第6节(弯曲变形)
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第六节-蠕变及应力松弛试验
• ( 5 ）疲劳强度 SN ：由 S 一 N 曲线推算出的，在 N 次循环时材料疲劳破坏的应力值，临界的应力，不致 引起材料疲劳破坏的最高极限应力。
• ( 6 ）疲劳应变εN：由ε－ N 曲线推算出的，在 N 次 循环时材料疲劳破坏的应变值。
20
高分子材坏试验中断裂 为两部分时，是疲劳破坏。
第六节 蠕变及应力松弛试验
• 一条已架设的硬聚氯乙烯管线，随着时间的增加它会 弯曲变形；一件经常挂在墙上的雨衣，由于它本身的 自重也会使它沿着悬挂方向变形。这些现象都认为是 材料的蠕变现象。
• 将一条橡皮拉伸到一定长度并使之固定起来，橡皮同 部会产生与所加外力大小相等方向相反的应力（弹 力），这种弹力会随着时间的延长而逐渐减小，慢慢 地松弛下来，这就是应力松弛。
• ( l ）疲劳：材料在交变的周期性应力或频繁的重复 应力作用下，导致材料的力学性能减弱或破坏的过
程称为疲劳。
• 疲劳使材料不能发挥固有的力学性能，在应力远小 于静态应力下的强度值时就会破坏，最初在试样上
产生微小的疲劳裂纹，裂纹逐渐增大，最终导致完
全破坏。
• ( 2 ）应力 S ：物体内某点的平面上所受力的大小 称为应力；
和应力松弛就愈明显
17
高分子材料分析与性能测试
第八节 疲劳试验
• 一块塑料片或细铁丝经过多次的弯折后会折断，这就 是材料的疲劳过程。
• 所有材料无论是合成的还是天然的都会受到疲劳现象 的影响。
• 80 ％～90 ％的设备使用损坏都是由疲劳引起的。
18
高分子材料分析与性能测试
一、概念
• 疲劳试验分为拉压、弯曲、扭转、冲击、组合应力 等试验方法 。
• ( 9 ）疲劳寿命在规定循环应力或应变下，试样疲劳破 坏所经受的应力或应变循环次数。
• ( 6 ）疲劳应变εN：由ε－ N 曲线推算出的，在 N 次 循环时材料疲劳破坏的应变值。
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高分子材坏试验中断裂 为两部分时，是疲劳破坏。
第六节 蠕变及应力松弛试验
• 一条已架设的硬聚氯乙烯管线，随着时间的增加它会 弯曲变形；一件经常挂在墙上的雨衣，由于它本身的 自重也会使它沿着悬挂方向变形。这些现象都认为是 材料的蠕变现象。
• 将一条橡皮拉伸到一定长度并使之固定起来，橡皮同 部会产生与所加外力大小相等方向相反的应力（弹 力），这种弹力会随着时间的延长而逐渐减小，慢慢 地松弛下来，这就是应力松弛。
• ( l ）疲劳：材料在交变的周期性应力或频繁的重复 应力作用下，导致材料的力学性能减弱或破坏的过
程称为疲劳。
• 疲劳使材料不能发挥固有的力学性能，在应力远小 于静态应力下的强度值时就会破坏，最初在试样上
产生微小的疲劳裂纹，裂纹逐渐增大，最终导致完
全破坏。
• ( 2 ）应力 S ：物体内某点的平面上所受力的大小 称为应力；
和应力松弛就愈明显
17
高分子材料分析与性能测试
第八节 疲劳试验
• 一块塑料片或细铁丝经过多次的弯折后会折断，这就 是材料的疲劳过程。
• 所有材料无论是合成的还是天然的都会受到疲劳现象 的影响。
• 80 ％～90 ％的设备使用损坏都是由疲劳引起的。
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高分子材料分析与性能测试
一、概念
• 疲劳试验分为拉压、弯曲、扭转、冲击、组合应力 等试验方法 。
• ( 9 ）疲劳寿命在规定循环应力或应变下，试样疲劳破 坏所经受的应力或应变循环次数。
(整理)第6章弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K)
第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。
薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。
薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。
1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。
这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。
用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。
当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。
本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。
§6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。
变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。
由Kirchhoff 假设，可以得到xwzz y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1）并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为22x w z x ∂∂-=ε，22ywz y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （6-2）其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3）由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。
