材料力学课件：弯曲变形
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材料力学-弯曲变形
(向下)
qB
qmax
w(l)
Pl 2 2EI
(顺时针)
例题2
图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为
EI，在右端受有集中力偶M0的作用，求梁任
一截面的转角和挠度。
y
解:
由整体平衡得 FAx=0， FAy= FBy= M0/l 从而，截面的弯矩为
M(x)= xFAy= xM0/l
FAx A x o
FAy
横截面变形：
线位移：长度变化
水平方向—小变形假定，挠曲轴平坦，忽略不计 垂直方向—挠度 w= w(x)
转角：角度变化
横截面相对于原位置转过的夹角，
一般用q (x)表示截面转角，并且以逆时针为正
q'
对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直
q q tan q dw
(l 2
a2)
y
例题3
P x
A
C
于是，梁的挠曲线方程为 FAx
l
w
w1 w2
(x) (x)
0 xa a xb
FAy
a
b
Pb
6 EIl
Pa
6 EIl
x3 (b2 l2 )x (l x)3 (a2 l2
)(l
x)
0 xa a xl
转角方程为
q w ww12((xx))
0 xa a xb
Pb 2EIl
x2
C1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdx
Pb 6EIl
x3
C1x
D1
同理，对CB段
w2
w2dx C2
Pa EIl
(l
x)dx
C2
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
《材料力学》课件8-2两相互垂直平面内的弯曲
弯曲变形的分布
弯曲变形的分布规律
两相互垂直平面内的弯曲变形分布规律与受力情况、材料性质和结构特点等因 素有关。通过分析这些因素，可以确定变形在两个相互垂直平面内的分布情况 。
变形分布对结构性能的影响
弯曲变形的分布情况直接影响到结构的承载能力和稳定性。因此，在设计过程 中，需要充分考虑变形分布的影响，以优化结构性能。
THANKS
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案例三：机械零件的弯曲分析
总结词
机械零件的弯曲分析是机械工程中常见的分析类型，主 要关注的是零件在不同工况下的变形和应力分布。
详细描述
在机械零件设计中，两相互垂直平面内的弯曲分析是评 估零件性能的重要手段。通过弯曲分析，可以优化零件 的结构设计，提高零件的刚度和强度，降低应力集中和 疲劳失效的风险，从而提高机械设备的可靠性和稳定性 。
弯曲强度的分布
弯曲强度的分布规律
在两相互垂直平面内的弯曲中，弯曲强度在截面上呈线性分布，即离中性轴越远，弯曲 强度越大。
弯曲强度分布的影响因素
弯曲强度分布受到多种因素的影响，如截面形状、材料性质、弯矩大小等。例如，对于 矩形截面，其弯曲强度分布与弯矩的分布密切相关。
弯曲强度的应用
结构设计中的应用
案例二：建筑结构的弯曲分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构的弯曲分析主要关注的是在不同载荷和环境因素 下结构的稳定性。
建筑结构的弯曲分析需要考虑的因素包括结构形式、材料 特性、支撑条件、外部载荷等。通过弯曲分析，可以预测 建筑在不同工况下的变形和应力分布，从而优化建筑设计 ，提高建筑的稳定性和安全性。
03
两相互垂直平面内的弯曲的应力 分析
弯曲应力的计算
弯曲应力的计算公式
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学课件 第六章弯 曲 内 力(土木专业)
M
A
0
FRA
A
a
F1
C
F2
D
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
MB 0
c
E
F
d
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l
b l
FRB
F1a F2b l
第六章
记 E 截面处的剪力为
FRA
A
弯曲内力
a F1 C F2 D B
FSE 和弯矩 ME ，且假设
FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.取左段为研究
E
c b l
F
d
对象。
Fy 0 , M 0,
E
FRA FS E 0
M E FRA c 0
FRA
A E
FSE
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
第六章
6.1引言
1.弯曲的概念
弯曲内力
工程实例
第六章
工程实例
弯曲内力
第六章
弯曲内力
车刀轴
第六章
弯曲内力
火车轮轴
第六章
弯曲内力
起重机大梁
第六章
弯曲内力
镗刀杆轴
第六章
基本概念
弯曲内力
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2.梁 以弯曲变形为主的杆件 3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形
3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25
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()
w
A,q
ql 4 8 EI
()
w
A
w
A,F
w
A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
wA ?
