凸包算法
凸包convexhullppt课件
Graham模版（水平序） by 吉林大学:
凸包问题:
凸包问题一般有以下两类： 1.求凸包面积周长 2.求平面最远点对
凸包面积周长 我们先来看一个问题，POJ 1113。 题意:有个贪心的国王叫他的建筑师给他的城堡周围建个围墙,他要求用最少的石
头和劳动力来建造,而且要在距离城堡某个距离L之外建造。 解法：
旋转卡壳的应用
旋转卡壳主要是用来求点集中最远点对的。如POJ 2187，就是一道求最远 点对的裸题。学会了旋转卡壳用模版可以直接过。具体参照code。
POJ 3608，求两个凸包间的最短距离。 个人解法：先求出两个凸包，然后对其中一个凸包的左下方的基准点，对
另外一个凸包求最小对应边。然后再从另外一个凸包的左下方的基准点，对前个凸
怎么从给定的点中找凸包呢？
1.卷包裹算法
2. Graham扫描算法
卷包裹算法
可以说是一个很朴素的算法，其时间复杂度最坏情况为O(n^2)，其实现原理非常简 单。就像是拿了一根绳子，以最左下方的点开始，围着所有点的外围围了一圈。
先找到横坐标最小的点中纵坐标最小的点，然后以该点作为基准点，对剩余的所有
旋转卡壳算法： 这是一个非常优美而高效的算法（演示图如下）：
旋转卡壳算法是解决一些与凸包有关问题的有效算法 就像一对卡壳卡住凸包 旋转而得名。被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点(Antipodal point)，可以证明对 踵点的个数不超过3N/2个 也就是说对踵点的个数是O(N)的，对踵点的个数也是解决问 题的时间复杂度的保证。
while(fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q+1]))>fabs(cross(res[p+1],res[p],res[q]))) q=(q+1)%n;
凸包算法公式
凸包算法公式凸包是计算几何中的一个重要概念，而凸包算法公式则是解决相关问题的关键工具。
咱先来说说啥是凸包。
想象一下，你面前有一堆散落在地上的钉子，然后你拿一个橡皮筋把最外层的钉子圈起来，让橡皮筋形成的形状能够完全包住所有钉子，这个形状就是这堆钉子的凸包。
凸包算法有好几种，比如 Graham 扫描法、Jarvis 步进法等等。
咱就拿 Graham 扫描法来说说它涉及的公式。
Graham 扫描法里，首先要找到一个基准点。
通常找纵坐标最小的点，如果有多个这样的点，就选横坐标最小的那个。
找到这个点后，其他点就按照和这个基准点的极角大小进行排序。
这里就涉及到计算极角的公式啦。
对于两个点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，极角θ 可以通过反正切函数来计算，公式是：θ = atan2(y2 - y1, x2 - x1)。
计算出极角后，就可以开始扫描了。
从基准点开始，依次检查相邻的三个点，如果这三个点构成的转向是逆时针的，那就保留中间那个点；如果是顺时针的，就把中间那个点去掉。
这里判断转向的公式就比较关键了。
对于三个点 A(x1, y1)、B(x2,y2)和 C(x3, y3)，可以通过计算向量叉积来判断转向。
如果叉积大于 0 ，就是逆时针；小于 0 ，就是顺时针。
向量叉积的公式是：(x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1) 。
我记得之前有一次参加数学建模比赛，题目就和凸包算法有关。
当时我们小组几个人，一开始对这些公式和算法都不太熟悉，急得像热锅上的蚂蚁。
大家一起熬夜查资料、讨论，一遍遍地推导公式，尝试不同的方法。
特别是在计算极角和判断转向的时候，总是出错。
但经过不断地尝试和纠错，我们终于搞清楚了这些公式的应用，成功解决了问题，还拿到了不错的名次。
总之，凸包算法公式虽然看起来有点复杂，但只要掌握了其中的原理和规律，多做练习，就能熟练运用啦。