弯曲变形区切向应变在板料厚度方向上按线性规律变化
三向应变
第四章 弯 曲
13
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 2、宽板（B/t＞3）：
四 应力状态：
章
长度方向σ1：内区受压，外区受拉 宽度方向σ2 ：内区受压，外区受拉
厚度方向σ3 ：内外均受压应力
弯
三向应力
应变状态：
曲
长度方向ε1：内区压应变，外区拉应变
宽度方向ε2 ：内外区近似为零
厚度方向ε3 ：内区拉应变，外区压应变
章 为零。
厚度较小
弯
切向应变梯度很大
与最大应变的外表面相邻近的纤维
曲
层可以阻止外表面材料局部不均匀
延伸
延伸均匀 薄板最小弯曲半径允许
第四章 弯 曲
23
第 四 章
弯
第三节 弯曲卸载后的回弹
曲
第四章 弯 曲
24
第三节 弯曲卸栽后的回弹
第 一、回弹原因及表现形式
回弹： 塑性弯曲时伴随有弹性变形，当外载荷去
贴模： 板料与凸 、凹模完全贴紧
？
贴模后，凸模回程，继续下一个弯曲件的弯曲
自由弯曲
贴 继模 续后 下，一个凸弯模曲继件续的下弯压曲，压力增大到一定值后凸模回程，校正弯曲：
6
？
第四章 弯 曲
7
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第 二、弯曲变形的特点
目的：观察板料弯曲时的金属流动情况，
四 便于分析材料的变形特点
章 分析方法： 坐标网格法
弯
过程： 用机械刻线或照相腐蚀法在弯曲前 的板料侧表面设置坐标网格
曲
弯曲
用显微镜观察测量弯曲前后网格的尺 寸和形状变化情况
第四章 弯 曲
第一节 弯曲变形过程及变形特点
第三章 弯曲-08
式中： ——最大自由弯曲力，即自由弯曲在冲压行程结束时的弯曲力，N；
σb——材料抗拉强度，MPa； k——安全系数，一般取k=1.3； b——弯曲件宽度，mm； r——弯曲件的内弯曲半径，mm； t——板料厚度，mm。
冲压工艺与学——弯曲
2．应力状态
切向ζθ：内区受压，外区受拉。 径向ζρ ：塑性弯曲时，由于变形区曲度增大，以及金属各层之间的相互 挤压的作用，从而引起变形区内的径向压应力ζρ，在板料表面ζρ= 0，由表及 里逐渐递增，至应力中性层处达到了最大值。 宽度方向ζb ：对于窄板，由于宽度方向可以自由变形，因而无论是内区 还是外区ζb =0；对于宽板，因为宽度方向受到材料的制约作用，σb ≠0。内 区由于宽度方向的伸长受阻，所以σb为压应力。外区由于宽度方向的收缩受 阻，所以σb为拉应力。 结论：窄板弯曲时的应力状态是平面的，宽板则是立体的。
内移结果：外层拉伸变薄区范围逐步扩大，内层压缩增厚区范 围不断减小，外层的减薄量会大于内层增厚量，从而使弯曲区板料 厚度变薄。 规律：r/t愈小，变形程度愈大，系数ξ就愈小，弯曲区的变薄 现象也愈严重(见表3-1) 。 影响：弯曲时的厚度变薄会影响零件的质量。
四、板料长度的增加
一般弯曲件，其宽度方向尺寸b比厚度方向尺寸大得多，所以弯曲前 后的板料宽度b可近似地认为是不变的。 由于板料弯曲时中性层位置向内移动，出现了板厚的减薄，根据体积 不变条件，减薄的结果使板料长度必然增加——相对弯曲半径r/t愈小，减 薄量愈大，板料长度的增加量也愈大。 对于r/t值较小的弯曲件：在计算弯曲件的毛坯长度时，必须考虑弯曲 后的板料增长，并通过多次试验，才能得出合理的毛坯展开尺寸。有关毛
冲压工艺与学——弯曲
在r/t≤4的情况下弯曲，由试验测定系数ξ<1(见表3-1)，因此，由 r 。 1 / 2 t 式(3-3)可知，当ξ<1时，应变中性层位置ρ0将小于 而 r 1 / 2 t 为塑性弯曲时的中心位置， 0 r 1 / 2 t 则表示了塑性弯曲 时应变中性层位置向内移动。 由表3-1看出：系数ξ值随r/t大小变化，r/t愈小，ξ值也愈小，应 变中性层的内移量就愈大。——凸模下行，变形程度不断增加，应 变中性层位置逐步向内移动，变形量愈大，中性层的内移量也愈大。 结论：由应变中性层内移可知，应变中性层处的纤维在弯曲前 期的变形是切向压缩，而弯曲后期必然是伸长变形，才能补偿弯曲 前期的纤维缩短，使其切向应变为零。而弯曲后期的纤维伸长变形， 一般来说，仅发生在应力中性层的外层纤维上。由此可见，应力中 性层在塑性弯曲时也是从板料中间向内层移动的，且内移量比应变 中性层还大。
工程力学(材料力学)8 弯曲变形与静不定梁
B
ql4 RBl3 0
8EI 3EI
q 约束反力为
B
RB
3 8
ql
RB
用变形比较法求解静不定梁的一般步骤：
（1）选择基本静定系，确定多余约束及反力。 （2）比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形、确定 变形协调条件。 （3）计算各自的变形，利用叠加法列出补充方程。 （4）由平衡方程和补充方程求出多余反力，其后内力、 强度、刚度的计算与静定梁完全相同。
教学重点
• 梁弯曲变形的基本概念； • 挠曲线的近似微分方程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 梁的刚度条件。
教学难点