当梁上作用几个载荷时，任一横截面 的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
32
理论依据
EI
d2w dx 2
M
(
x
)
（小变形,比例极限内）
M(x)MF (x)Mq(x)
（小变形）
27
梁位移的通用方程
优势：只有2个积分常数
28
重讲例题6-3
利用奇异函数法＝积分技巧
29
例题6-4
载荷处理：分布载荷问题
30
§7-5 计算梁位移的叠加法
载荷叠加法 逐段变形效应叠加法 两类叠加法比较 例题
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
w
A,F
Fl 3 3EI
A
x
B M0
解: 1、弯矩方程: M x M0
2、挠曲轴近似微分方程 w x M0
EI
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
16
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
A
x
3、积分常数的确定
w(0) = 0 w’(0) = 0
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF
(
x)
w wF ( x)
EI
d2w dx 2
Mq(
x)
w wq ( x)
故：w wF ( x) wq ( x)
叠加法适用条件：小变形，比例极限内 33
载荷叠加法的应用
例：EI =常数，
求 wA，A
Q 分析方法：
q
F
l
A M0
w1
l 2
w2
l 2
w1
l 2
w2
l 2
四个方程定4个常数
w1
x
M0 x 24lEI
4x2 l2
w2
x
M0 x
24EIl
l
C
M0 /l
21
例题
积分技巧
22
23
24
计算梁位移的奇异函数法
25
奇异函数的引入
奇异函数的定义 注意各项齐次
26
奇异函数的定义
积分运算 推广到剪力
一、梁的挠曲轴方程
w M x
EI
dw dx
Mx
EI
dx
C
w
Mx
EI
dx
Cx
D
F C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。
12
w
Mx
EI
dx
Cx
D
二、位移边界条件与连续条件
➢位移边界条件
w=0
w=0
w=0
=0
自由端：无位移边界条件。
➢位移连续与光滑条件 挠曲轴在B、C 点连续且光滑
连续：wB左= wB右
M
+
32
qa2
4
挠曲轴大
直线
致形状
F 弯矩图过零点处为挠曲轴拐点
凹
凹
凸
18
判断挠曲轴的大致形状
19
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
M0 /l
AB段 M ( x ) M 0 x
l
BC段
M(x)
M0 l
x
M0
w1
M0 EI
D=0 C= 0
w x M0 x2, x M0 x
2EI
EI
B M0
17
绘制挠曲轴的大致形状： w x M0 +边界条件
qa2 q
EI
3qa
A
3qa
B
Cqa
D
Fs
4
a
a
4a
4
+
_ qa
3qa 2
4
1. 绘制弯矩图。
4
qa2
2. 绘制挠曲轴的大致形状
F 支座性质定该处线位移和
（或）角位移
F 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性
F
M
A
D
B
C
光滑：B左 = B右
13
例：
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
F
A
B
E
C
D
边界条件：
固定端： wA 0, A 0 可动铰： wC 0
自由端：无位移边界条件
连续条件： wC左＝
wB左 wB右
wC右 C左 C右 wE左 wE右 E左 E右
14
15
例：已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
x l
w2
M0 EI
x l
1
w1
M0 6EI
x3 l
C1 x D1
w2
M0 EI
x3 6l
x2 2
C2x
D2
20
w1
M0 6EI
x3 l
C1 x D1
A
x
B M0
w2
M0 EI
x3 6l
x2 2
C2x
D2
M0
/l
l/2
l/2
边界和连续条件:
w1 0 0
w2 l 0
6
• 梁变形的描述：
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
32
—— 二阶非线性常微分方程
梁的强度与刚度问题
F
F
(1)
(2)
1
2
材料力学分析的基本路径
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
3
第七章 弯曲变形
§7-1 引言 §7-2 挠曲轴近似微分方程
§7-3 计算梁位移的积分法 §7-5 计算梁位移的叠加法
4
§7-1 引言
目的:
1、 解决梁的刚度问题 2、 求解静不定梁 3、 为研究稳定问题打基础
Q 挠曲轴微分方程
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
9
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
w
正弯矩
Q方程简化
o
x
•小变形时： w2 1
d 2 w M(x) dx2 = EI
•正负号确定:
w
负弯矩
x
o
坐标系：w 向上为正
曲线下凹 w 0
弯矩: 挠曲线下凹,弯矩M为正
回顾：
拉压杆的变形：伸长或缩短 (Dl)
圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角j )
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
方程取正号
d 2 w M(x) dx 2 = EI
10
小结
Q挠曲轴的近似微分方程 w
d 2 w M(x)
dx 2 = EI
o
Q应用条件：
max p
小变形
坐标轴 w 向上，弯矩下凹为正
•土木建筑部门，采用坐标轴 w 向下坐标系
d 2w
M(x)
dx 2 = EI
正弯矩
x
11
§7-3 计算梁位移的积分法