不管是在数学研究中，还是在实际的计算机图形学、地理信息系统等领域，凸包算法都有着广泛的应用。
葛立恒扫描法
葛立恒扫描法葛立恒扫描法（Graham Scan），又称凸包算法，是解决计算几何问题中的经典算法之一。
它的主要作用是计算多边形或点集的凸包，并返回凸包上的点集。
葛立恒扫描法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是输入点集的大小。
凸包是一个简单多边形，可以包含给定点集中的所有点。
它的边界是由点集中的一些点组成的，这些点被称为凸包上的顶点。
凸包在计算几何、图形学以及计算机视觉等领域都有广泛的应用。
葛立恒扫描法的运行过程如下：1. 找到y值最小的点，并将它放在结果集中。
2. 将其余所有点按照与y值最小点的极角进行排序。
3. 对于每个点P，计算它与前两个点的极角。
如果它的角度不在逆时针方向，则将倒数第二个点从结果集中删除，然后重复此过程直到极角正确。
4. 返回结果集。
让我们来详细了解葛立恒扫描法的每个步骤。
找到y值最小的点要找到y值最小的点，我们可以遍历所有点，并找到纵坐标最小的那个。
在这里，我们使用了lambda函数来比较每个点的y值。
```python def find_lowest_point(points): lowest = min(points, key=lambda point: point[1]) return lowest ```排序接下来，我们需要将其余所有点按照与y值最小点的极角进行排序。
为此，我们需要定义一个函数来计算两点之间的极角。
在这里，我们使用了arctan2函数来计算极角。
```python def polar_angle(p1, p2=None): if p2 is None: p2 = lowest_point y_span =p1[1] - p2[1] x_span = p1[0] - p2[0] return atan2(y_span, x_span) ```然后，我们可以使用此函数来排序输入点集。
在这里，我们使用了sorted函数来排序。
```python def sort_points(points):sorted_points = sorted( points,key=cmp_to_key(lambda x,y: 1 if polar_angle(x) < polar_angle(y) else -1) ) returnsorted_points ```计算极角接下来，我们需要为每个点计算它与前两个点的极角。
凸包和凹包定义
凸包和凹包定义凸包和凹包是计算几何中常见的概念，它们分别指的是一个点集的最小凸多边形和最小凹多边形。
在实际应用中，凸包和凹包有着广泛的应用，比如在图像处理、计算机视觉、机器学习等领域中都有着重要的作用。
一、凸包凸包是指一个点集的最小凸多边形，也就是包含所有点的最小凸多边形。
凸包的求解方法有很多种，其中最常见的是Graham扫描法和Jarvis步进法。
Graham扫描法是一种基于极角排序的算法，它的基本思想是先找到点集中的最下面的点，然后按照极角从小到大的顺序对其余点进行排序，最后依次加入凸包中。
在加入新点的过程中，需要判断当前点是否在凸包内，如果不在则需要将凸包中的点弹出，直到当前点能够加入凸包为止。
Jarvis步进法是一种基于向量叉积的算法，它的基本思想是从点集中找到最左边的点作为凸包的起点，然后依次找到与当前点构成的向量中极角最小的点，直到回到起点为止。
在找到下一个点的过程中，需要判断当前点是否在凸包内，如果不在则需要继续寻找下一个点。
二、凹包凹包是指一个点集的最小凹多边形，也就是包含所有点的最小凹多边形。
凹包的求解方法相对于凸包来说要复杂一些，其中最常见的是分治法和动态规划法。
分治法是一种将问题分解成若干个子问题来解决的方法，它的基本思想是将点集分成左右两部分，分别求出左右两部分的凹包，然后将两个凹包合并成一个凹包。
在合并的过程中，需要找到左右两个凹包的上下凸壳，然后将它们连接起来形成一个新的凹包。