• 挠曲线近似微分方程的推导过程； • 积分法和叠加法计算梁的变形； • 变形比较法求解静不定梁。
第一节 弯曲变形的基本概念
齿轮传动轴的弯曲变形
轧钢机（或压延机）的弯曲变形
例13-4 用叠加法求图示梁的 yC、A、B ，EI=常量。
M
P
解 运用叠加法
A
C
l/2
l/2
A
=
q
5ql4 Pl3 ml2
B
yC
384EI
48EI
16EI
A
ql3 24EI
Pl 2
16EI
ml 3EI
B
B
ql3 24EI
Pl2 16EI
ml 3EI
M
+
q
A
+
BA
B
二、梁的刚度条件
y max y,
A
max
A ql3
B
24EI
RA
q
A
θB
l
B θB RB
在梁跨中点 l /2 处有 最大挠度值
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力， 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以，可作出如下 假设和推断：
1、平面假设：
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压，纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面，实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时， 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 ）对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类：
（1）单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 （2）双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
（3）三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
弯曲变形区的应力与应变状态分析
r
邻部分材料的制约，材
料不易流动，因此其横
断面形状变化较小，仅
在两端会出现少量变形，
横断面形状基本保持为
矩形。BBρa)b)
图4-7 窄板、宽板的变形 a）窄板 b）宽板
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
5、弯曲后的畸变、翘曲 细而长的板料弯曲件，由于沿折弯 线方向工件的刚度小，塑性弯曲时，外区宽度方向的压应变和 内区的拉应变将得以实现，结果使折弯线翘曲。当板料弯曲件 短而粗时，沿工件纵向刚度大，宽度方向应变被抑制，翘曲则 不明显。对于管材、型材弯曲后的剖面畸变如图4-8b所示，这 种现象是因为径向压应力所引起的。另外，在薄壁管的弯曲中， 还会出现内侧面因受切向压应力的作用而失稳起皱的现象。
的减薄量大于内侧的增厚量，因
此使弯曲变形区的材料总厚度变 薄。变形程度愈大，变薄现象愈 严重。
图4-6 弯曲前后坐标网格的变化 a）弯曲前 b）弯曲后
接下页
第四章 弯曲
二、弯曲变形时材料的流动情况
4、变形区横断面的变形。 板料的相对宽度 B/ｔ（B是 板料的宽度，ｔ是板料的厚 度）对弯曲变形区的材料变 形有很大影响。一般将相对 宽度B /ｔ＞3 的板料称为宽 板 ，相对宽度B /ｔ≤ 3 的 称为窄板。
简述如下:弯曲开始前，先将 平板毛坯放入模具定位板中 定位，然后凸模下行，实施 弯曲，直至板材与凸模、凹 模完全贴紧(此时冲床下行至 下死点)，然后开模(此时冲 床上行至上死点)，再从模具 里取出Ｖ形件。
V
图4-3 V形弯曲模
第四章 弯曲
一、弯曲过程与特点 （续）
在板材A处，凸模施加外力2F，M
R
3、校正弯曲阶段：到行程终了时，凸凹模对弯曲件进行校正， 使其直边、圆角与凸模全部靠紧。整个变形区的材料完全处于 塑性变形较稳定的状态。
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
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材料力学
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（0 ≤ x≤a）
一、梁的挠曲轴
在外力作用下，受弯后梁的轴 线变为一条连续光滑的曲线。
二、挠度、转角
1. 挠度、转角
· 挠度 梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。
· 转角 梁横截面绕其中性轴所转的角位移。
2. 挠度、转角正负规定
· 挠度正负规定 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。
· 转角正负规定 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。
62 解得：
C0 D0
⑷ 转角方程
(x) 1 (1Fx2Flx)
EI 2 挠度方程
v(x) 1(1Fx31Flx2) EI 6 2
⑸ 确定最大挠度和最大转角
max
(l)
Fl2
2EI
Fl3 vmax v(l)3EI
例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶 M = Fl 作用， 梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确 定最大挠度和最大转角。
