列． 1

11163222n n

n b -??

∴== ?

???

．

∴11322n

n n a a +??

= ???

． ∴1

211322a

a ??

= ???

， 2

21322a a ??

= ???

，

11322n n n a a --??

= ???

．

各项相乘，可得： 1

111(32)222n n n

a a --??????=? ? ? ???????

．

(1)

511()22n n n --??

= ?

?? 2115(1)

1122n n n ---????= ? ?????

211

5522

12n n n --+??= ???

1(1110)2

12n n -+??= ???

．

令2()1110f n n n =-+，

则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-?+=-，()2661161020f =-?+=-，

()f n ∴的最小值为20-． ∴2

(1110)(20)10

101112222n n -+?--??

????=== ? ? ???

．

∴数列{}n a 的最大项为102．

故选：B ．【点睛】

本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；

18．A

解析：A 【分析】

根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】

由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……

则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故选：A

19．B

解析：B 【分析】

由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ．【详解】

11a =，21123a a ∴=+

=，321523

a a -=+= 故选：B

20．B

解析：B 【分析】

根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】因为11

1n n a a +=-，12a =，所以21111112

a a =

==---，故选：B. 【点睛】

本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.

二、多选题 21．BCD 【分析】

根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适

当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】

对A ，，，故A 不正确；对B ，，故B 正确；对C ，由，，

解析：BCD 【分析】

根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】

对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得

135********a a a a a +++???+=，故C 正确；

对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2

121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222

123202*********a a a a a a +++???+=，故D 正确．

故选：BCD 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.

22．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，，，，故A 正确；

对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加

解析：AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解.

【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++，所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.

23．ACD 【分析】

先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】

由题意，，A 正确，，C 正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B 错；，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本

解析：ACD 【分析】

先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】

由题意211122a =-=，31

1112a =-=-，A 正确，313

2122

S =+-=，C 正确；

121

a =-

=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ?===-，B 错；

201932019

67322

S =?=，D 正确．

故选：ACD ．【点睛】

本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的

性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．

24．AB 【分析】

由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，，则，，，，

上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立

解析：AB 【分析】由题意可得

111

11n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n

=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为

()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.

【详解】

111

n n n a a n n

++-

=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，

则

11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111

122

a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，1

22n a n n

∴=-<，

()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，

整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立，

对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42??

-????

，包含[]1,2，故A 正确；

对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22??-????

，包含[]1,2，故B 正确；

对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02??-????

，不包含[]1,2，故C 错误；

对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2

??-???

，不包含[]1,2，故D 错误，

故选：AB. 【点睛】

本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，

考查了转化与划归的思想，属于中档题.

25．ABC 【分析】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：恒成立，由递减

解析：ABC 【分析】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n

-<恒成立，当n 为偶数时有1

2a n

<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：1

2+a n

-<恒成立，

由12+

n 递减，且1

223n

<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：1

2a n

<-恒成立，由12n -

第增，且31

222n ≤-<，所以3

a <

，综上可得：322

a -≤<，故选：ABC . 【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.

26．ABD 【分析】

根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确.

【详解】

依题意可知，，，，，，，，故正确；，所以，故正确；由，，，，，，可得，故不

解析：ABD 【分析】

根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，

342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正

确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，

244534534()a a a a a a a a =-=-，，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

累加可知D 正确. 【详解】

依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，

312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以

712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；

由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，

可得

13572019a a a a a ++++

+=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，

故C 不正确；

2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，2

33423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，

，2

20192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，

所以

2222

12342019

a a a a a ++++

+122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，

所以

222

122019

20202019

a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.

27．AC 【分析】

由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案【详解】

解：因为，所以，且，

所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误，所以，，

所以C 正确，D 错误，故选：AC

解析：AC 【分析】

由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】

解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，

所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()

5()02a a S a a +=

=+>，11111611()1102

a a S a +==<，所以C 正确，D 错误，故选：AC

28．BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故

解析：BD 【分析】

根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】

对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222

(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故

{}n

a 不是等方差数列，故A 错误；

对于B ，数列

(){}1n

-中，222121[(1)][(1)

]0n n n n a

a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；

对于C ，数列{}2n 中，()()2

2211

2234n n n n n a a ----=-=?不是常数，{}2n ∴不是等方差数列，故C 错误；

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

(完整版)数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．

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精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ．（Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ；（3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5：已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；

等差数列经典试题(含答案) 百度文库

一、等差数列选择题 1．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（） A ．103 B ．107 C ．109 D ．105 2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21 2 ，则该数列的项数是（） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 7．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 8．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺 A ． 4 7 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（） A ．9 B ．12 C ．15 D ．18 11．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ?∈都有333 122n n n a a a ++=+，则10a 等于

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一、数列的概念选择题 1．若数列的前4项分别是 1111,,,2345 --，则此数列的一个通项公式为（） A ．1(1)n n -- B ．(1)n n - C ．1 (1)1 n n +-+ D ．(1)1 n n -+ 2．已知数列{}n a 满足: 12a =，11 1n n a a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（） A ．1007 B ．1008 C ．1009.5 D ．1010 3．已知数列{}n a 满足12a =，11 1n n a a +=-，则2018a =（）. A ．2 B ． 12 C ．1- D ．12 - 4．在数列{}n a 中，10a = ，1n a +，则2020a =（） A ．0 B ．1 C ．D 5．已知数列2233331131357135 1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ，则该数列第2019项是（） A ． 1019892 B ． 10 2019 2 C ． 11 1989 2 D ． 11 2019 2 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（） A ．2n a n = B ．3,1 2,2n n a n n =?=? ≥? C ．21n a n =+ D ．3n a n = 7．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12n n n a a n +=+?，则15a =（） A ．151422?+ B ．141322?+ C ．151423?+ D ．151323?+ 8．数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n - 9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（） A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤. B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥. C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.