动态规划法是一种将问题分解成若干个子问题来解决的方法，它的基本思想是将点集按照极角排序，然后依次求出每个点作为凹包顶点时的最小凹包。
在求解过程中，需要用到一个二维数组来记录每个点作为凹包顶点时的最小凹包，然后根据递推公式依次求解出所有点的最小凹包。
三、应用凸包和凹包在实际应用中有着广泛的应用，比如在图像处理中，可以用凸包来进行图像的边缘检测和形状分析，可以用凹包来进行图像的形状重建和形态分析。
在计算机视觉中，可以用凸包来进行目标检测和跟踪，可以用凹包来进行目标形状的描述和匹配。
convex hull
convex hull
凸包（convex hull）是一种广泛应用的几何运算，它将一组二维点进行包围，形成一个凸多边形。
凸包是一种压缩技术，它将传感器或其他设备的采样点组合到一个允许检测和分析的空间内。
它涵盖了所有可见包括内部点的最大空间。
凸包也被用于表示一群动物各自所成形状或一组多边形集合中最高点之间的距离。
凸包计算通常使用 Convex Hull Algorithm，这是一种考虑所有点的有效计算凸包的算法。
它首先考虑所有点的范围，然后从该框架中求出最大边缘。
它有效地建立了点的位置，以确定一组点的几何结构，并建立最外层边缘的凸多边形。
凸包也可以用于几何图形模型，用于形成所有离散点的关联。
它涵盖了一组离散点，为多边形提供多边形形状，让它们更容易处理。
凸包也可以被应用于军事战略规划，以用于精确地处理前沿拥有者的特定情况。
从经典的几何和数学应用看，凸包是一种有用的算法，它可以通过简单的计算就可以得出准确的结果。
凸包的实现也能帮助我们更好地理解计算机科学中的数据分析，比如轮廓检测，数据压缩和几何图形处理。
它还能源自让我们更好地理解几何变换和图形变换，以及这些变换如何影响数据集。
【算法】凸包问题--分治法
【算法】凸包问题--分治法凸包问题--分治法求能够完全包含平⾯上n个给定点的凸多边形。
⽰例：⼀、分治法：（⼀）算法思路：（这⾥所说的直线都是有向直线的。
）将数组升序排序，若x轴坐标相同，按照y轴坐标升序排序。
最左边的点p1和最右边的点p_n⼀定是该集合凸包的顶点。
该直线将点分为两个集合，上包为S1，下包为S2。
在p1 p_n线上的点不可能是凸包的顶点，所以不⽤考虑。
在上包S1中，找到p_max(距离直线p1p_n最远距离的点)，若有两个距离同样远的点，取∠p_max p1 p_n最⼤的那个点（即△p_max p1 p_n⾯积最⼤）。
（⼀次递归到这⾥结束）找出S1中所有在直线p1 p_max左边的点，这些点中⼀定有构成上包中左半部分边界的顶点，⽤上⾯的算法递归查找点，直到上包就是以p1和p_n 为端点的线段。
下包S2中找下边界同理。
*如何判断点是否在直线p1 p_max左边（同 p1 p_n上⽅）？如果q1（x1，y1），q2（x2，y2），q3（x3，y3）是平⾯上的任意三个点，那么三⾓形△q1 q2 q3的⾯积等于下⾯这个⾏列式绝对值的⼆分之⼀。
当且仅当点q3=（x3，y3）位于直线q1 q2的左侧时，该表达式的符号为正，该点位于两个点确定的直线的左侧。
（⼆）实现中碰到的问题如何⽤快速排序来排序Point类（内有坐标x,y）的⼀维数组？按照x坐标排序很简单，若碰到x相同，y不同的怎么办？在快排的原基础上修改，以j向前逼近说明：（第⼀个while循环）当前⽐较数的横坐标>基准点的时，j向前逼近。
此处不加等于号，排序是不稳定的，即相等元素的相对位置可能发⽣改变。
（快排详见博客：（第⼆个while为添加内容）⽐较相等元素的纵坐标，基准点的更⼩，j继续向前逼近，即相等元素的相对位置不发⽣改变；否则，则改变。
也就是将原来快排中while循环拆分为两个，增加相等元素另外⽐较纵坐标的情况。