M( x) bF x l
CB段（a ≤ x≤l） M(x)bFxF(xa) l
⑵ AC段（0 ≤ x≤a）
CB段（a ≤ x≤l）
弯矩方程
M( x) bF x l
M(x)bFxF(xa) l
挠曲线近似微分方程
d2v bF EI dx2 l x
d2v bF EIdx2 l xF(xa)
转角方程
积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知） 和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。
例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作用，梁的弯 曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠 度和最大转角。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
( a ) E 1 I ( b 2 F la 2 C 1 ) E 1 I [ b 2 F la 2 F 2 ( a a ) 2 C 2 ]
v ( a ) E 1 I ( b 6 F a 3 C 1 a D 1 ) E 1 I [ b 6 F a 3 F 6 ( a a ) 3 C 2 a D 2 ]
解得：
C1 C2F6lb(l2b2)
D1 D2 0
⑷ AC段（0 ≤ x≤a） 转角方程
(x)1[bFx2F b(l2b2)]
E I 2l 6l 挠度方程
w (x)1[bFx3F b(l2b2)x] E I 6l 6l
CB段（a ≤ x≤l）
转角方程
(x )1[ b F x 2 F (x a )2 F b (l2 b 2 )]
dv 1 dx
挠曲线近似微分方程
d2v dx 2
M(x) EI
近似微分方程适用于 弹性范围内小挠度平面 弯曲。
第三节 用积分法求弯曲变形
梁的挠曲线近似微分方程 d2v
EI dx2 M(x) 梁的转角方程
E I(x)M (x)dxC
梁的挠度方程
E I v (x ) (M (x )d x )d x C x D
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
d2v EI dx2 FxFl
EI(x)1Fx2FlxC
2 E Iv(x)1F x31F lx2C xD
三、挠度和转角的关系
1. 挠度方程 v v(x)
2. 转角方程
(x)
挠曲轴是挠 度方程的函数 曲线
3. 挠度和转角的关系 挠曲线上任一点斜率
在小挠度情况下，θ很小
tan dv( x)
dx
tan
(x)dv(x)v(x)
dx
第二节 梁的挠曲线微分方程
平面弯曲时梁轴线的曲率
1 M(x)
(x) EI
由微积分可知，挠曲线任一点曲率
d2v
1 (x)
[1
dx2 ( dv
3
)2 ]2
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)2
3
]2
M (x) EI
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
在小挠度条件下
62
⑶ 确定积分常数
E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0 62
E Iv(l)1F l31F ll2C lD 0 62
解得：
C 1 Fl2 3
D0
⑷ 转角方程
(x)1(1Fx2Flx1Fl2)
EI 2
3
挠度方程
v(x)1(1F x31F lx21F l2x) E I6 2 3
⑸ 确定最大挠度和最大转角
E I 2 l 2
6 l
挠度方程
v (x )1[ b F x 3 F (x a )3 F b (l2 b 2 )x ]
E I 6 l 6
Mechanics of Materials
中南大学土木建筑学院力学系
Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University
第六章 弯曲变形 第一节 概述
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
EI
d2v dx2
Fx Fl
EI(x)1Fx2FlxC
2
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
⑶ 确定积分常数
EI(0)1F02Fl0C0
2 E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0
EI(x)b2F l x2C1
E I(x)b 2 F l x2F 2(xa)2C 2
挠度方程
EIv(x)b6F l x3C1xD1 E Iw (x ) b 6 F lx 3F 6(x a )3 C 2xD 2
⑶ 确定积分常数
v(0)E 1 I(b 6 F l03C 10D 1)0
v (l) E 1 I[ b 6 F ll3 F 6(l a )3 C 2 l D 2 ] 0
max
(0)
Fl2 3EI
(x) 0
x (3 3)l 3
(33)l F l3
F l3
vm a xv(
) 0 .0 6 4 2
3 93E I
E I