数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将，代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题

4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____．考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵．考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.

统计概率与数列结合经典考题

1.1统计概率与数列结合 1.（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i (i =0,1, ,8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p 0=0，p 8=1，p i =ap i -1+bp i +cp i +1(i =1,2, ,7)，其中a =P (X =-1)，b =P (X =0)，c =P (X =1)．假设α=0.5，β=0.8． (i)证明：{p i +1-p i }(i =0,1,2, ,7)为等比数列； (ii)求p 4，并根据p 4的值解释这种试验方案的合理性．解：X 的所有可能取值为-1,0,1. P (X =-1)=(1-α)β，P (X =0)=αβ+(1-α)(1-β)，P (X =1)=α(1-β)，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===. 因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-. 因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为公比为4，首项为1p 的等比数列．

数列经典试题(含答案)

第二章数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9

数列经典例题集锦

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=. （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++ ++=，所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

高中数列经典习题(含答案)

1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和31= n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证 111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根,当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比. 9、有两个各项都是正数的数列{n a },{n b }.如果a 1=1,b 1=2,a 2=3.且n a ,n b ,1+n a 成等差数列,

数列经典必做题

数列试题高中文数 1. 执行如图所示的程序框图，输出的值为() （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“﹕”） A．225B．196C．169D．144 2. 公差不为0的等差数列{}的前21项的和等于前8项的和．若，则k＝() A．20B．21C．22D．23 3. 等差数列中, 则的值为() A. B. C. 21 D. 27 4. 已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则（） A.2 B.3 C.5 D. 7 6.已知函数，且，则 () A. B.0 C.100 D.10200 7.在递增等比数列中，，则公比＝ A．-1B．1C．2D．

8.计算（） A. B. C. D. 9.已知等差数列中，，则的值是（） A.6 B.18 C.26 D.54 10.设等差数列的前项和为、是方程的两个根，则等于（） A. B.5 C. D.-5 11.已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则=（） A． B. C. D. 12.函数的图像与x轴的交点的横坐标构成一个公差为（） 13.在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则a2＝（）（A）－4（B）－6（C）－8（D）－10 14.已知集合，其中，集合，则集合中的元素至多有（） A.210 B.200 C.190 D.180 16.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则=（）

17.设等差数列的前n项和为，若、是方程的两个根，则的值为（）A．B．5C．D． 18.已知{a n}是等差数列, a4=15, S5=55, 则过点P(3, a3) , Q(4, a4) 的直线的斜率为() A. 4 B. C. -4 D. -14 19.在等差数列{a n}中, 前n项的和为S n, 若2a8=6+a11, 则S9=() A. 27 B. 36 C. 45 D. 54 20.已知等差数列1, a, b, 等比数列3, a+2, b+5, 则该等差数列的公差为() A. 3或-3 B. 3或-1 C. 3 D. -3 21.已知数列{a n}, 若点(n, a n) (n∈N*) 在经过点(8, 4) 的定直线l上, 则数列{a n}的前15项和S15=() A. 12 B. 32 C. 60 D. 120 22.已知等差数列{a n}的公差为-3, 若其前13项和S13=156, 则a2+a6+a10=() A. 36 B. 39 C. 42 D. 45 23.在等差数列{a n}中, 设S n为其前n项和, 已知=, 则等于() A. B. C. D. 24在等差数列{a n}中, 已知a4+a8=16, 则a2+a10=() A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 25.设等差数列{a n}的公差d不为0, a1=9d. 若a k是a1与a2k的等比中项, 则k=() A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 26.设等差数列{a n}的前n项为S n, 若S3=9, S6=36, 则a7+a8+a9=() A. 63 B. 45 C. 36 D. 27

高一数学数列部分经典习题及答案

.数列一．数列的概念：（1）已知* 2 ()156n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125 ）；（2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 (1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：8 33 d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2 n n n S na d -=+ 。（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+ ≥∈，32n a =，前n 项和15 2 n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2* 2* 12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. （1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ （答： 27）（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则 A 、1210,S S S 都小于0，1112 ,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021 ,S S 都大于0 C 、125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122 ,S S 都大于0 （答：B ）

等差数列经典试题(含答案)doc

一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ． 825 两 B ． 845 两 C ． 865 两 D ． 885 两 3．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 7．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（）

数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41 的等差数列，则｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．

A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5) ＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中， (1)若a 3·a 4·a 5＝8，则a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝． (2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝． (3)若S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ . 13．在3 8和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则此数列前13项之和为 . 15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ . 16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝；当n ＞4时，f (n )＝．三、解答题 17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列. (2)已知 a 1， b 1， c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，c b a +也成等差数列.

数列经典题目集锦--答案

数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比类型一：按已有目标构造 1、数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *. (1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列； (3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时，数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二：整体构造 2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立． (1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列 3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且* 1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）． (1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性 4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，() 1 1131n n n n n n a S S a a λ+++= +?+（*n ∈N ）．（1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若11 2 n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围． 5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --+++ +13246n n +=?--，且集合*| ,n n b M n n N a λ??=≥∈???? 中有且仅有3个元素，求λ的取值范围.

数列经典题型总结

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．练习：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；．例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ??? ??? 的前n 项和n S ．

三、逆序相加法例4（07豫南五市二联理22.）设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2)，若)(2 121OP OP +=,且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若;求,),()3()2()1 (*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 四、裂项求和法例5 求数列???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和. 例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1 1n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；五、分组求和法例7数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。例8求2222121234(1)n S n -=-+-++- （n N +∈）六、利用数列的通项求和

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