while (i < j && points[j].getX() > center.getX()) {j--;}while (i < j && center.getX() == points[j].getX() && points[j].getY() > center.getY()) {j--;}/** (i<j)若points[j].getX()< center.getX()或 center.getX() ==* points[j].getX()且points[j].getY()<center.getY() 以上两种情况，需要赋值*/if (i < j)// 跳出循环也有可能时因为i=j，所以这⾥要判断⼀下points[i++] = points[j];如果使⽤全局数组visit标识点是否访问，能确定凸包的所有顶点，但怎么顺序输出?在已经求的凸包顶点⾥逐⼀确定边界，判断是不是所有点都在这条边界的⼀侧，如果是则确定⼀条边界。
凸包常见算法
凸包问题是一个经典的几何问题，常见的求解凸包问题的算法有：
增量法：也称为Graham扫描法，其基本思想是从所有点中选择几个点，然后通过这些点将所有其他点组合成凸集。
该方法需要对所有点进行排序，然后按顺序添加点到凸包中。
分治法：该方法将凸包问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题。
子问题的解可以合并以产生原始问题的解。
这种方法需要一些技巧来确保子问题的解可以正确地合并。
穷举法：也称为暴力求解法，通过枚举所有可能的情况来找到凸包。
这种方法对于小规模的问题可能是可行的，但对于大规模的问题效率低下。
旋转卡壳算法：该方法基于动态规划的思想，通过不断旋转坐标轴来找到凸包上的点。
该算法在实现上相对复杂，但具有较好的时间复杂度。
随机采样算法：该方法通过随机采样点来找到凸包。
该算法的优点是具有较低的时间复杂度，但结果的准确性取决于采样点的数量。
这些算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择适合的算法。
点云凸包算法
点云凸包算法点云凸包算法是一种用于检测三维空间中物体形状的计算机视觉算法。
它的出现主要是为了解决三维空间物体的形状检测的问题，它的主要思想是根据点云数据（链接至三维空间中的点）来构建凸包。
计算机图形学等学科中，点云凸包算法被用来构建凸包以表示物体的表面或图形。
过凸包可以检测物体的一些特征信息，如表面积、曲率等，从而检测物体的形状。
同时，点云凸包算法也可以用来检测物体的几何属性，如质心、质心距离等。
点云凸包算法是一种基于多角化的算法，其主要思想是把三维空间中的点连接起来，并生成多面体来表示物体的表面。
后，将一个约束称为凸包密封，用以指定物体的表面。
这样，所有面都可以被包裹在一起，这就是点云凸包算法。
从技术上讲，点云凸包算法主要基于Delaunay三角剖分，它是通过将空间中的点形成三角形来表示物体表面的一种基本方法，它借助多边形的概念，将三角形合并成多边形，从而构建凸包。
后，算法会寻找凸包上的点，以确定凸包的位置。
点云凸包算法的应用也非常广泛，它主要用于辅助机器人的导航、机器视觉的特征提取，以及建模和三维重构中的三维形状检测等。
在工业等领域，点云凸包算法可以以自动化实现物件的凹凸检测，用以准确分析物体的凹凸特征，从而改进加工效率，减少材料浪费。
此外，点云凸包算法还可以用来研究交通安全的空间特征，可以用于车辆驾驶员行为表现的分析，也可以用来检测桥梁的施工过程中的精准信息。
点云凸包算法也可以用来提取由点云数据表示的地形特征，可以帮助工程师准确定位地形，进而更好地进行室外建筑设计。
综上所述，点云凸包算法是一种很实用的计算机视觉技术，它主要用于检测三维空间中物体形状的特征，具有良好的准确性和可靠性，在自动化、机器视觉、工业、交通安全等领域都有着广泛的应用。
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遗留有一个问题 就是处理共线的问题 有时候我们需要凸包边上的点也考虑到 有时候却需要去掉这些点 我们通常称在凸包顶点处的点为极点 如果我们只要求保留极点而去除在边上的点 我们只需在取外侧的点的时候 碰到共线的点取最远的 相反 如果我们要保留所有在边上的点我们只需要在共线的点中取最近的 同样由于参考点的性质 所有向量之间的到角都是在180度以内 不会产生错误