例：简支梁AB如图所示（图中a > b），承受集中载荷F作 用，梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程， 并确定挠度的最大值。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系 AC段（0 ≤ x≤a）
一、梁的挠曲轴
在外力作用下，受弯后梁的轴 线变为一条连续光滑的曲线。
二、挠度、转角
1. 挠度、转角
· 挠度 梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。
· 转角 梁横截面绕其中性轴所转的角位移。
2. 挠度、转角正负规定
· 挠度正负规定 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。
· 转角正负规定 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。
62 解得：
C0 D0
⑷ 转角方程
(x) 1 (1Fx2Flx)
EI 2 挠度方程
v(x) 1(1Fx31Flx2) EI 6 2
⑸ 确定最大挠度和最大转角
max
(l)
Fl2
2EI
Fl3 vmax v(l)3EI
例：图所示简支梁，左端支座处受集中力偶 M = Fl 作用， 梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程，并确 定最大挠度和最大转角。
M( x) bF x l
CB段（a ≤ x≤l） M(x)bFxF(xa) l
⑵ AC段（0 ≤ x≤a）
CB段（a ≤ x≤l）
弯矩方程
M( x) bF x l
M(x)bFxF(xa) l
挠曲线近似微分方程
d2v bF EI dx2 l x
d2v bF EIdx2 l xF(xa)
转角方程
积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知） 和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。
例：图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F 作用，梁的弯 曲刚度为EI。求梁的挠曲轴方程和转角方程，并确定最大挠 度和最大转角。
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
( a ) E 1 I ( b 2 F la 2 C 1 ) E 1 I [ b 2 F la 2 F 2 ( a a ) 2 C 2 ]
v ( a ) E 1 I ( b 6 F a 3 C 1 a D 1 ) E 1 I [ b 6 F a 3 F 6 ( a a ) 3 C 2 a D 2 ]
解得：
C1 C2F6lb(l2b2)
D1 D2 0
⑷ AC段（0 ≤ x≤a） 转角方程
(x)1[bFx2F b(l2b2)]
E I 2l 6l 挠度方程
w (x)1[bFx3F b(l2b2)x] E I 6l 6l
CB段（a ≤ x≤l）
转角方程
(x )1[ b F x 2 F (x a )2 F b (l2 b 2 )]
dv 1 dx
挠曲线近似微分方程
d2v dx 2
M(x) EI
近似微分方程适用于 弹性范围内小挠度平面 弯曲。
第三节 用积分法求弯曲变形
梁的挠曲线近似微分方程 d2v
EI dx2 M(x) 梁的转角方程
E I(x)M (x)dxC
梁的挠度方程
E I v (x ) (M (x )d x )d x C x D
解：⑴ 列弯矩方程，建立如图坐标系
M (x)F xF l
⑵ 挠曲线近似微分方程
EI
d2v dx2
Fx Fl
转角方程
EI(x)1Fx2FlxC
2 挠度方程
E Iv(x)1F x31F lx2C xD 62
d2v EI dx2 FxFl
EI(x)1Fx2FlxC
2 E Iv(x)1F x31F lx2C xD
三、挠度和转角的关系
1. 挠度方程 v v(x)
2. 转角方程
(x)
挠曲轴是挠 度方程的函数 曲线
3. 挠度和转角的关系 挠曲线上任一点斜率
在小挠度情况下，θ很小
tan dv( x)
dx
tan
(x)dv(x)v(x)
dx
第二节 梁的挠曲线微分方程
平面弯曲时梁轴线的曲率
1 M(x)
(x) EI
由微积分可知，挠曲线任一点曲率
d2v
1 (x)
[1
dx2 ( dv
3
)2 ]2
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)2
3
]2
M (x) EI
dx
梁的挠曲线微分方程
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
d2v
[1
dx2 ( dv
)
2
]
3 2
M (x) EI
dx
在小挠度条件下
62
⑶ 确定积分常数
E Iv(0 )1F 0 31F l0 2 C 0D 0 62
E Iv(l)1F l31F ll2C lD 0 62
解得：
C 1 Fl2 3
D0
⑷ 转角方程
(x)1(1Fx2Flx1Fl2)
EI 2
3
挠度方程
v(x)1(1F x31F lx21F l2x) E I6 2 3
⑸ 确定最大挠度和最大转角
E I 2 l 2
6 l
挠度方程
v (x )1[ b F x 3 F (x a )3 F b (l2 b 2 )x ]
E I 6 l 6