我们经常关注一个点集的凸包 这也是计算几何学的一个基本问题，现在 已经有成熟的算法可以求出平面点集的凸包，凸包有着优美而实用的 性质 我们可以利用凸包把一个杂乱的点集所包含的信息进行有效的 概括、梳理。
2 Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)
Graham扫描算法维护一个凸壳 通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响 凸性的点 最后形成凸包 算法主体由两部分组成 先是排序 后是扫描 分块讲解一下
void Graham(int n) { int i,top=2; Pt[n]=Pt[0]; Stack[0]=Pt[0]; Stack[1]=Pt[1]; Stack[2]=Pt[2]; for(i=3;i<=n;i++) { while(Cross(Stack[top1],Stack[top],Pt[i])<=0&&top>1) top--; Stack[++top]=Pt[i]; } }
有了向量 我们就可以选取一个最外侧的点了
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利用向量 我们可以比较哪个点"更外侧" 比如点K和点I 我们利用向量JK乘以向量JI得到一个数 这 个数应该是负数 说明I比K更外侧 两个向量的比较具有传递性 所以我们可以像N个数里取 最大的数一样取出最外侧的 遍历所有点 每个点都和现有最外侧的点比较 得到新的最 外侧的点
算法描述： 这里描述的Graham算法是经过改进后的 算法而不是原始算法，因为改进之后的算法更 易于对算法进行编码。 已知有n个点的平面点集p（p[0]~p[n-1]），找 到二维平面中最下最左的点，即y坐标最小的 点。若有多个y值最小的点，取其中x值最小的 点。 以这个最下最左的点作为基准点（即p[0]），对 二维平面上的点进行极角排序。 将p[0]、p[1]、p[2]三个点压入栈中（栈用st表 示，top表示栈顶指针的位置）。并将p[0]的值 赋给p[n]。
void FindPoint(int n) { int i,tempNumber=0; Point tempPoint; Point_A=Pt[0]; for(i=1;i<n;i++) { if(Pt[i].y<Point_A.y||Pt[i].y==Point_A.y&&Pt[i].x<Point_A.x) { tempNumber=i; Point_A=Pt[i]; } }
实现细节的注意事项： 极角大小问题： 实际实现Graham算法的极角排序并不是真正的按 照极角大小排序，因为计算机在表示和计算浮点数时 会有一定的误差。一般会利用叉积判断两个点的相对 位置来实现极角排序的功能。假设以确定平面中最下 最左的点（基准点）P，并已知平面上其它两个不同的 点A B。若点A在向量PB的逆时针方向，那么我们认为 A的极角大于B的极角，反之A的极角小于B的极角（具 体实现应借助叉积）。 极角相同点的处理： 在Graham算法中，经常会出现两个点极角相同的情况 。对于具有相同极角的两个不同点A B，那么我们应该 把A B两点的按照距离基准点距离的降序排列。而对于 完全重合的两点，可以暂不做处理
凸包Graham扫描法
长江大学地球科学学院
地理信息系 巴富满
主要内容
1 凸集、凸包 Graham扫描算法
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2
1 凸集、凸包
凸集(Convex Set):任意两点的连线都在这个集合S内的集合就是一个凸 集. 凸包(Convex Hull):包含集合S的所有凸集的交集就是集合S的凸包.
这样Graham扫描算法基本完成 下面还是继续上面的那个样例 演示一下栈 扫描的过程
代码实现： #include<stdio.h> #include<math.h> #include<algorithm> using namespace std; struct Point { double x,y,len; }Pt[20000],Stack得到加入新点的顺序 Graham扫描法的第一步是对点集排序
排序是对杂乱的点集进行了梳理 这也是这种算法能够得到更高 效率的根本原因
排序的方法有 极角坐标排序(极角序) 极角序 为了极角排序 我们先得得到一个参考点 一般的 我们取最左边(横坐标最小)的点作为参考点 如果有多个 这样的点就取最下面的(纵坐标最小) 看这样一个例子 这是一个任意给出的平面点集:
2.2 Graham的栈扫描
Graham的扫描是一个很优美的过程 用到的数据结构也很 简单 仅仅是一个栈而已 核心的思想是按照排好的序 依次加入新点得到新的边 如果和上一条边成左转关系就压栈继续 如果右转就弹栈 直到和栈顶两点的边成左转关系 压栈继续 实现的时候我们不用存边 只需要含顺序在栈里存点 相邻 两点就是一条边 由于我们时时刻刻都保证栈内是一个凸壳 所以最后扫描 完毕 就得到了一个凸包
int main(void) { int i,Num; while(scanf("%d",&Num)!=EOF) { for(i=0;i<Num;i++) scanf("%lf%lf",&Pt[i].x,&Pt[i].y); FindPoint(Num); sort(Pt,Pt+Num,Cmp); Graham(Num); } return 0; }
参考点的定义:在横坐标最小的情况下取纵坐标最小的点 所以所有的点只能在这个黄色的半平面中 而且正上方为闭(可取得) 正下方为开(不可取) 这就决定了参考点的性质:点集中任意两点和参考点所成的到角为 锐角 这样我们取得参考点 然后再考虑极角排序
极角排序以参考点为极角坐标系原点 各个点的极角为关键字 由于上面我们得到的参考点的性质 我们可以设所有点的极角均在(90,90]之间 排序完成后应该是这样的:
比较极角我们仍然可以利用向量的叉积 叉积有两条性质很常用 1.叉积的一半是一个三角形的有向面积 这个公式可以避免面积计算的误差 如果点是整点 那么所有运 算都是整数 2.向量的叉积的符号代表着向量旋转的方向 向量的叉积是不满足交换律的 向量A乘以向量B 如果为正则为A逆时针旋转向B 否则为顺时针 当然这里A转向B的角总是考虑一个小于180度以内的角 否则就 会出错
循环遍历平面点集p[3]到p[n]。对于每个p[i]（ 3<=i<=n）若存在p[i]在向量st[top-1]st[top] 的顺时针方（包括共线）向且栈顶元素不多于 2个时，将栈顶元素出栈，直到p[i]在向量 st[top-1]st[top]的逆时针方向或栈中元素个数 小于3时将p[i]入栈。 循环结束后，栈st中存储的点正好就是凸包的所 有顶点，且这些顶点以逆时针的顺序存储在栈 中（st[0]~st[top-1]）。 注意：由于第三步中，将p[0]的值赋给了p[n]， 此时栈顶元素st[top]和st[0]相同，因为最后入 栈的点是p[n]。
double Cross(Point a,Point b,Point c) { return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x); } double Dis(Point a,Point b) { return sqrt(pow(a.x-b.x,2)+pow(a.y-b.y,2)); }
empPoint=Pt[0]; Pt[0]=Pt[tempNumber]; Pt[tempNumber]=tempPoint; } bool Cmp(Point a,Point b) { double k=Cross(Point_A,a,b); if(k>0) return true; if(k<0) return false; a.len=Dis(Point_A,a); b.len=Dis(Point_A,b); return a.len>b.len; }